ON ERROR ESTIMATES FOR CUBATURE FORMULAS EXACT FOR HAAR POLYNOMIALS

Resumo

On the spaces H a the estimates are found for the norm of the error functional δ N[f ] of cubature formulas possessing the Haar d-property in the two-dimensional case.

Texto integral

Задача построения и исследования формул приближенного интегрирования, точных для некоторого заданного набора функций, ранее в основном решалась для интегралов, точных на алгебраических и тригонометрических многочленах. Квадратурные и куба-турные формулы, точные для системы функций Хаа-ра, можно найти в монографии И. М. Соболя [1], в которой точность формул приближенного интегрирования на конечных суммах Хаара использовалась при выводе оценок погрешности этих формул. Описание всех минимальных весовых квадратурных формул, обладающих d-свойством Хаара, т. е. формул, точных на константах и функциях Хаара первых d групп, было проведено в [2]. В двумерном случае задача построения кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара, т. е. формул, точных для полиномов Хаара степеней, не превосходящих заданного числа d, решалась в [3-5], а исследование нормы функционала погрешности этих кубатурных формул на пространствах Sp проводилось в [6]. Основные определения. В данной статье используется оригинальное определение функций Xmj(x), введенное А. Хааром [7], отличное от определения этих функций в [1]. Двоичными промежутками lmj назовем промежутки с концами в точках (j -1)/2m- , j/2m-1 (m = 1, 2, ..., j = 1, 2, ..., 2m-1). Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать этот промежуток замкнутым слева, если его правый конец совпадает с 1, то замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины lm, j (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать lm,j и l+^j соответственно. Система функций Хаара строится группами. Группа номер m содержит 2m-1 функций xm, j(x), где m = 1, 2, ..., j = 1, 2, ..., 2m-1. Функции Хаара xm, j(x) определим следующим образом: Xm,j (Х) = }(m-1)/2 -2( ,(m-1)/2 при x єІт при x є lm 0 при x є [0, 1] \ l , m,j 0,5 [X . (x - 0) + x . (x + 0)J, если x - внутренняя точка разрыва, --, m-1 , m-1 m-1 где l = [(j -1)/2 , j j 2 ], m = 1,2, ..., j = 1,2, ...,2 . В систему функций Хаара включают также функцию x 0 0 (x) =1, которая остается вне групп. В двумерном случае полиномами Хаара степени d назовем линейные комбинации с вещественными коэффициентами мономов Хаара X m,,,( x1) Xm2, j2( x2 ) где m1 + m2 = 0, 1, Jn = л ...,d. 2mn 1, если mn Ф 0, I1,2 . . 10, если mn = 0, n = 1, 2. причем хотя бы один из коэффициентов при мономах Хаара степени d (m1 + m2 = d) отличен от нуля. Будем рассматривать кубатурные формулы 11 N I[f] = U f(x1, x2) dx1 dx2 Cif(x1(г), x20) = Q[f\ (1) 0 0 i=1 где (x ,x2J) є [0, 1] - узлы формулы (1); Ci - коэффициенты при ее узлах (вещественные числа), i = 1, 2, . , N, f (x1, x2) - функция, определенная и суммируемая на множестве [0, 1]2. Будем говорить, что формула (1) обладает d-свойством Хаара, или просто d-свойством, если она точна для любого полинома Хаара P(xb x2) степени, не превосходящей d, т. е. Q[P] = I[P]. Сформулируем определения классов функций двух переменных Ha(L1, L2, L12) и Sp(Ab A2, A12), приведенные в [1] для n-мерного случая. Введем обозначения: \ f (x1, x2) = f (x + t„ x2) - f (x, x2 ), At2 f (x1, x2) = f (^ x2 + t2) - f (x1, x2). Пусть 0 < a < 1, L1, L2, L12 > 0. Тогда множество функций f (xb x2), определенных в единичном квадрате [0, 1]2 и удовлетворяющих неравенствам \Atjf (x„ x2)| < Lt\tt Г , i = 1,2, |Atl At2 f (x', x2^ < L!,2 1^21 для любых (x1 + k1t1, x2 + k2t2) є [0, 1]2, k1,k2 L 2 называют классом Ha(L1, L2, L12), а константы L1, L1,2 - определяющими постоянными этого класса. В [1] показано, что множество функций f (x1, x2), принадлежащих всем классам Ha(L1, L2, L12) (со всеми возможными L1, L2, L12, значение a фиксировано), 33 Математика, механика, информатика является линеиным пространством, на котором норма вводится по формуле ll/Ik = max {sup Д f (хи х2)\|^| “а , sup|\ /(хій х2^\t2\“ , sup| Д^ Д2 /(хій х2'\ 1^2 І “ } , где точные верхние границы берутся по всем (х1 + k1t1,х2 + k2t2) є [0, 1]2, k1,k2 є {0, 1}. Введенное линейное нормированное пространство обозначается Ha. При этом все функции / (х1, х2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию. Множество функций / (х1, х2), определенных в единичном квадрате [0, 1]2 и представленных в виде ряда Фурье-Хаара ю 2m11 f (Х1, х2 ) = Со + Z Z £0 X m1, л (х1 ) + m1=1 Л=1 ю 2m2“ + Z Z С0Й Xm2,J2(х2 ) + m2=1 J2 =1 ю ю 2m1 “12m2-1 + ZZ Z Z ^ Xm1, J1( х1) X m2, J2( х2 ) m1 =1 m2 =1 j =1 J2 =1 с вещественными коэффициентами c(J1) c(j2) c( J1, J2) (m = 12 j = 12 2m rab0’C'0,m2’ m1 ,m2 ' n ■■■; n , n = 1, 2), удовлетворяющими условиям _2m1 “ А«>(f) =Z 2<m'-1V2- m1 =1 ю Af(f) = Z 2(m:“№ m2 =1 m1,0 Z |С-Ш . Л1 =1 2m2“\ V p < А Z J2 =1 c< J2' ""0,m2 < а2 (3) a11,2) (f) = = Z Z 2(m1 "1^2+ (m2 “1^2 m1 =1 m2 =1 2m1 “1 2^2 “1 Z Z J1 =1 J2 =1 c( j1, J2' m1,m2 < A. 1,2 = А®( f) + AP2^( f) + а£,2'( f). (4) Sn [ f ] = /[ f ] “ Є[ f ] = 1 1 N = U f (х, х2) йхх йх2 “ Z Cif (х<', х2°). 0 0 i=1 В [6] были введены величины (5) z q (mn)=2“ 2“< mn “1V2 2mn “1 N q Z ZCiXm„,j„ (хПЛ'' Jn =1 i=1 V q (6) n = 1, 2, Z q1^2)(m1, m2) = 2“(m1 “1^2“(m2 “1^2: 2m1 “1 2m2 “1 N q Z Z Z Ci Xm1, j1( х1(і'' X m2, j2( х20) _ л=1 J2 =1 i=1 V q где m1, m2 = 1, 2, ..., q > 1, а также доказаны неравенства, справедливые для кубатурных формул (1), обладающих d-свойством: -V p Z“Vm2)< 21 p (2d)■ Z‘;'(m,) = (2d) p , n = 1,2, 2m?1 -1 2^2 “1 |SN [ f]| < Z 2( m1 -1V2+(m2 “W2 m1 +m2 =2 <"ї“1'/2 + Z 2(m2 “1V2 m2 =1 m =1 _2m2 “1 Z Z J1 =1 J2 =1 2m1“1 J1, J2 ' I m1,m2 1 p (7) 1 p Z Л1=1 ,01) m^,0 Z J2 =1 c(j2) ""0,m2 В [1] доказаны утверждения, которые в двумерном случае принимают следующий вид. Лемма 1. Для коэффициентов Фурье-Хаара суммируемой функции f (х1, х2) класса Ha(L1, L2, L12) имеют место следующие неравенства: (9) где p > 1, А1, А2, А12 - вещественные константы, определяется как класс Sp(A1, А2, А12). В [1] доказано, что множество функций f (х1, х2), принадлежащих всем классам SP(A1, А2, А12) (со всеми возможными А 1, А 2, А12, значение 1 < p < ® фиксировано), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле Данное линейное нормированное пространство обозначается Sp. При этом все функции f (х1, х2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию. Оценки нормы функционала погрешности кубатурных формул на пространствах На. Обозначим через SN [f функционал погрешности кубатурной формулы (1): С<Л,h)\ < 2“(m1 +m2'<«+1/2'“1 Т m1,m2 _ ^,2 > L<J1' I < 9“m1<«+1/2'“1/2 Т L<J2' I < 9“m2<«+1/2'“1/2 Т |6m1,^2 L1, |60,m^2 L2. Лемма 2. Если ap > 1, то Ha <L1, L2 , A,2 ' C Sp <А1, А2 , А1,2 ', где 4 = 0,5Lj(2a “ 21 p), i = 1, 2; А12 = 0,5L1^/(2a “ 21 p). Лемма 3. Для функции /(х1, х2) класса Ha(L1, L2, L1,2) норма \\А\на < maX { L1, L2 , L1,2 }. Если для /<х1, х2) выбрать наименьшие возможные определяющие постоянные L1, L2, L1,2, то = max { ^1, L2 , L1,2 }. X зо X GO S a 34 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Имеет место следующая лемма. Лемма 4. Для любого натурального d и любого -1 < t < 1 справедливо следующее равенство: ю Z (к“ 1)tk = dtd+1 (1 “t)“1 + td+2(1 “t)“2. (10) k=d+1 Лемма доказывается с помощью почленного интегрирования ряда ю Z (k “ 1) tk“2 . k =d+1 Теорема 1. Если функция f (х1, х2) є Ha, то для нормы функционала погрешности кубатурной формулы (1), обладающей d-свойством, имеет место следующая оценка: ||SN|k* < 2“ad“2 (d (2a “ 1)“1 + (2a+2 “3)(2a “ 1)“2). (11) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть p > 1/a, а L1, L2, L1,2 - определяющие постоянные одного из классов Ha(L1, L2, L12), содержащих функцию /(х1, х2). Тогда в соответствии с леммой 2 где f <х1, х2 ' є Sp <А1, А2 , А1,2 ', 4 = 0,5lJ(2a “ 21 p), i = 1, 2; А12 = 0,5L12/(2a “ 21 p). Введем следующие обозначения: 2m “1 >( r' = Z 2<mH'/2 А= Z 2<m'-',/2 m1 >d Z L<л' Ap2><f) = Z 2(m2 m2 > . л=1 2m2 “‘ Z| J2 =1 m1,0 c< J2 ' ""0,m2 Аа2)( f) = Z 2<m1 “1^2+<m2 “1V2 m1 +m2 >d В силу (9) 2m?1 “1 2m2 “1 Z Z J1 =1 J2 =1 c< J1, J2' ~'m1 ,m2 А<п'(f) < Z 2<m”“1^2 2m”“1 (m <a+V2'“V2l ) mn >d = 2“d<a“Vp' l (а+1 “ 21 p+1) V p n = 1, 2. А<1,2)(f) < Z 2<m1 “1^2+ <m2 “1'/2 X m1 +m2 >d 2m1 “1 X 2m2“1 X(<m1 +m2'<a+V2'“1 l 2)p = 2“2“2pL12 Z 2“<m1 +m2'<a“Vp' m1 +m2 >d Так как в последней сумме каждому значению m1 + m2 = k соответствует (k - 1)-е слагаемое, то в силу равенства (10) имеем А^Чf) < 2“2“2/ pL12 Z (k “ 1) 2“k<a“1/p' = k >d d X 2“d<a“^p'“1“^p ^2a+1 “ 21 p+1 ) + + 2' “d (a“ Vp' ^2a+1 “ 21 p+1 )“ (14) L1,2. Применяя (7), (13), (14), из (8) с учетом (12) получим + 0,5L |Sn[f ]| < 2“ad“1 {(A+ L2 )( “ 21 p )“1 d (2а “ 21 p )“1 + 21 p (2a “ 21 p ) (15) Тогда |Sn[f ]| < 2“ad“1 {(Т, + L2 )(2a “ 1) + 0,5^,, d(2a “ 1) 1 +(2a “1)“ (16) (12) 1 p поскольку выражение в левой части (16) может быть представлено в виде inf {2“ad“1 (L1 + L2)(2a “21/p ) + + 0,5L12 ^d (2a “ 21 p )“1 + 21 p (2а “ 21 p ) “2 j Выберем в качестве L1, L2, L1,2 наименьшие возможные определяющие постоянные для /хь х2). В соответствии с леммой 3 из неравенства (16) получим: |SN[ f ]| < 2“ad“12 (а “ 1)“ + 0,5 d(а “ 1) “ + (а “ 1) (13) Применим первое из неравенств (9) к выражению А£,2'( f): Отсюда следует неравенство (11). Теорема доказана. Рассмотрим теперь кубатурные формулы (1), обладающие d-свойством, число узлов которых N ~ 2d при d ^ да. Указанному условию удовлетворяют минимальные кубатурные формулы, т. е. формулы с наименьшим возможным числом узлов, обладающие d-свойством, которые были построены в [3] для значений d > 5 (число узлов каждой такой формулы N = 2d - X(d), где іу/ 2+1 “ 2 при d = 2l, X(d) = <! , [3 X 2<d “1)/2 “ 2 при d = 2l “ 1, l = 3, 4,.... Тогда в силу (11) имеет место следующая теорема. Теорема 2. Если кубатурная формула (1), число узлов которой N ~ 2d при d ^ да, обладает d-свойством, то норма ее функционала погрешности удовлетворяет неравенству IIMHa <в<N>, где © (N) ~ 0,25N“a log2 N (2а “ 1) при N ^ ю . 35 Математика, механика, информатика В [1] рассмотрены кубатурные формулы 1 1 1 {{••• j f (x1, х2, - , хп ' Лх1 ^2 - ^n * (17) N i=1 с 2d узлами (х('', ДО .<i' х('' 1 , х2 > >хП') хп') є [0, 1]n, образующими П^-сетки (0 < т < d ), и доказано, что они точны на полиномах Хаара степеней s < d - т. В данной статье доказано асимптотическое равенство [1] для нормы функционала погрешности таких формул на пространствах Ha IISN|l . = O(N“a lnn“1 N), N ^ ю. II ,,Ha норма функционала погрешности изученных автором данной статьи, Очевидно, что IIsn||h: фоPмул, при N ~ 2d, d ^ да тоже ограничена по сравнению с N-a ln N, N ^ да. В частности, условию N ~ 2d, d ^ да удовлетворяют кубатурные формулы, построенные в [3]. Данные формулы являются в некотором смысле обобщением формул, исследованных в [1] для случая n = 2. В то же время они, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость Sn[/] к нулю при N ^ да.