Системный анализ динамических задач анизотропной теории пластичности

Динамические задачи – это наименее изученная область теории пластичности. Динамические задачи возникают в самых разных областях техники и науки, но сложность исходных дифференциальных уравнений не позволяет строить точные решения и корректно численно решать краевые задачи. Это еще в большей степени касается динамических уравнений анизотропной пластичности. Анизотропия уменьшает группу симметрий, допускаемую уравнениями, а, следовательно, и сужает количество инвариантных решений. Неплохо исследованы одномерные динамические задачи пластичности, но уже двумерные задачи вызывают непреодолимые математические сложности из-за нелинейности основных уравнений, даже в изотропном случае. Изучение симметрий уравнений пластичности позволило построить некоторые точные решения. Б. Д. Аннин построил наиболее известное решение, описывающее сжатие жесткими плитами пластического слоя из изотропного материала. Решение Аннина линейно по двум пространственным переменным, и в него входят произвольные функции времени. В предлагаемой работе также используются симметрии. В статье впервые вычислены точечные симметрии для динамических уравнений пластичности в анизотропном случае. Алгебра Ли, порождаемая найденными симметриями, оказалась бесконечномерной. Это обстоятельство дало возможность применить методику построения новых классов нестационарных решений. Симметрии позволяют преобразовать точные решения стационарных динамических уравнений в нестационарные решения. В построенные решения входят произвольные функции и произвольные постоянные. В статье по методике Ли-Овсяннникова вычисляется группа точечных симметрий, допускаемая уравнениями анизотропной пластичности. Строятся два класса новых стационарных инвариантных решений. Эти стационарные решения, с помощью преобразований, порождаемых точечными симметриями, преобразуются в новые нестационарные решения. В заключении работы построено новое автомодельное решение нестационарных уравнений анизотропной пластичности, а решение Аннина обобщено на анизотропный случай. Приведенные решения можно использовать для описания сжатия пластического материала между жесткими плитами, а также для тестирования программ, предназначенных для исследования анизотропных пластических задач.