Spectral Analysis in Automated Information Systems

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Таможенная деятельность, как одна из ключевых составляющих внешней торговли и обеспечения безопасности государственных границ, требует применения эффективных методов для анализа, проверки и контроля товаров, поступающих или вывозимых через таможенные посты. В последние десятилетия с развитием технологий, включая искусственный интеллект, машинное обучение и обработку данных, традиционные методы контроля товаров и грузов изменяются, а новые подходы, такие как спектральные методы анализа, становятся все более актуальными. В рамках данного исследования рассматривается математическая модель для анализа товарных потоков, используя методы теории управления и обработки сигналов, при помощи преобразования Фурье.

Целью данного исследования являлось моделирование и анализ динамики таможенных процессов с использованием математического аппарата преобразования Фурье, для более точной оценки рисков и контроля за товарными потоками. Для этого применялось преобразование Фурье к функции F (t), которая характеризует временную зависимость изменений в товарных потоках, а затем анализируем ее спектральное представление через F̃ (ω).

Результаты, полученные с помощью обратного преобразования, позволили нам создать комплексную модель, описывающую взаимодействие различных факторов, таких как начальные условия x₀, воздействие внешних факторов F̃^* (ω), реакция системы на внешние воздействия ũ^* (ω), представленные в виде спектральных составляющих. Спектральное представление данных включает преобразование информации из временной или пространственной области в частотную, что и позволяет выявлять скрытые зависимости, структуры и закономерности в данных, которые не видны на первый взгляд. Спектральные методы широко используются в области анализа данных, получаемых с различных источников, таких как базы данных с таможенной статистикой, системы отслеживания грузов, а также в анализе больших данных. За счет спектральных методов можно более точно интерпретировать данные временных рядов, таких как изменения в товарных потоках или таможенных пошлинах, что способствует улучшению процесса планирования и принятия решений в области внешней торговли [11].

Для успешного анализа процессов с использованием методов финитного управления важно детально рассмотреть математическую модель системы. Полученные выражения с помощью преобразования Фурье позволяют описать динамику системы с учетом начальных условий и внешних воздействий, что и дало возможность формализовать задачи контроля и оптимизации управления.

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАССМОТРЕННОЙ ЗАДАЧИ

Для решения поставленной задачи использовали метод спектрального анализа, основанный на преобразовании Фурье, для перехода от временного представления системы к частотному. Основное уравнение, описывающее систему, после применения преобразования Фурье принимает вид:

$x^{\ast }\left(\omega \right)={\left[j\omega E-A\right]}^{-1}\left[b{u}^{\ast }\left(\omega \right)+x_0{e}^{j\omega \sigma }+F^{\ast }\left(\omega \right)\right]$,

где E – единичная матрица;

A – матрица коэффициентов системы;

b – управляющий вектор;

u^* (ω) – преобразованная функция управления;

F^* (ω) – внешние воздействия [9].

Для нахождения решения данного уравнения применяется метод разложения в ряд по собственным значениям матрицы A, что позволяет представить систему в удобной для анализа и управления форме.

При решении поставленной задачи, необходимо остановиться на с начальной постановке проблемы исходя из финитного управления, где в интервале x₁, … , x_n вектора x, коэффициенты a_ij матрицы A, b, управление u и функция F (t) принимают действительные значения, и в дальнейшем можно сделать и более общее предположение, что x₁, … , x_n, a_ij, b_i и F принимают комплексные значения, или можно будет рассматривать, что изображающая точка x находится, не в действительном n-мерном пространстве, а в комплексном n-мерном фазовом пространстве, т.е. каждая координата x_i точки х имеет вид x_i = ξ_i + jη_i.

Впоследствии использование теоремы Винера – Пэли, которая и формулируется в терминах функций, определенных на симметричных относительно начала координат отрезках [–σ, σ], то и исходная система (1) преобразуется путем сдвига по времени так, чтобы все входящие в нее функции были определены также на симметричном отрезке [–T / 2, T / 2] длины T, т.е. положим σ = T / 2.

Рассмотрим преобразованные переменные x^* (t), u^* (t) и F^* (t), которые представляют собой соответствующие сдвинутые во времени версии x (t), u (t) и F (t), то есть

$x*\left(t\right)=x(t+\sigma ); u*\left(t\right)=u(t+\sigma ); F*\left(t\right)=F(t+\sigma )$.

Так как исходные функции x (t), u (t), F (t) были определены на отрезке [0, T], то новые, сдвинутые по времени на σ влево функции x^* (t), u^* (t), F^* (t) будут определены уже на [–σ, σ], где σ = T/2. Все функции x^* (t), u^* (t) и F^* (t) будут рассматриваться нами на отрезке [–σ, σ], и начальные условия в новом сдвинутом уравнении объекта

$x*=Ax*+bu*+F*(–\sigma \le t\le \sigma ]$ (1)

будут задаваться при t = –σ, т.е.

$x*(–\sigma )=x_0$. (2)

Первым шагом для решения этой задачи является применение преобразования Фурье к системе (1), (2).

Преобразование Фурье функции F (t) будет имеет вид:

$\tilde{F}\left(\omega \right)=\underset{–\infty }{\overset{\infty }{\int }}F\left(t\right)e^{-j\omega \sigma }dt$. (3)

Обратное преобразование Фурье определяется формулой

$F\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{–\infty }{\overset{\infty }{\int }}\tilde{F}\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega$. (4)

Применяя к уравнению (1) с начальным условием (2) преобразование Фурье (3), получим

$j\omega \tilde{x}*\left(\omega \right)-x_0{e}^{j\omega \sigma }=A\tilde{x}*\left(\omega \right)+b\tilde{u}*\left(\omega \right)+F*\left(\omega \right)$).

Разрешая это уравнение относительно x̃^*(ω), получим

$\tilde{x}*\left(\omega \right)={[j\omega E – A]}^{–1}[b\tilde{u}*\left(\omega \right)+x_0{e}^{j\omega \sigma }+F*\left(\omega \right)]$, (5)

где E – единичная матрица

$E=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& 1& \mathrm{...}& 0\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 0& 0& \mathrm{...}& 0\end{array}\right)$.

Формулу (5) можно переписать в виде

$x^{\ast }\left(\omega \right)=C\left(\omega \right)\left[\frac{b{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+x_0{e}^{j\omega \sigma }+{\tilde{F}}^{\ast }\left(\omega \right)}{\left[j\omega E-A\right]}\right]=\left[\frac{C\left(\omega \right)b{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+C\left(\omega \right)x_0{e}^{j\omega \sigma }+C\left(\omega \right){\tilde{F}}^{\ast }\left(\omega \right)}{\left[j\omega E-A\right]}\right]$. (6)

где C (ω) = ||c_jk (ω)|| – присоединенная матрица к матрице ||jωE – A||;

|jωE – A| – характеристический определитель полином n-й степени системы (1).

Каждый элемент c_jk (ω) матрицы C (ω) является многочленом конечной степени от ω.

По определению функций x^* (t), u^* (t) и F^* (t) преобразования Фурье этих функций x̃^* (ω), ũ^* (ω), F̃^* (ω) соответственно связаны с преобразованиями Фурье x̃ (ω), ũ (ω), F̃ (ω) исходных функций x (t), u (t) и F (t) соотношениями:

$$\begin{gathered} \tilde{x}\left(\omega \right)=\tilde{x}*\left(\omega \right)e^{–j\omega \sigma }; \\ \tilde{u}\left(\omega \right)=\tilde{u}*\left(\omega \right)e^{–j\omega \sigma }; \\ \tilde{F}\left(\omega \right)= \tilde{F}*\left(\omega \right)e^{–j\omega \sigma }, \end{gathered}$$

где σ = T / 2.

Функция f̃ (ω) и функция f (t) обратное преобразование Фурье функции f̃ (ω) будет финитной функцией, сосредоточенной на конечном отрезке [–σ, σ] (0 < σ < ∞) и равной нулю вне отрезка [–σ, σ]. Если же ограничиться случаем, когда искомая функция f (t) может быть интегрируема с квадратом, чтобы функция f̃ (ω), определенная как действительная ω (–∞ < ω < ∞), в дальнейшем была интегрируема с квадратом, т.e. получаем

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|\tilde{f}\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega <\infty$

на всю комплексную плоскость с действительной осью ω как целая функция конечной степени σ.

Функция f̃ (z), где и меняется z во всей комплексной плоскости z = ω + jη, будет целой функцией, комплексной переменной z степени не выше σ.

$\tilde{f}\left(z\right)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\mathrm{...}+a_n{z}^n+\mathrm{...}=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{z}^n$. (7)

Следовательно, f̃ (z) не имеет особенностей полюсов ни в какой ограниченной части плоскости z. Целую функцию f̃ (z) называют функцией конечной степени, если для всех z, по модулю больших некоторого достаточно большого положительного числа M (|z| > M), выполняется условие:

$\left|\tilde{f}\left(z\right)\right|<e^{\alpha \left|z\right|}$, (8),

где α – некоторое постоянное число, не зависящее от z.

Нижняя грань чисел α, для которых выполняется условие (8), и будет называется степенью целой функции f̃ (z). Степень σ целой функции f̃ (z), определяемой рядом (7), вычисляется по формуле

$\sigma =\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n\left|a_n\right|}$. (9)

Целые функции степени σ могут служить следующие функции: e^σz, e^–σz, sin σz, cos σz, (sin (σz)) / z и т.д. Полином n-й степени

$P_n\left(z\right)=\sum _{k=1}^n{b}_n{z}^n$

является целой функцией нулевой степени.

Если же f̃ (z) – некоторая функция степени σ, а P_n (z) и Q_n (z) – некоторые полиномы произвольных степеней n и m соответственно, то функция P_n (z) f̃ (z) + Q_m (z) также имеет степень, равную σ. Предположим, что если дано несколько функций f̃₁ (z), … , f̃_n (z), каждая из которых имеет соответственно степень σ₁, σ₂, … , σ_n, то степень σ суммы этих функций f̃₁ (z) + … + f̃_n (z) равна максимальному числу из чисел σ₁, σ₂, … , σ_n, т.е. σ = max (σ₁, σ₂, … , σ_n).

Степень σ произведения этих функций, т.е. степень f̃₁ (z), f̃₂ (z), … , f̃_n (z) не превосходит суммы степеней σ₁, σ₂, … , σ_n, т.е. σ ≤ σ₁ + σ₂ + … + σ_n.

Задача нашего финитного управления сводится к тому, чтобы найти данную функцию ũ^* (ω), при которой x̃^* (ω), связанная с ũ^* (ω) по формуле (6), которая и будет целой функцией степени σ = T / 2.

Пусть z₁, z₂, … , z_n – простые корни характеристического полинома |jzE – A|. Тогда, для того чтобы x̃^*(ω) в формуле (6) была целой функцией, необходимо и достаточно, чтобы числитель дроби также обращался в нуль в точках ω = z₁, z₂, … , z_n.

Будет выполнятся равенство

$C\left(z_i\right)b\tilde{u}*\left(z_i\right)+C\left(z_i\right)x_0{e}^{jzi\sigma }+C\left(z_i\right)F*\left(z_i\right)=0 (i=1, 2, \dots , n)$. (10)

Отсюда сразу находим, что для искомой функции ũ (ω) должны выполняться следующие условия:

${\tilde{u}}^{\ast }\left(z_i\right)=\frac{C\left(z_i\right)x_0{e}^{j{z}_i\sigma }+C\left(z_i\right){\tilde{F}}^{\ast }\left(z_i\right)}{C\left(z_i\right)b}={\beta }_i \left(i=\mathrm{1,2,} \dots , n\right)$. (11)

Искомая функция ũ^* (ω) должна в заданных точках z₁, z₂, … , z_n принимать заданные значения β₁, β₂, … , β_n, определяемые формулой (11), т.е. ũ^* (ω) должна давать решение следующей интерполяционной задаче: найти такую целую функцию степени σ = T / 2, интегрируемую с квадратом на действительной оси, решающую следующую интерполяционную задачу:

$\tilde{u}*\left(z_i\right)={\beta }_i (i=1, 2, \dots , n)$. (12)

Так как в правой части равенства (11) фактически написано отношение векторов C (z_i) xe^jziσ + C (z_i) F̃ (z_i) и C (z_i) b, то оно имеет смысл при условии, что эти векторы коллинеарны и C (z_i) b ≠ 0 (это условие будет приведено ниже). Если функция ũ^* (ω) будет найдена, то x̃^* (ω) по формуле (6) также будет целой функцией степени не выше σ = T / 2, и, следовательно, по теореме Винера – Пэли x^* (t) будет искомой финитной функцией на отрезке [–σ, σ]. Действительно, выполнение равенств (11), (12) обеспечивает то, что x̃^* (z) будет целой функцией. Далее, степень функции x̃^* (ω) равна степени числителя дроби (6). Но степень каждого слагаемого в числителе дроби (6) не превосходит σ = T / 2. Степень C(ω) в ũ^* (ω) равна σ = T / 2, так как степень ũ^* (ω) будет равна σ = T / 2 по условию, а умножение ũ^* (ω) на полином конечного порядка оставляет степень произведения без изменения. Аналогично, так как F̃^*(ω) должна иметь степень о так как F^* (t) – по условию финитная функция на [–σ, σ], то C (ω) F̃^*(ω) также имеет степень σ = T / 2 и C (z_i) x₀e^jωτ имеет степень, равную σ. Следовательно, по свойству степени суммы функций степень x̃^* (ω) не более σ = T / 2; так же легко видеть, что функции x̃_i^* (ω) (i = 1, 2, … , n) интегрируемы в квадрате на всей действительной оси.

Для решения интерполяционной задачи (12) воспользуемся интерполяционной формулой Лагранжа. Пусть φ (z) есть целая функция степени σ = T / 2, обращающаяся в нуль в узлах интерполяции, т.е. во всех точках z₁, z₂, … , z_n,

$\phi \left(z_i\right)=0\left(i=1, 2, \dots , n\right)$. (13)

Причем

$\phi \text{'}\left(z_i\right)\ne 0 (i=1, 2, \dots , n)$. (14)

Тогда искомая целая функция ũ^* (ω) равна

${\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)=\sum _{i=1}^n\frac{{\beta }_i\phi \left(\omega \right)}{{\phi }^{\text{'}}\left(z_i\right)\left(\omega -z_i\right)}+\gamma \left(\omega \right)\phi \left(\omega \right)$, (15)

где γ (ω) – произвольная целая функция нулевой степени наиболее яркий пример, произвольный полином произвольного конечного порядка.

Если функций φ (z), фигурирующих в формуле (15), бесконечное множество, следовательно, формула (15) описывает все множество искомых функций ũ^* (ω), обратное преобразование Фурье которых решает задачу финитного управления [10].

Для определения искомого финитного управления ũ^* (t) остается только выполнить обратное преобразование Фурье функции ũ^* (ω) по формуле

${\tilde{u}}^{\ast }\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{–\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega$. (16)

Для определения исходного финитного управления u (t) (0 ≤ t ≤ T) в системе (1) тогда:

$u*\left(t\right)=u*(t-\sigma )(0\le t\le T, \sigma =T/2)$. (17)

Действительно, так как ũ^* (ω) = ũ^* (ω) e^–jωσ, то

$u\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{–\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega \left(0\le t\le T=2\sigma \right)$. (18)

Для определения какого-либо конкретного финитного управления ũ^* (t) нужно задать конкретную функцию φ(ω),

$\phi \left(\omega \right)=\prod _{i=1}^n\sin \frac{T}{2n}\left(\omega -z_i\right)$,

которая является целой функцией степени T / 2, удовлетворяющей условиям (13), (14).

Формула (18) дает решение задачи финитного управления для системы (1) с комплексными коэффициентами в комплексном фазовом пространстве. Вернемся к исходной системе (1), которая предполагалась определенной в действительном фазовом пространстве, и которая имеет действительные коэффициенты A, b и функцию F. Формула (18) дает, комплексное значное управление u = v + jw, то соответствующий ему вектор х также комплексное число: x = ξ + jp, причем, так как система предполагается теперь определенной в действительном фазовом пространстве, то начальное условие также задается действительным вектором x₀.

$x\left(0\right)=\xi \left(0\right)=x_0; \rho \left(0\right)=0$.

Исходная система (1) представится в виде:

$\xi +jp=A\xi +jA\rho +bv+jbw+F$.

Так как u = v + jw есть по условию финитное управление, определяемое формулой (18), то

$\xi \left(T\right)=0; \rho \left(T\right)=0$. (19)

Разделяя действительную и мнимую части, получим

$\xi =A\xi +bv+F; \xi \left(0\right)=x_0$. (20)

Система с точностью до обозначений (ξ вместо х и v вместо u) совпадает с исходной системой (1). Так как выполняется условие (9), то v (t) является финитным управлением для исходной системы. Искомое финитное управление для системы (1) определяется формулой

$u\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }\mathrm{Re}\underset{–\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega \left(0\le t\le T=2\sigma \right)$. (21)

На основании условий (11) можно сразу же сформулировать критерий, дающий необходимые и достаточные условия разрешимости задачи финитного управления, как видно из предыдущего, если числа β_i (i = 1, 2, … , n). являются конечными, то по формуле Лагранжа (15) можно построить преобразование Фурье ũ^* (ω) искомого финитного управления u (t) и тем самым решить задачу управляемости исходной системы.

Интерполяционная задача (12) не будет иметь решения в классе целых функций ũ^* (ω) только в том случае, если хотя бы одно из значений β_i (i = 1, 2, … , n) не существует, т. е. принимает бесконечное значение функция ũ^* (ω) имеет полюс в конечной части плоскости и, следовательно, не может быть целой аналитической функцией.

Но необходимым и достаточным условием конечности чисел β_i (i = 1, 2, … , n) является неравенство нулю знаменателя дроби (11).

$C\left(z_i\right)b\ne 0 (i=1, 2, \dots , n)$. (22)

При этом можно показать, что векторы C (z_i) [x₀e^jziσ + F̃^* (z_i)] и C (z_i) b коллинеарны и отношение этих векторов имеет смысл и равно β̃_i = ũ^* (z_i) (i = 1, 2, … , n). Пользуясь свойствами присоединенной матрицы, можно показать, что условия (22) и условие коллинеарности эквивалентны условию линейной независимости системы векторов b, Ab, A²b, … , A^{n – 1}b. Что и является условием управляемости для прикладной исходной системы.

Применение преобразования Фурье позволило нам получить спектральное представление решения задачи и сформулировать условия, при которых функция управления ũ^* (ω) остается целой и интегрируемой в квадрате. Что и создаст основу для дальнейшего изучения оптимальных методов управления, учитывающих временные ограничения и структуру исходных данных.

2. СПЕКТРАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОПТИМИЗАЦИИ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотренная выше постановка задачи привела нас к необходимости поиска такой функции управления, которая минимизирует ошибки на конечном интервале времени, обеспечивая при этом устойчивость системы. Для этого необходимо более детально изучить свойства функций ũ^* (ω) и x̃^* (ω), а также условия их интегрируемости

$x=-u; x\left(0\right)=x_0; x\left(T\right)=0$,

Применяя к этой системе преобразование Фурье с учетом начального условия, получим

${\tilde{x}}^{\ast }\left(\omega \right)=\frac{-{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+x_0{e}^{j\omega \sigma }}{j\omega }; \sigma =\frac{T}{2}$.

После этого задача сводится к определению такой целой функции ũ^* (ω), которая была бы интегрируемой в квадрате на оси ω в интервале [–∞, ∞] и имела конечную степень T при этом x̃^* (ω) также должна быть целой функцией той же степени Т. Как видно из выражения для x̃^*(ω), для этого необходимо, чтобы выполнялось условие

$\tilde{u}*\left(0\right)=x_0$,

так как здесь характеристическое уравнение jω = 0 имеет единственный корень ω₁ = 0, и β₁ = +x₀. В соответствии с формулой (15) в качестве функции φ (z) можно взять

$\phi \left(z\right)=\sin \frac{T}{2}z$.

При этом имеем φ (0) = 0 и

$\phi \text{'}\left(0\right)=\frac{T}{2}\cos {\left.z\right|}_{\omega =0}=\frac{T}{2}\ne 0$.

Поэтому по формуле (15) имеем:

${\tilde{u}}^{\ast }\left(z\right)=\frac{x_0\left(1-e^{-j\omega T}\right)}{j\omega T}=\frac{x_0\sin \left(T/2\right)z}{\left(T/2\right)z}$.

Вычисляя обратное преобразование Фурье:

$u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x_0}{T} при 0\le t\le T;\\ 0 при t<0 и t>0.\end{array}\right.$

Пусть теперь исходная управляемая система описывается системой уравнений

$x_1=u; x_2=-x_2+u$

с граничными условиями

$x_1\left(0\right)=x_{01}; x_2\left(0\right)=x_{02}; x_1\left(T\right)=x_2\left(T\right)=0$.

Производя сдвиг по времени влево на величину σ = T / 2 и обозначая x (t + σ) = x^* (t), u (t + σ) = u^* (t), получаем систему

$x_1^{*}=u*; x_2^{*}=–x_2^{*}+u*$

с граничными условиями

 

$x_1^{*}(–\sigma )=x_{01}; x_2^{*}(–\sigma )=x_{02}; x_1^{*}\left(\sigma \right)=x_2^{*}\left(\sigma \right)=0; 2\sigma =T$.

Применяя к этой системе преобразование Фурье с учетом начальных условий, получаем:

${\tilde{x}}_1^{\ast }\left(\omega \right)=\frac{{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+x_{01}{e}^{j\omega \sigma }}{j\omega }$; (23)

${\tilde{x}}_2^{\ast }\left(\omega \right)=\frac{{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+x_{02}{e}^{j\omega \sigma }}{j\omega +1}$. (24)

Корни характеристического уравнения данной системы равны z₁ = 0 и z₂ = j. Чтобы x̃₁^* (ω) и x̃₂^* (ω) были целыми функциями, числитель дроби (23) должен обратиться в нуль при ω = z₁ = 0, а числитель дроби (24) должен обратиться в нуль при ω = z₂ = j. В результате получаем следующие интерполяционные условия:

$\tilde{u}*\left(0\right)=–x_{01}; \tilde{u}*\left(j\right)=x_{02}{e}^{–\sigma }$.

Искомое ũ^* (ω) найдем по формуле Лагранжа (15), где в качестве φ(ω) возьмем целую функцию степени σ вида

$\phi \left(\omega \right)=\sin \frac{\sigma }{2}\omega \cdot \sin \frac{\sigma }{2}\left(\omega -j\right)$.

Функцию γ (ω) положим равной нулю тождественно. Тогда

$$\begin{gathered} \phi \text{'}\left(\omega \right)=\frac{1}{2}\sigma \cos \frac{\sigma }{2}\omega \sin \frac{\sigma }{2}\left(\omega -j\right)+\frac{1}{2}\sigma \sin \frac{1}{2}\sigma \omega \cos \frac{\sigma }{2}\left(\omega -j\right); \\ \phi \text{'}\left(0\right)=-\frac{1}{2}\sigma \sin j\frac{\sigma }{2}; \phi \text{'}\left(j\right)=\frac{\sigma }{2}\sin j\frac{\sigma }{2}. \end{gathered}$$

По формуле Лагранжа (12) находим, что

${\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)=2\left[\frac{+x_{01}}{\sigma \sin j\frac{\sigma }{2}}\frac{1}{\omega }-\frac{x_{02}{e}^{-\sigma }}{\sigma \sin j\frac{\sigma }{2}}\frac{1}{\omega -j}\right]\times \sin \left(\frac{\sigma }{2}\right)\omega \sin \frac{\sigma }{2}\left(\omega -j\right)$.

Выполнив обратное преобразование Фурье, получим

$u^{\ast }\left(t\right)=\left\{\begin{array}{l}-a_0-b_0{e}^{-t-\sigma } при –\sigma \le t\le 0;\\ a_0{e}^{-\sigma }+b_0{e}^{-t} при 0\le t\le \sigma ,\end{array}\right.$

где

$a_0=\frac{x_{01}}{\left(1-e^{-\sigma }\right)\sigma }; b_0=\frac{x_{02}}{\left(1-e^{-\sigma }\right)\sigma }; \sigma =\frac{T}{2}$.

Обратное преобразование Фурье функции ũ^* (ω) оказалось действительной функцией u^* (t), то операция выделения действительной части отпадает. Искомое финитное управление для исходной системы определяется формулой

$u\left(t\right)=u^{\ast }\left(t-\sigma \right)=\left\{\begin{array}{l}-a_0-b_0{e}^{-t} при 0\le t\le \sigma ;\\ a_0{e}^{-\sigma }+b_0{e}^{-i+\sigma } при \sigma \le t\le 2\sigma =T.\end{array}\right.$

Можно заметить, что функция ũ^* (ω) интегрируема в квадрате, т.е. сходится интеграл

$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|\tilde{u}\left(\omega \right)\right|}^{2}d\omega$.

Случай кратных корней в характеристическом полиноме исходной системы ничем принципиально не отличается от рассмотренного случая простых корней. В подобном случае несколько видоизменяется формула Лагранжа для искомой функции ũ^* (ω).

Пусть корень z_k полинома |jωE – A| имеет соответственно кратность α_k (k = 1, 2, … , s), причем, естественно,

$\sum _{k=1}^s{\alpha }_k=n$.

В этом случае формула (15) непосредственно неприменима, ибо φʹ(z_k) = 0, если z_k – кратный корень. В этом случае не только числитель дроби (11) должен обратиться в нуль при ω = z_k, но и в той же точке должны обратиться в нуль α_k – 1 производных числителя, т.е.

$\frac{d^m}{d{\omega }^m}{\left[C\left(\omega \right)b{\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)+C\left(\omega \right)x_0{e}^{j\omega \sigma }+C\left(\omega \right){\tilde{F}}^{\ast }\left(\omega \right)\right]}_{\omega =z_k}=0 \left(k=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \dots , s; m=\mathrm{0,} \mathrm{1,} \dots , {\alpha }_k-1\right)$.

В этом случае интерполяционная проблема (12) видоизменяется. Здесь уже нужно, чтобы не только значения искомой функции ũ^*(ω) были равны заданным в узлах интерполяции, но также и некоторые производные этой функции в этих же точках принимали заданные значения. Легко получить, что проблема интерполяции в случае кратных корней выражается равенствами

${\tilde{u}}^{\ast \left(m\right)}\left(z_k\right)=-\frac{d^m}{d{\omega }^m}{\left[\frac{C\left(\omega \right)x_0{e}^{j\omega \sigma }+C\left(\omega \right){\tilde{F}}^{\ast }\left(\omega \right)}{C\left(\omega \right)b}\right]}_{\omega =z_k}={\beta }_k^m \left(m=0, 1, \dots , {\alpha }_k-1; k=1, 2, \dots , s\right)$. (26)

Обобщенная формула Лагранжа, дающая решение этой задачи интерполирования, будет иметь вид:

${\tilde{u}}^{\ast }\left(\omega \right)=\sum _{k=1}^s\frac{\phi \left(\omega \right)}{{\left(\omega -z_k\right)}^{\alpha k}}\sum _{m=1}^{{\alpha }_k-1}\frac{{\beta }_k^m{\left(\omega -z_k\right)}^m}{m}\times {\left[\frac{{\left(\omega -z_k\right)}^{{\alpha }_k}}{\phi \left(\omega \right)}\right]}_{\omega =z_k}^{\left({\alpha }_k-m-1\right)}+\gamma \left(\omega \right)\phi \left(\omega \right)$. (27)

где функция φ (z) является целой функцией степени (1 / 2) T:

${\phi }^{\left(m\right)}\left(z_k\right)=0\left(m=0, 1, 2, \dots , {\alpha }_k-1; k=1, 2, \dots , s\right)$.

После этого для определения искомого финитного управления u (t) используются те же формулы (16)–(18) и (21). Для подтверждения эффективности предложенного метода финитного управления необходимо провести анализ его спектральных характеристик. Введенные выше уравнения позволяют определить поведение управления u (t) во временной области, а также исследовать его частотные свойства с помощью преобразования Фурье.

Рассматриваемая задача предполагает получение такой управляющей функции, которая удовлетворяет условиям интерполирования рис. 1, имеет конечную степень T и остается интегрируемой в квадрате на всей оси ω. Для этого был проведен спектральный анализ, включающий вычисление амплитудного спектра и восстановление сигнала по обратному преобразованию Фурье.

 

Рис. 1. Графики преобразования Фурье и влияния метода финитного управления на динамику системы: a – исходное управление u (t); b – амплитудный спектр u (ω); b – восстановленный сигнал u_rec (t); b – ошибка восстановления u (t) – u_rec (t)

Fig. 1. Graphs of the Fourier transform and the influence of the finite control method on the system dynamics: a – original control u (t); b – amplitude spectrum u (ω); c – reconstructed signal u_rec (t); d – recovery error u(t) – u_rec (t)

 

Анализ графиков подтверждает, что предложенный метод финитного управления обеспечивает корректное управление системой. Спектральные характеристики позволяют адаптировать параметры управления в зависимости от поставленных задач, а малая ошибка восстановления демонстрирует высокую точность представленного подхода.

ВЫВОДЫ

В ходе проведенного исследования нами была рассмотрена задача оптимального финитного управления с применением методов спектрального анализа, основанная на преобразовании Фурье. Основной целью работы являлась разработка алгоритма нахождения функции управления u (t), обеспечивающей заданное поведение системы при конечных временных ограничениях. Было доказано, что применение преобразования Фурье позволяет перейти от временного представления системы к частотному, что существенно упрощает анализ и нахождение оптимального управления. Важным этапом работы стало использование обобщенной формулы Лагранжа для интерполирования функции управления. В результате проведенного анализа удалось доказать, что искомое управление u (t) может быть найдено с использованием специальных функций, таких как φ(z), обладающих свойством целости степени (1 / 2) T.

Практическая значимость, на основе преобразований Фурье и методов интерполяции позволяет значительно повысить эффективность управления сложными динамическими системами, обеспечивая при этом их устойчивость и оптимальное функционирование в заданных временных рамках для автоматизированного контроля в таможенной службе, прогнозирования и оптимизации логистических потоков и управления технологическими процессами в реальном времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проведенного исследования были рассмотрены теоретические и практические аспекты спектрального анализа в автоматизированных информационных системах. Основное внимание было уделено применению методов преобразования Фурье и его значение для обработки и управления динамическими процессами. Полученные в ходе расчетов формулы позволили сформировать представление о закономерностях распределения частотных характеристик в рассматриваемых системах и их влияние на конечные параметры управления.

Использование спектрального анализа позволяет не только выявлять скрытые закономерности в сигналах, но и оптимизировать алгоритмы управления, обеспечивая их точность и устойчивость. Представленные математические методы позволяют формализовать процесс управления, делая его предсказуемым и более устойчивым к внешним воздействиям.

В результате проведенных расчетов были получены графические зависимости, демонстрирующие, как изменяются характеристики сигнала при различных параметрах управления. Анализ данных подтвердил соответствие предложенной методики поставленным задачам и показал, что использование частотных методов позволяет минимизировать ошибки управления, делая его более эффективным.

Применение подобного подхода в таможенном деле открывает новые возможности для автоматизированных систем контроля и анализа. Спектральный анализ может использоваться для обработки больших объемов данных, оптимизации процессов идентификации и управления информационными потоками. В условиях высокой нагрузки на таможенные службы и необходимости оперативной обработки поступающей информации автоматизированные методы анализа приобретают особую практическую значимость.

About the authors

Anatoly S. Starostin

Russian Customs Academy

Email: as.starostin@customs-academy.ru
SPIN-code: 3159-2912

Cand. Sci. (Eng.), Associate Professor, Acting Head of the Department of Applied Informatics

Russian Federation, Lyubertsy

Victor S. Artemyev

Plekhanov Russian University of Economics

Author for correspondence.
Email: Artemev.VS@rea.ru
ORCID iD: 0000-0002-0860-6328
SPIN-code: 8912-5825
Scopus Author ID: 58002154300

Senior Lecturer of the Department of Informatics

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files