ESTIMATING THE NUMBER OF 12-APERIODIC WORDS

Texto integral

Введение. В 1902 г. Уильям Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки [1]. Впоследствии этот вопрос приобрел статус проблемы Бернсайда о периодических группах. Отрицательный ответ на него был получен впервые лишь спустя 62 года в 1964 г. Е. С. Голодом [2]. Позднее С. В. Алешиным (1972) [3], Р. И. Григорчуком (1980) [4], В. И. Сущанским (1979) [5] была предложена целая серия отрицательных примеров. Сам У. Бернсайд в своей статье 1902 г. [1] обратил особое внимание на вопрос о локальной конечности групп с тождественным соотношением хn = 1. Группа B(d,n) = F/Fn, d > 1, которая получается факторизацией свободной группы F = F(d) с d-образующими по нормальной подгруппе Fn, порожденной n-ми степенями всех элементов из F, называется сейчас свободной бернсайдовской группой показателя (или периода) n. Ее конечность установлена в разное время для n = 2 (тривиальный случай), n = 3 (У. Бернсайд), n = 4 (У. Бернсайд - для d = 2, И. Н. Санов [6] - для произвольного d), n = 6 (М. Холл [7]). Доказательство бесконечности группы B(d,n), d ≥ 2, для нечетных показателей n ≥ 4381 было дано в работе П. С. Новикова - С. И. Адяна [8], а для нечетных n ≥ 665 - в книге С. И. Адяна [9]. Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных n > 1010 был предложен А. Ю. Ольшанским [10], который на основе усовершенствованного им геометрического метода построил для каждого достаточно большого простого числа p бесконечную р-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. Это наиболее сильная форма отрицательного ответа на вопрос Бернсайда, означающая существование бесконечного множества конечно порожденных периодических групп с тождеством, сколь угодно далеких по своим свойствам от конечных. Вопрос о конечности конечно порожденной группы периода 12 до сих пор остается открытым. В [11] А. С. Мамонтовым установлена локальная конечность группы периода 12 без элементов порядка 12. Этот результат обобщает теоремы И. Н. Санова [6] и М. Холла [7]. Д. В. Лыткина, В. Д. Мазуров и А. С. Мамонтов [12] доказали, что группа периода 12, в которой порядок произведения любых двух элементов порядка два не превосходит числа 4, локально конечна. Эта теорема обобщила теорему И. Н. Санова [6] по которой группа периода 12 без элементов порядка 6 локально конечна. В связи с этими результатами рассмотрим множество 12-апериодических слов. Автором был сделан доклад «Апериодические слова» в 2015 г. на конференции «Решетневские чтения» [13], затем исследования по этому вопросу были продолжены: в [14] была улучшена оценка А. Ю. Ольшанского из [15] количества 6-апериодических слов, и в данной работе рассматриваются 12-апериодические слова. Основной результат. Под периодическим словом с периодом Н понимается любое подслово некоторой степени Нр, р > 0. В этом смысле ababa - периодическое слово с периодом ab или ba. Под l-апериодическим словом понимают слово Х, если в нем нет непустых подслов вида Yl. В 1906 г. А. Туэ установил существование 3-апериодических слов произвольной длины в любом неоднобуквенном алфавите [16]. В монографии С. И. Адяна [9] приведено доказательство С. Е. Аршона (1937) [17] того, что в алфавите из двух букв существует бесконечное множество сколь угодно длинных 3-апериодических слов. В работе [18] рассмотрена задача, являющаяся обобщением задачи о существовании сколь угодно длинных бесквадратных слов над алфавитом из трех букв. В [15] была доказана теорема (доказательство близко к [19]) о бесконечности множества 6-апериодических слов и получена оценка снизу функции f(n) - количества таких слов длины n: в алфавите {a,b} существует сколь угодно длинные 6-апериодические слова. Более того, число f(n) таких слов длины n больше, чем . В связи с этими результатами представляет интерес оценить количество 12-апериодических слов. При доказательстве основного утверждения статьи будем использовать метод А. Ю. Ольшанского из [15]: Теорема. В алфавите {a,b} существует сколь угодно длинные 12-апериодические слова. Более того, число f(n) таких слов длины n больше, чем . Доказательство. Сначала докажем неравенство по индукции. Одновременно будем вводить ограничения на x. Сразу отметим очевидное неравенство: . База индукции: , где , . Для того, чтобы выполнялась база индукции , положим . Каждое 12-апериодическое слово длины есть результат приписывания справа одной из букв a или b к 12-апериодическому слову длины n. Можно получить слов длины . Но некоторые из полученных слов могут содержать степени . Нужно оценить число подобных возможностей. Может получиться лишь равенство вида , поскольку иначе уже начало длины слова длины содержит . Для слов A длины 1 (всего два таких слова) имеется меньше, чем слов вида , где слово 12-апериодично и : () a, () b. Существует 4 слова A длины 2. Количество соответствующих слов вида длины меньше, чем , где слово 12-апериодично длины . Аналогично продолжая рассуждения, получаем: Поскольку по предположению индукции , получается Вынося за скобки, получаем: Введем еще одно ограничение для того, чтобы геометрическая прогрессия в правой части неравенства была убывающей. Обозначим второй сомножитель правой части за и применим формулу для суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем : Неравенство будет выполняться при . Преобразуем данное неравенство: Домножим на числитель и знаменатель (напомним, что ): Так как , получаем неравенство: Нас интересует решение этого неравенства в интервале Это решение можно приблизить интервалом [1, 13624637; 1, 99901766], причём этот интервал полностью содержится в решении. Нас интересует максимальное значение x, поэтому мы можем брать значение 1,99901766. Теорема доказана. Заключение. Рассмотрено множество 12-апериодических слов и получена оценка для функции количества 12-апериодических слов длины n.

Sobre autores

V. Senashov

Institute of Computational Modeling SB RAS; Siberian Federal University

Email: sen1112home@mail.ru
50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation; 79, Svobodniy Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation

Bibliografia

Arquivos suplementares