Analysis in the Problem of Group Pursuit of Multiple Goals for the Possibility of Simultaneous Achievement

Full Text

Введение Рассмотрим модель расчета траектории преследователя на плоскости, где в каждый момент времени от преследователя до цели строится прогнозируемая траектория, которой преследователь будет стараться придерживаться (рис. 1). Кривые l1(s), l2(s), l3(s) (см. рис. 1) состоят из сегмента дуги окружности и прямолинейного отрезка. Радиус окружностей и есть ограничение по кривизне прогнозируемых траекторий движения преследователей в нашей модели. Если преследователь находился в момент начала преследования в точке Pi с вектором скорости Vi, то центр окружности Ci радиуса ri будет находиться в точке: Рис. 1. Групповое преследование множества целей Fig. 1. Group pursuit of multiple goals Затем из точки положения цели Ti строится касательная к окружности (Ci, ri). Совокупность касательной и окружности будет базовой линией прогнозируемой траектории движения преследователя li(s). Отметим, что в уравнении базовой линии из однопараметрического множества прогнозируемых траекторий параметризация производится от ее длины дуги. При новом положении цели Ti линия li(s) смещается, оставаясь параллельной самой себе (рис. 2). Рис. 2. Однопараметрические сети прогнозируемых траекторий движения преследователей Fig. 2. One-parameter networks of predicted trajectories of pursuers Если i-й преследователь в момент времени tj находится в точке Pij (рис. 3), имея при этом прогнозируемую траекторию движения lij(s), соединяющую с текущим положением цели Tij, то следующая точка траектории преследователя будет точка Pij + 1. Рис. 3. Итерационный процесс расчета траектории преследователя Fig. 3. Iterative process of calculating the trajectory of the pursuer Точка Pij + 1 есть точка пересечения линии lij + 1(s), соответствующей положению цели Tij + 1 в следующий момент времени tj + 1, и окружности с центром в точке Pij и радиусом |Vij|Δt, Δt = tj + 1 - tj. Такова модель построения траекторий преследователя. Рассмотрим задачу группового преследования, когда группа преследователей догоняет группу целей. Будем считать, что каждый преследователь Pi стремится достичь своей цели Ti, хотя у некоторых преследователей цели могут совпадать, как показано на рис. 1 и 2. Причем преследователь Pi достигает цели Ti за определенное время ti, двигаясь с определенной скоростью Vi. Для одновременного достижения целей необходимо равенство всех значений ti определенному значению. На рис. 1 показано, что для изменения длины базовой линии можно изменять радиус касательной окружности. Касательная окружность была введена для того, чтобы преследователь мог плавно перейти на прямолинейную траекторию. Если бы это было так, то задача была бы сведена к преследованию методом параллельного сближения. Поскольку начальная скорость преследователя направлена произвольно, то при помощи составной базовой линии, которая при движении цели перемещается, оставаясь параллельной сама себе, происходит плавный переход к методу параллельного сближения с соблюдением ограничений по кривизне (рис. 2). Рис. 2 дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно посмотреть плавный переход к параллельному сближению. Целью данной статьи является описание метода, при котором преследователь достигает цели в назначенное время из допустимых значений. Как следствие, можно рассматривать одновременное достижение своих целей группой преследователей. Методы решения с использованием многомерной начертательной геометрии По результатам исследований, разработана тестовая программа одновременного достижения целей преследователями, которую можно посмотреть на ресурсе [6]. В этой программе предложен алгоритм, который реализует итерационную схему расчета траектории преследователя, показанную на рис. 3. В модели считается, что существует зависимость для преследователя P, который достигает своей цели T, за время t: t = F(Ps, Ts, nP, nT, VP, VT, R), где Ps, Ts - координаты точек положения преследователя и цели в момент начала процесса преследования; nP, nT - единичные векторы направления движения преследователя и цели в момент начала процесса преследования; VP, VT - модули скоростей преследователя и цели в процессе преследования; R - радиус окружности, смысл которой показан на рис. 1 и 3. Фактически, в модели подсчитывается число шагов, за которые преследователь достигает цель. Число шагов, при известном дискретном промежутке времени, можно сопоставить со временем реальным. Если цель движется прямолинейно и равномерно, то нашу зависимость времени достижения цели в уже начавшемся итерационном процессе можно считать функцией от двух переменных: t = F(VP, R), от модуля скорости преследователя и от радиуса кривизны окружности. Хотя, в модели считается, что преследователь движется с постоянной скоростью VP, но ничто не мешает нам изменять значения модуля скорости, как и радиуса кривизны. Допустим, что модуль скорости принимает дискретные значения из ряда VPi, i ∈ [1 : N], а радиус окружности из рисунков 1, 3 принимает значения Rj, j ∈ [1 : M]. Для дальнейших исследований применяется эпюр Радищева [1], где используются координатные плоскости (R, V) и (R, t) (рис. 4). На рис. 4 показано экспериментальное построение временных зависимостей ti, j = F(VPi, Rj). На плоскости (R, t) схематически показаны графики зависимостей времен достижения цели преследователем от радиуса окружности R при фиксированном значении скорости VP. В качестве одного из оптимизирующих факторов [1] на плоскости (R, t) выбирается равенство t = t0, где t0 - требуемое время достижения цели. Далее, на плоскости, для решения нашей задачи, на плоскости (R, V) в качестве второго оптимизирующего фактора выбирается равенство VP = VP0, где VP0 - это постоянная скорость преследователя. Рис. 4. Определение радиуса окружности на эпюре Радищева Fig. 4. Determination of the radius of a circle on the Radishchev plot Хотя, в постановке задачи говорится о том, что модуль скорости преследователя является неизменным, построенный ряд значений скоростей необходим для расчета радиуса окружности R0 на плоскости проекций (R, V). По линиям связи на плоскости проекций (R, V) находятся соответствующие точки пересечения с линиями уровня скоростей VPi (рис. 4). По полученным точкам в тестовой программе выполняется полиномиальная регрессия и, в итоге, получаем функцию зависимости скорости преследователя от радиуса окружности, при которой происходит достижение цели за время t0. Затем ищется точка пересечения функции VP = f(R) (см. рис. 4) c линией уровня VP = VP0. Абсцисса точки пересечения R0 и есть искомый радиус окружности, чтобы достичь цели T преследователем P за время t0 со скоростью VP0. Расчет ведется при условии того, что цель движется равномерно и прямолинейно. Если цель изменяет направление или скорость, то для достижения ее рассчитывается новый радиус окружности составной базовой линии (аналог линии визирования метода параллельного сближения), ставится новое время достижения при прежней скорости преследователя. Низший предел времени достижения цели при ее равномерном и прямолинейном движении будет, когда скорость преследователя направлена в точку K на окружности Аполлония [2-5] (рис. 5). Рис. 5. Окружность Аполлония Fig. 5. Circle of Apollonius Окружностью Аполлония называется геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух заданных точек - величина постоянная, не равная единице. На рис. 5 это можно проиллюстрировать как При рассмотрении множественного преследования группы целей, то в тестовой программе производится предварительный расчет траекторий движения преследователей при заданных начальных параметрах. Из времен достижения целей для расчета одновременного достижения выбирается наибольшее время. И это время выбирается критерием для расчета траекторий остальных преследователей. Этот момент проиллюстрирован на рис. 2, который дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно будет посмотреть на одновременное достижение цели двумя преследователями. На рис. 6 показано, как для одного из преследователей было установлено более короткое время достижения цели. Рис. 6 также дополнен ссылкой на анимированное изображение, где можно посмотреть достижение целей в различное назначенное время. Рис. 6. Достижение целей в различное назначенное время Fig. 6. Achieve goals at different designated times Результаты и выводы На рис. 7 приведены некоторые результаты работы многофакторного анализа в задаче одновременного достижения цели двумя преследователями. Цель движется прямолинейно и равномерно. Для каждого преследователя построили ряд допустимых скоростей. Ряд допустимых значений радиуса окружности варьируется при помощи дискретных переменной dR. На графиках рис. 7 это шкала dR. На плоскости проекций (dR, t) строим однопараметрическую сеть линий. Каждая линия соответствует определенному значению скорости и выражает зависимость времени достижения цели от приращения радиуса окружности. На графике рис. 7 показана однопараметрическая сеть линий скоростей одного из преследователей. Для второго в тестовой программе многофакторного анализа построена аналогичная сеть. Для каждого преследователя выбирается первый оптимизирующий фактор [1], отвечающий за одновременное достижение, t = t0, где t0 - наибольшее из времен достижения цели, если бы преследователи независимо догоняли цель при таких же начальных условиях. На плоскости (dR, t) ищутся точки пересечения с линий уровня t = t0 с линиями скоростей однопараметрической сети. Точки пересечения находятся при помощи встроенных процедур решения уравнений. В системе компьютерной математики MathCAD это может быть процедура root. Найденным точкам пересечения отвечают значения dR и V на плоскости проекций (dR, V). К полученным точкам на плоскости проекций применяется встроенная процедура полиномиальной регрессии и находится характеристическая кривая зависимости скорости от радиуса окружности составной базовой линии, которые приведены на рис. 1. На рис. 7, на плоскости проекций (dR, V) изображена такая же характеристическая линия зависимости скорости и для другого преследователя. Далее, применятся второй оптимизирующий фактор V1 = V2 = V0. В тестовой программе объекты движутся с одинаковыми скоростями. Встроенными средствами компьютерной математики ищутся точки пересечения с линией уровня V = V0. Этим точкам соответствуют значения dR1 и dR2. При запуске итерационного процесса с заданным значением времени достижения цели t0, с заданными модулями скоростей движения V0, с найденными значениями приращений dR1 и dR2 к начальному радиусу окружности достигнуто одновременное достижение цели двумя преследователями. Этот факт продемонстрирован дополнением к рис. 2. В данной статье предложен метод достижения группой преследователей множества целей, в котором может назначаться время достижения. Одновременное достижение целей есть частный результат данного метода. Данный метод является развитием метода параллельного сближения. Если данный метод реализовать в пространстве, то следует добиться того, чтобы векторы преследователя и цели находились в одной плоскости. Если задача преследования происходит в трехмерном пространстве, и мы хотим свести ее к методу параллельного сближения, но скорость преследователя направлена произвольно, то базовую линию прогнозируемых траекторий движения преследователя следует строить в плоскости, образованной линией визирования и скоростью преследователя. Следующий шаг преследователя будет точка пресечения сферы с радиусом равным шагу преследователя и базовой линии, параллельно перенесенной так, чтобы один ее конец совмещался с точкой положения цели. Теперь к вопросу нахождения окружности Аполлония и точки К в трехмерном пространстве. Сама окружность будет находиться в плоскости, образованной линией визирования и скоростью цели. Параметры окружности Аполлония такие как центр окружности (т. Q), радиус окружности r, точка Аполлония (т. A), точка K определяются вектором скорости цели, модулем скорости преследователя, положениями преследователя и цели. Имеется аналитическое решение этой в плоской системе координат, показанной на рис. 5. Центр координат находится в точке положения цели, вектор абсцисс будет единичным вектором вдоль линии визирования, соединяющей положения преследователя и цели, а вектор ординат будет перпендикулярным вектору абсцисс, но в плоскости, образованной линией визирования и вектором скорости цели. Заключение Методы многомерной начертательной геометрии, применяемые в статье, заключались в вариации модулей скоростей и радиусов прилегающих к траекториям преследователей окружностям. Хотя по условиям задачи модули скоростей преследователей являются неизменными. Использование в качестве одного из оптимизирующих факторов фиксированного значения модуля скорости преследователя является основным в данной статье. Если анализировать модули скоростей, радиусы прилегающих к преследователям окружностей и начальные направления движения преследователей, то следует прибегнуть к модели четырехмерного пространства, изложенного в работах Болотова (гиперэпюр Болотова). Результаты исследований, приведенные в данной статье, могут быть востребованы разработчиками барражирующих беспилотных летательных аппаратов, которые выполняют групповые согласованные задачи. Роль оператора наведения может быть сведена к указанию целей и контролю над выполнением задач.

About the authors

Alexander A. Dubanov

Banzarov Buryat State University

Email: alandubanov@mail.ru
Cand. Sci. (Eng.); assotiate professor Ulan-Ude, Russian Federation

References

Supplementary files