ON FEEBLE SOLUBILITY OF MIXED PROBLEM FOR NONLINEAR EQUATION WITH PSEUDO-PARABOLIC OPERATOR OF HIGH DEGREE

Resumo

The author studies problems of feeble solubility of mixed value problem for nonlinear partial differential equations with pseudo-parabolic operator of arbitrary natural power.

Texto integral

В области D рассматривается уравнение с начальными ^д д 2m+1 д 4m+1 д 4m Лn u (t, Х) |t =0 =ф1 (x^ д 14m д 2m+‘ д 4m+‘ д4 --+ (-1) V----+ VU----\---— д t д t д X2m д t д X4m д X4m / l(t, x) = f (t, X, u (t, x)) д t (1) дj 1 - (2) w -—u (t,x)11=0 =ф j (x), j = 2,n 110 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева и граничными условиями u (t, x)| x =0 = uxx(t, x)| x=0 =... д 2(2nm-1) -u (t, x)l x=0 = д x 2(2nm-1) = u (t, x)| x=l = uxx(t, x)| x=l =... д 2(2nm-1) д x 2(2nm-1) u (t, x)| x=l = 0, ф (t, x) таких, что ф (t, x), д 2 ф(t,x), ..., д 2(2 nm-1) Ф (t, x) при фиксированд x2 .....д x2(2 nm-1) ном t e DT принадлежат области определения операз4nm-2 тора д д x 4 nm-2 имеют производные порядка k по t , Tl JJlu (t, y) д ” д -Ф+n--—-— atn atn-1 Су4 m n+4m-' n (n-1) д n+4m Л Ф+—---;-;—тФ + 2 Ctn-2 cy 4m+2 n(n-1) д 4 nm-2 :n4 nm-1 2 ,4nm-4 Ф+n at cy 4nm-2 Ф+- Cy 4nm Ф+ +V atn ay2m Ф+n an ctn-1 Cy 6 m n (n-1) an Ф+—-—--Ф+ 2 atn-2 ay 6m+2 + ... + n (n -1) a 4nm+2m-2 2 at2 cy 2 ,4nm+2m-4 Ф+n a at cy 4nm+2m-1 Ф 4nm+2m-2 (3) +V|a f д n+4m + n ,4m + ... + Ctn Cy n(n -1) д Cn+8m-i n(n-1) Cn+8m Л Ф+n-:-— Ф+ —-----—Ф+ ctn-1 CySm 4nm+4m-2 n-2 ,8m+2 где f (t, x,u) e С (D x R), ф j (x) e C 2nm+1 (Dj) , = ... = ф j4nm-2)(x)| x=0 = ф j (x)| x=0 = ф” (x)| x=0 = = Ф j (x) | x=l = Ф j (x) | x=l = . .. = Ф j(4”m-2) (x) x=l = 0 , j = 1 n , D = DT xDt, DT = [ 0,T ] , Dt = [ 0,l ] , 0 <l <ro, 0 < T < да , 0 <v , ц - малые параметры, n, m - натуральные числа. Следует отметить, что изучению разного типа линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и их систем посвящено много работ и при этом применены разные методы [1-3]. В данной работе, в отличие от работ [4; 5], используется метод разделения переменных, основанный на поиске решения смешанной задачи (1)-(3) в виде u (t, x) = lim £ f 1 - al (t) • bl (x), (4) Ni =1 V N ) где bt(x) = ^jy sinx^, Xf ^ . Обозначается через ^2(k) (D) множество функций принадлежащие L 2(D), и обращаются в нуль при t - T -5 (0 <8 - зависит от Ф (t, x)). Определение. Если функция u (t, x) e C (D) удовлетворяет интегральному тождеству 2 at2 Cy 4nm+4m-4 Ф+n д at Cy4 2 atn-2 Су 4nm+4m-1 — Ф ; dydt =J Ф1(у) an-’ a n+4 m-2 n (n -1) ■Ф+n--—— Ф+—--atn atn-2 cy4m лn+4m-1 ctn-3 dy 4 m+2 Ф «(n -1) a гФ + n -Ф- +V f a n+2m-1 ctn-1 dy 2m Ф+n atn-2 cy6m n (n-1) an Ф+—---;-г-тФ + n (n -1) a 2 ctn-3 Су 6 m+2 ?4nm+2m-2 Л -Ф + n -Ф +V|a f C n+4m-1 atn-ldy4m cn+8m-2 n(n-1) cn+8m-1 Л Ф+n--—— Ф+—-----—-—-Ф+ atn-2 ay8m 2 ctn-3 Су 8m+2 + ... + n (n -1) д 4nm+4m-3 2 dt dy 4nm+4m-4 Ф+n д dy 4 nm+4m-2 Ф 4nm+4m-2 dyt=0 - Jф2(У) an-2 a n+4m-3 n(n -1) a n+4m-2 Л -—Ф + n---— Ф+----------ТФ + Ctn-3 Су 4m n-4 rs .4m+2 2 ctn-4 Су +... + n(n- 1)(n-2) д 4nm-5 :s4nm-4 3! 4nm-6 +V f c n+2m-2 c --—— Ф + n — Ct dy 2m Ct dx n+6 m-3 4nm-4 n(n-1) C Ф+——-——Ф+ 2 ax n (n -1) дn Ctn-3 dy 6m Ф 2 ctn-4 dy6m+2 Фи(и-1)(n-2) a4nm+2m-5 Ф + n(n-1) a4nm+2m-4 ФЛ 3! +v ц ct Су f C n+4 m-2 4 nm+2m-6 2 Су 4nm+2m-4 atn-2 ay4 m Ф + n ^n+8m-3 atn-3 ay8 m Ф+ n (n -1) a n+8m-2 n-4 .8m+2 2 atn-4 ay >4 nm+4m-5 Ф+ ... + n (n -1) (n - 2) 3! a 4nm+4m-, n (n-1) a X-:-:-тФ + at dy l 4nm+4m-6 2 dy 4nm+4m-4 dy + t=0 -Jфn-2 (У) -Ф + n ■ at cy4 -Ф+ n (n -1) a 4 m+2 . 4 m+2 +V f a2m+2 at2 ay2 m f c^m+2 ct2cy4m a 6m+‘ n (n -1) a Ф + n-— Ф + —— 2 dy 6 m+2 Л Ф + at Cy 6 m Cy 6 m+2 Ф a8m+' n(n-1) a8m+2 л Ф+n-— Ф+—--- —-—-Ф dt dy 8m Су 8m+2 d+ t=0 + + + 111 Математика, механика, информатика +|ф„-1( У) Q д 4 m / g 2 m -Ф+n-:-Ф+V dt dy4 m Id/ dy —Ф+n—6-Ф + 2 m dy 6 m +V Ц f d 4 m+1 , 4 m 8 m I Ф + n--— Ф - |фn (y) dt dy 4 m dy 8 m dy t =0 Ф + V „ Ф + VU — dy2m dy Ф dy t=0 для любого Ф (t, x) e W2(n) (D), то она называется слабым решением смешанной задачи (1)-(3). В силу (4) из определения смешанной задачи (1)-(3) следует: 11 а Г (t) = w (t) + Ilfs,y,Nm.Zl1jNrla,rnw N т. е. x Pi (t, s) b (y) dyds; n f i -1' ;(t, x) = lim I| 1 ——I at (t) • bt (x) = N i=1 N f i -1 N =^N™^ |1 - N j b'( x) [ wi(t)+ l f N f , -1 1 1 s,y,lim I |1 —— Ia,(s)b, (y) Pi(t,s)bi (y) dyds n7“1 V N j J~l J +IIf P (t, s) = (n - 1)!(t - s)n e 0 (v , ц) e 1 (v , ц) = -• exp {-e 1i (v , ц)(/ - s)}; e 0 (v , ц) 0n / \ / i , 2 m 4 m \ n 0i (V , Ц) = ( + VX / + ^Xi ) . Теорема. Пусть выполняются следующие условия. 1. Функция f (t, x, и) при фиксированном t e DT непрерывна по (x, и) e Dt x R и удовлетворяет условию Гельдера по x. t 2. f (t,x, и) £ Lip jg (t) ^ }, где 0 <|g (s)ds <да; 0 3. Ilf (t,x, и0(t,x)) -g(t). 4. и0(t, x) e Cl(D), где , (t, x) = lim I f 1 -l—0 wi (t) • b i (x). N i =1 V N j Тогда уравнение и (t, x) = и 0 (t, x) + I N^X l1 - n! f (и У ь-(x) p- (t,s) ds, (5) где f (и ) = |f (s, y, и (t, y)) bi (y) dy имеет единственное решение в классе C1 (D). Доказательство. Если и (t, x) e C (D), то N I i =1 111 - ^J f (, ( , и 0(t, у )b, (y) dy - max| f (t,x,и0(t,x))|< g (t) bi(x) lim I \r Ji =1 IV1 - —Jf (t, у , и 0(t, y) )bi (y) dy = f (t, x, и 0(t, x)) , • bi(x) = причем сходимость равномерна по x для любого t e DT . Так как функция f (t, x, и (t, x)) удовлетворяет условию Гельдера, ее частичные суммы равномерно ограничены: I f (u )bi(x) -81 • f (u )| |C , 0 <S1 = const. Рассмотрим следующий итерационный процесс: и k+J (t, x) = и 0 (t, x) + +1 11 -VJf (uk) • ь-(x) p- (t,s) ds, (6) 0 i =1 где f (uk ) = lf (s, У, uk (t, y))bi (y)dy, k = 0, 1 2,..... Тогда из (6) следуют оценки u, (t, x) - и 0 (t, x) - I ^ 0 IIC (D) l N N 0 i =1 I N^Ih - 1-Nt I fi(u )bi(y) dy N bi(x) Pi(t, s) ds - - Л1 fi (u ) IIC (D) ■ Pi (t, s ) ds - I g (s) ds , (7) ‘k+1 (t,x)-uk (t,x)|| --1v ' k v ’ y IIc(D) (k +1 k+1 I g (s) ds . (8) llC (D) (k +1)! Из (7) и (8) следует равномерная сходимость при k последовательности функций { u k (t, x)} } к i =1 4 nm X 112 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева функции u (t, x), которая является решением уравнения (5). Единственность решения уравнения (5) следует из оценки | u (t, x)-&(t, x)||C (D) < < J g (s) || u (s, x) - & (s, x) 11C (D) ds, (9) если предположим, что уравнение (5) имеет два решения u (t, x) и & (t, x) в области D и применим] к (9) неравенства Гронуолла-Беллмана.