Метод сумм Хаара численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата

Полный текст

Введение

В [1] предложен способ определения трехосной ориентации космического аппарата (КА) по показаниям магнитометра с использованием информации о его угловых скоростях. В ходе решения данной задачи рассматривают два измерения вектора напряженности магнитного поля Земли (МПЗ) и угловой скорости КА, сделанные в выбранный момент времени t₁ а также в момент времени t₂ соответствующий максимальному значению острого угла между этими измерениями вектора напряженности МПЗ. Затем, учитывая измеренные значения угловой скорости КА в указанные моменты времени t₁ и t₂ интегрируют систему кинематических уравнений Пуассона [1–6]

   $\left\{\begin{array}{l}{d_{11}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_3\left(t\right)d_{21}\left(t\right)-{\text{ω}}_2\left(t\right)d_{31}\left(t\right),\\ {d_{21}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_1\left(t\right)d_{31}\left(t\right)-{\text{ω}}_3\left(t\right)d_{11}\left(t\right),\\ {d_{31}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_2\left(t\right)d_{11}\left(t\right)-{\text{ω}}_1\left(t\right)d_{21}\left(t\right),\\ {d_{12}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_3\left(t\right)d_{22}\left(t\right)-{\text{ω}}_2\left(t\right)d_{32}\left(t\right),\\ {d_{22}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_1\left(t\right)d_{32}\left(t\right)-{\text{ω}}_3\left(t\right)d_{12}\left(t\right),\\ {d_{32}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_2\left(t\right)d_{12}\left(t\right)-{\text{ω}}_1\left(t\right)d_{22}\left(t\right),\\ {d_{13}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_3\left(t\right)d_{23}\left(t\right)-{\text{ω}}_2\left(t\right)d_{33}\left(t\right),\\ {d_{23}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_1\left(t\right)d_{33}\left(t\right)-{\text{ω}}_3\left(t\right)d_{13}\left(t\right),\\ {d_{33}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_2\left(t\right)d_{13}\left(t\right)-{\text{ω}}_1\left(t\right)d_{23}\left(t\right),\end{array}\right.$                                                                                                                (1)

по которой определяют матрицу D₁₂ поворота связанной с КА системы координат относительно инерциальной системы координат от момента времени t₁ к моменту времени t₂ В системе (1) через ω₁(t), ω₂(t), ω₃(t)  обозначены проекции абсолютной угловой скорости КА на координатные оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно (по информации от измерителя угловой скорости),  $d_{i\text{}j}\left(t\right)$– элементы матрицы D_12,  ${d_{i\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)$– их производные, i, j = 1, 2, 3. Начальное значение матрицы D₁₂ (в момент времени t₁) принимается равным единичной матрице E.

Методы решения системы кинематических уравнений Пуассона (1) были рассмотрены, например, в [7–11]. В представленной работе предложен метод численного решения системы (1), основанный на замене производных искомых функций в этих уравнениях на обобщенные многочлены по масштабированной системе Хаара. Выведены оценки погрешности предложенного метода

      $\left|d_{i\text{}j}\left(t_2\right)-d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}\text{}\left(t_2\right)\right|\le {\Sigma }_j\left(n\right) (i,j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$   

где

${\Sigma }_j\left(n\right)~T\left[2^{n-1}\Omega {\left(T+1\right)}^{-1}\left(e^{2\Omega \left(T+1\right)}-1\right)+{\Omega }_S-\text{ω}\left({\text{ω}}_j{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\right]$

при $n\to \infty ,$ j = 1, 2, 3. Здесь  $d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}\text{}\left(t_2\right)$– приближенные значения при t=t₂ элементов матрицы D₁₂ полученные в результате решения системы уравнений (1) данным методом (i, j = 1, 2, 3),  $N=2^n$– число разбиений отрезка $\left[t_1,t_2\right]$ при построении сетки узлов, задействованных в предложенном методе,  ${\text{ω}}_j\left(t\right)$– непрерывные на отрезке  функции (j = 1, 2, 3), $T=t_2-t_1,$ $\Omega =\max \left\{{\Omega }_1,{\Omega }_2,{\Omega }_3\right\},$ где

 ${\Omega }_j=\underset{t\in \left[t_1,t_2\right]}{\max }\left|{\text{ω}}_j\left(t\right)\right|$ $(j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$

где  $\text{ω}(f,\text{δ)}$– модуль непрерывности функции f, т. е.

$\text{ω}(f,\text{δ)}=\underset{\left|t^{\text{'}}-t^{\text{'}\text{'}}\right|\le \text{δ}}{\sup }\left|f\left(t^{\text{'}}\right)-f\left(t^{\text{'}\text{'}}\right)\right|,$

а величина ${\Omega }_S$ определяется равенством

${\Omega }_S=\sum _{j=1}^3\text{ω}\left({\text{ω}}_j{\mathrm{,2}}^{-n}\right).$

Если при этом функции ${\text{ω}}_j\left(t\right)$ удовлетворяют условию Липшица с константами $L_j\ge \mathrm{0,}$ то

${\Sigma }_j\left(n\right)~NT\left[2\Omega {\left(T+1\right)}^{-1}\left(e^{2\Omega \left(T+1\right)}-1\right)+L-L_j\right]$

при N→∞,  j = 1, 2, 3, L=L₁+L₂+L₃, откуда следует, что в данном случае абсолютная погрешность вычисления каждого из элементов матрицы D₁₂ перехода от одной системы координат к другой есть величина $O\left(N^{-1}\right)$ при N→∞

Система уравнений (1) с начальными условиями, вытекающими из равенства D₁₂= E  разбивается на три задачи Коши. Доказано, что для численного решения каждой из этих трех задач Коши требуется ${\Lambda }_{{\rm X}}\left(N\right)~17N$ (при N→∞) арифметических операций, что незначительно превосходит трудоемкость решения каждой из этих задач Коши методом Эйлера.

Приведены результаты численных экспериментов, показывающие, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка, трудоемкость которых примерно в два раза превосходит трудоемкость метода сумм Хаара.

1.Постановка задачи. Основные определения

При определении ориентации космического аппарата необходимо учитывать его угловое движение в инерциальной системе координат. Для этого в интервале времени от t₁ до t₂ (t₁ и t₂) соответствуют двум положениям космического аппарата на орбите) приближенно решается система уравнений Пуассона (1), определяющих эволюцию положения космического аппарата из момента времени t₁ в момент времени t₂ . Легко видеть, что система уравнений (1) с учетом начального значения матрицы D₁₂ (D₁₂= E) сводится к следующим трем задачам Коши для систем уравнений:

     $\left\{\begin{array}{l}{d_{1\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_3\left(t\right)d_{2\text{}j}\left(t\right)-{\text{ω}}_2\left(t\right)d_{3\text{}j}\left(t\right),\\ {d_{2\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_1\left(t\right)d_{3\text{}j}\left(t\right)-{\text{ω}}_3\left(t\right)d_{1\text{}j}\left(t\right),\\ {d_{3\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_2\left(t\right)d_{1\text{}j}\left(t\right)-{\text{ω}}_1\left(t\right)d_{2\text{}j}\left(t\right);\end{array}\right.$                                                                                                   (2)

      $d_{i\text{}j}\left(t_1\right)={\text{δ}}_{i\text{}j}=\left\{\begin{array}{l}1\text{\hspace{1em}при\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}i=j,\\ 0\text{\hspace{1em}при\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}i\ne j,\end{array}\right.$ $i=\mathrm{1,2,3};$                                                                                           (3)

j = 1, 2, 3. Считаем, что ω₁(t), ω₂(t), ω₃ – непрерывные на отрезке $\left[t_1,t_2\right]$ функции.

Построим алгоритм решения задачи Коши (2)–(3) и выведем оценки погрешности, используя методы, аналогичные приведенным в [12] в случае решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведем определение системы функций Хаара и сопутствующее ему понятие двоичных промежутков, введенные в [13].

Двоичным промежутком l_m,j назовем промежуток с концами в точках (j−1)/2^m−1, j/2^m−1 (m = 1,2, ..., j = 1,2, ..., 2^m−1). Будем считать двоичные промежутки замкнутыми слева и открытыми справа. Если правый конец двоичного промежутка совпадает с 1, то будем считать этот промежуток замкнутым также и справа. Введем обозначения:

  $l_{m,j}^{-}=l_{m+\mathrm{1,2}j-1},$ $l_{m,j}^{+}=l_{m+\mathrm{1,2}j}.$ 

Очевидно, что

$l_{m,j}^{-}\cup l_{m,j}^{+}=l_{m,j}.$

Система функций Хаара строится группами: группа номер m содержит 2^m−1 функций  где m = 1,2, ..., j = 1,2, ..., 2^m−1. Функции Хаара  определяются следующим образом:

${\chi }_{m,j}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{2}^{(m-1)/2}& \text{при\hspace{0.33em}}x\in l_{m,j}^{-},\\ -2^{(m-1)/2}& \text{при\hspace{0.33em}}x\in l_{m,j}^{+},\\ 0& \text{при\hspace{0.33em}}x\notin l_{m,j},\end{array}\right.$

$m=\mathrm{1,2,}\dots ,j=\mathrm{1,2,}\dots {\mathrm{,2}}^{m-1}.$ Наряду с двойной нумерацией используется также простая нумерация:

${\chi }_{m,j}\left(x\right)={\chi }_k\left(x\right),$

где k = 2^{m – 1} + j, k = 2, 3, … В систему функций Хаара включают также функцию ${\chi }_1\left(x\right)\equiv \mathrm{1,}$ которая остается вне групп.

2. Построение алгоритма численного решения задач Коши (2)–(3)

Введем обозначение $T=t_2-t_1.$ Будем искать приближенное решение

$\left(d_{1\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t\right),d_{2\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t\right),d_{3\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t\right)\right)$

каждой из трех задач Коши (2)–(3), представляя производные

  $d_{1\text{}j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right),$ $d_{2\text{}j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right),$ $d_{3\text{}j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)$

в виде обобщенных многочленов по масштабированной системе Хаара $\left\{{\chi }_k\left((t-t_1)/T\right)\right\}$ порядков не выше 2ⁿ:

    $d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)=\sum _{k=0}^{2^n-1}{C}_{i\text{}j}^{(n,k)}{\text{χ}}_k\left(\right(t-t_1)/T),$ $C_{i\text{}j}^{(n,k)}\in R,$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Такие обобщенные многочлены являются ступенчатыми функциями:

 $d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)=d_{i\text{}j}^{(n,k)}$ при $t_1+2^{-n}Tk\le t\le t_1+2^{-n}T\left(k+1\right),$                                                           (4)

 k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3.

Восстановим функции $d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}\text{}\left(t\right)$ по их производным:

$d_{i\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t\right)={\text{δ}}_{i\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{i\text{}j}^{(n,l)}+\left(t-t_1-2^{-n}Tk\right)d_{i\text{}j}^{(n,k)}$ при $t_1+2^{-n}Tk\le t\le t_1+2^{-n}T\left(k+1\right),$          (5)

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Считаем, что в (5) при k = 0

$\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{i\text{}j}^{(n,l)}=0.$

Функции (5) являются кусочно-линейными с узлами в точках множества

$\left\{t_{n,k}:t_{n,k}=t_1+2^{-n}Tk,k=\mathrm{0,1,}\dots {\mathrm{,2}}^n-1\right\}.$  (6)

Будем считать, что измеритель угловой скорости определяет значения проекций абсолютных угловых скоростей ${\text{ω}}_1\left(t\right),$${\text{ω}}_2\left(t\right),$${\text{ω}}_3\left(t\right)$ именно в точках множества (6). Потребуем, чтобы функции (5) удовлетворяли системам уравнений (2) на этом множестве. Тогда получаем:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t_{n,k}\right)={\text{ω}}_3\left(t_{n,k}\right)d_{2j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right)-{\text{ω}}_2\left(t_{n,k}\right)d_{3j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right),\\ d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t_{n,k}\right)={\text{ω}}_1\left(t_{n,k}\right)d_{3j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right)-{\text{ω}}_3\left(t_{n,k}\right)d_{1j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right),\\ d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t_{n,k}\right)={\text{ω}}_2\left(t_{n,k}\right)d_{1j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right)-{\text{ω}}_1\left(t_{n,k}\right)d_{2j}^{\left(n\right)}\left(t_{n,k}\right),\end{array}\right.$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, j = 1, 2, 3. С учетом представления функций (5) и (4), обозначив для краткости

 ${\text{ω}}_j\left(t_{n,k}\right)={\text{ω}}_j^{(n,k)}$   $(j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$ 

будем иметь:

 $\left\{\begin{array}{l}{d}_{1\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_3^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{2\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{2\text{}j}^{(n,l)}\right)-{\text{ω}}_2^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{3\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{3\text{}j}^{(n,l)}\right),\\ d_{2\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_1^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{3\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{3\text{}j}^{(n,l)}\right)-{\text{ω}}_3^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{1\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{1\text{}j}^{(n,l)}\right),\\ d_{3\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_2^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{1\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{1\text{}j}^{(n,l)}\right)-{\text{ω}}_1^{(n,k)}\left({\text{δ}}_{2\text{}j}+2^{-n}T\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{2\text{}j}^{(n,l)}\right),\end{array}\right.$                                                                                           (7)

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, j = 1, 2, 3.

Таким образом, приходим к следующему алгоритму численного решения задач Коши (2)–(3).

1. Для каждого j = 1, 2, 3 выполняем следующие вычисления.

1.1. Находим значения

    $s_{1\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)},$  1  $s_{2\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)},$   1 $s_{3\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}$

по формулам, которые получаются из (7) при k = 0:

$\left\{\begin{array}{l}{s}_{1\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}={\text{δ}}_{2\text{}j}{\text{ω}}_3^{\left(n\mathrm{,0}\right)}-{\text{δ}}_{3\text{}j}{\text{ω}}_2^{\left(n\mathrm{,0}\right)},\\ s_{2\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}={\text{δ}}_{3\text{}j}{\text{ω}}_1^{\left(n\mathrm{,0}\right)}-{\text{δ}}_{1\text{}j}{\text{ω}}_3^{\left(n\mathrm{,0}\right)},\\ s_{3\text{}j}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}={\text{δ}}_{1\text{}j}{\text{ω}}_2^{\left(n\mathrm{,0}\right)}-{\text{δ}}_{2\text{}j}{\text{ω}}_1^{\left(n\mathrm{,0}\right)}\end{array}\right.$

(при k = 0 суммы, фигурирующие в (7), считаются равными нулю).

1.2. Последовательно находим значения величин

  $s_{1\text{}j}^{\left(n\mathrm{,1}\right)},$ $s_{2\text{}j}^{\left(n\mathrm{,1}\right)},$$s_{3\text{}j}^{\left(n\mathrm{,1}\right)};$

$s_{1\text{}j}^{\left(n\mathrm{,2}\right)},$$s_{2\text{}j}^{\left(n\mathrm{,2}\right)},$$s_{3\text{}j}^{\left(n\mathrm{,2}\right)};$

  $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

  $s_{1\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n-1\right)},$$s_{2\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n-1\right)},$$s_{3\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n-1\right)},$

по формулам

 $s_{1\text{}j}^{(n,k)}=s_{1\text{}j}^{(n,k-1)}+d_{1\text{}j}^{(n,k)},$ $s_{2\text{}j}^{(n,k)}=s_{2\text{}j}^{(n,k-1)}+d_{2\text{}j}^{(n,k)},$ 1$s_{3\text{}j}^{(n,k)}=s_{3\text{}j}^{(n,k-1)}+d_{3\text{}j}^{(n,k)},$                                                                                (8)

предварительно вычисляя для каждого k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1 величины

   $\left\{\begin{array}{l}{d}_{1\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_3^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{2\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{2\text{}j}^{(n,k-1)}\right)-{\text{ω}}_2^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{3\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{3\text{}j}^{(n,k-1)}\right),\\ d_{2\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_1^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{3\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{3\text{}j}^{(n,k-1)}\right)-{\text{ω}}_3^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{1\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{1\text{}j}^{(n,k-1)}\right),\\ d_{3\text{}j}^{(n,k)}={\text{ω}}_2^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{1\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{1\text{}j}^{(n,k-1)}\right)-{\text{ω}}_1^{(n,k)}\cdot \left({\text{δ}}_{2\text{}j}+\text{τ}\cdot s_{2\text{}j}^{(n,k-1)}\right),\end{array}\right.$                  (9)

где τ = 2^–nT. Формулы (8), (9) следуют из рекуррентных соотношений (7).

2. По формулам, вытекающим из (5), для j = 1, 2, 3 вычисляем значения

  $d_{1\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{1\text{}j}+\tau \cdot s_{1\text{}j}^{(n{\mathrm{,2}}^n-1)},$ $d_{2\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{2\text{}j}+\tau \cdot s_{2\text{}j}^{(n{\mathrm{,2}}^n-1)},$ $d_{3\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{3\text{}j}+\tau \cdot s_{3\text{}j}^{(n{\mathrm{,2}}^n-1)}.$

3. Составляем матрицу перехода из связанной с космическим аппаратом системы координат в момент времени t₁ в связанную с космическим аппаратом систему координат в момент времени t₂

$D_{12}=\left(\begin{array}{lll}{d}_{11}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{12}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{13}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)\\ d_{21}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{22}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{23}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)\\ d_{31}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{32}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)& d_{33}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)\end{array}\right).$

Оценим число арифметических операций, требуемых для реализации данного алгоритма. На k-м шаге (k = 1, 2, …, 2ⁿ) процесса вычисления величин

$d_{1\text{}j}^{(n,k)},$ $d_{2\text{}j}^{(n,k)},$ $d_{3\text{}j}^{(n,k)}$ ( $j\in \left\{\mathrm{1,2,3}\right\}$ фиксировано)

производится 17 арифметических операций: 3 арифметических операции требуется для нахождения промежуточных величин (8), 13 арифметических операций – для нахождения  $d_{1\text{}j}^{(n,k)},$ $d_{2\text{}j}^{(n,k)},$$d_{3\text{}j}^{(n,k)}$ по формулам (9) (из трех величин ${\text{δ}}_{1\text{}j},$ δ_2j, δ_3j   только одна равна 1, остальные две равны 0) и 1 операция – для перехода к следующему узлу сетки (t_n,k+1 = t_n,k + τ). После выполнения (2ⁿ–1)-го шага вычислений по формулам (8), (9) находим  $d_{1\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{1\text{}j}+\tau \cdot s_{1\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n\right)},$ $d_{2\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{2\text{}j}+\tau \cdot s_{2\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n\right)},$$d_{3\text{}j}^{\left(n\right)}\left(t_2\right)={\text{δ}}_{3\text{}j}+\tau \cdot s_{3\text{}j}^{\left(n{\mathrm{,2}}^n\right)},$ $j\in \left\{\mathrm{1,2,3}\right\}.$

Таким образом, если N – число разбиений отрезка  (t_1,t2), $N=2^n$ то для численного решения каждой из трех задач Коши (2)–(3) (для каждого j = 1, 2, 3) требуется ${\Lambda }_{{\rm X}}\left(N\right)$ арифметических операций, где величина ${\Lambda }_{{\rm X}}\left(N\right)$ удовлетворяет соотношению

${\Lambda }_{{\rm X}}\left(N\right)~17N$ при N→∞

Сравним трудоемкость построенного алгоритма с трудоемкостью численного решения задач Коши (2)–(3) методом Эйлера [14; 15], погрешность которого так же, как и изложенного в настоящей работе метода (в случае удовлетворяющих условию Липшица функций ${\text{ω}}_1\left(t\right),$ ${\text{ω}}_2\left(t\right),$ ${\text{ω}}_3\left(t\right)$), есть величина, ограниченная по сравнению с N^-1 при N→∞

Нетрудно проверить, что для численного решения каждой из трех задач Коши (2)–(3) (для каждого j = 1, 2, 3) методом Эйлера требуется  арифметических операций, где величина ${\Lambda }_{\text{Э}}\left(N\right)$ удовлетворяет соотношению

${\Lambda }_{\text{Э}}\left(N\right)~16N$ при N→∞

Отсюда следует, что трудоемкость решения задач (2) – (3) с помощью построенного в настоящей работе алгоритма незначительно превосходит трудоемкость решения этих задач методом Эйлера.

3.Вывод оценок погрешности метода

При $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) для разности производных от функций-компонент точного и приближенного решений будем иметь:

$$\begin{gathered} {d_{1\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)={\text{ω}}_3\left(t\right)\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left[{d_{2\text{}j}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right]d\text{τ}+\left({\text{ω}}_3\left(t\right)-{\text{ω}}_3^{(n,k)}\right)\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}{d}_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}+ \\ {\text{+ω}}_3^{(n,k)}\underset{t_{n,k}}{\overset{t}{\int }}{d}_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}-{\text{ω}}_2\left(t\right)\times \underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left[{d_{3\text{}j}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right]d\text{τ}-\left({\text{ω}}_2\left(t\right)-{\text{ω}}_2^{(n,k)}\right)\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}{d}_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}- \\ -{\text{ω}}_2^{(n,k)}\underset{t_{n,k}}{\overset{t}{\int }}{d}_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}+{\text{δ}}_{2\text{}j}\left({\text{ω}}_3\left(t\right)-{\text{ω}}_3^{(n,k)}\right)-{\text{δ}}_{3\text{}j}\left({\text{ω}}_2\left(t\right)-{\text{ω}}_2^{(n,k)}\right). \end{gathered}$$

Тогда для  $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) получаем:

$\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{2\text{}j}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{3\text{}j}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}$

$+\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\text{ω}\left({\text{ω}}_y{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+{\text{δ}}_{2\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+{\text{δ}}_{3\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right),$

где

  $\Omega =\max \left\{{\Omega }_1,{\Omega }_2,{\Omega }_3\right\}, {\Omega }_j=\underset{t\in \left[t_1,t_2\right]}{\max }\left|{\text{ω}}_j\left(t\right)\right| (j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$

а  $\text{ω}(f,\text{δ)}$– модуль непрерывности функции f, т. е.

$\text{ω}(f,\text{δ)}=\underset{\left|t^{\text{'}}-t^{\text{'}\text{'}}\right|\le \text{δ}}{\sup }\left|f\left(t^{\text{'}}\right)-f\left(t^{\text{'}\text{'}}\right)\right|.$

Аналогично, для  (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) имеем:

$\left|{d_{2\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \Omega \left[\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{3\text{}j}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{1\text{}j}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\right]+$

$+\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+{\text{δ}}_{3\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+{\text{δ}}_{1\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right),$

$\left|{d_{3\text{}j}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{3j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \Omega \left[\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{1\text{}j}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{2\text{}j}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\right]+$

$+\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{2j}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}+{\text{δ}}_{1\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+{\text{δ}}_{2\text{}j}\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right),$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1.

Для $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) справедливы неравенства

 $\left|d_{i1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le {\text{α}}_i^{(n,k)}$ $(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$                                 (10)

где

${\text{α}}_1^{(n,k)}=2^{-n}\Omega \sum _{l=0}^{k-1}\left(\left|d_{21}^{(n,l)}\right|+\left|d_{31}^{(n,l)}\right|\right),{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}α}}_2^{(n,k)}=\Omega +2^{-n}\Omega \sum _{l=0}^{k-1}\left(\left|d_{11}^{(n,l)}\right|+\left|d_{31}^{(n,l)}\right|\right),{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}α}}_3^{(n,k)}=$

$=\Omega +2^{-n}\Omega \sum _{l=0}^{k-1}\left(\left|d_{11}^{(n,l)}\right|+\left|d_{21}^{(n,l)}\right|\right),$                                                  (11)

k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Здесь мы по-прежнему считаем, что при k = 0 суммы в (11) принимают значение, равное нулю.

Истинность неравенств (10) при k = 0 вытекает из равенств

$d_{11}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}=\mathrm{0,}$  $d_{21}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}=-{\text{ω}}_3^{\left(n\mathrm{,0}\right)},$ $d_{31}^{\left(n\mathrm{,0}\right)}={\text{ω}}_2^{\left(n\mathrm{,0}\right)},$                                    (12)

которые следуют из (7). Применяя неравенства (10) к оценке величин

$\left|d_{i1}^{(n,k-1)}\right|$ $(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3),$

получим

${\text{α}}_i^{(n,k)}={\text{α}}_i^{(n,k-1)}+2^{-n}\Omega \left({\Delta }^{\left(k-1\right)}-\left|d_{i1}^{(n,k-1)}\right|\right)\le {\text{α}}_i^{(n,k-1)}+2^{-n}\Omega \left({\Gamma }^{\left(k-1\right)}-{\text{α}}_i^{(n,k-1)}\right),$                            (13)

i = 1, 2, 3, где

${\Delta }^{\left(k-1\right)}=\sum _{i=1}^3\left|d_{i1}^{(n,k-1)}\right|,$ ${\Gamma }^{\left(k-1\right)}=\sum _{i=1}^3{\text{α}}_i^{(n,k-1)},$

k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Из (13) по индукции выводим неравенства

${\text{α}}_i^{(n,k)}\le \frac{1}{3}\left[{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k{\Gamma }^{\left(0\right)}+\left({\text{3α}}_i^{\left(n\mathrm{,0}\right)}-{\Gamma }^{\left(0\right)}\right){\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right],$

i = 1, 2, 3, k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Из равенств (12) следует, что

 ${\text{α}}_1^{\left(n\mathrm{,0}\right)}=\mathrm{0,}$  ${\text{α}}_2^{\left(n\mathrm{,0}\right)}=\Omega ,$ ${\text{α}}_3^{\left(n\mathrm{,0}\right)}=\Omega ,$

откуда с учетом (11) получаем неравенства для $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1):

$\left|d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \frac{2\Omega }{3}\left[{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k-{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right],$

$\left|d_{i1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \frac{\Omega }{3}\left[2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right]$  $(i=\mathrm{2,}3).$ (14)

Из (14) следуют неравенства

$\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1\text{\hspace{0.05em}}1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\le \frac{2^{-n+1}\Omega }{3}\left[{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k-{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right],$

$\underset{t_{n,k}}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{i\text{\hspace{0.05em}}1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\le \frac{2^{-n}\Omega }{3}\left[2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right]$

(i = 2, 3), из которых получаем:

$\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{1\text{\hspace{0.05em}}1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\le \frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^{n-1}}\left[{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k-{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right],$

$\underset{t_1}{\overset{t_{n,k+1}}{\int }}\left|d_{i\text{\hspace{0.05em}}1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|d\text{τ}\le \frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^n}\left[2{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k+{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right]$

(i = 2, 3), поэтому для $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) будет выполняться

$\left|{d_{11}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \Omega \left[\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{21}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{31}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}\right]+\frac{2^{-n+1}{\Omega }^2}{3}\times$

$\times \left[2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right]+\frac{2^{-n}\Omega T\left(k+1\right)}{3}\left[2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right]\times$

$\times \left(\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\right).$ (15)

Аналогично выводятся неравенства

$\left|{d_{21}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \Omega \left[\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{31}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{11}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}\right]+$

$+\frac{{\Omega }^2}{3\cdot 2^n}\left[4{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k-{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right]+\frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^n}\left[2{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k+{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right]\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+$

$+\left[\frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^{n-1}}\left({\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k-{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right)+1\right]\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right),$                          (16)

$\left|{d_{31}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le \Omega \left[\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{11}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}+\underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left|{d_{21}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)\right|d\text{τ}\right]+$

$+\frac{{\Omega }^2}{3\cdot 2^n}\left[4{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k\text{}-{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right]+\frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^n}\left[\text{}2{\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k\text{}+{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right]\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+$

$+\left[\text{}\frac{\Omega T\left(k+1\right)}{3\cdot 2^{n-1}}\left({\left(1+\frac{\Omega }{2^{n-1}}\right)}^k\text{}-{\left(1-\frac{\Omega }{2^n}\right)}^k\right)+1\text{}\right]\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right),$                          (17)

$t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right),$ k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1. Почленно суммируя неравенства (15)–(17), получаем:

$\left|{d_{11}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|+\left|{d_{21}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|+\left|{d_{31}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le$

$\le 2\Omega \underset{t_1}{\overset{t}{\int }}\left(\left|{d_{11}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|+\left|{d_{21}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|+\left|{d_{31}}^{\text{'}}\text{(τ)}-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\text{(τ)}\right|\right)d\text{τ}+A(n,k),$

где

$A(n,k)=2^{-n+2}{\Omega }^2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+\frac{2^{-n+1}\Omega T\left(k+1\right)}{3}\left[2{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k+{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right]\text{ω}\left({\text{ω}}_1{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+$

$+\left[\frac{2^{-n}\Omega T\left(k+1\right)}{3}\left(4{\left(1+2^{-n+1}\Omega \right)}^k-{\left(1-2^{-n}\Omega \right)}^k\right)+1\right]\left[\text{ω}\left({\text{ω}}_2{\mathrm{,2}}^{-n}\right)+\text{ω}\left({\text{ω}}_3{\mathrm{,2}}^{-n}\right)\right].$

В [12] доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если неотрицательная функция f(x), x₀ £ x £ X, имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода {x₁, x₂,…, x_N} $\subset$ (x₀, X), в которых f(x_k) £ max{f(x_k − 0), f(x_k + 0)}, k = 1, 2,…,$N$, и удовлетворяет с некоторыми постоянными $\alpha$, $\beta$ > 0 условию

$f\left(x\right)\le \alpha +\beta \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)dt$

хотя бы во всех точках непрерывности (а тогда и вообще во всех точках отрезка [x₀, X]), то при x₀ $\le$ x $\le$ X выполняется неравенство

$f\left(x\right)\le \alpha e^{\beta \left(x-x_0\right)}.$

Применяя эту лемму, приходим к следующему неравенству:

$\left|{d_{11}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{11}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|+\left|{d_{21}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{21}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|+\left|{d_{31}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{31}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le A(n,k)e^{2\Omega \left(t-t_1\right)}.$

Следовательно, для $t_1+2^{-n}Tk<t<t_1+2^{-n}T\left(k+1\right)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1)

$\left|{d_{i1}}^{\text{'}}\left(t\right)-d_{i1}^{\left(n\right)}{\text{}}^{\text{'}}\left(t\right)\right|\le A(n,k)e^{2\Omega \left(t-t_1\right)},$                                                         (18)

i = 1, 2, 3. Справедливо равенство

$d_{i1}\left(t_{n,k}\right)-d_{i1}^{\left(n\right)}\text{}\left(t_{n,k}\right)={\text{δ}}_{i1}+\underset{t_1}{\overset{t_{n,k}}{\int }}{d_{i1}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}-{\text{δ}}_{i1}-2^{-n}\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{i1}^{(n,l)}=\underset{t_1}{\overset{t_{n,k}}{\int }}{d_{i1}}^{\text{'}}\left(\text{τ}\right)d\text{τ}-2^{-n}\sum _{l=0}^{k-1}{d}_{i1}^{(n,l)},$

где t_n,k – точки множества (6), k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3. Отсюда получаем:

$d_{i1}\left(t_2\right)-d_{i1}^{\left(n\right)}\text{}\left(t_2\right)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{d_{i1}}^{\text{'}}\text{(τ)}d\text{τ}-2^{-n}T\sum _{l=0}^{2^n-1}{d}_{i1}^{(n,l)}=\sum _{l=0}^{2^n-1}\underset{t_{n,l}}{\overset{t_{n,l+1}}{\int }}{d_{i1}}^{\text{'}}\text{(τ)}d\text{τ}-2^{-n}T\sum _{l=0}^{2^n-1}{d}_{i1}^{(n,l)}=$

$=2^{-n}T\sum _{l=0}^{2^n-1}\left({d_{i1}}^{\text{'}}\left({\text{τ}}_l\right)\left.-{d_{i1}^{\left(n\right)}}^{\text{'}}\left(t_{n,l}\right)\right)=2^{-n}T\sum _{l=0}^{2^n-1}\left[\left({d_{i1}}^{\text{'}}\left({\text{τ}}_l\right)-{d_{i1}^{\left(n\right)}}^{\text{'}}\left({\text{τ}}_l\right)\right)+\left({d_{i1}^{\left(n\right)}}^{\text{'}}\left({\text{τ}}_l\right)-{d_{i1}^{\left(n\right)}}^{\text{'}}\left(t_{n,l}\right)\right)\right]=\right.$