UNCERTAIN KNOWLEDGE REPRESENTATION BY MEANS OF TENSOR ALGEBRA

Full Text

Введение Представление знаний является ключевой задачей в си- стемах искусственного интеллекта. Под знаниями будем понимать результаты, полученные познанием предметной области, в пределах которой систе- ма искусственного интеллекта решает поставленные задачи. В процесс познания предметной области возможно появление следующих проблем: Неопределенность декларативных знаний - непол- ные, ненадежные, неоднозначные, неточные, несо- гласованные, субъективные, полученные по умолча- нию, искаженные данные. Неопределенность процедурных знаний - наличие многообразных причинно-следственных связей в про- цессах принятия решений в пределах предметной области; неполнота причинно-следственных связей в предметной области; наличие вероятностных/стоха- стических эффектов в предметной области. Представление неопределенных знаний - неопреде- ленности связаны с ограничениями моделирования предметной области, с ограниченной выразительно- стью аппарата представления знаний. Механизм вывода - полученный результат вывода является правильным с формальной точки зрения, но является ошибкой применительно к предметной области; новые выводы не вполне обоснованы (например, индуктивные рассуждения); неполные с умолчаниями, механизмы вывода. Решение этих проблем связано с методами обработки нечеткостей в инженерии знаний. Одним из таких методов является нечеткая логика - метод, выделившийся из теории нечетких множеств. Нечеткая логика является непрерывной логикой, в которой логические формулы могут получать зна- чения в интервале [0, 1]. Базовым понятием нечеткой логики является нечеткое множество. 2. Применение тензорной методологии при исследовании сложных систем Представление системы, содержащей неопределенно- сти средствами нечеткой логики является аппроксимацией. Степень неопределенности знаний о системе может ме- няться в зависимости от положения объекта-наблюдателя, находящегося во внешней, по отношению к системе, среде. При увеличении степени абстракции, количество неопреде- ленных знаний уменьшается. Например, съемка из космоса позволяет получить более детальное описание объекта, чем съемка, сделанная в пределах атмосферы. Взгляд на слово с позиций языка, в словарь которого оно входит и взгляд на слово с точки зрения философии имеют разную степень неопределенности. Степень неопределенности может ме- няться в зависимости от точки зрения на объект. Рассматри- вая неопределенный объект с разных точек зрения, можно получить разные представления об этом объекте. Но свой- ства (характеристики) самого объекта не зависят от точки зрения на него. Теория систем позволяет применить тензорную методо- логию исследования сложных систем [1] для исследования сложной системы, содержащей неопределенности. Базовым понятием тензорной методологии является тензор. Тензор есть объект, составляющими которого являются числа или функции, при линейном преобразовании перетензора. На рис. 1 электрическая сеть рассматривается как простейшая система координат. Координаты задаются путя- ми в сети. Определим вектор: O = <o1, o2, … , on>, n  N, oi  R. (2) Определим вектор: V = <v1, v2, … , vn>, n  N, vi  R. (3) Определим для векторов О и V тензорное произведение T: T = O  V; (4) image image менных (1) преобразующиеся по некоторому определенно- o1 r image o1v1 o1v2 ... image o1vn му закону [2]. Рассмотрим выражения, где сs - константы, o o v o v ... o v x- i - новая переменная, полученная из переменной x i путем линейного преобразования. T  2 ...  imagev1 , v2 , ... , vn image  2 1 2 2 2 n . ... ... ... ... (5) image x 1  c1x1  c1x2  c1x3 ; on onv1 onv2 ... onvn 1 2 3 image x 2  c2 x1  c2 x2  c2 x3 ; 1 2 3 image x 3  c3x1  c3x2  c3x3. 1 2 3 Если применить к этим выражениям условие о суммиро- вании А. Энштейна, то получим: s x- r = сr xs. (1) На рис. 1 тензор является эталоном, с которым сравнива- ются остальные системы. Описание этих систем выражается в терминах эталона. Так, технические, физические, эконо- мические системы, обладающие аналогиями по структуре или протекающим в ней процессам являются проекциями Объект T является тензором [3] и связан с таким поняти- ем, как система координат. «Система координат - это эвристический прием, посред- ством которого ученый математически описывает познавае- мое явление. Если другой ученый вводит иную систему коор- динат при описании того же явления, он получает результат, отличный от результата, первого, поскольку рассматривает иные стороны явления. Тензор же позволяет увязать, сое- динить две точки зрения разных исследователей на данный предмет, достичь взаимопонимания, согласования резуль- татов. Благодаря этому предмет, явление, рассматривается более всесторонне, нежели каждым ученым в отдельности» [4, с. 165]. image Тензор Проекции тензора m = 0; j = 0 d 1Cαʹ m = n - 1; j = 1 . . . m = 1; j = n - 1 A . . . 1 dʹ α m = 0; j = n Рис. 1. Схема тензорной методологии исследования сложных систем В разных системах координат компоненты рассматри- ваемого объекта различны; они представлены различными наборами чисел. Существование тензора позволяет рассма- тривать эти наборы как различные представления одно- го и того же объекта. Осями координат могут быть шкалы различных приборов, пространственные линии и т.п. Изме- нения координат могут быть вызваны поворотами, измене- ниями осей координат, сдвигом начала координат, измене- нием масштаба проводимых измерений, сменой положения наблюдателя. В таких случаях необходимо знать: закон пре- образования координат, проекции объекта в исходной и по- лученной системах при условии, что рассматриваемые про- Проиллюстрируем все вышесказанное примером из [6]. image image На рис. 2 представлены объекты А и В. А А image image екции относятся к одному и тому же объекту. В В Если проекции тензора известны в одной системе координат, то можно получить его проекции в любой системе а б координат при наличии формулы преобразования от одной системы координат к другой. Это свойство тензора называет- ся линейностью и является основанием для применения тен- зора в теории сложных систем. В этом случае тензор рассма- тривается с точки зрения структурированного, а не обычного пространства и сохраняет при этом все свои математические свойства. Пусть U - полное множество, охватывающее некоторую предметную область [5]. Пусть F - нечеткое подмножество U. Пусть функция μF (u), где u  U, задает отображение элемен- тов U на множество чисел в отрезке [0, 1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому Рис. 2. Объект В находится точно под объектом А (а); объект В находится под объектом А, но чуть правее (б) Для того, чтобы описать отношения между объектами А и В используем понятия нечеткой логики. Можно задать четыре отношения для объектов А и В: справа, слева, под, над. Обозначим через θ угол между положительной осью Х, проходящей через некоторую точку объекта А и линией, сое- диняющей эту точку объекта А с некоторой точкой объекта В. Опишем отношения: множеству F. Если множество U - конечно, то нечеткое мно-   жество F можно представить в следующим образом: μ (θ) = cos2(θ);     , (11) справа 2 2  u1   u2   u  n  u  иначе μ (θ) = 0. F  F  F u1 u2  ...  F n   un i  1 F i , (6) ui справа 2   μслева (θ) = cos (θ);     ;    , (12) где i  N; n  N; ui  U. Определим вектор: O = <o1, o2, … , on>, oi = μF (ui ), (7) 2 2 иначе μслева (θ) = 0. 2 где i  N; n  N. Определим вектор: иначе μнад (θ) = 0. μпод (θ) = sin (θ); 0 ≤ θ ≤ π, (13) V = <u1, u2, … , un>, n  N, ui  U, (8) где i  N; n  N; u  U. Определим для векторов О и V тензорное произведение T: μнад иначе μнад (θ) = 0. (θ) = sin2(θ); -π ≤ θ ≤ 0. (14) image F u1  image F u2  T = O  V; (9) На рис. 3 приведены примеры построения угла θ и значения соответствующей углу θ функции μпод, при разном взаим- ном расположении объектов А и В. Пусть {аi , 1 ≤ i ≤ n} и {bj , 1 ≤ j ≤ m} - множества точек, при- T  ... F un  image image  u1 , u2 , ... , un  (10) надлежащие границам фигур А и В соответственно. Вычислим угол θij между точками аi и bj. Так как имеется n точек аi и m точек bj , то количество всех углов θij будет равно - (m ∙ n). image F u1 u1  u u  F 2 1 F u1 u2 F u2 u2 ... ... image F u1 un F u2 un . Тогда пространственные отношения подобные «bj под аi» могут быть оценены как μпод (θij). Так как спектр значений θij - достаточно большой, мы можем определить соответству- ... ... ... ... ющее значение μ (θ ) для различных значений θ . Таким под ij ij F un u1 F un u2 ... F un un образом, число вычислений μ под (θij) представляется более В пределах множества U. Можно рассматривать тензор T, как объект, характеризующий точку зрения эксперта в слож- ной системе, содержащей неопределенности. При измене- нии каких-либо параметров системы координат, в частности μF (ui) из (10), произойдет количественное изменение парареальным по сравнению с θij . Определим общее название для числа вычислений f (θ). Поскольку теоретически f (θ) может принять огромное значение, нормализуем переменную f (θ) разделив ее на (m ∙ n). Нормализованную величину обо- значим через f () : метров, формирующих точку зрения эксперта, но при этом тензор сохранит свои базовые свойства. image f   f  image m  n. (15) image image А В А X θ X Y 0o, под() = 0 а В Y 1/4, под() = 0,5 б image image А А X X θ θ Y В 1/2, под() = 1 в В Y 3/4, под() = 0,5 г под Рис. 3. а - θ = 0°, μ (θ) = 0; б - θ = π/4, μпод (θ) = 0 image image Теперь построим график зависимости f () от θ и опреде- лим, где f () принимает наибольшее значение. Для точного определения существования пространственного отношения между А и В подставим в μпод (θij) такое значение θ, при кото- ром значение f () является наибольшим. Введем еще одну функцию f (θ), которая является общим обозначением для ить зависимость нормализованной функции от значения θ. На рис. 4 представлена иллюстрация метода измерения воз- можных θij . Так как, принимая во внимание только вершины, abcd - прямоугольник, а qpr - треугольник, существует толь- ко 12 возможных значений θij . Таким образом image f () μпод (θij). Обозначим через f (θ)/(m ∙ n). Мы можем построimage f ()  . 12 (16) image image a b a b c d c d p p q r q r а б Рис. 4. Иллюстрация вычисления функции image Очевидно, что f () будет иметь наибольшее значение image F(θ) 1,00 около 45° (рис. 5), следовательно μ под (θ = 45°) определит положение треугольника pqr, как находящегося под прямоугольником abcd. В рассмотренном примере углы θij можно рассматривать, как элементы множества U. Тензор, представленный матри- цей (10) является точкой зрения эксперта на взаимное расположение фигур А и В. При изменении угла зрения, мы полу- чим новое представление о взаимном расположении фигур А и В. Анализ совокупности различных представлений может уменьшить степень неопределенности в системе. 0 45 90 135 180 θ° image Рис. 5. График зависимости f () от θ, иллюстрирующий пример на рис. 4 На основании рассмотренного материала можно сде- лать следующие выводы: Применение тензорной методологии для исследо- вания сложной системы, содержащей нечеткие зна- ния, средствами нечеткой логики, позволяет рассма- тривать тензор с новой точки зрения - точки зрения структурированного пространства. Таким образом происходит расширение понятия «тензор», так как все свойства тензора, характерные для обычного про- странства сохраняются в полной мере. Компоненты тензора представлены различными на- борами чисел в разных системах координат и меня- ются при изменении координат. Это позволяет рас- сматривать их как различные представления одного и того же объекта. Полученная совокупность может быть использована для более точной идентификации нечеткого объект и улучшения качества аналитики во всей системе, содержащей нечеткости. Нечеткий объект меняется вместе с системой коорди- нат, что позволяет отличить этот объект от объектов, не связанных с системой координат, что позволяет бо- лее точно описывать нечеткие множества и нечеткие отношения, а также явления в системах, содержащих нечеткости. При изменении точки зрения на нечеткий объект, этот объект может перестать быть нечетким, что позволяет уменьшать степень неопределенности в системе с не- четкостями.

About the authors

Alexandra Vladimirovna Volosova

RTU-MIREA, Moscow

Email: volosova@mirea.ru
Ph. D., Associate Professor

References

Supplementary files