The optimization of strategies for the operation of technical systems with the performance of emergency and preventive restorations

Full Text

Постановка задачи: обосновать выбор оптимальной по этим критериям стратегии из стратегий Ca и C0, а также найти оптимальное время проведения профилактических восстановлений. Пусть Fa (t) и Fp (t) - функции распределений наработок до отказа после каждого аварийного и профилактического восстановления соответственно. В начальный момент времени наработка элемента до отказа имеет распределение Fa (t). Время восстановления не учитывается. На рис. 1 представлен пример реализации такого процесса восстановления, где т, Xj, X1 + т, X1 + 2т, X2,X3... - моменты восстановлений системы, ^,£2, Е,3... - случайные времена между двумя последовательными аварийными восстановлениями. Пусть R (т) - интенсивность затрат на восстановления, ca и cp - средние затраты на аварийное и профилактическое восстановление соответственно. Получим аналитическое представление R (т). I Пр 1Ав 1Ае Ç] Рис. 1. Процесс восстановления с профилактиками Одной из возможностей обеспечения необходимых показателей надежности и эффективности работы технических систем является выбор оптимальной стратегии эксплуатации. В стратегиях эксплуатации будем рассматривать два типа восстановлений: аварийные, когда система восстанавливается после каждого случайного отказа, и профилактические, когда система восстанавливается в определенные моменты времени (не совпадающие с моментами отказов). Рассмотрим две стратегии эксплуатации: стратегия Ca - проводятся только аварийные восстановления, а стратегия C0 (стратегия строго периодических восстановлений) - в случае отказа системы проводится аварийное восстановление, если же система проработала без отказа заданный интервал времени т, то проводится профилактическое восстановление. В качестве критериев оптимальности стратегий будем рассматривать минимум интенсивности затрат на восстановления (средние затраты на восстановления в единицу времени) или максимум коэффициента готовности (вероятность того, что система работает в произвольно взятый момент времени). ІПр ІАб 1Пр 21 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 Время функционирования системы разобьем на стохастически эквивалентные относительно длины и затрат циклы (ci, (), i = 1, 2, 3... , где ci - эксплуатационные затраты в i-м цикле, имеющем длину ( . Если (C, (т) - случайная пара с таким же распределением, как и пары (ci, ( ), то интенсивность затрат для рассматриваемой стратегии имеет вид [1] E (C ) Распределение случайной величины C Л(т) = E (( Г (1) где E (X) - математическое ожидание случайной величины X . Распределение случайной величины C приведено в таблице, где c - возможные значения величины C , p - соответствующие вероятности, F (т) = 1 - F (т). c p ca Fa (т) ca + cp Fa (т) Fp (т) Ca + 2cp Fa (т) Fp (т) Fp (т) ca + 3cp Fa (т)(Fp(т))2 Fp (!) ca + ncp F (т)(F (т))П-1 Fp (т) Отсюда = ca E (C) = Tfnpn = caFa (т) + (ca + cp ) ■Fa (т) Fp (т) + n=1 (ca + 2cp )Fa (т) Fp (т) Fp (т) + • • • + (ca + ncp )Fa (т)(Fp ' Fp (т) + " • = Fa (т) + Fa (т) Fp (т) + Fa (т) Fp (т) Fp (т)+ ^ + Fa (т)( ^ 1 Fp (т) + • +cpFa (т)Fp (т) 1 + 2Fp (т) + 3 (Fp (т))2 +- + n (Fp (т))П 1 + • ад ! ад F (т)+ F (т) Fp (x)X(Fp (x))" + cp-a (т) Fp (x)Xn ( (т)) n=1 n=1 г / ч -/ ч / ч / чП cpFa (т)Fp (т) caFp (т) + cpF (т) = ca [ F (т)+ F (т) Fp (т)/ Fp (т)] + * _/,У = ° ^ ( 1 ^ ' . (1 - Fp (т)) Fp KV ад ад При выводе использованы формулы ^qn-1 = 1/ (1 - q), ^nqn-1 = 1/ (1 - q) при |q| < 1. Далее [2] : n=1 n=1 F^x (t) = P ((< t) = 1 - Fa (т), 0 < t <т, F^l(t) = P ((T< t) = 1 - P ((> t) = 1 - Fa (т) Fa (t-т), <2т, Fçr(t) = P ((T< t) = 1 - P ((T> t) = 1 - Fa (т) F (т) Fp (т-2т), 2т< t < 3т, (1) F, (t) = P ((т < t) = 1 - Fa (т) (Fp (т))П 1 Fp (t - Пт) , Пт < t < (n + 1) т (п+1)т E ((т) = J F(т(t )dt = J Fa (t )dt +SFa (т) (Fp (т))П J Fp (t - Пт) = 0 0 n=1 ni т_ _ т_ ад _ fp(dJ^(t)dt+f(!)Jfp(t)dt = JFa Odt + Fa (т) JFp (Od'E(Fp (т))n =-°" n=1 Fp (т) (2) 22 Математика, механика, информатика Из (1) получаем выражение функции интенсивности затрат: R (т) =-еЛ (т) + СЛ (т.)_-. (3) Fp WJ0Fa (t)dt + F WJ0F (t)dt Если Fa (t) = Fp (t) = F (t), формула (3) совпадает с известной формулой для интенсивности затрат стратегии строго периодических восстановлений [1; 3]: R (т) = caF (т)+ cpF (т) J 0F (t )* Рассмотрим поведение функции R (т) при т - 0 и т -ад . Так как Fp (0) = 0, Fa (0) = 1 и знаменатель дроби в (3) стремится к нулю при т -- 0, то Um R (т)=ад. (4) К (т) = E (Y)+ E ((т) или где Rj (т) совпадает с функцией интенсивности затрат, если в ней ca и cp заменить на da и dp соответственно. Из (6) следует, что максимум коэффициента готовности достигается в точке минимума функции R1 (т). Рассмотрим случай, когда наработки после аварийных и профилактических восстановлений распределены по экспоненциальным законам: Fa (t)=1 - e-at, Fp (t)=1 - e-pt, a, p > 0. В этом случае JF (t )dt = aFa ()), J Fp (t )dt = p-Fp ()), 0 a 0 P Fp (т) = pFp ()), Fa (т)= aFa (^ Fa (т) = -aFa (^ Fp (т) + cFa (т) т-0 Учитывая, что JFa (t) dt = , JFp (t) dt = цp, где 0 0 и цp - средние наработки системы до отказа после аварийных и профилактических восстановлений соответственно, получаем limR (т)= са /. (5) т-ад с Полученное значение Ra = - равно интенсивноМ a сти затрат стратегии Са только аварийных восстановлений (профилактические восстановления не проводятся). Рассмотрим стратегию восстановления С0, в которой на аварийное восстановление требуется время da , а на профилактическое восстановление - dp соответственно. Сопоставив каждому интервалу (i (случайное время между двумя последовательными аварийными восстановлениями) случайную величину yi суммарное время, потраченное за этот период на восстановления системы, получим так называемый альтернирующий процесс восстановления ((, yi ). Распределения компонент этих пар совпадают с распределениями пары ((тY), где функция распределения случайной величины приведена в (2), а распределение случайной величины Y) совпадает с распределением случайной величины C (см. таблицу), если в последнем ca и cp заменить на da и dp соответственно. Из формулы коэффициента готовности [1] для альтернирующего процесса восстановления имеем E ((т) RO = apca p R '(т) = apct Fp (^(a () + aFa (т)) _Fa (т) У(т) (Fp (т)) )pFa 0 + aFa (т)) где K (т) = E (Y^/E ((т) +1 R1 (т)+Ґ (6) y (т) =-capFp (т) + (a2 -ap)Fp (т) - -cp2 Fp ())Fa (т)- acpFp (т) Fa ()), c = cp/ca. Заметим, что знак производной R' (т) при т> 0 совпадает со знаком y (т). Имеем lim y (т) =-acp < 0, т-0 lim y (т) = (-cp + a - p) a. т-ад Пусть выполнено неравенство -cp + a - p > 0, или равносильное ему неравенство k <-+-, (7) 1 + c где k = p/a . Тогда y (т) и вместе с ней R ’(т) больше нуля, начиная с некоторого т0 > 0. Принимая во внимание равенство (5), заключаем, что прямая с уравнением Ra = са1 м a является горизонтальной асимптотой графика функции и R (т)< са/при т^о. Из (4) и вышесказанного следует, что существует значение т* 0 <т* <т0, при котором функция R (т) принимает наименьшее значение, причем R (т *)< Ra. Таким образом, при выполнении неравенства (7) для стратегии C0 имеется оптимальное время проведения профилактик, при котором интенсивность затрат меньше интенсивности затрат стратегии Ca только аварийных восстановлений. Из равенства (6) следует, что при выполнении неравенства к <А, (8) 1 + d аналогичного неравенству (7), где d = dpjda при значении т*, дающего минимум функции R1 (т), достигается максимум функции К (т) - коэффициента готовности. 23 Вестник СибГАУ. № 2(54). 2014 При Fa (t) = Fp (t) (к =1) ^(т)< 0 на промежутке (0, ад ), функция R (т) монотонно убывает и R (т) > Ra. Следовательно, в этом случае профилактики проводить нецелесообразно, оптимальна стратегия только аварийных восстановлений. Отметим, что на рис. 2 и 3 приведены графики функции R (т) при выполнении неравенства (7) (к = 0,4, c = 0,3) и при его невыполнении (к = 2, c = 0,3). В первом случае оптимальна стратегия с проведением профилактических восстановлений при т = 0,489. Кроме того, на рис. 4 и 5 приведены графики функции К (т) при выполнении неравенства (8) (к = 0,2, d = 0,3, т = 0,225) и при его невыполнении (к = 2, d = 0,3). Рис. 2. График функции интенсивности затрат при к = 0,4, c = 0,3 Рис. 4. График коэффициента готовности при к = 0,2, d = 0,3 Рис. 3. График функции интенсивности затрат при к = 2, c = 0,3 Рис. 5. График коэффициента готовности при к = 2, d = 0,3 Выводы, которые следует сделать на основании изложенного, следующие. В реальных условиях эксплуатации Fa (t) Ф Fp (t), и потому для выбора оптимальной стратегии восстановления, наряду с другими стратегиями, следует рассматривать введенную в работе стратегию C0 . Полученное соотношение между стоимостями восстановлений и средними наработками до отказа (7) дает возможность выбора оптимальной стратегии из стратегий C0 и Ca .

About the authors

Isaak Iosifovich Vainshtein

Siberian Federal University

Email: isvain@mail.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, professor of Applied Mathematics and Computer Security Department, Institute of Space and Information Technology

Galina Efimovna Mihalchenko

Siberian Federal University

Email: mihal4enko.galina@yandex.ru
Candidate of Phisical and Mathematical Sciences, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Computer Security, Institute of Space and Information Technology

Yuliya Vladimirovna Vainshtein

Siberian Federal University

Email: Julia_ww@mail.ru
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of Applied Mathematics and Computer Security Department, Institute of Space and Information Technology

Konstantin Vladimirovich Safonov

Siberian State Aerospace University named after academician M.F. Reshetnev

Email: kvsafonov@rambler.ru
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Applied Mathematics

References

Supplementary files