НЕОДНОРОДНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ И АМЕБЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ

Полный текст

Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений - дискретизация дифференциальных. Так, дискретизация уравнения Коши-Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций, которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе [1; 2]. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям [3]. Одно из важнейших свойств разностной схемы - устойчивость. В теории Лакса [4] теорема эквивалентности утверждает, что если исходная дифференциальная задача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости. В монографии [5] исследована устойчивость однородной двухслойной линейной разностной схемы с постоянными коэффициентами. Условие устойчивости здесь дается в терминах, связанных с понятием разностной функции Грина задачи Коши. В работе [6] к исследованию устойчивости многослойных однородных разностных схем применяется теория амеб алгебраических гиперповерхностей. В данной работе исследуется случай неоднородных разностных схем. В первом параграфе получена формула для решения задачи Коши через ее фундаментальное решение (Теорема 1). Во втором параграфе формулируется и доказывается критерий устойчивости задачи Коши для многослойной линейной неоднородной разностной схемы (Теорема 2) в терминах теории амеб алгебраических гиперповерхностей. Формула для решения задачи Коши. Введем необходимые обозначения и определения. Пусть 5, оператор сдвига по j-ой переменной S/(x) = f(x1, P (8,8n+1 )= £ Xj-1, Xj+1, Xj+\, xn). Обозначим Р)єА ''ар' 8“8?,1 полиномиальный разподмножество целочисленной решетки Zn+ , и 5 = (51, 52, ..., 5n), а = (аь а* ..., on) и 8а =8^8а2...8^ . Рассмотрим разностные операторы с постоянными коэффициентами, характеристический многочлен P(z,w) которых имеет вид P(z, w) = Pm(z)wm + Pm-1(z)wm + Po(z), где Pj(z) являются многочленами переменных z = (zb z2, ..., zn) и коэффициент при старшей по w степени Pm(z) = 1. Это означает, что (0, m) є A и для всех (а, в) є A, (а, в) Ф (0, m) выполняется условие m > р. (*) Такие разностные уравнения возникают в теории разностных схем и ниже мы будем использовать терминологию этой теории. Сформулируем задачу Коши для неоднородной (m + 1)-слойной линейной разностной схемы вида +£ P, (8)8; к=1 m-к n+1 f (x, y) = g (x, y), (1) ностный оператор, то есть A = (а, в) - конечное где Pj(5) - полиномиальные разностные операторы с постоянными коэффициентами; g(x,y) - заданная функция и x = (xb x2, ..., xn) є Zn . Найти решение f(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям f (Xy) = 9y (xXy = m -1, (2) где 9y(x) - заданные функции переменных x = (xb x2, ..., xn) Є Zn . Определение 1. Решение P (x, y) разностного уравнения P(5, 5n+:)P (x,y) = 5(o,o)(x, y), (x, y) є Zn+', удовлетворяющее начальным условиям P (x,y) = 0,y = 0, 1, ..., m - 1, 8 To, если (x, y) Ф (0,0) где 8(o o) (x, y) = \ называется фун- (0,0^ [1, если (x, y) = (0,0) даментальным решением (функцией Грина) задачи (1)-(2). 96 Математика, механика, информатика Определим на Zn+ две функции: |фу (x), дляx є Zn,y = 0,1,...,m -1, ф( x, y) = ■ jQ, для x є Zn, y > m; Ц( x, y) = aapф(x + a, y + P), x є Zn, - m < y < 0. (a,p^A Обозначим через П = {(x, у)є Zn+1: y > 0} «полупространство» Zn+1. Приведем формулу для решения задачи (1)-(2), в которой искомое решение выражается через входные данные и фундаментальное решение. Теорема 1. Если f(x, у) решение задачи Коши (1)-(2), то для (x, у) є П справедлива формула fx, у) = =fo(x, у) + f(x, у), где fo(x, У) = S^(x', y P(x - x', y - у'), (3) (х', у') причем суммирование проводится по всем точкам (x',y^ Zn+1, удовлетворяющим условию - m <у' < 0, а f*(x, у) = X g (x', у P(x - x', у - у'), (4) ( x', у') где суммирование проводится по всем точкам (x', у') є Zn+1, удовлетворяющим условию 0 < у' < m-1. При этом для любого фиксированного (x, у) є П число слагаемых для fQ и f конечно. Замечание. Отметим, что fQ(x, у) - решение однородной задачи Коши, f (x, у) - частное решение с нулевыми начальными данными. В случае двухслойных разностных схем эта формула была получена в монографии [5], для задачи Коши в положительном октанте Z ++1 целочисленной решетки Zn в [7], для многослойных однородных разностных схем в [6]. Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма. Лемма. Пусть K - конус в ®п+У) порожденный векторами a = (Оъ..., a„, an+1), j = 1, 2, ..., m. K = j(x, у) є Mn+1 :(x, y) = X Xо , X > 0 j. Если a n+1 > 0 для j = 1, ..., m, то пересечение конуса K с гиперплоскостью у = const является ограниченным множеством. Доказательство. Всякая точка (x, у) є K представляется в виде (x,у) = XXjaj , где Xj > 0, j = 1, ..., m. j=1 Точки (x, у) є K П {у = const}, следовательно, определяются из уравнения относительно X1, ., Xm вида an+1X1 + ... + am+1X m = cons1, в котором коэффициенты Оп+1 > 0. Множество Л = {X} решений X = (X1, . , Xm) такого уравнения - ограниченное множество в Rm , а конус K можно рассматривать как образ множества Л при линейном преобра зовании, матрица которого составлена из координат векторов aj. Доказательство теоремы 1. Покажем, что число слагаемых в правой части формул (3), (4) конечно. Из ограничения (*) на характеристический многочлен P(z, w) следует, что m - в > 0 для всех (а, в) є A, (a, в) Ф Ф (0, m). Ниже (см. § 2) будет показано, что носитель фундаментального решения P(x, у) (т. е. множество suppP = (x, у): P(x, у) Ф 0) лежит в конусе K порожденном векторами (0, m) - (a, в). Согласно лемме, для фиксированного у это означает, что число значений фундаментального решения P(x, у), не равных нулю, конечно. Докажем, что формулы (3), (4) дают решение уравнения (1). Действительно, P(5, Sn+Of = P(5,5n+1) fo(x, у) + P(5, Sn+fx, у). При у > 0 с учетом определения фундаментального решения для любых (x, у) є П, имеем у -у' > 0, т. е. X x' у')5(0 0) (x- x',у -у') = Q, тогда (x', У) P(5,5n+1) f = X ^( x', у ')5(q,q)( x - x', у- у,)+ (x', у '):-m< у '<0 + X g (x', у ')5(q,q) (x - x', у - у') = g (x, у). ( x', у1): у '>0 Проверим выполнение условия (2). Пусть 0 < у < m-1. Так как суммирование здесь ведется по всем (x'y) таким, что -m < у' < -1, то f (x, у) = 0. Имеем f (x, у) = fo( x, у) = = X X °a^(x'+a, у'+в) (x',у') ^(a,p)єA P(x - x', у - у'). Во внутренней сумме суммируем по тем (a, в), для которых -у' < в < m, так как для остальных (a, в) имеем ф^' + a, у' + в) = 0. Меняя порядок суммирования f (^у) = X aafi X Ф(x' + a,у'+в)х (a,в)єA (x', у') х P(x + a - (x + a), у + в - (у' + в)) и индексы суммирования x" = x’ + a, у” = у + в после приведения во внутренней сумме подобных при Ф^", у”), получим f(x,у) = X a^ X Ф(x",y")P(x + a-x",у + в-у") = (a, в) ( x, у') = X Ф(x^уП) X aa,вP(x - x +a,у ~у" +в). (x ", у ") (a,в)єA: у "+1<в<m Здесь уже суммируем по (x'', у”) таким, что 0 < у'' < < m-1 и по (a, в) таким, что у” + 1 < в < m, поэтому для 0 < в < у” в силу неравенств 0 < у < m-1 по определению фундаментального решения имеем P(x -x'' + a,у - у'' + в) = 0. Тогда 97 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 f (x y )= £ ф( x", у" ) х (x", y" ):°< y"<m-1 х £ aа вР(x - x''+а, y - y" + P) = (a,p^A:0<p<m = £ ф(x", y")P(8,8n+j)P(x - x", y - у) = ( x”, у ) = £ ф(x", у")8(o,o)(x - x", у - у") = ф(x, у). (x", у ) Устойчивость и амебы алгебраических гиперповерхностей. Приведем некоторые сведения из теории амеб алгебраических гиперповерхностей (см. [8]). Определение 2. Многогранником Ньютона NP многочлена P (z, w) = £ a^zаwp называется вы- (а,р)єА пуклая оболочка в элементов множества A. P(z, w) на вида 1 1 P(z,w) wm + £ яа,р zа wp (а, р)єА' =_1_ = wm (1 - £ (-a^p) zа wp-m) (а, р)єА' = Чт £ (-“арzа»в-* )к = £ Р (x, у) w к =0 ( x, у )є(0,* )+Ko,m HZ n+1 z w x у+1 ЛЛ)' где A' = A\{0, m}, (x, у) є (0, m) + K°,m П Zn+', а Ko,m -конус, построенный на векторах (0, m) - (а, в), (а, в) є A. Непосредственно проверяется, что Р(x, у) - фундаментальное решение и suppP с K°,m. Для произвольной функции 9(x, у), заданной в полупространстве П = {(x, у) є Zn+' :у > o}, определим ее норму следующим образом ||ф(x, y)|| = sup |ф(x, у)|. ( x, У)єП Пусть V = {(z, w) є Cn+' :P(z, w) = 0} - множество нулей многочлена P(z, w), оно называется характеристическим множеством. Определение 3. Амебой алгебраической гиперповерхности называется образ множества нулей V многочлена P (z, w) = £ a^ z<x wp при отображении ^,p^A log: (z, w) = (zb ..., zn, w) ^ ^ (loglzxl, ..., log|zn|, log|w|) = (log|z|, log|w|). Отметим следующие свойства амебы. Множество V, а значит и logV, замкнуто, поэтому его дополнение открыто. Оно состоит из конечного числа связных выпуклых компонент и вершине (0, m) многогранника Ньютона NP соответствует связная компонента E°,m дополнения амебы, в которой рациональная функция —1— разлагается в ряд Лора- Определение 4. Назовем задачу (1)-(2) устойчивой, если существует константа L > 0 такая, что при любых ограниченных начальных данных (2) и ограниченной правой части g(x,y) для соответствующего решения f выполняется неравенство Ilf II < L Теорема 2. Пусть E°,m - связная компонента дополнения амебы характеристического многочлена P(z, w), соответствующая вершине (0, m) многогранника Ньютона. Задача Коши (1)-(2) устойчива тогда и только тогда, когда начало координат принадлежит E0,m, т. е. (0, 0) є E0,m. Доказательство. Пусть задача (1)-(2) устойчива, докажем, что начало координат принадлежит E°,m. Для произвольной фиксированной точки (xb уі) є П найдем решение задачи (1)-(2) для начальных данных 9(x, у) = 0 и правой части g(x, у), построенной , следующим образом: (5) ( , J,!’ ^У - У) , P, (Ч - x, У! - .У) Ф 0, g(x1,У1)(X У) = j |Pm (x1 - X, У1 -У) ,0, Pm (x1 - X, У1 - У) = °. Согласно теореме 1, для решения fx1y1)(x, у) задачи (1)-(2) с этими входными данными 9(x, у) = °, g = g(x1,y1) имеем f(x1, У1)(x, У) = £ g(x1, y1)( ^ y')Pm (x - X', У-'). ( x', у')єП При (x, y) = (x1, y1) получим, что /(X1,У1)(X, У) = £ (x1 - < У1 - У) = (x',у')єп |Pm (x1 - x ,У1 -У) = £ |Pm (x1 - x', У1 - y’)\ = £ |pm (X", y"^. (x\ у')єП (x", y") Так как ||ф|| = 0 и | |g(x1,y1)| | < 1, то в силу устойчивости задачи (1)-(2) получим |f(x1,У1)(X1, *)| = £ |ри (X ", У ")| < K ( x'', У') для некоторого K > ° и произвольной точке (x1, y1) є П. ^\Pm (X, У^ , Это означает, что ряд £J—x—y+p сходится при z = 1, w = 1, а значит точка (°,°)є E°,m. Пусть начало координат (0, °) є E°,m, докажем, что задача Коши (1)-(2) устойчива. Пусть 9(x, у) - начальные данные и ||ф|| < +да. Согласно теореме 1 соответствующее решение разностного уравнения можно записать в виде f (x, У) = £ Ц(x ', у ')Р(x - x', у - у ') + ( X', У ) + £ g(x', y')P(X - x', У - у'), ( x', У') где ц( X, у) = £ aapф(x + а,у + Р), x є Zn, -m < y < °. ^,p^A 98 Математика, механика, информатика Оценим функцию fx,y): I/C^ у^ < X X Кв)^' +a, у + в)1 lP(x - ^ у - + (x, у) (a, в)єA + X g(x', у' ) ll P(x - x, у - у') |< (x, у) <1|ф|| X X Кв| lP(x - ^ у - у()| + (x,у') (a^eA + ll g ll X IP(x - x,у -y")l< (x, у') <l\Ні X lP(x-x',у-у '+1)1+ (x',y') + ll g ll X lP(x - x',у - y')l, (x, у) где L 1 = X КвІ. (a,в)єA Так как точка (0,0) є E0m, то ряд X P(x, у (x, у )єП сходится, причем абсолютно в точке z = 1, w = 1, т. е. X IP(x, у)| < L2, где L2 - некоторая константа. ( x, у )єП Получаем \f (x, y^ < L • L2 -|H| + L2 • ll g ll< L • (У Ф ll + ll g УХ где L = max{L1 L2, L2} и по определению это означает, что задача Коши (1)-(2) устойчива. В качестве примера, иллюстрирующего теорему 2, рассмотрим задачу (1)-(2) для разностного оператора P(51,52) =52 - 4 51 -1. Амеба его характеристического многочлена P(z, w) = w - -4z -3 имеет вид представленный на рисунке: *logM Обозначения на рисунке следующие: E01, E10, E0,0 - компоненты дополнения амебы, соответствующие вершинам (0,1), (1,0), (0,0) многогранника Ньютона. Заштрихованная на рисунке область - амеба. По рисунку видно, что (0; 0) є E01, поэтому задача (1)-(2) для этого оператора устойчива. Тот же результат получается, если использовать известные методы теории схем [4].

Об авторах

М. С. Рогозина

Сибирский федеральный университет

Email: rogozina.marina@mail.ru
Россия, 660041, Красноярск, просп. Свободный, 79

Список литературы

Дополнительные файлы