Математическое моделирование миграции в Красноярском крае

Аннотация

Проведен статистический анализ данных по миграции населения в Красноярском крае за период с января 1998 г. по август 2010 г. Построены уравнения на основе регрессионного, авторегрессионного анализа и моделирования периодических колебаний.

Полный текст

Прогнозирование изменения численности населения является важнейшей задачей демографии, так как численность населения влияет на экономическое развитие как региона, так и страны в целом. Росстат при расчете прогнозов численности населения, миграционного прироста, продолжительности жизни и других показателей применяет компонентный метод (возрастных передвижек) [1, с. 495-496]. Данный метод использует показатели только текущего расчетного периода, что не обеспечивает точность прогноза, а только определяет тенденцию, исходя из ситуации, сложившейся в текущем периоде. Но для того чтобы проводить краткосрочные и долгосрочные экономические расчеты, осуществлять планирование инвестиций, развивать те или иные экономические и социальные сферы регионов страны, необходимо прогноз численности населения осуществлять как можно точнее. Миграция населения является одним из основных факторов динамики численности и структуры населения России и отдельных ее регионов. Правительство РФ выделяет в Концепции демографического развития РФ на период до 2015 г. [2] следующие основные задачи в области миграции и расселения: - регулирование миграционных потоков в целях создания действенных механизмов замещения естественной убыли населения Российской Федерации; - повышение эффективности использования миграционных потоков путем достижения соответствия их объемов, направлений и состава интересам социально-экономического развития Российской Федерации; - обеспечение интеграции мигрантов в российское общество и формирование толерантного к ним отношения. В интервью директора Института демографии Высшей школы экономики Анатолий Григорьевич Вишневским сказал: «Миграция сегодня - одна из самых острых проблем. Для многих природа роста миграции непонятна, и наша задача сделать видимыми те глубокие процессы, которые лежат в ее основе и которые уже нельзя изменить. И, соответственно, необходимо решать совершенно иные задачи - размышлять не о том, как остановить процесс, а о том, как его направить в «правильное» русло и контролировать» [3]. Анализ данных по иммиграции. Объектом статистического анализа являются абсолютные показатели иммиграции населения по Красноярскому краю. Временной ряд состоит из 152 значений внешней для региона иммиграции [4]. Данные представлены помесячно и охватывают период с января 1998 г. по август 2010 г. Наиболее часто встречающееся значение прибывших мигрантов равно 1 885. Среднее значение прибывших человек составляет 2 010. Значение 1 924 человек приходится на середину временного ряда прибывших мигрантов и делит его на две равные по числу единиц части. Всего на территорию Красноярского края с января 1998 г. по август 2010 г. прибыло 305 516 человек. При разбивке данных по годам (рис. 1) прослеживаются следующие тенденции: во второй половине года, по сравнению с первой, наблюдается подъем иммиграции, пик иммиграции приходится на сентябрь-октябрь, минимальное количество прибывших в основном приходится на январь и май. Это указывает на то, что иммиграционная активность населения совпадает с экономической и социальной активностью общества в осенний период. 79 Математика, механика, информатика Рис. 1. Число прибывших в Красноярский край человек: внешняя (для региона) миграция, линейная линия тренда Основными причинами приезда в Красноярский край в этот период являются смена работы и в связи с учебой. В остальное время иммиграция вызвана причинами личного характера - 47 %, сменой места работы - 21 %, возвращением к прежнему месту жительства - 15 % и в связи с учебой - 13 % (в среднем за период с 1998 по 2010 гг.) [4]. Проведем прогнозирование следующими способами: - выявим линейный тренд и построим скользящее среднее для остатков; - построим уравнение авторегрессии для исходных данных; - выделим сезонность и циклы в исходных данных. 1. Построим линейный тренд для данного ряда, отражающий тенденцию изменения количества иммигрантов в Красноярском крае. По методу наименьших квадратов [5, с. 24] уравнение регрессии для исходных данных yt имеет вид: yt =-3,49t + 2276,87, при R2 = 0,087, где t - номер месяца от 1 до 152. Коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, следовательно, данный ряд имеет тренд. Проанализируем остатки et = yt - yt на наличие гете- роскедастичности. Тест Голфелда-Квандта [5, с. 78-79] показал, что, применительно к остаткам, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. Поскольку среди остатков наблюдается автокорреляция, то построим уравнение авторегрессии скользящего среднего для остатков: et = 0,50et-1 + 0,73et-12 - 0,33et-Ш при R2 = 0,803. По тесту Дикки-Фуллера [5, с. 261-271] временной ряд et является стационарным. Тогда мы получим уравнение, описывающее исходные данные yt: yt = -3,49t + 0,50et , + t 1 (1) + 0,73et-12 -0,33et-13 + 2276,87. 2. Построим уравнение авторегрессии для исходных данных yt: yt = 0,46yt-j + 0,73yt-12 - 0,30et-13 +196, при R2 = 0,807. (2) Так как по тесту Дикки-Фуллера временной ряд yt стационарный, то данный вывод противоречит тому, что ряд yt имеет тренд. В рассмотренном случае наклон линии регрессии к оси абсцисс минимален, что объясняет возникшее противоречие. По виду полученных уравнений можно увидеть сезонность, равную 12 месяцам. Одним из методов моделирования временного ряда с периодическими колебаниями является ряд Фурье [5, с. 159]: = 2л p ’ где p - период. По ряду с тенденцией сначала строится прогноз, исходя из тенденции развития уровней ряда, и далее к нему прибавляется прогноз по ряду Фурье отклонений от тренда. В результате применения данного метода мы выделили сезонность: at = 99,8cos(wjt) - 432,1sin(wjt), где w1 = 0,523 при периоде = 12 месяцев, при R2 = 0,395. Тогда уравнение примет вид yt =-3,49t + 2276,87 + 99,8cos(wjt)-432,1sin(wjt) . По графику остатков можно вычислить 11-летний цикл. Для этого воспользуемся предыдущим методом. Произведем расчеты для периодов, равных 9, 10 и 11 лет. В результате при периоде, равном 10-ти годам, R2 имеет наибольшее значение, равное 0,519. Тогда сезонность будет составлять: bt = 327 cos(w2t ) + 205,9 sin(w2t ) - 68,9, где w2 = 0,052 при периоде = 120 месяцев, или 10 лет, при R2 = 0,519. 80 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева Произведем расчет для периода равного, 13-ти месяцам: ct = -68,95 cos(w3t ) - 89,12 sin(w3t), где w3 = 0,483 при периоде = 13 месяцев, при R2 = 0,089. В результате уравнение примет вид: yt = -3,49t + 2276,87 + 99,8 cos(wy) - 432,1 sin(wjt) + + 327 cos(w2t ) + 205,9 sin(w2t ) - 68,9 - 68,95 cos( w3t) - - 89,12 sin(w3t ) = -3,49t + 99,8 cos(wjt ) - 432,1 sin(wjt ) + + 327 cos(w2t ) + 205,9 sin(w2t ) - 68,95 cos(w3t ) - - 89,12sin(w3t ) + 2207,97. (3) Таким образом, мы получили три уравнения, описывающие исходные данные. Сделаем прогноз на последующие четыре месяца (рис. 2). Графики уравнений (1) и (2) практически идентичны. График уравнения (3) имеет очень усредненный и сглаженный вид по отношению к исходному. Оценить эти прогнозы визуально очень сложно, поэтому для сравнения различных альтернативных прогнозов необходим критерий оценки качества прогноза. В качестве меры оценки точности прогноза воспользуемся традиционным показателем MAPE (Mean Absolute Percentage Error - среднеабсолютная процентная ошибка), а для оценки относительной степени смещения (постоянного занижения или завышения) прогноза - показателем MPE (Mean Percentage Error - средняя процентная ошибка) [6, с. 190]. Показатель MAPE характеризует относительную точность прогноза, MAPE > 0. При условии, что потери при прогнозировании, связанные с завышением фактического будущего значения, уравновешиваются занижением, идеальный прогноз должен быть несмещенным, и MPE должна стремиться к нулю. Для рассматриваемых периодов получены значения ошибок MAPE и MPE (табл. 1). В результате анализа качества прогнозирования иммиграции с использованием различных методов было установлено, что ни один из методов нельзя назвать предпочтительным. Все три прогноза хорошо совпадают. В среднем методы (1) и (2) показали результат лучше, чем метод (3). В качестве результата можно использовать среднее значение прогнозов. Анализ исходных данных по иммиграции за 12-летний период показывает наличие годичных периодов, а также наблюдается 10-летний период. По известным данным невозможно установить, повторится ли 10-летний период изменения иммиграции в будущем. Линия тренда указывает на постепенное снижение количества прибывающего населения на территорию Красноярского края. На данном этапе иммиграция идет постепенно на спад после пика в 2007 г., когда число прибывших мигрантов составило 26 034 человек за год, что объясняется экономическими потрясениями 2008-2009 гг. (рис. 3). Опираясь на полученные результаты прогнозирования можно сделать утверждение о том, что тенденция к сокращению сохранится. Анализ данных по эмиграции. Объектом статистического анализа являются абсолютные показатели эмиграции населения по Красноярскому краю. Временной ряд состоит из 152 значений внешней для региона эмиграции [4]. Данные представлены помесячно и охватывают период с января 1998 г. по август 2010 г. Наиболее часто встречающееся значение выбывших мигрантов равно 1 635. Среднее значение выбывших человек составляет 2 270. _^ ^ _ сентябрь октябрь ноябрь декабрь Да иствительные з наче ния Прогноз! — — — Прогноз 2 ‘прогноз 3 Рис. 2. Результаты прогнозирования иммиграции в Красноярском крае на сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь 2010 г. Таблица 1 Результаты прогнозирования и значения ошибок эксперимента Прогноз/период сентябрь октябрь ноябрь декабрь MAPE, % MPE, % Действительные значения 2893 3076 2356 1743 Прогноз 1 2356 2593 2122 1740 11,09 11,09 Прогноз 2 2376 2633 2188 1830 11,11 8,60 Прогноз 3 2351 2298 2119 1855 15,13 11,93 81 Математика, механика, информатика Рис. 3. Число прибывших человек за год в Красноярский край с 1998 по 2010 гг. Рис. 4. Число выбывших из Красноярского края человек: внешняя (для региона) миграция, линейная линия тренда Значение 2 172 приходится на середину временного ряда выбывших мигрантов и делит его на две равные по числу единиц части. Всего из Красноярского края с января 1998 г. по август 2010 г. выбыло 345 084 человек. При разбивке данных по годам (рис. 4) прослеживаются следующие тенденции: во второй половине года, по сравнению с первой, наблюдается подъем эмиграции, пик эмиграции приходится на август и сентябрь, минимальное количество выбывших в основном приходится на январь, февраль и май. Это указывает на то, что эмиграционная активность населения также совпадает с экономической и социальной активностью общества в осенний период. Основными причинами выезда из Красноярского края в этот период является смена работы и в связи с учебой. В остальное время эмиграция вызвана: причинами личного характера - 57 %, сменой места работы - 11 %, возвращением к прежнему месту жительства - 18 % и в связи с учебой - 8 % (в среднем за период с 1998 по 2010 гг.) [4]. Проведем прогнозирование следующими способами (аналогичными анализу данных по иммиграции): - выявим линейный тренд и построим скользящее среднее для остатков; - построим уравнение авторегрессии для исходных данных; - выделим сезонность и циклы в исходных данных. 1. Построим линейный тренд для данного ряда, отражающий тенденцию изменения количества эмигрантов в Красноярском крае. По методу наименьших квадратов [5, с. 24] уравнение регрессии для исходных данных yt имеет вид yt =-8,48t + 2918,68, при R2 = 0,370, где t - номер месяца от 1 до 152. Коэффициенты уравнения регрессии статистически значимы, следовательно, данный ряд имеет тренд. Проанализируем остатки et = yt - yt на наличие гетероскедастичности. Тест Голфелда-Квандта показал, что применительно к остаткам гипотеза об отсутствии гетероскедастичности принимается. Поскольку среди остатков наблюдается автокорреляция, то построим уравнение авторегрессии скользящего среднего для остатков: et = 0,73et-1 + 0,75et-12 - 0,54et-Ш при R2 = 0,868. 82 Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева По тесту Дикки-Фуллера временной ряд et является стационарным. Тогда мы получим следующее уравнение, описывающее исходные данные yt: yt = -8,48t + 0,73et-1 + 0,75et-12 - - 0,54et-13 + 2918,68. (4) 2. Построим уравнение авторегрессии для исходных данных yt: yt = 0,75yt-1 + 0,19yt-11 + 0,53yt-12 -0,48Уt-lз, (5) при R2 = 0,913. Так как по тесту Дикки-Фуллера временной ряд yt стационарный, то данный вывод противоречит тому, что ряд yt имеет тренд. В рассмотренном случае наклон линии регрессии к оси абсцисс минимален, что объясняет возникшее противоречие. По виду полученных уравнений можно увидеть сезонность, равную 12 месяцам. Одним из методов моделирования временного ряда с периодическими колебаниями является ряд Фурье [5, с. 159]: 2л где p - период. По ряду с тенденцией сначала строится прогноз, исходя из тенденции развития уровней ряда, и далее к нему прибавляется прогноз по ряду Фурье отклонений от тренда. В результате применения данного метода мы выделили сезонность: at = -94,76cos(w1t) - 546,47sin(w1t), где w1 = 0,655 при периоде = 12 месяцев, при R = 0,654. Тогда уравнение примет вид: yt = -8,48t + 2918,68 - 94,76cos(w1t) - 546,47sin(w1t). По графику остатков можно отлечить период, равный 7 годам. Для вычисления этого периода воспользуемся предыдущим методом. Произведем расчеты для периодов 6, 7 и 8 лет. В результате при периоде, равном 7-ми годам, R2 имеет наибольшее значение, равное 0,157, тогда сезонность составит: bt = 147,52sin(w2t ), где w2 = 0,076 при периоде = 83 месяца, или 7-ми годам, при R2 = 0,157. В результате уравнение примет вид: yt = -8,48t + 2918,68 - 94,76 cos(w1t) - 546,47 sin(w1t) + +147,52 sin(w2t ) = -8,48t - 94,76 cos(w1t ) - - 546,47 sin(w1t) +147,52 sin(w2t) + 2918,68. (6) Таким образом, мы получили три уравнения, описывающие исходные данные. Сделаем прогноз на последующие четыре месяца (рис. 5). Графики уравнений (4) и (5) практически идентичны. В качестве меры оценки точности прогноза воспользуемся указанными выше показателями MAPE и MPE. Для рассматриваемых периодов получены значения ошибок MAPE и MPE (табл. 2). В результате анализа качества прогнозирования эмиграции с использованием различных методов было установлено, что прогнозы (1) и (2) показали лучший результат. Прогноз (3) показал самый худший результат. В качестве результата можно использовать среднее значение прогнозов (1) и (2). Рис. 5. Результаты прогнозирования эмиграции в Красноярском крае на сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь 2010 г. Результаты прогнозирования и значения ошибок эксперимента Таблица 2 w Прогноз/период сентябрь октябрь ноябрь декабрь MAPE, % MPE, % Действительные значения 2247 2068 2000 1751 Прогноз 1 2305 2087 1746 1587 6,39 4,64 Прогноз 2 2300 2079 1785 1603 5,52 4,08 Прогноз 3 1582 1230 990 962 41,42 41,42 83 Математика, механика, информатика Рис. 6. Число выбывших человек за год из Красноярского края с 1998 по 2010 гг. Анализ исходных данных по эмиграции за 12-летний период показывает наличие годичных периодов, а также прослеживается 7-летний период. По известным данным невозможно установить повторится ли 7-летний период изменения эмиграции в будущем. Линия тренда указывает на снижение количества уезжающего населения из Красноярского края, но по сравнению со снижением иммиграции эмиграция снижается в два раза быстрее. В 2010 г. в эмиграции наблюдается небольшой подъем после минимума в 2009 г., когда число выбывших людей составило 20 654 человек за год, что также объясняется экономическими потрясениями 2008-2009 гг. (рис. 6). Опираясь на полученные результаты прогнозирования можно сделать утверждение о том, что общая тенденция к сокращению миграции сохранится. Следует отметить, что существует также нелегальная миграция, которая не учитывается в официальных статистических данных Росстата. В данном исследовании нет возможности учесть эту миграцию в связи с тем, что официальных оценок ее масштаба на территории Красноярского края не дается. Таким образом, для эффективного прогнозирования миграционных процессов в Красноярском крае в дополнение к анализу статистических данных необходимо выявление и точная оценка факторов, влияющих на изменение числа прибывающих и выбывающих людей. В дальнейшем планируется выявлять факторы, взаимосвязанные с миграцией, с целью построения модели прогноза миграции населения в Красноярском крае.