Бифуркационный анализ комбинированного преобразователя при изменении емкости выходного фильтра

Полный текст

Введение. Система электропитания космического аппарата представляет собой совокупность первичных и вторичных источников, электронных и электротехнических устройств, предназначенных для обеспечения бортовых потребителей электрической энергией заданного качества в штатных режимах [1]. Рассматриваемый комбинированный понижающе-повышающий преобразователь служит для построения силового модуля данной системы. Особенность его - получение выходного напряжения как ниже, так и выше напряжения входного источника [2; 3]. Важным аспектом создания любого устройства является его моделирование для дальнейшего исследования поведения в различных режимах работы [4]. Динамика замкнутых систем регулирования ключевого типа, к которым относится данный преобразователь, описывается нелинейными уравнениями кусочно-непрерывного типа для последующего применения бифуркационного подхода в анализе динамических режимов [5; 6]. Бифуркационный анализ позволяет определить теоретические границы изменения параметров системы (будь то индуктивность дросселя, коэффициент обратной связи, частота коммутации [7] и т. п.), при которых она будет находиться в устойчивом состоянии и при внешнем воздействии не изменит свои выходные параметры. В данном случае в качестве рассматриваемого параметра выбрана емкость выходного фильтра, которая может изменяться под влиянием внешних факторов. На схеме замещения преобразователя (риc. 1) приняты следующие обозначения: Uвх - входной источник ЭДС; Rвх - сопротивление входного источника; К1, К2 - силовые коммутационные элементы; VD1, VD2 - силовые диоды; RL - сопротивление обмоток дросселя; L - индуктивность дросселя; С - емкость выходного фильтра; Rн - сопротивление нагрузки; KU - коэффициент передачи звена обратной связи; Uу - управляющее напряжение; α - коэффициент усиления пропорционального звена; Uр1(t), Up2(t) - развертывающее напряжение (пилообразное), формируемое генераторами ГРН1, ГРН2; ξ1(UС, t), ξ2(UС, t) - коммутационные функции для управления ключами. Математическая модель преобразователя представляет собой систему дифференциальных уравнений, построенных в базисе коммутационно-разрывных функций [8], с переменными матрицами состояний А и В для каждого из возможных состояний схемы, зависящими от коммутационных функций KF(ξ): , (1) где X - вектор переменных состояний. В свою очередь, X = {iL, UC}, где iL - ток в дросселе; UC - напряжение на выходном конденсаторе. Данная математическая модель была рассмотрена ранее в [7; 9], где показана ее применимость для решения задач по поиску m-цикловых режимов работы преобразователя и описан алгоритм работы системы управления такой схемы. Управляющие импульсы напряжения KF для каждого из ключей К1, К2 формируются блоком импульсного модулятора по закону, представленному на рис. 2: , (2) где функции обратной связи ξi(X, t), i = 1, 2, служащие аргументом коммутационных функций KF1(ξ1) и KF2(ξ2) для соответствующего ключа, строятся как разность сигнала ошибки и развертывающего напряжения: i = 1, 2. (3) Развертывающее напряжение каждой зоны формируется по закону , i = 1, 2, (4) где Upm - амплитудное значение развертывающего напряжения; τ - период квантования ШИМ; E1 - целочисленная функция Антье; U0i - отклонение развертывающего напряжения каждой зоны. В системе управления применена многозонная модуляция для управления ключами К1, К2 с условием, что ключ повышающего преобразователя может переходить в замкнутое состояние только при условии, что ключ понижающего преобразователя находится в замкнутом состоянии [10], а также учитывая, что коммутационные функции принимают единичное значение только в начале тактового интервала (рис. 2). При моделировании принято, что преобразователь работает в режиме непрерывных токов и коммутационные функции формируются для обоих элементов К1 и К2, состояние же диодов VD1, VD2 противофазно коммутационным функциям соответствующих ключей. Рис. 1. Схема замещения понижающе-повышающего преобразователя со стабилизацией выходного напряжения Рис. 2. Формирование коммутационных функций ключей К1, К2 Состояние ключей К1, К2 в зависимости от коммутационных функций ξi(X, t), i = 1, 2, определяется принципами формирования импульсной последовательности (см. таблицу): 1. Если функция обратной связи для ключа К1 положительная (сигнал ошибки выше функции соответствующего развертывающего напряжения), т. е. ξ1(X, t) ≥ 0, и функция обратной связи ключа К2 также больше нуля, ξ2(X, t) ≥ 0, то состояние коммутационных функций KF1 = 0; KF2 = 0. 2. Если функция обратной связи первого ключа меньше нуля, ξ1(X, t) < 0, а функция обратной связи второго ключа больше нуля, ξ2(X, t) ≥ 0, то состояние функций KF1 = 1, KF2 = 0. 3. Если функция обратной связи для второго ключа становится меньше нуля, ξ2(X, t) < 0 (при функции обратной связи для первого ключа тоже меньше нуля, ξ1(X, t) < 0), то состояние функций KF1 = 1, KF2 = 1. Матрицы состояний А и В для различных состояний ключей Состояние ключей Матрица A Матрица B KF1 = 0; KF2 = 0 KF1 = 1; KF2 = 0 KF1 = 1; KF2 = 1 Решение общей задачи поиска X ввиду кусочной линейности матриц A и B может быть найдено аналитически - интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) на участках линейности [11; 12]. Это решение на каждом интервале линейности при начальных условиях X((k-1)τ) = Xk-1, где k - номер тактового периода ШИМ, может быть записано в виде (5) где - экспоненциальная матрица. Вычислительные эксперименты проводились в программном пакете MathLab R2012 с возможностью математического программирования. Для этого с использованием полученной математической модели была написана специальная программа. При проведении вычислительных экспериментов приняты следующие параметры модели: Rвх = 0,1 Ом; L = 1 мГн; RL = 10 мОм; Uоп = 6,3 В; Upm = 1,5 В; α = 1,5; f = 50 кГц. Параметры Uвх, Rвх и C являются варьируемыми величинами. В результате исследований получены бифуркационные диаграммы выходного напряжения преобразователя с активной нагрузкой (рис. 3-6). Переход выходного напряжения из одноциклового режима в десятицикловый без изменения входных параметров и элементов схемы (рис. 7) свидетельствует о возможности перехода преобразователя в неустойчивое рабочее состояние под влиянием внешнего воздействия [13]. Поиск устойчивых стационарных режимов следует искать из аналитического решения уравнений (2)-(5) [14; 15]. Рис. 3. Бифуркация напряжения на конденсаторе комбинированного преобразователя в зависимости от емкости выходного фильтра в режиме понижения (Uвх = 60 В) Рис. 4. Бифуркация напряжения на конденсаторе комбинированного преобразователя в зависимости от емкости выходного фильтра в режиме повышения (Uвх = 30 В) Рис. 5. Напряжение на выходном фильтре, одноцикловый режим Рис. 6. Напряжение на выходном фильтре, пятнадцатицикловый режим Рис. 7. Напряжение на выходном фильтре, момент перехода из одноциклового режима в десятицикловый Таким образом, в состоянии повышения комбинированный преобразователь работает в одноцикловом режиме при изменении емкости выходного фильтра от 10 до 15 мкФ. В состоянии понижения он имеет одноцикловый режим работы при изменении емкости фильтра от 12 до 28 мкФ. Заключение. Исследование показывает, что при проектировании импульсного преобразователя необходимо проводить глубокий анализ влияния изменения внутренних параметров на его выходные характеристики. Также показано, что с помощью предложенной математической модели возможно проведение анализа комбинированного преобразователя со стабилизацией выходного напряжения при исследовании устойчивости его работы. Так, для комбинированного преобразователя с параметрами, приведенными выше, следует выбирать емкость выходного фильтра в диапазоне от 12 до 15 мкФ с целью обеспечения его работы в устойчивом режиме.

Об авторах

В. И. Апасов

АО «Научно-производственный центр «Полюс»

Email: vovaap@mail.ru
Российская Федерация, 634041, г. Томск, просп. Кирова, 56в

С. Г. Михальченко

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Российская Федерация, 634045, г. Томск, ул. Вершинина, 74

Список литературы

Дополнительные файлы