Improved five-factor Altman evaluation model credit about the enterprise with economic indicators as fuzzy numbers

Full Text

ВВЕДЕНИЕ Проблема своевременного возвращения кредитов ак- туальна для деятельности любой кредитующей организа- ции (банка). Надежное решение проблемы, в значительной мере, зависит от «качества» достоверной оценки кредито- способности потенциальных заемщиков. Осуществляемая экспертами, на основе бухгалтерской отчетности, она дает достаточно полную информацию о финансовом состоянии предприятия и позволяет разработать объективные и досто- верные методики принятия решения о выдаче предприятию кредита с минимальным риском [17]. Несмотря на наличие большого количества всевозмож- ных методик (Д. Фулмер, Р. Таффлер, У. Бивер, Л.В. Донцо- ва, А.Д. Шеремет, Р.С. Сайфулин, Е.В. Негашев, П.А. Фомина, О.П. Зайцева, Г.В. Савицкая; и др.) [8; 11; 21; 23; 25; 30; 32; 34; 36], позволяющих оценивать кредитоспособность пред- приятия, тем не менее, в реальной экономической практике не существует универсальной методики оценки кредитоспо- собности. В современной практике финансово-хозяйствен- ной деятельности зарубежных фирм для оценки вероятности банкротства и принятия правильной оценки кредитоспособ- ности предприятия наиболее широкое применение получи- ли модели, разработанные Э. Альтманом и У. Бивером [22; 30; 32]. Первым российским опытом применения подхода Альтмана является разработанная модель Давыдовой-Бе- ликова [6]. Применимость данного подхода к российским реалиям обеспечивается за счет пересчета коэффициентов ki (i = 1, … , 5) в модели Альтмана [13]. На практике, при оценке кредитоспособности с помощью модели Альтмана зачастую приходится принимать решение Применяемое в [31] имитационное моделирование по- зволило построить модель для оценки поведения отрасли (совокупности предприятий со схожими экономическими показателями), где значение z изменяется в широком диа- пазоне. Этот подход отражает общие закономерности ме- тодики и относится ко всем предприятиям в отрасли. Тем не менее, на практике возникает необходимость иметь дело с более узким классом задач, когда необходимо опе- рировать с нечеткими экономическими показателями от- дельного предприятия, с целью прогнозирования влияния погрешности в оценке экономических показателей на вывод о банкротстве конкретного предприятия. До сих пор не раз- работаны математические средства однозначного решения проблемы оценки кредитоспособности предприятия. Цель данной работы состоит в том, чтобы, используя аппарат теории нечетких множеств, имитационное модели- рование и модель Альтмана, усовершенствовать разрабо- танную в [31] методику оценки кредитоспособности пред- приятия, с учетом входящих в нее нечетких экономических показателей для конкретного предприятия, когда значение функции Альтмана меняется в узком диапазоне экономиче- ских параметров присущих конкретному предприятию. Ра- бота носит теоретический характер, является естественным, логическим продолжением работы [31]. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В работе будем использовать пятифакторную модель Альтмана (z-модель), позволяющую оценить возможность банкротства предприятия, которая, применительно к эконо- мике США, имеет вид [30]: в условиях неточности исходных данных. В подобных ситу- z = A(k , k , k , k , k ) = 1,2k + 1,4k + 3,3k + 0,6k + 1,0k , (1) ациях могут применяться специальные методы для работы 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 с неопределенностями. Область математики, имеющая дело с неточной информацией, получила название теории нечет- ких множеств [10]. Экспертные системы, построенные в рам- ках этой теории, хорошо себя зарекомендовали не только при оценке количественных, но и лингвистических неопре- деленностей [20]. В настоящее время теория нечетких мно- жеств является развитым научным направлением, которая имеет большое прикладное значение [6; 26; 28; 33; 35]. В последнее время все большую популярность среди ма- тематических подходов, для воспроизведения исследуемых процессов или явлений, приобретает имитационное моде- лирование, которое помогает учитывать влияние различных параметров, дать обоснование наиболее рационального ре- шения для эксперта, накопить достаточно устойчивую стати- стику оценки надежности окончательного решения [24]. В работе [31] устранен недостаток модели Альтмана, за- ключающийся в его дискретности путем интегрального сред- неквадратичного приближения множеств Альтмана полино- мом 6-9-й степени. В этом случае зависимость вероятности банкротства становится непрерывной функцией от параме- тра z. Разработаны дополнительные инструменты для оцен- ки достоверности получаемых решений. где коэффициенты k1 - это отношение собственного оборот- ного капитала на сумму активов, k2 - это отношение нерас- пределенной прибыли на сумму активов, k3 - это отношение прибыли до уплаты процентов на сумму активов, k4 - это от- ношение рыночной стоимости собственного капитала на за- емный капитал, k5 - объем продаж на сумму активов. Полученное значение z функции позволяет определить вероятность p(z) банкротства предприятия. Согласно модели Альтмана, вычисленному значению z со- поставляется одно из множеств Ai (i = 1, 2, 3, 4) (рис. 1) - проме- жуткивероятностибанкротствапредприятия. Если 0 ≤ z < 1,81 - вероятность банкротства составляет p  A1 = [0, 8; 1] - «ве- роятность банкротства велика», если 1,81 ≤ z < 2,77 - веро- ятность p(z) банкротства компании p  A2 = [0, 35; 0, 5], т.е. «вероятность банкротства средняя», если 2,77 ≤ z < 2,99, то p  A3 = [0, 15; 0, 2] - «вероятность банкротства не вели- ка», если z ≥ 2,99, то p  A4 = [0; ε] - вероятность банкротства предприятия достаточно мала (ε → 0 при z → ∞) и считается приблизительно равной нулю. По классической теории Альтмана при найденном значе- нии z получается не точное значение вероятности банкрот- ства, а диапазон вероятностей Ai (i = 1, 2, 3, 4). В этой модели Альтмана вероятность банкротства является разрывной многозначной функцией от параметра z. В тех случаях, ког- да значения попадают в области разрывов, вывод о веро- ятности банкротства (кредитоспособности предприятия) за- труднен. Для того, чтобы сгладить функции Альтмана, и тем самым внести в теорию идею непрерывности, применялось (f1(z) < f2(z)) и решается задача интегрального среднеквадра- тичного приближения множеств Альтмана полиномом до- статочно высокой (6-й степени), представленной в виде n Ln  z   ai zi . i  0 среднеквадратичное интегральное приближение функций на отрезке значений z  [0; z4], z4 = 3,5 (см. рис. 1), т.к. если Альтмана многочленом различных степеней (до 8 степе- z ≥ 2,99, то p  A4 = [0; ε] равна нулю [31]. Более низкие сте- ни) [31]. Чтобы представить ее в виде непрерывной функ- пени не аппроксимируют f (x) и f (x) с достаточной для прак- 1 2 ции, определяются две оптимизационные функции по ми- тики точность, а более высокие - n > 7 использовать не ра- нимуму f  z   min p z  и по максимуму f  z   max p z  ционально [4]. z z 0,96 A1 0,84 0,72 T1 0,60 f1(z) image f2(z) L6(z) f2(z) 0,48 A2 0,36 T2 0,24 A3 T3 0,12 A4 0,0 0 1 f1(z) z1 2 f1(z) z2 f2(z) 3 f2(z) z4 Рис. 1. График полинома L6(z) и функций f  z   minp z , f  z   max p z  f1(z) 1 z 2 z Построение функции L6(z) дает возможность получить значение р в областях, которые лежат вне множеств Аi, т.е. в диапазонах Ti (i = 1, 2, 3) (см. рис. 1). Множество 4 надлежности будет равняться μ = 1. В этом случае, вероят- ности банкротства предприятия приписывается полученное значение p = L6(z)  Ai. Но, если p = L6(z)  Ai , т.е. не попадает ни в какой из четырех интервалов Ai, то значение функции принадлежности μ = 0 и номер i не определены. T  Tk k  1 Для каждого множества Альтмана Ai вводим четыре есть дополнение к т.е. Tintersect A = [0; 1]. 4 A   Ak , k  1 i нечетких множества X῀ (i = 1, ... , 4), которые задаются функ- i i циями предпочтения μ : U → M, где U - область определе- ния множества X῀ , M = [0; 1]  R - область значений, т.е. μX῀ (u) : U → μ  M = [0; 1]  R. После вычисления вероятно- i сти p = L6(z)  X῀ можно вычислить меру нечеткости числа p i по отношению к любому X῀ и выбрать то из них, относительно Вычисления значения z по методу Альтмана (1) и вычис- ления p по формуле L6(z) не всегда дают возможность одно- значно отнести вычисленное значение p в одно из множеств которого мера нечеткости р минимальна. i Функции принадлежности X῀ имеют вид, показанный на рис. 2. Ai , т.е. к одному из случаев p  A1 = [0, 8; 1], p  A2 = [0, 35; 0, 5], Функции принадлежности множеств X῀ , X῀ , X῀ , X῀ можно p  A3 = [0, 15; 0, 2], p  A4 = [0; 0, 05]. Например, если p  0,7, то p можно отнести и к множеству A1, и к множеству A2. Не- записать в аналитическом виде: 10p - 5 1 2 3 4 обходимость отнести получаемое значение p(z) к одному из близлежащих Ai множеств Альтмана может решаться раз- image   , X1 3 если 0,5 ≤ р < 0,8; ными способами. В работе [31] эта задача решается с помо- щью методов теории нечетких множеств, для чего строятся наиболее простые кусочно-линейные непрерывные функ- ции принадлежности трапецеидальной формы. Если считать, что множества Ai - четкие, то эксперту при- дется самому принимать решение о вероятности банкрот- ства предприятия. Действительно, если величина вероятно- сти p, найденная по модели Альтмана с применением L6(z) попадает в одно из множеств Ai , то значение функции при- 100p - 20 image    15 X 2  1, 100 p - 5    10 , X 3  1,   1, X4 , если 0,2 ≤ р < 0,35; если 0,35 ≤ р < 0,5; если 0,05 ≤ р ≤ 0,15; если 0,15 ≤ р < 0,2; если 0 ≤ р < 0,05. μ(р) μ(р) μ(р) image μ(р) image image image 1,0 1,0 1,0 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 X 1 X2 X3 X4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 р р р р а б в г Рис. 2. Графики функций принадлежности нечетких подмножеств: а - X῀ ; б - X῀ ; в - X῀ ; г - X῀ , отвечающих множествам Альтмана A 1 2 3 4 i Сами множества запишем с помощью традиционных для i Получили четыре четких множеств X 0 - ближайших чет- теории нечетких множеств обозначений (используется знак интеграла) [12]: i ких множеств к нечетким X῀ : 10p - 5 Х10 = {p : 0,65 < p ≤ 1,0}; Х20 = {p : 0,275 < p ≤ 0,65}; image X  p image image X Х = {p : 0,1 < p ≤ 0,275}; Х = {p : 0,0 < p ≤ 0,1}.  1  3  1 ; 30 40 1    0,5  p  1 p 0,5  p  0,8 p 0,8  p  1 p Четкие подмножества Х10, Х20, Х30, Х40 ближайшие соот- 100 p - 20 ветственно к нечетко заданным X῀ , X῀ , X῀ , X῀ также запишем 2 X   X 2  p   15  1 2 3 4 с помощью знака интеграла [12]: image 0,2  p  0,8 p 0,35  p  0,5 p 8 - 10p 1 3 X10   X p 10  p  0 1 p   p; image p   0,35  p  0,5 p   ; 0,5  p  0,8 0,5  p  1 0,5  p  0,8 0,8  p  1 X p  0 1 0 100 p - 5 X20  image  20  image p   image image p   p; X 3  X   p image 3  p image  10  p 0,2  p  0,8 p 0,2  p  0,35 0,35  p  0,5 0,5  p  0,8 0,5  p  0,35 0,05  p  0,15 X p 0 1 0 image   1  p 35 - 100 p  15 ; p X30   0,5  p  0,35 image 30  p  image p   0,05  p  0,15 p image p   0,15  p  0,2 image p  ; 0,2  p  0,35 0,15  p  0,2 0,2  p  0,35  X40 0 1 X40   image image p   p  p.   X 4 p 1 image  15 - 100p image  10 0  p  0,15 0  p  0,05 0,05  p  0,15 image X4    p  p  , p , .  p  , p Тогда весь отрезок возможных вероятностей от 0 до 1 по- 0  p  0,15 0 0 05 0 05 0 15 i Для определения меры нечеткости для каждого из X῀ кроется системой непересекающихся интервалов i (i = 1, ... , 4) введем еще четыре четких множества X , бли- 4 0 i жайшие к нечеткому X῀ с функцией принадлежности μX῀ (u) 0 0 0 0, 1   Xk , Xi intersect X j  Ø k  (μi  M[0; 1]  R), характеристическая функция которого име- ет вид (рис. 3): 1 (за исключением точек pi ). 1,  X 0   0,  если μX῀ > 0,5; если μX῀ < 0,5; Функция принятия решения I (p) с полиномом L6(z) по- лучает ясный экономический смысл: величина p указывает  1 или 0, если μX῀ = 0,5. на вероятность банкротства и, следовательно, финансовое μ 0,8 image X0 X μ 0,8 image X0 X 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0,0 а b c d а 0,0 X а b c X б Рис. 3. Четкое множество X0 (пунктирная линия), ближайшее к нечеткому множеству X῀ (сплошная линия) с функцией принадлежности: a - трапециевидной (a, b, c, d); б - треугольной (a, b, c) image I(p) 4 3 ) i  2, если р  [р ; X40 I p   2  i  4, если р  [0, X30 X20 X10 I(p 4 image 3 р3]; 0; р1] image 2 2 image 1 1 A4 A3 0 A2 A1 0 0,15 0,20 0,35 0,50 0,80 1,00 р а p1 = 0,1 p2 = 0,275 р б p2 = 0,65 1,0 Рис. 4. Функции принятия решения: i a - для модели Альтмана; б - график функции принятия решения на четких множествах X и аналитический вид функции принятия решения I (p) 0 состояние исследуемого предприятия. Числовое значение надлежности, формулой (2). Меры нечеткости для множеств индекса I (p) дает возможность узнать по какой из четырех X῀ , X῀ , X῀ , X῀ соответственно равны: 0,158; 0,194; 0,144; 0,091. 1 2 3 4 i формул μX῀ (p) (см. рис. 2) вычислено числовое значение меры μ, показывающее, с какой мерой доверия величина p принадлежит к соответствующему множеству Альтмана Ai . 2 Из этих вычислений следует, что подмножество X῀ имеет 1 3 4 1 меру нечеткости большую по сравнению с подмножества- ми X῀ , X῀ и X῀ . Совершенно аналогично: X῀ - имеет большую i Множества X 0 однозначно связывается с множествами 3 4 3 4 меру нечеткости, чем X῀ и X῀ ; множество X῀ - большую чем X῀ . i 0 Ai и X῀ . Очевидно, что попарное пересечение Xi а объединение множеств равно [0; 3, 5]. будет пусто, Образовался ряд предпочтений В пространстве Q[0; 1] кусочно-непрерывных функций, имеющих конечное число разрывов, можно определить рас- X῀ ῀ ῀ ῀ 2 > X1 > X3 > X4 (4) по мере нечеткости, который дает дополнительный крите- 0 стояние между множествами X῀ и Х как среднеквадратичное рий для принятия решения о возможности кредитования расстояние между функциями принадлежности. Определим расстояние между множествами по формуле Евклида. Пусть множество X῀ с трапециевидной функцией принад- лежности (a, b, c, d) (рис. 3, a). Расстояние между четким множеством Х0 и ближайшим к нему нечетким X῀ (мера нечет- кости) с трапециевидной функцией принадлежности по фор- муле Евклида будет иметь вид: image image d предприятия. АЛГОРИТМ РАБОТЫ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОЙ МОДЕЛИ АЛЬТМАНА В работах [2; 31] предложен алгоритм применения мо- дели Альтмана, представляющий из себя четырехступенча- тую последовательность обработки получаемого значения d X X  2 x b - a d - c параметра z, как равномерно распределенной случайной  , 0   X - X0  d  a  . 12 12 (2) величины на отрезке [0; 3, 5]. В данной работе мы учитываем Для равнобокой трапеции (b - a = d - c) формула меры нечеткости X῀ упрощается: image image d нечеткость коэффициентов ki (i = 1, ... , 5) и тогда алгоритм вычислений будет дополнен новым блоком слева (рис. 5). В левом блоке коэффициенты Альтмана представляются d X , X0   X a X  dx  -  2 0 b - a . 6 (3) в виде треугольных нечетких чисел c заданным уровнем α (уровнем достоверности). Назначение остальных блоков бо- лее детально описано в [31]. Формула для вычисления расстояния между четким мно- жеством Х0 и нечетким X῀ (мера нечеткости) с треугольной функцией принадлежности вида (a, b, c) (рис. 3, б) по формуле Евклида будет иметь такой же вид (3), как и для нечеткого множества с равнобокой трапециевидной функцией принад- лежности. Найдем меры нечеткости определенных выше подмно- В новом блоке при подсчете основных экономических показателей на основе бухгалтерской отчетности моделируются входящие значения коэффициентов ki (i = 1, ... , 5), представленные в виде нечетких множеств (на основе экс- пертных мнений экономистов). Данное представление коэффициентов введено для того, чтобы более полно учесть нечеткую природу исходных коэффициентов бухгалтерской жеств X῀ , X῀ , X῀ , X῀ вычисляя меры нечеткости по метрике Евотчетности, при вычислении коэффициентов Альтмана. Ко- 1 2 3 4 клида, пользуясь, в случаях с трапециевидной функцией приэффициенты ki (i = 1, ... , 5) моделируются в виде нечетких ki (i = 1, ... , 5), α μk R, μk L 1 1 z Формула Альтмана zL, zR p = L6(z) pL, pR i = I(p) iL, iR μA(p) = d(X , X ) i i0 μAL(p), μAR(p) Рис. 5. Блок-схема последовательности вычислений параметров модели при оценке кредитоспособности предприятия множеств с симметричной треугольной функцией принад- лежности (см. рис. 3, а), состоящих из тройки действительных чисел (a, b, c), где b называют модой нечеткого треугольного числа ki , числа a, c - характеризуют диапазон размытости не- четкого числа [37]. При фиксированном значении α  [0; 1] нечеткое множество ki представляется в виде множества α-уровня (α-срезом, α-сечением, интервалом (уровнем) до- стоверности) [20; 37]. Данное представление необходимо для проведения исследования о влиянии α-уровня на ре- шение эксперта о кредитовании предприятия. Множество α-уровня нечеткого числа ki записывают в виде В общем случае нечеткого задания всех коэффициентов Альтмана (ki , (i = 1, ... , 5)) вычислительный принцип работы новой модели в принципе можно описать той же последова- тельностью шагов. Вводим нечеткие коэффициенты ki (i = 1, ... , 5) для мо- дели Альтмана с заданием соответствующего уровня достоверности α (формула (5)). Вычисляем лево- и правостороннее значения функ- ции Альтмана (z = zL и z = zR) по формуле (1). Определяем вероятность банкротства предприя- тия с помощью полинома шестой степени pL = L6(zL) и pR = L6(zR) (см. рис. 1). image   A  x  U   , 0; 1. Определяем индексы i = I (p ) и i = I (p ) нечетких мно-  A  x   жеств X῀ и X῀ L L (i = 1, ... , на R R p p (см. рис. 4). Li Ri 4) основе L и R Если представить k1 в виде нечеткого числа (a, b, c) (см. рис. 3, а) с треугольной функцией принадлежности Делаем вывод о мере нечеткости (уровне доверия) по данным и, делая вывод о мере нечеткости полу- x - a 2 ченных результатов с помощью ряда X῀ 1 > X῀ 3 > X῀ 4 > X῀ . k   x   1 image , b - a a  x  b, (5) Данный подход, при единичном использовании, несмо- тря на представление более детальной информации о по- то интервал достоверности имеет вид ведении модели, может не точно отражать сложившуюся ситуацию на предприятии, т.к. учитываются только два раз- [μk1L, μk1R] = [a + α(b - a); c - α(c - b)], (6) личных значения zL и zR при фиксированном уровне досто- где μL = a + α(b - a) - левая граница, μR = c - α(c - b) - пра- вая граница интервала достоверности [37]. Если рассмо- треть симметричную треугольную функцию принадлежно- сти, то b - a = c - b и интервал достоверности примет вид [a + α(b - a); c - α(c - b)]. При α = 1 интервал достоверности вырождается в четкое число b, при α = 0 интервал достовер- ности имеет вид [a; c], (см. рис. 3, б). Продемонстрируем работу алгоритма на простом случае. Предположим, что все числа в формуле Альтмана (1) четкие за исключением k1 (индекс i дан экспертом). Воспользовав- шись представлением (5) для нечеткого числа k1 = (a, b, c), подставим границы интервала достоверности в формулу Альтмана, получив соответственно левостороннее z = zL и пра- востороннее значения z = zR для заданного уровня досто- верности α. Далее дважды используется алгоритм (рис. 5). На основе значений z = zL и z = zR, к которым применяется среднеквадратичное интегральное приближение, вычисля- ется точное значение вероятности банкротства предприятия с помощью полинома шестой степени (см. рис. 1) pL = L6(zL) и pR = L6(zR) [31]. Затем с помощью функции принадлежности I (p) (см. рис. 4) находятся индексы iL = I (pL) и iR = I (pR) и сле- верности α. Для более полной оценки возможности метода прибегнем к имитационному моделированию и проведем многократные вычислительные эксперименты с различны- ми случайными α с равномерным законом распределения на отрезке [0; t] (t ≤ 1). ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО МЕТОДА АЛЬТМАНА Ранее в работах [2, 31] исследование кредитоспособ- ности предприятия осуществлялось для некоторого обоб- щенного предприятия в определенной отрасли, в кото- рой находится исследуемая компания. Была предложена имитационная схема применения модели Альтмана, у кото- рой z - случайная величина с равномерным законом распре- деления из диапазона от 0 до 3,5. К случайному z применял- ся четырехшаговый алгоритм (без первого блока) (см. рис. 5) и далее анализировалось математическое ожидание и сред- неквадратичное отклонение величин модели Альтмана, с це- лью получения устойчивых статистик для прогнозирования довательно будут известны множества X῀ Li и X῀ Ri (i = 1, ... , 4), ко- работы предложенного метода. Модель позволила провести торые расширяют множества Альтмана Ai (в случае непопа- дания pL и pR в одно из Ai). Они указывают на левую и правую имитационное исследование во всем диапазоне z  [0; 3, 5] одной отрасли. меру нечеткости d(X῀ , X῀ ) и d(X῀ , X῀ ), давая возможность Li Li0 Ri Ri 0 Однако реально представляет интерес более узкая про- оценить степень доверия к полученной вероятности бан- кротства предприятия. Таким образом, лицо, принимающее решение, получает информацию о «левой» pL и «правой» pR вероятностях бан- кротства предприятия при заданном уровне достоверности α, с соответствующей мерой нечеткости (уровнем доверия) блема, связанная с имитацией процедуры оценивания кре- дитоспособности одного предприятия, когда z меняется в не- большом отрезке [a; b] принадлежащим диапазону [0; 3, 5]. Например, для учета степени влияния нечеткости коэффици- ентов ki (i = 1, ... , 5) на возможное принятие решения. Для этого в данной статье, исследуется устойчивость решения d(X῀ , X῀ ) и d(X῀ , X῀ ), где i - номер множества Альтмана, Li Li0 Ri Ri 0 o кредитоспособности предприятия с существенной поправ- а также множеств X῀ , X῀ , и X῀ , X῀ . кой на более узкий отрезок [a; b], тем же имитационным пу- Li Ri Li0 Ri 0 Если множество X῀ Li совпадает с X῀ Ri , то имеется устойчи- тем, с применением вышеописанного пятишагового алгорит- вый случай, что можно интерпретировать следующим обра- зом: зона доверия [μL; μR ] такова, что все вероятности бан- кротства из отрезка [pL; pR ] находятся целиком в некотором множестве Альтмана. Описанный выше алгоритм дает новую информации по сравнению с изложенным в [31] только в случае нахожде- ния [pL; pR ] на границах стыковки множетв Альтмана. ма (см. рис. 5), где входные величины ki представлены в виде нечетких множеств с треугольной функцией принадлежности по формуле (4) с интервалом достоверности (5). Заключение о возможности кредитования (банкротства) предприятия из-за нечеткости входных переменных ki , представленных в виде α-среза нечеткого множества, зависит от величины α (параметр достоверности). Значения параметра 0 ≤ α ≤ t (t ≤ 1) в левом блоке (см. рис. 5) моделируются с помощью равномерно случайной величины в узком диапазоне [0; t] (t ≤ 1). Поэтому левые и правые значения отрезка достоверно- сти [μL, μR ] и сам параметр z будут случайными величинами. Проводились имитационные вычислительные экспери- менты на основе пятишагового алгоритма (см. рис. 5) 1000 раз (рис. 6). Результаты экспериментов обрабатывались статисти- ческими методами. Вычислялось математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение величин z (значение фор- мулы Альтмана), p (вероятность банкротства предприятия), I (индекс множества для функции принятия решения), μА(p) (степень доверия к полученной вероятности банкротства). 1,91 image z (z)m 1,90 1,89 1,88 0 200 400 m 600 800 1000 Рис. 6. Изменения значений величины z в проводимой имитации при i = 12 В имитационной модели, описанной в [31] вычисляемые значения (z, p, I, μА(p)) демонстрировали работу всего алго- ритма, показывая эффективность введения в модель поли- нома p = L6(z) на основе накопления устойчивой статистики в широком диапазоне изменения z. В данной работе основ- ные показатели (z, p, I, μА(p)), демонстрируют устойчивость модели, степень влияния изменения входных показателей ki на выводы о банкротстве предприятия в узком диапазоне z  [a; b]  [0; 3, 5]. Применим разработанный алгоритм к крупному иннова- ционному предприятию. Подобные компании имеют боль- шое количество денежных потоков, учет которых затрудни- телен временной стоимостью денег и могут быть допущены значительные погрешности при подсчете основных финан- совых показателей. Пятифакторная модель Альтмана и ее усовершенствованный нами, в данной статье, вариант пред- назначена для оценки банкротства крупных компаний [30]. Допустим по классической схеме с четкими значениями ki (i = 1, ... , 5) (без введения полинома), значение функции Альтмана для инновационного предприятия из бухгалтер- ского баланса за 2014 г. составляло z = 1,82 (значение, кото- рое, согласно классической модели Альтмана, вошло в отре- зок «средняя вероятность банкротства компании составляет от 35 до 50%»). Но, учитывая рис. 1 видно, что это значение хотя и попадает в промежуток «вероятности банкротства средняя», близко стоит к границе z1 = 1,81, разделяющей области «большой» A1 и «средней» A2 вероятности бан- кротства, и дает неопределенность в значении вероятности. Применение метода сглаживания функции Альтмана с по- мощью монотонно убывающего полинома [31] позволяет определить точное значение вероятности p = 0,685, но оно попадает в промежуток между отрезками Альтмана A1 и A2, давая конкретную оценку кредитоспособности предприятия. Лицу, принимающему решение, необходимо понимать, как изменится вероятность банкротства, если изначально были допущены погрешности при подсчете экономических по- казателей. Например, при уменьшении показателя k1 (обо- ротный капитал / сумма активов) хотя бы на 0,02, функция Альтмана принимает значение z = 1,8, тем самым согласно классической модели Альтмана изменяется вывод о вероят- ности банкротства предприятия, которая будет оцениваться по классической модели в диапазоне от 80 до 100%. Таким образом, если пользоваться классической моделью Альтма- на, то вывод о вероятности банкротства изменится со сред- ней на высокую и при представлении погрешности в стан- дартном виде k1 ± α оценка вероятности банкротства будет переходить из одного промежутка в другой, что неизбежно вызывает неопределенность и возможную неточность в при- нятии решения о кредитовании. Действительно, была 2000 раз проведена имитация принятия решения по классической модели Альтмана (1). Следующие исходные параметры, характерные для рассма- триваемого предприятия, были взяты: k1 = 0,262; k2 = 0,609, k3 = 0,0102, k4 = 1,038, k5 = -0,0038. Параметры k2, ... , k5 явля- ются точными числами, а параметр k1 - треугольным нечет- ким числом (a = 0,242; b = k1 = 0,262; c = 0,282) (см. рис. 3). Параметр α  [0; 1] - α-уровень нечеткости треугольного числа k1 и в имитационном моделировании представляется случайной величиной с равномерным законом распреде- ления на отрезке [0; 1] (см. рис. 3). Тогда функция Альтмана z = A(k1, k2, k3, k4, k5) фактически будет являться двухзначной функцией параметра α и давать два значения zL(α) и zR (α). При каждой реализации случайной величины α вычисля- лись, по формуле Альтмана (1), левая и правая граница zL(α) и zR (α), принадлежащие диапазону [zL(0), zR (0)] = [1, 796; 1, 844]. Для заданных исходных данных получены результа- ты: 1404 раз вероятность банкротства находилась в преде- лах от 0,35 до 0,50 - «вероятность банкротства средняя», 594 раза вероятность банкротства была в пределах 0,8 до 1 - «вероятность банкротства предприятия велика». Данная имитация показывает, что эксперт, с помощью только функ- ции Альтмана и, не имея других инструментов, скорее при- мет решение в сторону «средней вероятности банкротства». Исследуем зависимость получаемых вероятностей p(k1) от величины b = k1 = variable, b - a = c - b = const = 0,02; и как будет изменяться вывод о банкротстве предприятия (зна- чение функции z) в классической модели Альтмана с не- четкими коэффициентами при изменении k1. Сделаем ха- рактеристики нечеткого числа зависящими от параметры i (a = 0,242 + 0,006i, b = k1 = 0,262 + 0,006i, c = 0,282 + 0,006i) и изменяя i в пределах [-5; +2], проведем имитационный опыт 2000 раз для каждого i (1000 раз для zL(α) и 1000 раз для zR (α)) подсчитывая количество попаданий вероятности p в левый А1 или правый А2 диапазон Альтмана, наблюдая, как будет изменяться значение функции принятия решения IA(p) = 1 (множество A1) и IА(p) = 2 (множество A2) (см. рис. 1, 4) в зависимости от получаемого значения α и зависящего от него двух значений zL и zR . Результаты приведены в табл. 1. Таблица 1 Результаты вычислительного эксперимента i -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 b = k1 0,232 0,238 0,244 0,25 0,256 0,262 0,268 0,274 IA(p) = 1 2000 1816 1506 1226 890 596 306 0 IА(p) = 2 0 184 494 774 1110 1404 1694 2000 для функции принятия решения в классической модели Альтмана с нечетким коэффициентом k1 IA(p) = 1 для табл. 2), т.е. повышая степень доверия к фи- нансовой устойчивости предприятия. В тех случаях, когда имитационное моделирование показывает приблизительно равное количество попаданий предприятия в 1 и 2 группу (например, при i = 13), в силу ряда предпочтений (4), можно говорить о том, что большее доверие вызывают результаты, попавшие в 1-й диапазон (IA(p) = 1). Математическое ожи- дание мера нечеткости M(μ) получаемых решений при- близительно оказалось около 0,5, что объясняется рис. 3, из которого видно, что при x = (a + b)/2 или x = (b + с)/2 мера нечеткости равна 0,5, что характерно для случа- ев, когда z близко к критическим значениям zi функции Альтмана. Данный опыт показывает прямо пропорциональную зависимость между изменением параметра b (пропорцио- нально i ) и количеством значений, которые принимает функ- ция принятия решений для промежутка - «вероятность бан- кротства средняя» (IA(p) = 2). Исследуем, как будет изменяться вывод о банкротстве предприятия в классической модели Альтмана при расши- рении интервала достоверности [μL, μR ] (формула (5)) для k1 (см. рис. 3, б), которая есть длина отрезка [a, c]. Представим параметр k1 в формуле Альтмана (1) треугольным нечетким числом (a = 0,232, b = k1 = 0,262, c = 0,292), увеличив границы интервала достоверности нечеткого числа b = k1 = variable, b - a = c - b = const = 0,03. Проведем имитационный опыт 2000 раз. Получены результаты: 1266 раз вероятность бан- кротства от 0,35 до 0,50 - «вероятность банкротства сред- няя», 734 раз вероятность банкротства от 0,8 до 1 - «веро- ятность банкротства предприятия велика». Данная имитация показывает, что при большей величине неопределенности интервала достоверности (на 0,01) вывод о банкротстве предприятия не изменился. Теперь проведем тот же имитационный опыт для усо- вершенствованной модели. Исследуем зависимость полу- чаемых вероятностей p(k1) от тех же величин b = k1 = variable и b - a = c - b = const = 0,02 и как будет изменяться вывод о бан- кротстве предприятия (значение функции z) в усовершен- ствованной модели Альтмана с нечеткими коэффициентами при изменении k1 (по сравнению с классической моделью Альтмана). Сделаем характеристики нечеткого числа завися- щими от параметры i, который изменялся i в пределах [12; 24] по аналогии с исследованием классической модели Альтма- на (a = 0,242 + 0,006i, b = k1 = 0,262 + 0,006i, c = 0,282 + 0,006i) и (для всех значений i ≤ 12 значение IA(p) = 1), проведем ими- тационный опыт 2000 раз для каждого i (1000 раз для zL(α) и 1000 раз для zR (α)), подсчитывая количество попаданий вероятности p в левый А1 или правый А2 диапазон Альтмана, наблюдая, как будет изменяться значение функции принятия решения IA(p) = 1 (множество A1) и IА(p) = 2 (множество A2) (см. рис. 1, 4) в зависимости от получаемого значения α и за- висящего от него двух значений zL и zR . Результаты приведе- ны в табл. 2. Из сравнения табл. 1 и 2 видно, что критический диа- пазон для уверенного решения вопроса о принадлежности предприятия к 1 или 2 области Альтмана (функции принятия решения IA(p) = 1 (множество A1) и IА(p) = 2 (множество A2)) сдвигается в сторону больших значений k1 и больших значе- ний z (i ≤ -5 значение IA(p) = 1 для табл. 1, i ≤ 12 значение Таблица 2 Результаты вычислительного эксперимента для функции принятия решения в усовершенствованной модели Альтмана с нечетким коэффициентом k1 i 12 13 14 15 16 17 b = k1 0,334 0,34 0,346 0,352 0,358 0,364 M(zL) 1,894 1,92 1,908 1,915 1,923 1,93 M(zR) 1,918 1,925 1,932 1,94 1,947 1,954 M(pL) 0,657 0,654 0,652 0,649 0,646 0,643 M(pR) 0,648 0,645 0,642 0,639 0,636 0,633 M(μAL) 0,524 0,514 0,509 0,508 0,514 0,524 M(μAR) 0,51 0,517 0,527 0,537 0,546 0,556 S(zL) 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 S(zR) 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 S(pL) 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 S(pR) 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 S(μAL) 0,009 0,009 0,006 0,005 0,009 0,009 S(μAR) 0,007 0,009 0,009 0,009 0,009 0,009 IA(p) = 1 2000 958 665 393 65 0 IА(p) = 2 0 1042 1335 1607 1935 2000 Среднее квадратическое отклонение показывает доволь- но малый разброс всех основных показателей в имитацион- ной модели, что приближает проведенное имитационное моделирование нечетких данных, особенно с применением ряда (4), к моделированию с помощью детерминированных моделей. Например, на рис. 6 показаны изменения значе- ний величины z в проводимой имитации (при i = 12 оценка среднеквадратичного уклонения в табл. 2 отвечает нагляд- ному изменению случайной величины z). Случай i = 12, при котором k1 = 0,334, zL = 1,894 и zR = 1,918, относится к пограничной зоне (z1 = 1,81) между двумя об- ластями 1 и 2 и классическая модель не в состоянии отне- сти исследуемое предприятие к одной из 4 областей. Тогда как табл. 2 показывает, что оценка предприятия по усовер- шенствованной модели дает область 1 - высокую степень вероятности банкротства. Модель позволяет даже в таких критических зонах неопределенности отнести предприятие к вполне определенной области. ВЫВОДЫ В данной работе применена модель Альтмана, аппарат теории нечетких множеств и математическое имитационное моделирование в условиях высокой неопределенности, с це- лью дать больше информации лицу принимающему реше- ние о кредитоспособности предприятия, а также возможном влиянии ошибки на вывод о банкротстве предприятия при подсчете экономических показателей. При оценке кредитоспособности предприятия использо- вана модель Альтмана, т.к. она дает адекватную оценку эко- номических показателей, сводя их в одну величину, которая является количественной характеристикой показателя бан- кротства предприятия [27; 28]. Все важные экономические показатели предприятия (например, оборотный капитал, нераспределенная прибыль и т.д.) могут быть представлены как треугольные нечеткие числа. В результате проделанной работы удалось построить алгоритм оценки кредитоспособности конкретного предприятия, в основе которого лежит непрерывная зависи- мость вероятности p(z) банкротства от величины z, которая вычисляется по модели Альтмана. Коэффициенты модели могут быть треугольными числами с дополнительными критериями предпочтения в критических точках класси- ческой модели Альтмана. В предложенном подходе про- ведено имитационное моделирование для входящих нечетких экономических показателей в виде α-сечений нечеткого множества для прогнозирования влияния по- грешности в оценке экономических показателей на вывод о банкротстве предприятия. Описанная усовершенствован- ная математическая модель Альтмана с процедурой вы- числительного эксперимента (где вероятность банкротства предприятия вычисляется 1000 раз), дополненная нечет- кими ki показателями, позволяет находить левосторонние и правосторонние множества α-уровней нечеткого множества ki и рассчитывать влияние малых изменений коэффи- циентов Альтмана на оценку вероятности (ее устойчивость) банкротства предприятия

About the authors

Alevtina Yu. Shatalova

Kuban State University

Email: al-shatalova@yandex.ru
postgraduate student of the Department of Applied Mathematics Krasnodar, Russian Federation

Igor V. Shevchenko

Kuban State University

Email: dean@econ.kubsu.ru
Professor; Dean of the Faculty of Economics Krasnodar, Russian Federation

Boureima Bamadio

University of Social Sciences and management of Bamako

Email: anadama@mail.ru
Doctor of Physical and Mathematical Sciences; assistant professor at the Faculty of Economics and Management (FSEG) Bamako, Mali

Konstantin A. Lebedev

Kuban State University

Email: klebedev.ya@yandex.ru
Doctor of Physics and Mathematics Krasnodar, Russian Federation

References

Supplementary files