LOCAL DERIVATIONS AND LOCAL AUTOMORPHISMS OF NILPOTENT ALGEBRAS OF MATRICES OF SMALL ORDERS

Abstract

Let K be associative and commutative ring with identity. In the article we study local derivations and local automorphisms of algebra R of lower niltriangular n×n matrices over K and associated with R of Lie algebra. Their descriptions are completed under n = 3 and when K is a field, under n = 4.

Full Text

Локальным дифференцированием алгебры A над ассоциативно-коммутативным кольцом K с единицей называют эндоморфизм K-модуля A, действующий на каждый элемент а из A как дифференцирование алгебры, вообще говоря зависящее от выбора а. Тривиальное локальное дифференцирование дает всякое ее дифференцирование 5 алгебры, т. е. эндоморфизм K-модуля A с условием 8(аР) = 8(а)Р + а8(Р) (а, р є A). Аналогично определяют локальные автоморфизмы [1; 2]. В 2000 г. R. Crist [3] указал пример нетривиального локального автоморфизма подалгебры C(e12 + e21) + Ce13 + Ce в M (3, C), где eiJ- обозначают, как обычно, матричные единицы соответствующего порядка, e - единичная матрица. Автоморфизмы и антиавтоморфизмы полной алгебры M (n, C) комплексных (n х ^-матриц исчерпывают ее локальные автоморфизмы [2]. Локальные автоморфизмы произвольной алгебры A образуют группу по умножению [4], обозначаемую через Laut A. Локальные дифференцирования алгебры A образуют подалгебру Locder A алгебры End(A+) всех K-линейных эндоморфизмов аддитивной группы A+. Как показали A. Nowicki и I. Nowosad [5], локальные дифференцирования кольца M (n, K) всех (n х n)-матриц над коммутативным кольцом K с единицей, а также некоторых ее подколец исчерпываются ее дифференцированиями. Заметим, что степени (1) (4) (3) Пусть R есть алгебра NT(n, K) нижних нильтреугольных (n х ^-матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) над K. Дифференцирования и автоморфизмы алгебры R и ассоциированной с нею алгебры Ли A(R) известны [6-8]. Мы исследуем локальные дифференцирования и автоморфизмы алгебр R и A(R). Описание Locder R известно при n = 3 [4] и с ограничениями на K при n = 4 [9; 10]. Исследуются локальные дифференцирования алгебры R произвольной размерности. Доказывается теорема об описании всех локальных лиевых дифференцирований алгебры R над ассоциативнокоммутативным кольцом K с единицей при n = 3, а также в случае, когда n = 4 и K - поле. См. также [11]. Предварительные замечания и основные теоремы при n £ 4. Напомним, что если A - ассоциативная алгебра и а * р = ар - ра(а, р є A) - ассоциированное лиево умножение, то A(A) := (A, +,*) есть алгебра Ли, называемая ассоциированной с A. Ее (локальное) дифференцирование называют также (локальным) лиевым дифференцированием алгебры A. Отметим, что дифференцирования (и автоморфизмы) характеризуются действием на порождающих элементах алгебры. С другой стороны, очевидна лемма 1. Лемма 1. Всякое локальное дифференцирование произвольной K-алгебры A характеризуются действием на элементах, порождающих A как K-модуль. Таким образом, локальное дифференцирование нетривиально, если оно ненулевое, но является нулевым на каком-либо множестве, порождающем эту алгебру. Очевидно, что к локальным лиевым дифференцированиям относятся все локальные дифференцирования алгебры A. Всюду далее K есть ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, n > 3 и R = NT(n, K). Очевидно, алгебру R порождают матричные единицы ei+h, 1 < i < n, а все матричные единицы ey., 1 < j < i < n порождают R как K-модуль. Следующие две теоремы дают описания локальных лиевых дифференцирований и автоморфизмов алгебры R при n = 3 и в случае, когда K - поле и n = 4. Когда n = 4, выделим при к є K и у = ||cj|| є M(2, K) эндоморфизмы K-модуля R вида а ^ а + (a31c11 — a42c21 )e31 + (a42c22 — a31c12)e42 + + a41 (c11c22 + c12c21 )e41, а ^ (a31 c11 + a42c21)e31 + (a42c22 + a31c12)e42, (2) Обозначим через у отображение (1) при у є GL(2, K) и 2cnc12 = 2c21c22 = 0, через у - отображение (2) при 2c12 = 2c21 = 0 . Теорема 1. Если n = 3, то Locder A(R) = Locder R + Der A(R). Когда n = 4 и K рк :а ^ ka43e42 (а = aj є R). R = R1,R2,R3Rn = 0 образуют центральный ряд алгебры R, причем Rn—1 = Ken1 совпадает как с анну-лятором, так и с центром Z алгебры R. В [7] доказана лемма 2. Лемма 2. Аддитивная группа Der R дифференцирований алгебры R есть сумма подгрупп треугольных и центральных дифференцирований. Известно, что центральные дифференцирования алгебры R (т. е. нулевые по модулю центра) порождаются всевозможными дифференцированиями: %i,c : а ^ cai +1ien1 (а HIakm II є Rl 1 < i < n,c є K. Для описания в [7] существенны следующие идеалы алгебры R и лемма о них. Лемма 3. В алгебре R при 1 < j < i < n идеалы Qij = {Keuv 11 < v < j < i < u < n, (u, v) * (i, j)), Nj = Qij + Kej являются (Der Л)-инвариантными. Относительно Der A(R) инвариантны идеалы R, R2Rn—1, N21 + Nn3 , Nnn—j + Nn—2J, Nij (j < i, i > 2, j < n — 1). Редукционные теоремы. Здесь R = NT(n, K), n > 4 . При любом t є K далее полагаем fflt : а ^ ta31 e31 + ta42e42 +••• + tann—2enn—2 (а =| |ay|| є R). Теорема 3. Всякий локальный автоморфизм алгебры R с точностью до умножения на автоморфизм тождественен на элементах eii—j, 1 < i < n , а на элементы eii—2, 2 < i < n действует по модулю R3 как 1 + rot, где 1 +1 є K« фиксировано. Теорема 4. Всякое локальное дифференцирование Ф алгебры R с точностью до прибавления дифференцирования является нулевым на элементах eii—1, поле, всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над K есть сумма локального дифференцирования алгебры R, ее лиева дифференцирования и локальных лиевых дифференцирований вида у и рк . Теорема 2. Если n = 3, то Laut A(R) = Laut R • Aut A(R). Когда n = 4 и K - поле, всякий локальный лиев автоморфизм алгебры R над K есть произведение локального автоморфизма алгебры R, ее лиева автоморфизма и локальных лиевых автоморфизмов вида у и 1 + рк. Теоремы 1 и 2 доказываются далее. Нам потребуется описание из [7] группы Der R , а также ее основных подгрупп. Для треугольной (n х n)-матрицы у над K отображение а ^ а * у(а є R) дает треугольное (или диагональное, когда матрица у диа-гональна) дифференцирование; при у є R его называют внутренним. 1 < i < n, а на элементах eii—2, 2 < i < n по модулю R3 совпадает с отображением rat для фиксированного t є K. Теорему 3 совместно доказали автор и В. М. Левчук. Ее доказательство удается перенести и на теорему 4. Прежде всего замечаем, что из леммы 3 сразу же вытекает лемма 4. Лемма 6. Для произвольного локального дифференцирования Ф алгебры R существуют элементы cij є K такие, что lJ Ф(єу ) = cvevmodQij (1 < j <i < n). (5) Из леммы 2 легко вытекают также (полагаем Nj = 0, если k > n или j < 1) леммы 5, 6. Лемма 5. Пусть R = NT(n, K) и ує Der R . Если 1 < j < i < n и y(eij) = 0 по модулю Ni+1 j—1, то выполняется равенство у(etj) = 0 при i — j > 1, а по модулю центра Z также при i — j = 1. Лемма 6. Произвольное локальное дифференцирование Ф алгебры R с точностью до прибавления ее дифференцирования удовлетворяет условию Ф(Єіі—1) = 0, i = 2,3,..., n. (6) Доказательство. В силу леммы 4, с точностью до прибавления к Ф диагонального дифференцирования, имеем Ф(єіі—1) = 0modQi—1, 1 = n Внутреннее дифференцирование а ^ а * р с матрицей вида р = Хn=i|2 xiei+22 (xi є K) дает ф(є21) = 0. Далее, применяя для каждого i = 3,..., n — 1 внутреннее дифференцирование с матрицей вида xet—+^ П=1Ч1 ysesi, приходим к равенствам Ф(єіі—1) = ki2ei2 + ki3ei3 +- + kii—2 eii—2 mod Ni+1i—2 . (7) При i = n внутреннее дифференцирование с матрицей вида xen—n (и соглашение Nn+1n—2 = 0) также дает (7). Из (7) следует равенство (6) по модулю идеала N^^—2 на элементы eii—1 для i = 2, 3. Далее проводим индукцию. При i = 4 находим Ф(є43 ) = k42 e42 mod N52, Ф(є21 + e43) = ф(є21 ) + ф(є43 ) = k42 e42 mod N52. Если дифференцирование у є Der R действует как ф на элемент а = e21 + e43, то для подходящей матрицы у = ЦуЛ є R по модулю N52 получаем равенство у (e21 + e43) =ау — уа = = у32 (e42 — e31) + (у31 — у 42 )e41 — у54e53 — ... — уn4en3, откуда у32 = 0 = к42. Равенство kii—2 = 0 для оставшихся i получаем аналогично. Фиксируя i < n , докажем равенства ку = 0 коэффициентов в (7) в предположении, что равенства кst = 0 при всех s < i доказаны. Допустим также, что кж+1 = кот+2 = ... = кіі—2 = 0 для некоторого 1 < m < i — 1. Выбирая дифференцирование у є Der R , действующее на элемент emm—1 + eii—1 как Ф, по модулю Nm+1m—2 + Ni +1i—2 + Nim —J, получаем У (emm—1 + eii—1 ) = &enm—1 + eii—1 ) = = Ф^іши—1 ) + Ф(єіі—1 ) = kmeim . Отсюда и из описания группы Der R (лемма 2) следует, что в этих соотношениях у можно считать внутренним дифференцированием с подходящей матрицей у = ЦуЛ є R . В этом случае У (emm—1 + eii—1) = = уi—1m (eim — ei—1m—1)mod(Nm+1m—2 + Ni+1i—2 + Nim—1) и, следовательно, уі—1m = 0 = кы = 0. Произвол в выборе m дает равенства кj = 0 в (7) для всех j. Таким образом, доказаны соотношения Ф(єіі—1) = 0mod ^+1і—2. Вместе с леммой 5 они показывают, что ф(єіі—1) = 0 для всех i, с точностью до прибавления центрального дифференцирования. Доказательство теоремы 4 завершает лемма 7. Лемма 7. Если локальное дифференцирование ф алгебры R удовлетворяет условию (6), то все элементы cii—2 из леммы 4 попарно совпадают. Доказательство. Для произвольного локального дифференцирования Ф алгебры R существуют элементы c^ є K такие, что выполняются равенства (5). Пусть 2 < i < n . Положим а = eii—2 + ei—1i—2 + + ei+1i—1 — ei+1i. Согласно описанию дифференцирований (лемма 2), Ф действует на а по модулю центра Z как треугольное дифференцирование с треугольной матрицей у = | |xuv||, в частности, cii—2 eii—2 + ci+1i—1Єі+1і—1 = Ф(а) = а *уШ^ R3 . Сравнение в левой и правой частях этого равенства элементов на позициях (і — 1, і — 2) и (і +1, і) дает равенства соответственно d-—1 = d-—2 и d-+1 = d-. Сравнивая элементы на позициях (i, i — 2) и (i +1, i — 1), получаем соответственно равенства di— 2 — di — xii—1 = cii— 2, di—1 — di+1 — xii—1 = ci+1i—1. Отсюда di—1 — J- — xii—1 = cii—2, di —1 — di — xii—1 = ci+1i—1 и, следовательно, cii—2 = ci+1i—1. В силу произвольного выбора i получаем c31 = c42 =... = cnn—2. Теорема о локальных лиевых дифференцированиях. Целью этой части работы является доказа тельство теоремы 1; теорема 2 доказывается по аналогичной схеме. Описание группы Der A(R) дано в [7, теорема 5]. Случай n = 3 теоремы 1 устанавливает лемма 8. Лемма 8. Пусть K есть ассоциативнокоммутативное кольцо с единицей и R = NT(3, K). Тогда Locder A(R) есть сумма подгрупп Der A(R) и Locder R. Доказательство. Произвольное локальное лиево дифференцирование у алгебры R = NT (3, K) действует на элементы e21 и e32 так, что у : ei+1i — aie21 +bie32 mod R2 ,i = 1,2 (ai ,bi є K). Учитывая [7, теорема 5], можем считать, что у действует по модулю центра как нулевое отображение на элементы e21 и e32 . Тогда все идеалы Nij являются ^-инвариантными и поэтому у є Locder R . С учетом теоремы 4 несложно доказывается (см. [4]) лемма 9. Лемма 9. Если R = NT(3, K), то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида 8t :а — tan1en1 (а=| km II є R)t є K. (8) Далее полагаем R = NT(4, K). При t є K выделяем эндоморфизмы K-модуля R, Ф31,ґ :а—' ^31^ (9) Фпп—2,t :а—' tann—2 en1 (ає R). Следующая теорема анонсирована в [9]. См. также [10]. Теорема 5. Если K - поле, то Locder R аддитивно порождают Der R и локальные дифференцирования вида (9), (8) и (4). Описание лиевых дифференцирований приведено в [7]. Выделим эндоморфизмы СТа : e21 — aen2 ,CT'b : enn—1 — ben—11 ^ b є K, фе : e21 — ce43 , e31 — ce42, Ф d : e43 —— de21, e42 —— de^, c, d є K, аддитивной группы A(R +). (Считаем, что матричная единица eij обращается в нуль, если ее образ не указан.) Описание Der A(R) в [7] использует подгруппы L3 = (ф, |c є K,2c = 0), L3 = (ф'd\d є K,2d = 0); L2 = {CTa \a є K), L2 = (ct 'b|b є K). Лемма 10. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Тогда Der A(R) = L 2 + L ' 2 + L3 + L' 3 + Der R (n = 4). Как и в (2), выберем у = || є M(2, K). Отображения у и рк введены перед теоремой 1 и в (3). Они дают нетривиальные локальные лиевы дифференцирования, как показывают следующие две леммы. Лемма 11. Если K - поле и 2c12 = 2c21 = 0, то отображение у есть локальное лиево дифференцирование алгебры R. Доказательство. Фиксируя а = ||aij || є R, найдем у є Der A(R) такое, что у(а) = у (а). (10) Пусть a31c11 + a42c21 и a42 c22 + a31c12 одновременно * 0 , иначе р(а) = 0 . Когда а є N32, дифференцирование у в (10) даст сумма диагонального дифференцирования с матрицей diag{d1, d2, d3, d1} над K и дифференцирования ф0 +ф ' d, где ф0 є L3, c = c12 и Ф 'd є L'3, d = c21 . Если a21 * 0 , то у (а) = (aa + %)(а) для X : а — ау — уа, у = (—a—1 (a^^ + a42c21))e32 и cta є L 2, a = a-1J (a42c22 + a31c12) + + a43a21 (a31c11 + a42c21). Когда a21 = 0 и a43 * 0 , выбираем у аналогично, используя замену ct a на ct 'b. Лемма 12. Если K - поле, то рк есть локальное лиево дифференцирование алгебры R для любого элемента к є K. Доказательство. Зафиксируем к є K. Для произвольной матрицы а = ||aij || є R найдем лиево дифференцирование у є DerA(R) такое, что рк (а) = ka4зe42 =у(а). (11) Если ka43 = 0, то можно взять у = 0. Поэтому далее ka43 * 0. При a21 * 0, полагая b = ka21a43 є K и у = ke32, получаем рк (а) =ст '^а) + а*у, так что в (11) можно взять у = ст 'bW + а*у. Пусть a21 = 0. Тогда у действует на а как внутреннее дифференцирование с матрицей ke32. Замечание. Построенные нетривиальные локальные дифференцирования у и рк не обязаны лежать в Der A(R) + Locder R . Кроме того, если к * 0 , то рк есть нетривиальное локальное лиево дифференцирование, относительно которого все идеалы Nj инвариантны, хотя рк є Locder R . Лемма 13. Всякое локальное лиево дифференцирование алгебры R над полем K действует на совокупность элементов Єі+1і (1 < i < 3) как сумма лиева дифференцирования и локального лиева дифференцирования вида рк. Доказательство. Пусть у є Locder A(R). В силу леммы 3, у индуцирует линейные преобразования фактор-алгебр A(R)/N32,(N21 + N43)/R2, N32 /R2 и, следовательно, однозначно определяет элементы ci, d: є K такие, что * J у (e21) = d1e21 + c1e43 ’ у (e43) = c2e21 + d2e43 ’ у (e32) = d3e32 mod R2. Поэтому у действует как нулевое отображение по модулю R2 на всех элементах e{+1i, c точностью до прибавления дифференцирований из L3, L '3 и диагонального дифференцирования. Далее, для каждого i добиваемся равенства у(єі+1і ) = 0 по модулю центра Z = R3. С этой целью прибавляем к у внутреннее дифференцирование а — а * у (а є R) с матрицей у є (Ke21 + Ke43) для i = 2 , а для i = 1 - с матрицей у є Ke32 и, кроме того, прибавляем дифференцирование вида ф0. (Условие у(є32) = 0mod R3 при этом не изменяется.) Для случая i = 3 достаточно прибавить к у дифференцирование вида ф ' d и локальное лиево дифференцирование вида рк . Наконец, прибавляя к у центральное дифференцирование алгебры R, добиваемся точных равенств у(єі+1i) = °. Доказательство теоремы 1. Исследуем произвольное локальное лиево дифференцирование у алгебры R = NT (4, K) над полем K. С учетом леммы 15 можем считать, что у действует как нулевое отображение на элементы e21, e32, e43. В силу линейности у на R2 / R3, существует матрица ||bj || є M(2, K) такая, что у(єі+2і ) = bi1e31 + bi2e42 modR3, 1 = 1, 2 Нам достаточно доказать, что 2b12 = 2b21 = 0 . Можно считать, что K - поле характеристики * 2. Пусть b12 * 0 . Ясно, что идеал N31 инвариантен относительно подгруппы T дифференцирований а — а * у(а є R) для треугольных матриц у над K. Поскольку у є LocderA(R), то существует 9 є DerA(R) с условием 9(e31) = у(є31) . По лемме 10, 9єL3 + T , т. е. 9 = |а + ф£,, где цє T, ф0 є L3, в частности c є K, 2c = 0 . Отсюда и из связи 9, у получаем c = b12, 2c = 2b12 = 0 и поэтому b12 = 0 . Аналогично, b21 = 0. Таким образом, несложно видеть, что всегда 2b12 = 2b21 = 0 и прибавлением к у подходящего локального лиева дифференцирования у добиваемся по модулю центра Z равенств у(є31) = 0 и у(є42) = 0. К точным равенствам приходим, прибавляя к у локальные дифференцирования вида ф31^ и ф42^. И, наконец, у(e41) = 0 , с точностью до прибавления к у локального дифференцирования вида 5t. Тем самым доказательство теоремы завершено.