МОДЕЛЬ СКОРОСТНОГО КОНВЕКТИВНОГО НАГРЕВА МЕТАЛЛА ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ В АЛГОРИТМАХ АСУТП

Полный текст

Введение. В современных системах управления техническими объектами регулирование по отклику (ПИД-регулирование) меняется на упреждающее регулирование с целью ресурсосбережения и повышения качества управления. В связи с этим требуются математические модели для управления металлургическими печами, позволяющие в режиме реального времени прогнозировать распределение температуры нагреваемых материалов в зависимости от изменения подаваемой мощности, время нагрева тел, режимов нагрева. В алгоритмах АСУТП удобно использовать либо статистические модели, либо упрощенные модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, как, например, в работах [1-3]. При этом встает вопрос о корректности использования таких моделей для исследования теплообменных процессов. Металл нагревают, чтобы придать ему определенные пластические свойства, необходимые для обработки давлением, или чтобы провести определенные изменения в его кристаллической решетке (термообработка) [4]. От условий нагрева зависит качество, количество и себестоимость готовой продукции. С одной стороны, нагревать нужно быстро, так как с уменьшением времени нагрева повышается производительность печи и снижается угар металла, но, с другой стороны, необходимо избегать перегрева поверхностей и разрушения металла под действием температурных напряжений. Также важным показателем является равномерность нагрева - разность температур поверхности и центра металла при выдаче из печи. В зависимости от вида дальнейшей обработки заготовок предъявляются определенные требования к этому показателю. Выравнивание температур требует изменения режимов нагрева, используется естественное выравнивание после выхода из печи. В практических условиях температуру внутри металла измеряют лишь в порядке эксперимента, и время нагрева заготовок с требуемой равномерностью подбирают опытным путем [5; 6]. Например, прокатка листов и лент из титана и его сплавов имеет ряд специфических особенностей, обусловленных высокой химической активностью и технологическими свойствами этого металла. Круглые титановые слитки, изготовленные из менее пластичных сплавов, перед прокаткой подвергают ковке с целью разрушения крупнозернистой структуры. Металл перед ковкой нагревают до 850-1000 °С в газовых или электрических печах с защитной или восстановительной газовой средой. Ковку ведут на прессах при малых скоростях и степени деформации, с промежуточными подогревами. Ковкой получают прямоугольные заготовки (сутунки), которые направляют на прокатку. Плоские слитки из пластичных сплавов подвергают непосредственно прокатке. Титановые слитки и сутунки перед прокаткой нагревают до 850-1050 °С. Температура в конце прокатки должна быть не ниже 700-800 °С, в противном случае делается повторный нагрев. Для улучшения качества поверхности листов из титана и его сплавов и получения заданных механических свойств горячая прокатка дополняется холодной или теплой при 200-400 °С, а для снятия наклепа предусматриваются промежуточные отжиги при 600-815 °С. Прокатанные листы получают толщиной от 0,3 мм и выше при ширине до 1220 мм [7]. Горячая прокатка алюминиевых слитков также имеет определенные требования к температурным режимам. Перед прокаткой слиток нагревают до 450-580 °С в зависимости от состава сплава и толщины. При повторной прокатке со скоростью 180-300 м/мин и при более высокой скорости на прокатной линии прокатку осуществляют с использованием стабильной эмульсии, начальная концентрация которой составляет 2-6 %, а температура на входе - 35-60 °С; температура металла при последнем проходе находится в пределах от 230 до 280 °С. Для получения требуемого профиля горячей полосы необходим тщательный контроль температуры [8-11]. Разработка математической модели и проведение исследований на реализованном программном обеспечении. В настоящей работе проведен сравнительный анализ различных математических моделей и расчетов нагрева материала в печи скоростного конвективного теплообмена. Нагрев материала в таких печах происходит посредством теплообмена материала с горячим газом. Газ приводится в движение различными способами, например, работой вентиляторов или за счет использования современных топливосжигающих устройств с высокой скоростью истечения струи [2]; коэффициенты теплообмена достигают значений 300-400 Вт/(м2·К). В качестве эталонной модели взята модель из книги [3]. В этой работе приводится пример расчета нагрева стального сляба. Динамическое распределение температуры по сечению сляба описывается уравнением теплопроводности (1) и краевыми условиями (2)-(4): - уравнение теплопроводности: (1) где a = λ/cρ - коэффициент температуропроводности; - начальное условие: ; (2) - граничное условие при y = 0 (середина сляба) является следствием симметрии температурного поля: ; (3) - граничное условие 3-го рода при y = δ, соответствующее постоянной температуре окружающей среды T0 и постоянному, не зависящему от температуры коэффициенту теплоотдачи α: . (4) Сляб нагревают в течение 480 с в печи скоростного конвективного нагрева. Половина толщины сляба δ равна 0,08 м, начальная температура сляба Tн = 1100 К. Температура газа T0 = 2000 К, коэффициент теплоотдачи α = 350 Вт/(м2∙К). Коэффициенты теплопроводности и температуропроводности соответственно равны: λ = 28 Вт/(м∙К) и а = 6,4∙10-6 м2/с. В литературе [3-5] приводится аналитическое решение этой задачи, которое получено методом разделения переменных: , (5) где , (m = 1, 2…) представляют собой характеристические числа, удовлетворяющие уравнению ; - критерий Био. Задача (1)-(4) авторами [3] решалась также численными методами с помощью явной и неявной разностных схем. Результаты расчетов при задании ∆y = = 0,016 м, ∆t = 16 с через 480 с с начала нагрева приведены в табл. 1. Аналогичные численные алгоритмы реализованы нами на языке программирования C++. Как видно из табл. 1, погрешность расчетов по разностным схемам по сравнению с точным решением незначительная, поэтому в дальнейшем для сравнений других моделей с эталоном в качестве эталона будем использовать расчеты по явной разностной схеме. Для нагрева тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр, шар) при граничных условиях третьего рода имеются аналитические решения, подобные (5), но они слишком громоздкие для инженерных расчетов. Поэтому в металлургической теплотехнике для определения температур поверхностей и центра слябов пользуются наборами специальных графиков для безразмерных температур в зависимости от критериев Bi и Fo [4]. Для алгоритмов автоматического управления нагревом металла в условиях изменения режимов набор графиков или аналитические решения не подходят не только в связи с громоздкостью, но также и в связи с возможным изменением режимов нагрева. Рассмотрим упрощенную модель нагрева материалов, учитывающую теплопроводность нагреваемого материала, удобную к использованию в АСУТП. Также предложенная модель позволяет оценивать разницу температур поверхности и середины сляба - в металлургической практике это называется равномерностью нагрева. Сляб по сечению (половина сечения) разбит на 2 зоны: основная (толстый слой) и пограничная (тонкий слой) (рис. 1). Уравнения (6), (7) определяют средние температуры в областях 0 ≤ y ≤ δ-ε и δ-ε ≤ y ≤ δ и среднюю температуру всего тела: (6) (7) , (8) где - средняя температура сляба на участке 0 ≤ y ≤ δ-ε; - средняя температура сляба на участке δ-ε ≤ y ≤δ; - средняя температура сляба на участке 0 ≤ y ≤ δ; - коэффициент теплопередачи. Уравнения (6) с начальными условиями (8) решались аналитически. Таблица 1 Сопоставление результатов расчета по явной (вариант 1) и неявной (вариант 2) разностным схемам с точным решением задачи (вариант 3) Вариант Температура, К, при y/δ Максимальная погрешность, К 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 1295,0 1305,4 1336,3 1386,7 1455,5 1540,6 1,6 2 1292,6 1303,0 1333,6 1383,9 1452,6 1538,0 1,9 3 1294,4 1304,8 1335,4 1385,8 1454,2 1539,0 - Аналитическое решение получено путем сведения уравнений (6) к неоднородному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами (9): (9) где ; , а1 = (δ - ε) ·с·ρ; . Решение запишется в виде (10) где (11) . В предельном случае ε = 0 решение задачи имеет вид , (12) где . Аналитическое решение удобно для быстрого анализа зависимостей необходимых времен нагрева от свойств материала, а также для использования непосредственно в управляющем контроллере одноуровневого АСУТП. Для случая изменения условий нагрева задача (6)-(8) решается численно. По разработанным компьютерным программам проведена серия расчетов и выполнен сравнительный анализ полученных результатов. Исходные данные для первого расчета приведены в табл. 2. Проведены исследования зависимости средней температуры по всей толщине сляба от толщины тонкого слоя. Результаты исследования представлены в табл. 3. По полученным результатам видно, что при уменьшении толщины тонкого слоя скорость нагрева падает по всей толщине сляба. Оптимальная толщина тонкого слоя ε = 0,016 м. На рис. 2. приведены расчеты средней температуры сляба отмеченными выше способами при исходных данных из табл. 2. Введены следующие обозначения: модель УЧП - (1)-(4), модель ОДУ - (6)-(8). Как видно из рис. 2, решения практически совпадают и имеют отличия не более 3-х градусов. На 480 с с начала нагрева средняя температура сляба по эталонной модели составляет 1380,338 К, по предложенной нами модели она составляет 1382,22 К при ε = 0,016. Это позволяет сделать вывод о том, что модель (6)-(8) ОДУ хорошо применима к объектам, обладающим достаточно высокой теплопроводностью, каковыми являются все металлы. Проведены аналогичные расчеты нагрева материалов с низкой теплопроводностью, исходные данные для второго расчета представлены в табл. 4, результаты расчетов - на рис. 3. Проведены исследования зависимости средней температуры по всей толщине нагреваемого тела от толщины тонкого слоя. Результаты исследования представлены в табл. 5. По полученным результатам видно, что при уменьшении толщины тонкого слоя скорость нагрева падает по всей толщине тела. Оптимальная толщина тонкого слоя ε = 0,01 м для равенства температур, рассчитанных по предложенной и эталонной моделям на 480 с расчетного нагрева. 0 δ-ε δ Рис. 1. Схематичный рисунок сляба, разбитого на участки 0 ≤ y ≤ δ-ε (толстый слой) и δ-ε ≤ y ≤ δ (тонкий слой) Таблица 2 Исходные данные задачи с заданной теплопроводностью 28 Вт/(м∙К) и шагом по времени 16 с Переменная Значение переменной Единицы измерения cρ 4375000 Дж∙кг/(К∙м3) α 350 Вт/(м2∙K) δ1 0,064 м ε 0,016 м δ 0,08 м k1-2 700 Вт/(м2∙K) t 4800 с dt 16 с Окончание табл. 2 Переменная Значение переменной Единицы измерения T0 2000 К λ 28 Вт/(м∙K) a 0,0000064 м2/с Tнач 1100 К Таблица 3 Результаты расчета по определению средних температур слоев по модели ОДУ при задании теплопроводности 28 Вт/(м∙K), шага по времени 16 с и времени нагрева 480 с Толщина тонкого слоя, м Средняя температура толстого слоя, К Средняя температура тонкого слоя, К Средняя температура сляба, К Средняя температура сляба по явной разностной схеме, К 0,0160 1343,01 1539,06 1382,22 1380,34 0,0100 1344,41 1549,52 1370,05 0,0050 1345,91 1557,58 1359,14 0,0045 1346,07 1559,88 1348,11 0,0040 1346,24 1559,12 1337,75 Рис. 2. Результаты расчетов средней температуры сляба при высокой теплопроводности материала по эталонной модели (модель УЧП) и по модели (9)-(11) (модель ОДУ) Таблица 4 Исходные данные задачи с заданной теплопроводностью 1 Вт/(м∙K) и шагом по времени 16 с Переменная Значение переменной Единицы измерения cρ 4375000 α 350 Вт/(м2∙K) δ1 0,064 м ε 0,016 м δ 0,08 м k1-2 25 t 4800 с dt 16 с T0 2000 К λ 1 Вт/(м∙K) a 2,29∙10-7 м2/с Tнач 1100 К Таблица 5 Результаты расчета по определению средних температур слоев по модели ОДУ при задании теплопроводности 1 Вт/(м∙K), шага по времени 16 с и времени нагрева 480 с Толщина тонкого слоя, м Средняя температура толстого слоя, К Средняя температура тонкого слоя, К Средняя температура сляба, К Средняя температура сляба по явной разностной схеме, К 0,016 1122,6 1883,72 1274,82 1224,949 0,013 1123,55 1911,34 1251,56 0,010 1124,64 1931,1 1225,44 0,005 1126,59 1941,47 1177,52 Рис. 3. Сравнение результатов расчета между эталонной моделью (модель УЧП) и моделью ОДУ по определению средней температуры тела при низкой теплопроводности нагреваемого материала, ε = 0,016 м В отличие от предыдущего случая (рис. 2), наблюдается разница в расчетах эталонной модели и предложенной. На 480 с нагрева эталонная модель дает температуру 1224,949 К, а предложенная модель - температуру 1274,824 К. Рис. 3 показывает, что за расчетное время 4800 с нагрев еще не вышел на стационарный режим, но уже наблюдается схождение расчетов по двум моделям. Тело разогревается до максимальной температуры, нагрев выходит на стационарный режим после 50 000 с с начала нагрева. Следует отметить, что на рис. 3 и 4 представлен разогрев металлического сляба или нагреваемого тела до значительных температур, редко достигаемых в промышленных печах, также и теплопроводности металлов не бывают ниже значения 15 Вт/(м∙K). Не совсем реальные значения температур и теплопроводностей взяты нами для выяснения границ применения модели. Из табл. 3 и 5 следует, что модель ОДУ требует правильного определения толщины тонкого слоя при расчете нагрева различных материалов. При использовании модели в АСУТП-печи нагрева это можно сделать один раз, путем сравнения с эталонной моделью или при сравнении с экспериментальными данными при известном диапазоне теплопроводностей греющихся в печи материалов. Обычно на производственном участке в печи технологической линии греют один вид продукции. Предполагаем, что при выборе правильной толщины тонкого слоя мы сможем скорректировать модель ОДУ с низкой теплопроводностью на этапе разогрева. На рис. 4 и 5 приведены примеры такого подбора для материала с низкой теплопроводностью и исходными данными для расчета из табл. 4. Видно, что при снижении толщины ε разница температур предложенной и эталонной модели уменьшается в выбранной нами контрольной точке 480 с, но при этом увеличивается отличие температур в точке 4800 с. При достаточно больших временах, при выходе на стационарный режим результаты расчетов совпадают. Поэтому для правильного определения ε необходимо при нагреве материалов ориентироваться на времена выдержки материала в печи и заданные температуры нагрева соответствующих материалов. Разработанная модель и программное обеспечение могут быть использованы в компьютерных тренажерах для отладки АСУТП и обучения операторов прокатных линий, подобных описанным в работах [12-15]. Рис. 4. Сравнение результатов расчета между эталонной моделью (модель УЧП) и моделью ОДУ по определению средней температуры тела при низкой теплопроводности нагреваемого материала, ε = 0,013 м Рис. 5. Сравнение результатов расчета между эталонной моделью (модель УЧП) и моделью ОДУ по определению средней температуры тела при низкой теплопроводности нагреваемого материала, ε = 0,01 м Заключение. Предложена модель нагрева материалов в печи скоростного конвективного нагрева, построенная на обыкновенных дифференциальных уравнениях и позволяющая при работе в составе АСУТП рассчитывать скорости и режимы нагревов, оценивать равномерности нагревов слитков для предоставления этих данных оператору или для автоматического принятия решения об изменении подводимой мощности или изменении времени нагрева. Благодарности. Авторы выражают благодарность Светлане Михайловне Тиньковой за консультации по металлургической теплотехнике. Acknowledgments. The authors thank Svetlana Mikhailovna Tinkova for advice on metallurgical heat engineering.

Об авторах

В. М. Белолипецкий

Институт вычислительного моделирования СО РАН

Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 55/44

Т. В. Пискажова

Сибирский федеральный университет

Российская Федерация, 660025, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 95

А. А. Портянкин

Сибирский федеральный университет

Email: aaportyankin@gmail.com
Российская Федерация, 660025, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 95

Список литературы

Дополнительные файлы