МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЙНОЙ СТРУКТУРЫ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП

Полный текст

Введение. Ранее С. Н. Черниковым исследовались бесконечные слойно конечные группы, которые впервые появились в его работах сначала без названия, а затем в его последующих публикациях за ними закрепилось название слойно конечных групп. Мы будем исследо- вать мощности слоев в некоторых слойно конечных группах. Слоем называется множество всех элементов группы одного порядка. Наиболее интенсивные исследования свойств слойно конечных групп проводили в 1940-х - 1950-х годах С. Н. Черников, Р. Бэр, X. X. Мухаммеджан. К концу 1950-х годов основные свойства были уже получены где m - число квазициклических групп в прямом разложении группы C ¥ ´⋯´ C ¥ . .p . ,p m Изобразим это на графике (рис. 2). p p При моделировании картины, представляющей со- бой мощности слоев группы С ¥ ´ C k , будем иметь дело с двумя функциями, содержащими значения, соот- ветствующие мощностям слоев, которые имеют вид 2 p2 -1 и опубликованы в различных журналах. В таком виде они оставались до 1980 г., когда появилась монография y = x , при p2 p £ x £ pk , С. Н. Черникова [1]. Свойства слойно конечных и почти слойно конечных групп рассматриваются в работах [2-13]. y = x ( pk - pk -1 ), при x > pk . Изобразим это на графике (рис. 3). График функции мощности слоев группы Если все слои элементов в группе конечны, то для такой группы возможно функциональное описание С ¥ ´ C , начиная со значения p до значения pk , k мощности слоев. p p представляет собой точки, лежащие на параболе, В статье дается функциональное описание для некоторых слойно конечных групп. Показано, и с pk +1 до pk +m - точки, лежащие на прямой. что поддаются визуализации примарные слойно конеч- ные группы и слойно конечные группы в случае двух простых делителей порядков элементов группы. В слу- чае двух простых делителей проведена визуализация при помощи поверхностей в трехмерном пространстве. Для большего числа простых делителей предложен под- ход при помощи подгруппового анализа. Моделирова- ние слоев в группах при помощи слойных графов можно найти в работах [14; 15]. Основной результат. Сначала в качестве примера рассмотрим некоторые слойно конечные p-группы и их конечные расширения. p Найдем мощности слоев группы C ¥ , где p - про- Рассмотрим группу C ¥ ´ C ¥ , где p < q . График p q p q функции мощности слоев группы C ¥ ´ C ¥ (рис. 4) представляет собой точки, лежащие на сегменте поверхности второго порядка с абсцисса- ми p, p2, …, pn, …, и ординатами q, q2, …, qn, …, задаваемой уравнением z = x p -1 y q -1 , x ³ p, y ³ q. p q 2 3 3 5 Рассмотрим группы с числом простых делителей элементов, больше двух. Для примера, рассмотрим группу C ¥ ´ С ¥ ´ C ¥ ´ C ¥ . Изобразить ее мощности p стое число. В группе C ¥ один элемент порядка 1, слоев сложно, для этого удобно работать в четырехмерном пространстве. Будем работать с подp -1 элемент порядка p , p2 - p элементов группами, отвечающими паре простых чисел. Например, порядка p2 , …, pn - pn-1 элементов порядка pn , … 2, 3, изображая мощности части слоев, отвечающие номерам слоев, делящихся на 2 и 3. Получается подp 3 3 2 График функции мощности слоев группы C ¥ группа C ¥ ´ С ¥ ´ C ¥ . представляет собой точки, лежащие на прямой с уравнением: y = x p -1 , x ³ p. Функция мощности слоев этой подгруппы будет иметь вид 4xy2 p z = , x ³ p, y ³ q. 9 Изобразим это на графике (рис. 1). В случае большего числа прямых множителей график функции мощности слоев группы Слойная картина в этом случае будет иметь вид, представленный на рис. 5. Видно, что полученная иллюстрация представляет C ¥ ´⋯´ C ¥ .p_. ,p m представляет собой точки, лежащие точки с абсциссами 2, 22, 23, … и ординатами 3, 32, 33, …, лежащие на сегменте поверхности. Еще рассмотрим пару простых чисел 3, 5, изобрана кривой с уравнением m p 1 m y = x pm 3 3 5 , x ³ p, жая мощности части слоев, отвечающие номерам сло- ев, делящихся на 3 и 5. Получается подгруппа C ¥ ´ С ¥ ´ С ¥ . Функция мощности слоев этой подгруппы будет иметь вид 32x2 y z = , x ³ p, y ³ q. 45 Слойная картина в этом случае показана на рис. 6. Видно, что полученная иллюстрация представляет точки с абсциссами 3, 32, 33, … и ординатами 5, 52, 53, …, лежащие на сегменте поверхности. p Рис. 1. График функции мощности слоев группы C ¥ p Fig. 1. Graph of capacity function of layers of the group C ¥ Рис. 2. График функции мощности слоев группы C ¥ ´⋯´ C ¥ .p . ,p m Fig. 2. Graph of capacity function of layers of the group C ¥ ´⋯´ C ¥ .p . ,p m p p Рис. 3. Слойная картина группы С ¥ ´ C k p p Fig. 3. A layered picture of the group С ¥ ´ C k p q Рис. 4. Слойная картина группы C ¥ ´ C ¥ p q Fig. 4. A layered picture of the group C ¥ ´ C ¥ 2 5 Осталось рассмотреть случай пары чисел 2 и 5. Этому случаю соответствует подгруппа C ¥ ´ С ¥ . Функция мощности слоев этой группы будет 52, 53, …, лежащие на сегменте поверхности второго порядка. Рассматривая эти три подгруппы, можно представить себе, как выглядит слойная картина группы иметь вид 2xy C2¥ ´ С3¥ ´ C3¥ ´ C5¥ . z = , x ³ p, y ³ q. 5 Слойная картина в этом случае будет иметь вид, представленный на рис. 7. Видно, что полученная иллюстрация представляет точки с абсциссами 2, 22, 23, … и ординатами 5, Аналогично рассмотренному примеру можем рас- сматривать произвольную полную слойно конечную группу (так как полная слойно конечная группа явля- ется прямым произведением конечного числа квази- циклических групп) с числом делителей порядков элементов больше двух. 2 3 3 Рис. 5. Слойная картина подгруппы C ¥ ´ С ¥ ´ C ¥ 2 3 3 Fig. 5. A layered picture of the group C ¥ ´ С ¥ ´ C ¥ 3 3 5 Рис. 6. Слойная картина подгруппы C ¥ ´ С ¥ ´ С ¥ 3 3 5 Fig. 6. A layered picture of the group C ¥ ´ С ¥ ´ С ¥ 2 5 Рис. 7. Слойная картина подгруппы C ¥ ´ С ¥ 2 5 Fig. 7. A layered picture of the group C ¥ ´ С ¥ Заключение. В статье найдены функции, по кото- рым вычисляются мощности слоев некоторых полных слойно конечных групп и их конечных расширений, продемонстрированы их графические представления. Построены графики для функций, описывающих мощности слоев примарных слойно конечных групп. В случае двух простых делителей порядков элементов группы проведена визуализация при помощи поверх- ностей в трехмерном пространстве. Для большего числа простых делителей предложен подход при по- мощи подгруппового анализа.

Об авторах

В. И. Сенашов

Сибирский федеральный университет; Институт вычислительного моделирования СО РАН

Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79; Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44

Д. К. Белов

Сибирский федеральный университет

Email: white94@inbox.ru
Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79

Список литературы

Дополнительные файлы