Исследование кинематики манипулятора параллельной структуры (дельта-механизма)

Полный текст

В некоторых областях техники перспективным является применение роботов-манипуляторов на основе механизмов параллельной кинематики, используемых при механической обработке изделий сложной формы (например, штампов, пресс-форм, лопаток турбин и т. д.), когда требуется перемещение инструмента по пятишести координатам. В отличие от традиционных манипуляторов, структуры с параллельной кинематикой содержат замкнутые кинематические цепи и воспринимают нагрузку как пространственные фермы [1], т. е. звенья этих механизмов работают на растяжение и сжатие, что обеспечивает жесткость всей конструкции и, как следствие, повышение точности позиционирования схвата [2]. Достоинствами манипуляторов, построенных на основе параллельных механизмов, являются большая точность и жесткость, высокие рабочие нагрузки [3]. Среди недостатков этих манипуляторов следует отметить использование большого количества приводов и более сложных систем управления, меньший размер рабочей области и высокую стоимость, сложность в проектировании. Однако эти недостатки не являются препятствием для распространения параллельных манипуляторов в тех областях, где требуется точное позиционирование, высокие нагрузки и маневренность [3]. Математические и имитационные модели кинематики и динамики некоторых параллельных механизмов, а также задача оптимизации их формы и размеров рассматривались в [4]. Трехмерное моделирование кинематически сложных механизмов целесообразно выполнять с помощью системы автоматизированного проектирования (САПР) CATIA, в которой используются алгоритмы моделирования движения кинематически сложных механизмов, таких как устройства параллельной кинематики. Для решения систем уравнений, описывающих положение устройства параллельной структуры, наиболее подходящим является программный пакет Maple - система компьютерной алгебры, позволяющая решать сложные системы уравнений как в численном, так и в символьном виде. В работе [5], в которой рассматривались особенности динамики манипуляторов параллельной структуры и переходные процессы, для расчета параметров управления приводами механизмов применялся программный комплекс MATLAB/Simulink. Постановка задачи. Рассмотрим устройство параллельной кинематики - дельта-механизм (рис. 1), включающий в себя основание, образованное точками 3, 6, 9, верхнюю платформу, на движение которой накладывают ограничения три кинематические цепи: 1-2-3, 4-5-6, 7-8-9. В точках 1, 2, 4, 5, 7, 8 установлены поворотные шарниры с одной вращательной степенью свободы, в точках 3, 6, 9 - сферические шарниры с тремя вращательными степенями свободы. Основание и поворотная платформа представляют собой равносторонние треугольники. Введем следующие обозначения элементов дельтамеханизма (см. рис. 1): - Ху, Уу, Zjj - координаты i-й точки в j-й системе координат; - U - длина i-го звена, во всех кинематических цепях l1 = 37 мм, l2 = 58 мм; - Фу - угол i-го шарнира в j-й кинематической цепи; - 5, - угол между первой системой координат i-й кинематической цепи и базовой системой координат, 51 = 330°, 52 = 210°, 53 = 90°; - E - расстояние между сферическими шарнирами 3, 6, 9 дельта-механизма, E = 60 мм; - F - расстояние от начала базовой системы координат до поворотных шарниров 1, 4, 7, F = 60 мм; - R - расстояние от полюса схвата P до сферических шарниров 3, 6, 9, R = 34,641 мм; - Х07020 - базовая система координат; - Х\У\2\ - первая система координат. [Image] Рис. 1. Общий вид дельта-механизма (обозначения см. в тексте) Решение прямой задачи кинематики. Прямая задача кинематики манипуляторов применительно к дельта-механизму сводится к нахождению координат поворотной платформы при заданных длинах звеньев l1, l2 и углов поворотов шарниров Ф11, Ф21, Ф12, Ф22, Ф13, Ф23 (рис. 2). [Image] Рис. 2. Определение положения точек 2 и 3 в первой системе координат Для решения этой задачи сначала находят координаты сферического шарнира (точки 3) в первой системе координат X1Y1Z1, а затем с помощью переноса на расстояние F и поворота на угол 5 переходят к базовой системе координат X0Y0Z0. Аналогично определяют координаты остальных сферических шарниров -точек 6, 9, которые вместе с точкой 3 задают плоскость поворотной платформы (рис. 3). По уравнению этой плоскости можно найти углы ее наклона в базовой системе координат X0Y0Z0, а также высоту полюса схвата. [Image] Рис. 3. Схема положения плоскости поворотной платформы в базовой системе координат В первой системе координат X1Y1Z1 координаты точки 3 определяются по уравнениям cos а = *31 = 0, >31 = l1 ■ c0s (фи )+ l2 ■ c0s (ф21 +Ф11 -1Мо) z31 = l1 • sin(ф11 ) +12 • sin(ф21 +Ф11 - 1800). При переходе от первой системы координат X1Y1Z1, связанной с кинематической цепью 1-2-3, к базовой системе X0Y0Z0 следует выполнить перенос на расстояние F и поворот на угол 5 (см. рис. 1). Для уравнений координат точки 3 этот угол равен углу 51, т. е. 330°: Xj0 = (l1 • cos (ф11) +12 • cos (ф21 +ф11 -180о) - F)sin (§1 ), >30 = (l1 • cos (ф11) +12 • cos (ф21 +ф11 - 180о) - F)cos (§1 ), z30 = l1 • sin(ф)11) +12 • sin(ф21 +ф11 - 180о). Аналогично находят координаты точки 6 в базовой системе координат X0Y0Z0: *60 = (l1 • cos(ф12) +12 • cos(ф22 +ф12 - 180о)-F)sin(s2), >60 = (l1 • cos (ф12 ) +12 • cos (22 +Ф12 - 180о) - F)cos (2 ), z60 = l1 • sin (ф12 ) +12 • sin (ф22 +ф12 -180о). Координаты точки 9 в базовой системе координат X0Y0Z0 задаются уравнениями *90 = (l1 • cos (ф13 ) + l2 • cos (ф23 + ф13 - 180о) - F) sin (б3), >90 = (l1 • cos(13) +12 • cos(23 +ф13 - 180о)-F)cos(3), z90 = l1 • sin (13) +12 • sin (23 + ф13 - 180о). Поворотная платформа представляет собой равносторонний треугольник с вершинами 3, 6, 9. Зная координаты этих точек, можно найти уравнение плоскости поворотной платформы, а затем и координаты нормали N в базовой системе координат. Уравнение плоскости поворотной платформы записывается следующим образом: A • * + B • > + C • z + D = 0. По координатам трех точек 3, 6, 9 получают коэффициенты уравнения плоскости верхней платформы: A = >30(z60 - z90) + >60(z90 - z30) + >90(z30 - z60), B = z30(*60 - *90) + z60(*90 - *30) + z93(*33 - *60), C = *30(>60 - >90) + *60(>90 ->30) + *90(>30 - >60), -D = *30(>60 • z90 - >90 • z60) + *60(>90 • z30 - >30 • z90) + + *90(>30 • z60 - >60 • z30), где коэффициенты A , B, C - координаты вектора нормали N к плоскости поворотной платформы 3, 6, 9 (см. рис. 3). Направляющие косинусы вектора N относительно базовой системы координат X0Y0Z0 рассчитывают по формулам A cos р = cos у = A2 + B2 + 2 B A2 + B2 + C2 C A2 + B2 + C2 За обобщенные координаты поворотной платформы приняты два: угла а, в - и высота полюса схвата ZP. Третий из углов наклона плоскости поворотной платформы у не следует включать в обобщенные координаты, поскольку положение плоскости в пространстве однозначно определено двумя углами и высотой. Кроме того, число степеней свободы дельтамеханизма, вычисленное по формуле Чебышева-Малышева, равно трем [5], а число обобщенных координат должно быть равно числу степеней свободы механизма. Координату ZP вычисляяют как среднее арифметическое координат Z трех точек, так как треугольник, образованный точками 3, 6, 9, является равносторонним: z30 + z60 + z90 Zp =• 3 Результаты решения прямой задачи кинематики манипулятора параллельной структуры представлены в таблице. Определение рабочей зоны манипулятора. Допустимые значения координат положения верхней платформы ZP, а, в определяются следующими параметрами механизма: Координаты поворотной платформы Координаты схвата в базовой системе координат X0Y0Z0 Координаты, определенные в САПР CATIA Координаты, рассчитанные аналитически в пакете Maple Отклонение, % а 85,131° 85,011° 0,14 в 103,493° 103,514° -0,02 Y 14,376° 14,437° -0,42 Zp 85,587 мм 85,574 мм 0,02 - длиной звеньев l1, l2; - максимальным и минимальным углами поворота сферических шарниров: по оси X - 0max, 0min, по оси Y ^m^ ®min; - максимальным и минимальным углами поворота сферических шарниров ф^вх, ф12шт. Определить максимальные углы наклона платформы в базовой системе координат а и в, высоту полюса схвата ZP, а также зависимость между ними можно с помощью трехмерной модели дельтамеханизма (рис. 4). [Image] Рис. 4. Рабочая зона дельта-механизма В ходе экспериментов с трехмерной моделью получена область рабочей зоны механизма - конус с эллиптическим основанием, описываемый уравнением Р2 а ZP =-8,814 + 91,4. 16,5412 31,1182 Таким образом, при помощи трехмерного моделирования определена рабочая зона механизма - это конус с эллиптическим сечением. При максимальной высоте ZP поворот платформы невозможен. Снизу рабочая зона ограничена максимальными углами поворота шарниров 1, 4, 7, а также длинами l1, l2. Авторами представлены трехмерная модель манипулятора с параллельной структурой - дельтамеханизма - и аналитическое решение прямой задачи кинематики этого манипулятора. Проверка вычисленных координат поворотной платформы показала правильность полученного решения. С помощью трехмерной модели дельта-механизма также найдена рабочая зона манипулятора. Полученные результаты могут быть использованы при проектировании аналогичных манипуляторов.

Об авторах

Р. А. Мирзаев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: ramirzaev@mail.ru
аспирант кафедры технической механики Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. Окончил Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева в 2011 г. Область научных интересов - робототехника, мехатроника.

Н. А. Смирнов

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева

Email: smirnov@sibsau.ru
доктор технических наук, профессор, директор НИИ ракетнокосмической техники, заведующий кафедрой технической механики Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева. Окончил Красноярский завод-втуз - филиал Красноярского политехнического института в 1978 г. Область научных интересов - робототехника, мехатроника, механика сложных технических систем.

Список литературы

Дополнительные файлы