EXEPTIONALY LARGE ABELIAN UNIPOTENT SUBGROUPS IN GROUPS OF LIE TYPE

Аннотация

Let G be a group of Lie type over a finite field K and let U be its unipotent subgroup. In the connectoin to the problem of description of large abelian subgroups in the group U of eXceptional type, we discover large abelian subgroups in the group U of type 2Е 6, which are not G-ajoint to a normal subgroup in U. Some results on the Thopson subgroup are revised.

Толық мәтін

В конечной группе для любого теоретико-группового свойства P всякую P-подгруппу наивысшего порядка называют большой P-подгруппой. Вопрос описания больших абелевых подгрупп группы G лиева типа над конечным полем сводится к аналогичному вопросу для унипотентного радикала U подгруппы Бореля в G [1-4]. В 1970-1980-е гг. для классических типов изучено множество A(U) больших абелевых подгрупп в U вместе с подмножествами An (U) нормальных и Ae (U) элементарных абелевых подгрупп в U и подгруппами Томпсона J(U) = (A | A є A(U)> и Je (U) = (A | A є Ae (U)>. В [3] записана проблема 1.6: описать множества A(U),Ae (U),An (U) и подгруппы Томпсона J(U), Je (U) для оставшихся случаев G. В [5-7] проблема описания A(U) редуцирована к вопросу о том. что необходимо выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена с нормальной подгруппой в U, и перечислить исключительные большие абелевы подгруппы оставшихся групп U. Существование и описание нормальных больших абелевых подгрупп в U установлены в [8-10], наряду с описанием максимальных нормальных абелевых подгрупп. Там же и в [11] доказано, что всякая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U группы G лиева типа над конечным полем G-сопряжена с нормальной подгруппой в U или G есть группа типа G2, F4,3 D4 либо 2 E6. В данной статье выявляются исключительные большие абелевы подгруппы групп U типа 2 Е6; случай групп U типа F4 см. в [12; 13]. Предварительные замечания. Группу Шевалле Ф(К) над полем K, ассоциированную с системой корней Ф, порождают корневые подгруппы Xr = xr (K), r єФ. Скрученная группа m Ф(К) типа m Ф есть централизатор в Ф® скручивающего автоморфизма 9є Aut Ф(K) порядка m = 2 или 3. Это композиция графового автоморфизма т и автоморфизма ст: t ^ t (t є K) основного поля, причем 9(Xr) = т(Xr) = X- (r є Ф) для естественного продолжения на Ф симметрии графа Кокстера порядка m [14; 15]. Для групп m Ф( K) типа 2 Е6 существует гомоморфизм Z решетки корней системы Ф на решетку системы типа F4, причем корни r и s лежат в одной -орбите тогда и только тогда, когда Q(r) = C(s) (см. леммы 7, 8 [14] и замечание 13.3.8 [15]). Согласно предложению 13.6.4 [15], -орбита а любого корня r є Ф однозначно определяет корневую подгруппу Xa скрученной группы. Обозначая множество всех -орбит в Ф через m Ф, считаем, что m Ф = С(Ф). База П(Ф) системы корней Ф дает базу n(m Ф) = ^(П (Ф)) системы m Ф. Если KCT := Ker(1 -ст) - ядро преобразования 1 -ст поля K, то Xa = xa (KCT) = xq (Kст) для орбит a = {q} длины 1; в остальных случаях Xa = xa (K). Для системы G = ^ или G = Ф обозначим через G+ множество положительных корней относительно фиксированной базы П = n(G) в G, а через UG(K) или U - унипотентную подгруппу (Xr | r є G+ > в ассоциированной с G группе G(K) лиева типа над полем K [14; 15]. В этих работах рассмотрены мономиальная N и диагональная H < N подгруппы, разложение Брюа G(K) = BNB с подгруппой Бореля B = U X H и B n N = H. При G = Ф фактор-группа N / H изоморфна группе Вейля W, порождаемой отражениями wr (r є Ф), и для подходящих мономиальных элементов nr є(Xr, X-r > определен гомоморфизм nr ^ wr (r є Ф) группы N в W с ядром H. В расширенной группе Шевалле K-характеру х решетки корней (его значения на простых корнях можно выбирать произвольно) сопоставляют диагональный элемент h(%), причем h(x) Xr (t )h(x)-1 = Xr (x(r )t), nsXr (t)n- = xws(r) (±t) (^ s є Ф). Если r = ЕаєП caa є G , то число ht(r) = ЕаєП ca называют высотой r. Максимальный корень в G+ обозначим через р. Числом Кокстера системы G называют число h = h(G) := ht(р) +1; для G = Ф. Стандартный центральный ряд в U = UG(K) образуют следующие подгруппы [15]: Ui = <Xr | r є G +, ht(r) > i), 1 < i < h = h(G) (G = Ф или G = m Ф). Всякий элемент у в U допускает единственное (каноническое) разложение в произведение корневых элементов xr (уr) (r є G +), расположенных соответственно произвольному упорядочению G (см. лемму 18 [14]). Коэффициент у назовем r-проекцией элемента у. Через Ф(х) для элемента у в U обозначим, как и в [4], множество таких корней r, что у r * 0 в разложении У = П + xr (yr), где корни r выбраны в порядке возрастания. Пусть {r}+ - совокупность всех s є G + с неотрицательными коэффициентами в разложении s - r через базу n(G). Подмножество f сФ+ назовем нормальным, если {r}+ с f для всех r є f . Полагаем T(r) := <Xs|s є{г}+), Q(r) := <Xs | s є {r}+, s * r), r є G. Если H с T(r1)T(r2)...T(rm) и любая замена T(г.) на Q(ri) нарушает включение, то тогда L(H) = {r1, r2, • • •, rm } назовем множеством углов в H. Зафиксируем регулярное упорядочение корней, согласованное с функцией высоты корней (см. лемму 5.3.1 [15]). Тогда первый угол элемента из U соответствует его первому сомножителю в каноническом разложении. Через 1Л(H) обозначим множество первых углов всех элементов из H. Исключительные большие абелевы подгруппы и подгруппы Томсона групп U типа 2E6. В силу [12], в группе Шевалле G типа F4 над полем K при 2K = K всякая большая абелева унипотентная подгруппа A сопряжена в G с нормальной подгруппой в U и Ц(А) описано леммой 2 [12], однако при 2K = 0 это не так [13]. Докажем следующую теорему. Теорема 1. В группе G типа 2 Е6 над конечным полем K = 2K существует большая абелева подгруппа группы U, которая не является G-сопряженной с нормальной подгруппой в U. Доказательство. Группу U порождают корневые подгруппы Xa, a є G + , где Xa = xa (Ka) для орбит a длины 1 (класс первого типа); в остальных случаях Xa = xa (K). Скручивание системы корней типа Е6 приводит к системе типа F4 (см. предварительные замечания). Поэтому считаем, что a пробегает систему Ф типа F4. Для краткости вместо записи aa1 + ba2 + ca3 + d a 4, где a1, a2, a3, a4 - простые корни системы типа F4, будем использовать запись abcd [16]. Пусть A - большая абелева подгруппа группы U = U2E6(K), 2K = K. Согдасно [8], группа U имеет единственную большую абелеву нормальную подгруппу H = X0122U6 . Рассмотрим подгруппу Xnn( Ka) Xn21( K a) X1221(aK a) X1231 (bK a )T (0122) ( a = -a, b = -b). Предположим, что подгруппа (1) сопряжена в группе G с подгруппой H, т. е. gAg-1 = H для некоторого g є G . Пусть B - подгруппа Бореля группы G, N - мономиальная подгруппа и nw -фиксированный (произвольно) прообраз в N элемента w группы Вейля W при естественном гомоморфизме N ^ W. Известно [15], что g = bnwu, b є B, u є Uw = <Xr | r є G +, w(r) є G-), причем элементы b, w, u определены однозначно. Тогда (bnwu)A(bnwu)-1 = H или nw(uAu-1)пи,1 = H , при этом L1(uAu-1) = L1(A) = {1111}+. Множество {1111}+ содержит четыре коротких корня, следовательно множество Ф(H) = uXflH Ф(x) также должно содержать четыре коротких корня. Но Ф(^) = {1221}+и{0122}+ содержит три коротких корня. Строение подгрупп Томпсона требует уточнения для типов G2,3D4,Е8 [9-11], а также для типа 2Е6, как показывает следующая теорема. Теорема 2. Пусть U - унипотентная подгруппа группы G типа 2 Е6 над конечным полем K. Тогда J(U) = J (U) = Xa2 Xa3 Xa4U2. Построение больших абелевых подгрупп групп U использует известные понятия. А. И. Мальцев назвал подмножество f с Ф+ коммутативным, если r + s є Ф для любых r,s є f [1]. Описав наибольшие из таких подмножеств в Ф+, он применил их в описании коммутативных подалгебр наивысшей размерности в простых комплексных алгебрах Ли. Лемма 1. Наибольшие коммутативные множества системы корней типа F4 имеют порядок 9 и Wсопряжены с {0122}+и {1221}+ . Подмножество f сФ+ Е. П. Вдовин называл абелевым относительно р, если для любых его корней r, s либо r + s є Ф и структурная константа C11rs коммутаторной формулы Шевалле равна нулю в характеристике р, либо r + s є Ф [4] (очевидно, это абелевы, как и в [1], множества корней, если р >3 или в Ф все корни одной длины). Такие максимальные подмножества ¥ описаны компьютерными средствами в [4] для типа G2 при р = 2 и 3, а также для типа F4 при р = 2, где они дают максимальные абелевы подгруппы Xf = (Xr | r є f>. Полученные в последнем случае 82 подмножества выписаны в табл. 3 [4] с обозначением f i j, где i номер строки; j - номер столбца. В частности, f 1 = {0121}+, f2={1111}+u{0122}+, f 3 ={0011,0111,1111,1231} и {0122}+ есть f 212, f 213, f 610 соответственно. Из [4] несложно вытекает следующая лемма. Лемма 2. Всякое максимальное абелево относительно 2 подмножество системы корней типа F4 либо есть одно из множеств f 1 j , f 4 j порядка 10 (1 < j < 13), либо W-сопряжено с одним из множеств f i, f i порядка 11 для i = 1, 2 или 3 (всего 28, 22 или 6 соответственно). При r, s, r + s є Ф+ выберем xr(F) с Xr, xs(V) с Xs, F,V с K, FV Ф 0. В [10] доказана следующая лемма. Лемма 3. Если [xr (F), xs (V)] с Q(r + s), то r + s есть класс первого типа, r и s не являются классами первого типа и, с точностью до сопряжения диагональным автоморфизмом, F с KCT, V с K1-ст . Положим m(x) := L1(x) є Ф+ при всех x єU . Используя лемму 3 и табл. 3 [4], получим две следующие леммы. Лемма 4. Пусть A - абелева подгруппа группы U типа 2 E6 . Тогда для любых ее неединичных элементов x, у множество {m(x),m(y)} - абелево относительно 2, когда m(x) + m(у) єФ, m(x)-проекции всех элементов из A с первым углом m(x) лежат в 1-мерном KCT -модуле. Лемма 5. Пусть A - большая абелева подгруппа в U, ¥ - максимальное абелево относительно 2 множество системы типа F4 и Ц (A) с f. Тогда: а) подмножество {r1, r2, r3} с f лежит в Ц (A), если для всех i Ф j имеем ri + rj єФ и CUr r. = +2; J ’ І’ J б) если r + sєФ для пары {r,s} корней из ¥, не входящей в тройки из п. «а», и Cnr s = +2 , то r или s входит в L1( A); в) если ¥ содержит корень r такой, что (r + f) n Ф = 0 , то r є L1 (A). Аналогично, используя леммы 4, 5 и табл. 3 [4], получим следующую лемму. Лемма 6. Максимальные абелевы относительно 2 подмножества ¥, для которых существует большая абелева подгруппа A с условием L1 (A) с f , W-сопряжены с f1 при 2K = 0 и с f2 при 2K = K. Кроме того, они исчерпываются множествами XX/ XX/ XT/ XT/ XT/ XT/ XT/ XT/ XT/ XT/ * 2,9 ’ * 2,12 ’ * 3,1 ’ * 3,7 ’ * 3,12 ’ * 5,1 ’ * 5,3 ’ * 5,6 > * 5,8 > * 5,9 ? ХТ/ ХТ/ХТ/ XI/ . XI/ хт/ хт/ хт/ хт/ т5,1^^6,^ т6,1^^7,^ т2,1^ т 2,11 > т2,13> т3,1^ Т5,2’ f 5 4, f 5 5, f 5 7, f 6 7, f 7 2, f 7 3 соответственно. Доказательство теоремы 2 вытекает из леммы 6 и табл. 3 [4].