ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕЖИМАМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПЕЧЕЙ

Полный текст

Автоматизированная система регулирования (АСР) технологическими печами предназначена для поддержания оптимальной температуры нагреваемого продукта на выходе из печи с одновременным снижением расхода жидкого топлива и уменьшением загрязнения окружающей среды продуктами сгорания, предусматривающая максимальное использование топливного газа. В качестве объекта управления выбрана секция С-100 установки ЛК-6У по переработке нефти, состоящая из трех трубчатых печей: П-101, П-102, П-103. Печь П-101 состоит из 8 секций, расположенных в виде двух блоков по четыре секции друг против друга и отдельно стоящих девятой и десятой секций. Все секции печи П-101 (первая и пятая) предназначены для нагрева горячей циркулирующей струи колонны К-101, остальные восемь секций предназначены для нагрева сырья колонны К-102. Печь П-102 состо ит из одной отдельно стоящей секции. Она предназначена для поддержания температуры низа стабилизационной колонны К-104.Печь П-103 состоит из одной отдельно стоящей секции. Она может быть использована для нагрева горячей циркулирующей струи колонны К-101 или для нагрева сырья колонны К-102. АСР используется для регулирования разряжения в печах по всему тракту движения дымовых газов с целью поддержания оптимального коэффициента избытка воздуха и обеспечения равномерности работы горелок. Следящая АСР перепада давления «пар-мазут» предназначена для автоматического изменения давления пара, идущего на распыление жидкого топлива в зависимости от изменения давления жидкого топлива. Нормальный технологический режим работы печей поддерживается путем правильной организации 182 Технологические процессы и материалы горения топлива в горелках и контролируется по приборам и техническим характеристикам печи. Температура нагреваемого сырья поддерживается путем автоматического регулирования количества топлива, сжигаемого в печи. Повышение температуры нагрева продукта в печах выше нормы не допустимо, так как это может привести к выходу из строя змеевика печи или к коксованию продукта. Температура на «перевале» при эксплуатации должна поддерживаться в каждой секции за счет обеспечения равномерной работы всех горелок во всех радиантных камерах каждой печи. Величина температуры определяется показаниями термопар, установленных на перевалах печей. Ниже приводится математическая модель нестационарного процесса горения в трубчатых печах [1]. 1. Уравнения нестационарного горения. Теория горения капли жидкого топлива в [1] развита для случая молекулярных процессов горения. Ее можно распространить на случай конвективного тепломассообмена. Исходя из одномерности движения потоков, математическая модель нестационарного горения в технологической печи может быть представлена следующими уравнениями [2-4]: 1. Уравнение неразрывности ■dp + div (ри ) = 0 (1) где р - массовая плотность смеси; и - скорость движения. Для покомпонентной модели процесса горения уравнение (1) можно записать в виде d(px) + d(pxu )= px dt dl (2) здесь l - линейный размер; x - концентрация горючего вещества в смеси (0 < x < 1); т - время сгорания. 2. Уравнение движения в виде (ди ди Л дР Л р| — + и— 1+— = 0 . 4dt dl J dl 3. Уравнение сохранения энергии (3) Уравнения (1)-(5) представляют собой математическую модель теплового процесса печи. Дополним систему (1)-(5) уравнением состояния Р - = RTn р (6) где R - газовая постоянная. 2. Постановка задачи. Рассмотрим следующую тепломассообменную задачу для процессов в трубчатой печи. Для этого приведем систему (1)-(6) к нормальной форме: dp = dp ди Ht ~ и~дї Р~д!’ dx dx x dt dl т ’ дu дu dTn RTn dp — = -и--R—n---n—-, dt dl dl p dl dTn (( )т ди dTn + —n = (1 -y)Tn--и—n + dt 4 n dl dl + C^-+ K1 ( - Tn ^ CvT CvP dT dT c =-w + K2 (Tn - Tc)-Q (Tn). (7) dt dl Дополним систему (7) начальными и граничными условиями нач. усл. гран. усл. pTn (|^ + и 1^]=^ - Q (Tn ) + K1 (Tc - Tn ), (4) где q - теплота сгорания топлива; Q(Tn) - потери на Р излучение; S - энтропия, причем S = Cv ln— PY (у = 1.0 -1.4 , так как для жидкостей различие между Cv и Ср незначительно); Tc - температура сырья (нефтепродукта в радиантных трубопроводах печи); K1 - коэффициент теплопередачи для рабочего потока; Tn - температура продуктов сгорания. 4. Уравнение теплообмена между нагреваемым сырьем и нагревательным газом f - w f = (Tn - Tc )~ Q ), <5» где K2 - коэффициент теплопередачи для стенки печи. p( l,° ) = Ф1 (l), p(0, t )=^1 T), x (1,0) = Ф2 (l), x (0, t )=^2 (t), и (l, 0) = ф3 (l), и (0, t) = y3 (t), (8) Tn (l,0) = ф4 (l), Tn (0,t) = V4 (t), Tc (l, 0) = Ф5 (l), Tc (L, t) = ^5 (t). Здесь температура с^ірья задается в точке l = L, так как сырье подается сверху в печь, и таким образом, имеем противоточный технологический процесс. В качестве управлений возьмем изменение плотности горючего v1, концентрации v2, скорости v3, температур дымовых газов v4 и сырья v5. На управления наложим следующие ограничения: _ (9) v < v < v i = 15 г min _ і — і max’ ’ Введя фиктивные управления zi, i = 1,5, сведем неравенства (9) к равенствам (vimax - vi ) (vi - vi min ) - Zi2 = 0, i = 1,5‘ (10) Связь граничных условий с управлениями представлена ниже: dp (0, t) dt ди (0, t) dt =b1v1 (^ dx (0, t) dt = b2v2 (^ dTn (0, t) = b3v3 (t), -dt-= b4v4 (t), dTc (0, t) dt = b5v5 (t). 183 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 Задача оптимального управления формулируется следующим образом. Найти такие vi (t), i = 1,5 из промежутков (9), которые в силу систем (7)-(8) дос тавляют минимум критерия качества T L ж (і, t)- t;(i, t)) dldt, 0 0 руется 2i (i, t), пг- (l, t), (i = 1,5) - функции Лагранжа, l определена ниже. Вычислим вариацию функционала I\ при оптимальных р, х, u, Tn, Tc. Окончательно вариация функционала I1 выглядит так: SI, = (11) где T* - заданная температура сырья на выходе печи; T - время управления. 3. Необходимые условия оптимальности. Введем параметрические переменные, которые представляют основную особенность уравнений в нормальной форме: dP=z«, dx=^(2), du=^(3) dl dl dl dT~. = Z(4), ^Tl = Z(5). (12) dl dl С учетом (12) система (7) будет иметь вид f. = -uCl"-p?'3'. A',. dt £ = -uZ(2)- X . .A,, St t 2 — = -uZ(3)-RQ(4)-RTlZ(1) . A3, d.t p = (1 -y)t_Z(3)- uz(4) + (13) dt xq Cv t dTc dt + X~-^ + *1 (Tc -T).A4, T РТп = -wZ(5) + *2 (T - Tc )-Q (Tn ). A5. I = I, +12 = JJ Ldldt + J Idt, 0Q где ф dt dX dt L = 2,1 ^-X, 1 + ^2 I ^-^ 1 + ^31 ^-A | + du dt + 24 ^ - -A 4 )+?s (f- A 5 )+m (§-C("i+ + П2 (I-"b (f-C(3>W (dl-c(4>l + (5) -(Tc - t; )2 TL =jj 0 0 CvP2 dt dl Sp(l, t) + Г 2 1 -2 _9_ %2(t)-дЛ2(М v^2 t 24 Cvt d dl y Sx (l, ) + 2,z(i) +22z(2) +23z(3) +24z(4) -ap3 (t) dn3 (l,t) p3 RZ(1)-p4 25*2 dt 1 dl du (l, t) + A (1-y)c(3)+ C CvP cp4 (l, t) cn4 (l, t) -1 ( ~vK / 3Q (Tn) dt dl T dTn (l, t) + - *1 P5*2 + 2Tc -2T;+P4*1 dP5 (l, t) дп5 (l, t )• dt dl + ((p1u +p3 R^-П| ^jdC(1) + (u-П2)(2) + + ( + 23u-p4 (1-y)Tn -ГІ3) (3). +( +P4u-П4 )5С(4)+(Р5®-П5 ) z(5) dldt. В уравнениях (13) параметрические переменные и управления входят формально одинаковым образом. Однако между ними имеются принципиальное различие, так как эти переменные играют различную роль. Дело в том, что управления задаются произвольно, ґ(і) а Z не задаются, а определяются по известным управлениям в результате решения задачи. Для получения необходимых условий оптимальности рассмотрим вспомогательный функционал [3] Собираем слагаемые при одинаковых вариациях функций и, используя аргументации теории вариационных исчислений, получим сопряженную систему уравнений относительно функций Лагранжа =Pr(3)-Pr(1)RT'n_-2 Q(Tn) d1 dt 2lZ 3^ p2 4 Cvp2 dl ’ dp2 = 2 1-2 _q_дЛі dt 2 - 4 ^ ^ , t Cv t dl % = 5iC(1>+52C(2,+53C(3)+?4C(4 >-% dt dl 23R Z(l)-24 ((1 -y)Z(3) + 524 dt p ( 1 - ^SQ (Tn) (14) Cv P v dTn - * 25 *2 5^4 dl ^ = 25*2 +2Tc -2T;+24*, -^d dt dl П, =2,u + 23 RT_, П2 = 22u, p П3 = 2,p + 23u -24 T1 -y)t_, (15) П4 = 23R + 24u, П5 =25®. С помощью (15) исключим в (14) п,, П2, П3, П4, П5 и, имея в виду, что + + 184 Технологические процессы и материалы дП1 (l, t) = d^1 (l, t) 5 ди (l, t) RTn d^3 (l, t) dl dl L + 5 dl dl ^3R dTn (l,t) RTn dp (l,t) dl dl дП2 (l, t) = „d52 (l,t) , 5 ди (l,t) " + S2" dl • = udl dl дП3 (l,t) ^1 (l,t) +^3p(/^ + u 5^3 (l,t) + + 5. dl ди (l, t) ! dl dl dl dl -(1 -Y) d^4 (l,t) + 5 dTn (l,t)' dl - + 5 dl dn4 (l, t) d53 (l, t) ди (l, t) d54 (l, t) - = R 1 £ 1 *dl dl + 54 dl ■ + и dl дП5 (l, t)= d^5 (l, t) dl dl окончательно получим сопряженную систему относительно 5i, i = 1,5 ^ 5 Q(2n) и g^1 (l,t) dt 54 Cvp2 dl RTn d53 (l, t) 53R dTn (l, t) dl dl dt C,, т dl dl d53 dt = 5 dx (l, t) d51 (l, t) d53 (l, t) dl dl -и- + (1 _y)T +(2-t)5. dl dTn (l, t) dl ’ (16) d54 =5 ■ _ S4 dt p 54y »? (T) R Mit)+(t_2)54 дииШ+ dl dl T_5k - R dkM - и д5іМ _ k154, Cvp dTn 5 2 dl dl 14 ^ = 5Sk2 + 2 (Tc _ Tc' ) + » + 54k1. Начальные условия 5i (l, T) = 0, i = 1д (17) Аналогично проведем преобразования вспомогательного функционала I2 на границе области, имея в виду, что / = “(1) + “(3) др(0, t) dt ди (0, t) -b1v1 (t) -“(2) dt - b3v3 (t) -“(4) dx (0, t) dt dTn (0, t) dt — b2v2 (t) - b4v4 (t) ■x(5) dTc (L, t) dt - b5v5 (t) + ^ [(max - v1 (t))v1 (t) - v1min ) - ) (t)] ‘ + ^2) [(v2max - v2 (t))(v2 (t)- v2min )- z2 (t)] + ^3) [(max - v3 (t))v3 (t)_ v3min )- ) (t)] +^(4) [(v4max - v4 (t))v4 (t)_ v4min )- z42 (t)] + ^5) [(max - v5 (t)) (v5 (t) - v5min ) - z52 (t)] . “(i) (t), ц(і) (t) (i = 1,5) - функции Лагранжа. При этом получим: t [ ( d “OP 8I2 = { П1 (L,t)Sp (/.,t)- П1 (^t)+ 8p(0,t) + d “(2) dt + П2 (Lt)8x(Lt)- П2 (t) + V ( d“(3) ^ +П3 (L,t)8m(L,t)- (0,t)+-- V d “(4) л dt d “(5) + П4 (L,t)8Tn (L,t)- П4 (0,t) + V ( + П5 (L,t)5Tc (L,t)- П5 (0,t) + dt 5x (0, t) + 8u (0, t) + ST„(0, /) + 8T(0, t) + + (-X(1)b1 + Ц(1) (v1max - 2v1 (t) + v1min )) )t) ‘ + (-^(2)b2 +^(2) (ax - 2v2 (t) + v2min ))8v2 (t) + (-X(3)b3 + Ц(3) (v3max - 2v3 (t) + v3min )v3 () " + (-X(4)b4 +Ц(4) (v4max - 2v4 (t) + v4min )) (t) V v '/ (18) + (-X(5)b5 + Ц(5) (v5max - 2v5 (t) + v5min ))8v5 (t) - - 2^(1)z1 (t)8z1 (t)- 2^(2)z2 (t)8z2 (t)- 2^(3)z3 (t)x ) + + ) + + x 8z3 (t)-2ц(4)z4 (t)8z4 (t)-2^(5)z5 (t)8z5 (t) откуда n M+d5T= 0 n (V)+^ = 0. % (0, 0+^ = о. „4 (a 0+4- = 0, ( ) dx(5) (L, <)+ — = 0 или с учетом (15) имеем ““""■ = “51 (0, t )u (0, t )-53 (0, t ^:RT(^, dt, dt d “(2) dt = -52 (0, t)u (0, t), (з) dt ■ = -51 (0, t) p (0, t) - 53 (0, t)+54 (0, t) (1 - y) Tn (0, t), d “(4) dt = -5з (0, t)R -54 (0, t) u (0, t), 185 Вестник СибГАУ. № 3(49). 2013 — = -5, (L.< Ь <19> Для системы (19) начальные условия следующие: х(1)(т ) = о, х(2)(т ) = о, х(3)(т ) = о, х(4)(т) = о, х(5)(т) = о. ( ) кроме того, n(1)(L,t ) = о, П(2)СМ ) = о, П(3)СМ ) = о, П(4) (L, t) = о, п(5) (о, t) = о или 5i (L,t)u(L,t) + 5з (L,t= о, 52 (L, t) u (L, t )= о, 5i (L, t) p (L, t) + 5з (L, t)u (L, t) - (1 - y) 54 (L, t) T (L, t) = о, 53 (L, t)R + 54 (L, t) u (L, t) = о, 5, (о, t )ю= о. Из (18) также следует, что 1(1)Z1 (t) = 0, 1(2)Z2 (t) = 0, 1(3)Z3 (t) = 0, (21) 1(4)z4 (t) = о, i(5)z5 (t) = о. A = ■ -X(1)b1 - +1(14 v - 1max 2v1 (t)+ v1min ) = = о, L2 = 2 <N - +1(2) (v2max 1 2 2 + 2 m 5' ) = о, L3 = -X(3)b3 +1(3)l (v3max - 2v3 (t)+ v3min ) = о, L4 = -x(4)b4 +1(4) (v4max - 2v4 (t)+ v4mln^ ) = о, L5 - -X(5)b5 +1(5)l ( ^ 5max - 2v5 (t)+ v5mm) = о. Таким образом, мы получим систему (16) с начальными условиями (17) и граничными условиями (19)-(22). Из (21) следует: если гг- - о, i = 1,5, то управления vi (t), i = 1,5 принимают граничные значения vimin или vimax . Если же i(i^ (t) - о, i = 1,5, то на технологические параметр процесса наложены жесткие условия. Левые части (22) конечно-разностных аналогов уравнений представляют собой градиенты аппроксимированного функционала качества (11). Следовательно, для решения задачи может быть применен градиентный метод. Метод решения задачи оптимального управления заключается в следующем: 1. Задаются начальные приближения управления v° (t), i = 15. 2. Если vi (t) известны, из системы уравнений (7) и начальных и граничных условий (8) находятся p(n)(l, t), x(n)(l, t), u( n)(l, t), t( n)(l, t), t( n)(l, t) и из сопряженной задачи (16)-(22) находятся n) (l, t), n)(l, t), i = Ї5. 3. Далее полагаем v|n+1) = v" -xLi, n = о,1,2,..., i = Ї5. 4. Предельные значения управлений дают решение задачи оптимального управления.

Об авторах

Н. Д. Демиденко

СКТБ «Наука» КНЦ СО РАН

Email: tpya74@mai1.ru
Россия, 660049, Красноярск, просп. Мира, 53

Список литературы

Дополнительные файлы