Групповое расслоение уравнений трансверсально-изотропной упругости

Аннотация

Методами группового анализа получена и исследована система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентная системе уравнений движения трансверсально-изотропной упругой среды, удовлетворяющей условию Гассмана.

Полный текст

Для описания упругого деформирования горных пород часто используют модель трансверсально-изот-ропного упругого тела, позволяющую описывать поведение материалов, обладающих анизотропией упругих свойств [1; 2]. В данной модели компоненты тензора напряжений су и тензора деформаций еу в декартовой системе координат связаны соотношениями [2]: 11 _ л , о \ H I 1 22 ,1 ' 33 12 -, 12 с — {л + 2ц)8 + ÀS + ÀS , с = 2ц8 , 33 с22 — ÀS + (À + 2ц)£ + à's с13 — 2G's13, с23 — 2G's23, с11—À '{s11+s22) + {à '+2ц ')s33 , (1) где À, ц, À ', G', ц ' - независимые параметры тензора модулей упругости трансверсально-изотропного тела. Компоненты тензора деформаций выражаются через компоненты вектора перемещений u — u(x1,x2,x3,t) e R3 по формуле 2siJ — И- + uj, i, j —1,2,3. Исходная система уравнений движения нестационарной трансверсально-изотропной теории упругости в силу (1) записывается в виде PU« — 9x ((À + ц)(иХ + u1) + (À' + G')Ul ) + (2) 1) hz — const ; 2) h22 —— F(z), ц ' — G ' ; 3) hzzz — 0, À' — À + 2ц-2G ' ; 4) ц' — G', À' — À + 2ц-2G'. Особый интерес представляет четвертый случай, дающий ограничение лишь на модули упругости. Оказывается, что при таких модулях упругости заведомо выполняется условие Гассмана [3; 4], которое ранее было предложено в работе [5]. Это условие широко применяется в геофизике при исследовании распространения волн в трансверсально-изотропных упругих средах. При ц'— G', À' — À + 2ц-2G ' уравнения (2) принимают вид (( G' putt - (À + 2ц) Vdiv u + rot 0 G 0 0 'ï 0 ц rot u — 0. (3) + ^UL + Uyy ) + G'UZz , putt— 9 y ((À+^(ux+иУ2) + (À'+G ')ul )+ + ^-(u^x+иУу)+G'uZZ, putt — 9z + G')( + u1) +(À' + ц')Ul ) + + G ' (u^x + UУу ) + ц ' u zz , где p - постоянная плотность среды; x — (x,y, z)r e R3. Математическая характеристика условия Гассмана. Предложение. Система уравнений (2) движения трансверсально-изотропной упругой среды имеет в качестве частного решения u — Vh ( x, у, z) -градиент гармонической функции h — h(x,у, z) -только в следующих случаях: Система (3) является объектом исследования в данной статье. Основная группа Ли. Оператор, допускаемый системой (3), ищется в виде Ç0 (t, x, u) 91 + Ç (t, x, u) 9x + (t, x, u) 9u . Уравнения (3) ввиду линейности допускают бесконечную группу Ли преобразований с нормальным делителем, порождаемым операторами u0(t, x) 9U , (4) где u0(t, x) - произвольное решение уравнений (3). Фактор-группа по этому нормальному делителю конечномерна, ее алгебра Ли разрешима и имеет базис: 9x , 9у , 9z , 9t, x9y - y9x + И9u2 - u29u1, t9t + x -9x , u '9u . Групповое расслоение. Задача отыскания операторов (4) равносильна решению исходных уравнений (3). Поэтому данные операторы не находят широкого применения в групповом анализе при построении классов частных решений, однако они могут быть использованы для преобразования системы (3) в равносильную ей систему. Среди операторов вида (4), допускаемых системой (3), содержатся операторы Vh(x, у, z) 9u , (5) где h( x, у, z) - произвольная гармоническая функция. Базис дифференциальных инвариантов первого порядка бесконечной группы с оператором (5) можно выбрать следующим образом [6]: J1 — t, J2 — x, J3 — div u , J4 — rot u, J5 — ut, что позволяет выполнить групповое расслоение уравнений (3) относительно этой группы. Автоморфная система имеет вид ut — v( x, t), div u —9( x, t ), rot u — ra( x, t ) а разрешающая система - вид pvt — (À + 2ц)V9- rot (M -ra), 9t — div v. rat — rot v , divra — 0 , ( G ' 0 где v — (v1,v2,v39 ; M — (6) (7) 0 'ï 0 G' 0 0 0 ц ra — (ra1,ra2,raУ)T . Система уравнений (3) равносильна системе первого порядка, составленной из уравнений (6) и (7), в которой искомыми функциями являются вектор перемещений u и дополнительные функции v, 9, ю. Если в системе (7) вектор v заменить на вектор перемещений u , то получится система уравнений put — (À + 2ц) V9 - rot (M -ra), 9t — div u , rat — rot u , div ra — 0 , (8) содержащая меньшее, чем объединенная система (6), (7), число дополнительных функций, а именно: 9(x, t), ra(x,t). Теорема. Система (8) равносильна системе (3), т. е. для любого решения (u, 9, ю) системы (8) функция u является решением системы (3), и обратно: для любого решения u системы (3) найдутся функции 9, ю , такие что (u, 9, ю ) является решением системы (8) . Доказательство. Если ( u, 9, ю ) - решение системы (8), то его подстановка в данную систему и дифференцирование по t первого соотношения дают уравнения (3) для функции u . Пусть теперь u является решением системы (3). Из третьего уравнения системы (8) после подстановки в него u получим: ю — J rot u(x, x )d т+ю 0 (x ). (9) Для того чтобы удовлетворить последнему уравнению системы (8), можно взять ю0 (x) — rot у (x) (10) с некоторой функцией y(x). Оставшиеся уравнения дают систему для функции 9 : (À + 2|i)V9 — put + rot (M-ra), 9t — div u , (10) условия совместности которой таковы: rot (put + rot (M-ra)) — 0. (11) Для функции f (x, t) — rot (put + rot (M -ra)) справедливы равенства f (x, t) — rot (putt + rot (M - rot u)) — — rot (À + 2^V9t ) — 0. Это означает, что f (x, t) — f (x,0). Условия совместности (11) принимают вид rot [ut U0 +rot (M -ю0 (x))] — 0. Эти условия заведомо выполняются, если в качестве ю0 ( x ) взять функцию (10), где y(x ) —(у1, у2, у3 ) - решение линейной эллиптической системы с постоянными коэффициентами АУ + (:- G7)rotf0,0,У2 -Уу9 — Gu U. (12) Итак, функция 9 определяется из совместной системы в полных дифференциалах (11), а функция ю задается формулами (9), (10), (13). Следствие. Если в системе (8) отбросить последнее уравнение, то оставшаяся эволюционная часть этой системы будет равносильна уравнениям (3) движения нестационарной трансверсально-изотропной упругой среды. Последнее уравнение в системе (8) делает ее переопределенной, но оставляет пассивной. Роль этого уравнения сводится к уменьшению произвола в выборе дополнительных функций. Групповое свойство системы (8). Оператор, допускаемый системой (8), ищется в виде X — + Ç-9x +rç-9u + с99+х-9ш , где координаты касательного векторного поля группы Ли Ç0 ç — (Ç1, ç2, ef, л — (^V, лУ, с, х — (х1, х2, х3 )T являются функциями от t, x, u, 9, ra соответственно. Решение системы определяющих уравнений с помощью критериев x-автономности и линейной автономности, полученных в работах [7-10], показывает, что основная алгебра Ли системы (8) (фактор-алгебра по идеалу, связанному с линейностью системы) является семимерной алгеброй L7 и порождается операторами X —9x , X2 —9у, X3 —9Z, X4 —9t, X5 — x9у - y9x + u19 2 - u29 1 +ra19 2 -ю29 1, 5 y S x u2 u1 ra2 ra X 6 —191 + x -9 x (13) X7 — u-9u + 999 +ra-9ra , где оператор X7 - ее центр. 5 Математика, механика, информатика Таким образом, система (8) допускает ту же самую основную группу Ли преобразований, что и уравнения системы (3), только действующую в ином пространстве. Расширение данной группы возможно только в случае G ' — ц ' — ц, рассмотренном в работе [6]. Для классификации инвариантных и частично инвариантных решений системы (8) нужно перечислить все неподобные подалгебры алгебры Ли L7 с базисом (14), т. е. построить оптимальную систему ее подалгебр [11]. Эта задача решена с помощью двухшагового алгоритма, предложенного в работе [12]. Ввиду громоздкости результаты в данной статье не приводятся. В заключение приведем пример точного решения системы (3), описывающей динамическую деформацию трансверсально-изотропной упругой среды. Решение системы (8), инвариантное относительно подгруппы H {X2, yX1 + X4, X7 + X2 ), y > 0 , имеет вид u — f (p)ey , 9 — ©(p)ey , ra — g(p)ey, p — x - Yt. Соответствующая фактор-система приводится к виду Yfp + (À + 2ц) © p-цЯ3 — 0, y/2 + (À + 2ц)© + ^ — 0, Yfp + G ' (g1 - g p ) — 0, y© p + f] + f2 — 0, Ygp + f — 0, — 0. p Ygp - fp — 0 , Yg3 + /2 - f1 — 0, gl + g2 5 p jp > lôp J p J ^ > <bp Решение системы (3) в данном случае определяется по формулам u1 — C1e>’+^ x-Yt < + С2еу^ x-Yt < + + CyeУ+k2 (-Yt 9 + C4 ^x-Yt 9 u2—ke -Yt 9 - c/1 (x-Yt <<+ + k2-V (c3ek2(-Yt9 -C4e-k2(x-Yt<< 2 ( u3 — С5еу sin G' + C6еу cos G' -y 2 G' G' - y' ■ Yt ) ■(x - Yt) где k1 — ц k2 — À + 2ц ; Ci - произволь- [ Y~ -ц y y -À-2ц ные постоянные, i — 1, 2, ...,6. При этом также должно выполняться ограничение на модули упругости: max (ц, À + 2ц) < y2 < G'. Это решение является аналогом волн Рэлея для трансверсально-изотропной упругой среды. Перемещения экспоненциально убывают по у при у ^ -оо . Поверхности уровня для u1 и u2 представляют собой бегущие волны цилиндрической формы с образующими, параллельными оси Oz и экспоненциальной кривой на плоскостях, перпендикулярных этой оси. Поверхности уровня для u3 в каждом сечении плоскостью, перпендикулярной оси Оу, являются бегущими волнами синусоидальной формы.