The method of Haar sums for numerical solution of kinematic Poisson equations system that determine an evolution of a spacecraft position

Kirill A. Kirillov; Кириллов Кирилл Анатольевич; Elena V. Ovchinnikova; Овчинникова Елена Владимировна; Konstantin V. Safonov; Сафонов Константин Владимирович; Gennady P. Titov; Титов Геннадий Павлович; Anton I. Khokhlov; Хохлов Антон Игоревич; Artem  A. Gashin; Гашин Артем Александрович

doi:10.31772/2712-8970-2023-24-3-450-467

Метод сумм Хаара численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата

Авторы: Кириллов К.А.¹, Овчинникова Е.В.¹, Сафонов К.В.¹, Титов Г.П.², Хохлов А.И.², Гашин А.А.¹
Учреждения:
1. Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева
2. АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва» (АО «РЕШЕТНЁВ»)
Выпуск: Том 24, № 3 (2023)
Страницы: 450-467
Раздел: Раздел 1. Информатика, вычислительная техника и управление
Статья опубликована: 17.11.2023
URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/622817
DOI: https://doi.org/10.31772/2712-8970-2023-24-3-450-467
ID: 622817

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

В представленной работе предложен метод численного решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения космического аппарата (КА), по которой определяют матрицу перехода от связанной с КА системы координат в выбранный момент времени t₁ к связанной с КА системе координат в текущий момент времени t₂. Указанная матрица перехода используется в ходе решения задачи определения трехосной ориентации КА по показаниям магнитометра с использованием информации о его угловых скоростях. Предложенный метод основан на замене производных искомых функций в кинематических уравнениях Пуассона на частичные суммы рядов по масштабированной системе Хаара. Эти суммы представляют собой обобщенные многочлены по масштабированной системе Хаара и, следовательно, являются ступенчатыми (кусочно-постоянными) функциями. Выведены оценки погрешности предложенного метода, показывающие, что в случае коэффициентов уравнений, представляющих собой функции, удовлетворяющие условию Липшица, абсолютная погрешность вычисления каждого из элементов матрицы перехода от одной системы координат к другой есть величина O(N^–1) при N ® ¥, где N – число разбиений отрезка [t₁, t₂] при построении сетки узлов, задействованных в данном методе. Доказано, что трудоемкость построенного алгоритма приближенного решения системы кинематических уравнений Пуассона незначительно превышает трудоемкость решения указанной системы методом Эйлера, который имеет первый порядок точности. Приведены результаты численных экспериментов, показывающие, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка, трудоемкость которых примерно в два раза превосходит трудоемкость метода сумм Хаара.

Ключевые слова

трехосная ориентация космического аппарата, система координат, связанная с космическим аппаратом, система кинематических уравнений Пуассона, система функций Хаара

Полный текст

Введение

В [1] предложен способ определения трехосной ориентации космического аппарата (КА) по показаниям магнитометра с использованием информации о его угловых скоростях. В ходе решения данной задачи рассматривают два измерения вектора напряженности магнитного поля Земли (МПЗ) и угловой скорости КА, сделанные в выбранный момент времени t₁ а также в момент времени t₂ соответствующий максимальному значению острого угла между этими измерениями вектора напряженности МПЗ. Затем, учитывая измеренные значения угловой скорости КА в указанные моменты времени t₁ и t₂ интегрируют систему кинематических уравнений Пуассона [1–6]

$\{\begin{cases} {d_{11}}^{'} (t) = ω_{3} (t) d_{21} (t) - ω_{2} (t) d_{31} (t), \\ {d_{21}}^{'} (t) = ω_{1} (t) d_{31} (t) - ω_{3} (t) d_{11} (t), \\ {d_{31}}^{'} (t) = ω_{2} (t) d_{11} (t) - ω_{1} (t) d_{21} (t), \\ {d_{12}}^{'} (t) = ω_{3} (t) d_{22} (t) - ω_{2} (t) d_{32} (t), \\ {d_{22}}^{'} (t) = ω_{1} (t) d_{32} (t) - ω_{3} (t) d_{12} (t), \\ {d_{32}}^{'} (t) = ω_{2} (t) d_{12} (t) - ω_{1} (t) d_{22} (t), \\ {d_{13}}^{'} (t) = ω_{3} (t) d_{23} (t) - ω_{2} (t) d_{33} (t), \\ {d_{23}}^{'} (t) = ω_{1} (t) d_{33} (t) - ω_{3} (t) d_{13} (t), \\ {d_{33}}^{'} (t) = ω_{2} (t) d_{13} (t) - ω_{1} (t) d_{23} (t), \end{cases}$ (1)

по которой определяют матрицу D₁₂ поворота связанной с КА системы координат относительно инерциальной системы координат от момента времени t₁ к моменту времени t₂ В системе (1) через ω₁(t), ω₂(t), ω₃(t) обозначены проекции абсолютной угловой скорости КА на координатные оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно (по информации от измерителя угловой скорости), $d_{i j} (t)$ – элементы матрицы D_12, ${d_{i j}}^{'} (t)$ – их производные, i, j = 1, 2, 3. Начальное значение матрицы D₁₂ (в момент времени t₁) принимается равным единичной матрице E.

Методы решения системы кинематических уравнений Пуассона (1) были рассмотрены, например, в [7–11]. В представленной работе предложен метод численного решения системы (1), основанный на замене производных искомых функций в этих уравнениях на обобщенные многочлены по масштабированной системе Хаара. Выведены оценки погрешности предложенного метода

$|d_{i j} (t_{2}) - d_{i j}^{(n)} (t_{2})| \leq Σ_{j} (n) (i, j = 1, 2, 3),$

где

$Σ_{j} (n) ~ T [2^{n - 1} Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + Ω_{S} - ω (ω_{j} {,2}^{- n})]$

при $n \to \infty,$ j = 1, 2, 3. Здесь $d_{i j}^{(n)} (t_{2})$ – приближенные значения при t=t₂ элементов матрицы D₁₂ полученные в результате решения системы уравнений (1) данным методом (i, j = 1, 2, 3), $N = 2^{n}$ – число разбиений отрезка $[t_{1}, t_{2}]$ при построении сетки узлов, задействованных в предложенном методе, $ω_{j} (t)$ – непрерывные на отрезке функции (j = 1, 2, 3), $T = t_{2} - t_{1},$ $Ω = \max \{Ω_{1}, Ω_{2}, Ω_{3}\},$ где

$Ω_{j} = \max_{t \in [t_{1}, t_{2}]} |ω_{j} (t)|$ $(j = 1, 2, 3),$

где $ω (f, δ)$ – модуль непрерывности функции f, т. е.

$ω (f, δ) = \sup_{|t^{'} - t^{''}| \leq δ} |f (t^{'}) - f (t^{''})|,$

а величина $Ω_{S}$ определяется равенством

$Ω_{S} = \sum_{j = 1}^{3} ω (ω_{j} {,2}^{- n}) .$

Если при этом функции $ω_{j} (t)$ удовлетворяют условию Липшица с константами $L_{j} \geq 0,$ то

$Σ_{j} (n) ~ N T [2 Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + L - L_{j}]$

при N→∞, j = 1, 2, 3, L=L₁+L₂+L₃, откуда следует, что в данном случае абсолютная погрешность вычисления каждого из элементов матрицы D₁₂ перехода от одной системы координат к другой есть величина $O (N^{- 1})$ при N→∞

Система уравнений (1) с начальными условиями, вытекающими из равенства D₁₂= E разбивается на три задачи Коши. Доказано, что для численного решения каждой из этих трех задач Коши требуется $Λ_{Χ} (N) ~ 17 N$ (при N→∞) арифметических операций, что незначительно превосходит трудоемкость решения каждой из этих задач Коши методом Эйлера.

Приведены результаты численных экспериментов, показывающие, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка, трудоемкость которых примерно в два раза превосходит трудоемкость метода сумм Хаара.

1.Постановка задачи. Основные определения

При определении ориентации космического аппарата необходимо учитывать его угловое движение в инерциальной системе координат. Для этого в интервале времени от t₁ до t₂ (t₁ и t₂) соответствуют двум положениям космического аппарата на орбите) приближенно решается система уравнений Пуассона (1), определяющих эволюцию положения космического аппарата из момента времени t₁ в момент времени t₂ . Легко видеть, что система уравнений (1) с учетом начального значения матрицы D₁₂ (D₁₂= E) сводится к следующим трем задачам Коши для систем уравнений:

$\{\begin{cases} {d_{1 j}}^{'} (t) = ω_{3} (t) d_{2 j} (t) - ω_{2} (t) d_{3 j} (t), \\ {d_{2 j}}^{'} (t) = ω_{1} (t) d_{3 j} (t) - ω_{3} (t) d_{1 j} (t), \\ {d_{3 j}}^{'} (t) = ω_{2} (t) d_{1 j} (t) - ω_{1} (t) d_{2 j} (t); \end{cases}$ (2)

$d_{i j} (t_{1}) = δ_{i j} = \{\begin{cases} 1 при i = j, \\ 0 при i \neq j, \end{cases}$ $i = 1,2,3;$ (3)

j = 1, 2, 3. Считаем, что ω₁(t), ω₂(t), ω₃ – непрерывные на отрезке $[t_{1}, t_{2}]$ функции.

Построим алгоритм решения задачи Коши (2)–(3) и выведем оценки погрешности, используя методы, аналогичные приведенным в [12] в случае решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Приведем определение системы функций Хаара и сопутствующее ему понятие двоичных промежутков, введенные в [13].

Двоичным промежутком l_m,j назовем промежуток с концами в точках (j−1)/2^m⁻¹, j/2^m⁻¹ (m = 1,2, ..., j = 1,2, ..., 2^m⁻¹). Будем считать двоичные промежутки замкнутыми слева и открытыми справа. Если правый конец двоичного промежутка совпадает с 1, то будем считать этот промежуток замкнутым также и справа. Введем обозначения:

$l_{m, j}^{-} = l_{m + 1,2 j - 1},$ $l_{m, j}^{+} = l_{m + 1,2 j} .$

Очевидно, что

$l_{m, j}^{-} \cup l_{m, j}^{+} = l_{m, j} .$

Система функций Хаара строится группами: группа номер m содержит 2^m⁻¹ функций где m = 1,2, ..., j = 1,2, ..., 2^m⁻¹. Функции Хаара определяются следующим образом:

$χ_{m, j} (x) = \{\begin{cases} 2^{(m - 1) / 2} & при x \in l_{m, j}^{-}, \\ - 2^{(m - 1) / 2} & при x \in l_{m, j}^{+}, \\ 0 & при x \notin l_{m, j}, \end{cases}$

$m = 1,2, \dots, j = 1,2, \dots {,2}^{m - 1} .$ Наряду с двойной нумерацией используется также простая нумерация:

$χ_{m, j} (x) = χ_{k} (x),$

где k = 2^m ^{– 1} + j, k = 2, 3, … В систему функций Хаара включают также функцию $χ_{1} (x) \equiv 1,$ которая остается вне групп.

2. Построение алгоритма численного решения задач Коши (2)–(3)

Введем обозначение $T = t_{2} - t_{1} .$ Будем искать приближенное решение

$(d_{1 j}^{(n)} (t), d_{2 j}^{(n)} (t), d_{3 j}^{(n)} (t))$

каждой из трех задач Коши (2)–(3), представляя производные

$d_{1 j}^{(n)} ^{'} (t),$ $d_{2 j}^{(n)} ^{'} (t),$ $d_{3 j}^{(n)} ^{'} (t)$

в виде обобщенных многочленов по масштабированной системе Хаара $\{χ_{k} ((t - t_{1}) / T)\}$ порядков не выше 2ⁿ:

$d_{i j}^{(n)} ^{'} (t) = \sum_{k = 0}^{2^{n} - 1} C_{i j}^{(n, k)} χ_{k} ((t - t_{1}) / T),$ $C_{i j}^{(n, k)} \in R,$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Такие обобщенные многочлены являются ступенчатыми функциями:

$d_{i j}^{(n)} ^{'} (t) = d_{i j}^{(n, k)}$ при $t_{1} + 2^{- n} T k \leq t \leq t_{1} + 2^{- n} T (k + 1),$ (4)

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3.

Восстановим функции $d_{i j}^{(n)} (t)$ по их производным:

$d_{i j}^{(n)} (t) = δ_{i j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{i j}^{(n, l)} + (t - t_{1} - 2^{- n} T k) d_{i j}^{(n, k)}$ при $t_{1} + 2^{- n} T k \leq t \leq t_{1} + 2^{- n} T (k + 1),$ (5)

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3. Считаем, что в (5) при k = 0

$\sum_{l = 0}^{k - 1} d_{i j}^{(n, l)} = 0.$

Функции (5) являются кусочно-линейными с узлами в точках множества

$\{t_{n, k} : t_{n, k} = t_{1} + 2^{- n} T k, k = 0,1, \dots {,2}^{n} - 1\} .$ (6)

Будем считать, что измеритель угловой скорости определяет значения проекций абсолютных угловых скоростей $ω_{1} (t),$ $ω_{2} (t),$ $ω_{3} (t)$ именно в точках множества (6). Потребуем, чтобы функции (5) удовлетворяли системам уравнений (2) на этом множестве. Тогда получаем:

$\{\begin{cases} d_{1 j}^{(n)} ^{'} (t_{n, k}) = ω_{3} (t_{n, k}) d_{2 j}^{(n)} (t_{n, k}) - ω_{2} (t_{n, k}) d_{3 j}^{(n)} (t_{n, k}), \\ d_{2 j}^{(n)} ^{'} (t_{n, k}) = ω_{1} (t_{n, k}) d_{3 j}^{(n)} (t_{n, k}) - ω_{3} (t_{n, k}) d_{1 j}^{(n)} (t_{n, k}), \\ d_{3 j}^{(n)} ^{'} (t_{n, k}) = ω_{2} (t_{n, k}) d_{1 j}^{(n)} (t_{n, k}) - ω_{1} (t_{n, k}) d_{2 j}^{(n)} (t_{n, k}), \end{cases}$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, j = 1, 2, 3. С учетом представления функций (5) и (4), обозначив для краткости

$ω_{j} (t_{n, k}) = ω_{j}^{(n, k)}$ $(j = 1, 2, 3),$

будем иметь:

$\{\begin{cases} d_{1 j}^{(n, k)} = ω_{3}^{(n, k)} (δ_{2 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{2 j}^{(n, l)}) - ω_{2}^{(n, k)} (δ_{3 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{3 j}^{(n, l)}), \\ d_{2 j}^{(n, k)} = ω_{1}^{(n, k)} (δ_{3 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{3 j}^{(n, l)}) - ω_{3}^{(n, k)} (δ_{1 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{1 j}^{(n, l)}), \\ d_{3 j}^{(n, k)} = ω_{2}^{(n, k)} (δ_{1 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{1 j}^{(n, l)}) - ω_{1}^{(n, k)} (δ_{2 j} + 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{2 j}^{(n, l)}), \end{cases}$ (7)

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, j = 1, 2, 3.

Таким образом, приходим к следующему алгоритму численного решения задач Коши (2)–(3).

Для каждого j = 1, 2, 3 выполняем следующие вычисления.

1.1. Находим значения

$s_{1 j}^{(n,0)},$ 1 $s_{2 j}^{(n,0)},$ 1 $s_{3 j}^{(n,0)}$

по формулам, которые получаются из (7) при k = 0:

$\{\begin{cases} s_{1 j}^{(n,0)} = δ_{2 j} ω_{3}^{(n,0)} - δ_{3 j} ω_{2}^{(n,0)}, \\ s_{2 j}^{(n,0)} = δ_{3 j} ω_{1}^{(n,0)} - δ_{1 j} ω_{3}^{(n,0)}, \\ s_{3 j}^{(n,0)} = δ_{1 j} ω_{2}^{(n,0)} - δ_{2 j} ω_{1}^{(n,0)} \end{cases}$

(при k = 0 суммы, фигурирующие в (7), считаются равными нулю).

1.2. Последовательно находим значения величин

$s_{1 j}^{(n,1)},$ $s_{2 j}^{(n,1)},$ $s_{3 j}^{(n,1)};$

$s_{1 j}^{(n,2)},$ $s_{2 j}^{(n,2)},$ $s_{3 j}^{(n,2)};$

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$s_{1 j}^{(n {,2}^{n} - 1)},$ $s_{2 j}^{(n {,2}^{n} - 1)},$ $s_{3 j}^{(n {,2}^{n} - 1)},$

по формулам

$s_{1 j}^{(n, k)} = s_{1 j}^{(n, k - 1)} + d_{1 j}^{(n, k)},$ $s_{2 j}^{(n, k)} = s_{2 j}^{(n, k - 1)} + d_{2 j}^{(n, k)},$ 1 $s_{3 j}^{(n, k)} = s_{3 j}^{(n, k - 1)} + d_{3 j}^{(n, k)},$ (8)

предварительно вычисляя для каждого k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1 величины

$\{\begin{cases} d_{1 j}^{(n, k)} = ω_{3}^{(n, k)} \cdot (δ_{2 j} + τ \cdot s_{2 j}^{(n, k - 1)}) - ω_{2}^{(n, k)} \cdot (δ_{3 j} + τ \cdot s_{3 j}^{(n, k - 1)}), \\ d_{2 j}^{(n, k)} = ω_{1}^{(n, k)} \cdot (δ_{3 j} + τ \cdot s_{3 j}^{(n, k - 1)}) - ω_{3}^{(n, k)} \cdot (δ_{1 j} + τ \cdot s_{1 j}^{(n, k - 1)}), \\ d_{3 j}^{(n, k)} = ω_{2}^{(n, k)} \cdot (δ_{1 j} + τ \cdot s_{1 j}^{(n, k - 1)}) - ω_{1}^{(n, k)} \cdot (δ_{2 j} + τ \cdot s_{2 j}^{(n, k - 1)}), \end{cases}$ (9)

где τ = 2^–ⁿT. Формулы (8), (9) следуют из рекуррентных соотношений (7).

По формулам, вытекающим из (5), для j = 1, 2, 3 вычисляем значения

$d_{1 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{1 j} + τ \cdot s_{1 j}^{(n {,2}^{n} - 1)},$ $d_{2 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{2 j} + τ \cdot s_{2 j}^{(n {,2}^{n} - 1)},$ $d_{3 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{3 j} + τ \cdot s_{3 j}^{(n {,2}^{n} - 1)} .$

Составляем матрицу перехода из связанной с космическим аппаратом системы координат в момент времени t₁в связанную с космическим аппаратом систему координат в момент времени t₂

$D_{12} = (\begin{array}{l} d_{11}^{(n)} (t_{2}) & d_{12}^{(n)} (t_{2}) & d_{13}^{(n)} (t_{2}) \\ d_{21}^{(n)} (t_{2}) & d_{22}^{(n)} (t_{2}) & d_{23}^{(n)} (t_{2}) \\ d_{31}^{(n)} (t_{2}) & d_{32}^{(n)} (t_{2}) & d_{33}^{(n)} (t_{2}) \end{array}) .$

Оценим число арифметических операций, требуемых для реализации данного алгоритма. На k-м шаге (k = 1, 2, …, 2ⁿ) процесса вычисления величин

$d_{1 j}^{(n, k)},$ $d_{2 j}^{(n, k)},$ $d_{3 j}^{(n, k)}$ ( $j \in \{1,2,3\}$ фиксировано)

производится 17 арифметических операций: 3 арифметических операции требуется для нахождения промежуточных величин (8), 13 арифметических операций – для нахождения $d_{1 j}^{(n, k)},$ $d_{2 j}^{(n, k)},$ $d_{3 j}^{(n, k)}$ по формулам (9) (из трех величин $δ_{1 j},$ δ_2j, δ_3j только одна равна 1, остальные две равны 0) и 1 операция – для перехода к следующему узлу сетки (t_n_,_k₊₁ = t_n_,_k + τ). После выполнения (2ⁿ–1)-го шага вычислений по формулам (8), (9) находим $d_{1 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{1 j} + τ \cdot s_{1 j}^{(n {,2}^{n})},$ $d_{2 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{2 j} + τ \cdot s_{2 j}^{(n {,2}^{n})},$ $d_{3 j}^{(n)} (t_{2}) = δ_{3 j} + τ \cdot s_{3 j}^{(n {,2}^{n})},$ $j \in \{1,2,3\} .$

Таким образом, если N – число разбиений отрезка (t_1,t2), $N = 2^{n}$ то для численного решения каждой из трех задач Коши (2)–(3) (для каждого j = 1, 2, 3) требуется $Λ_{Χ} (N)$ арифметических операций, где величина $Λ_{Χ} (N)$ удовлетворяет соотношению

$Λ_{Χ} (N) ~ 17 N$ при N→∞

Сравним трудоемкость построенного алгоритма с трудоемкостью численного решения задач Коши (2)–(3) методом Эйлера [14; 15], погрешность которого так же, как и изложенного в настоящей работе метода (в случае удовлетворяющих условию Липшица функций $ω_{1} (t),$ $ω_{2} (t),$ $ω_{3} (t)$ ), есть величина, ограниченная по сравнению с N^-1 при N→∞

Нетрудно проверить, что для численного решения каждой из трех задач Коши (2)–(3) (для каждого j = 1, 2, 3) методом Эйлера требуется арифметических операций, где величина $Λ_{Э} (N)$ удовлетворяет соотношению

$Λ_{Э} (N) ~ 16 N$ при N→∞

Отсюда следует, что трудоемкость решения задач (2) – (3) с помощью построенного в настоящей работе алгоритма незначительно превосходит трудоемкость решения этих задач методом Эйлера.

3.Вывод оценок погрешности метода

При $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) для разности производных от функций-компонент точного и приближенного решений будем иметь:

${d_{1 j}}^{'} (t) - d_{1 j}^{(n)} ^{'} (t) = ω_{3} (t) \int_{t_{1}}^{t} [{d_{2 j}}^{'} (τ) - d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)] d τ + (ω_{3} (t) - ω_{3}^{(n, k)}) \int_{t_{1}}^{t} d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ) d τ + {+ω}_{3}^{(n, k)} \int_{t_{n, k}}^{t} d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ) d τ - ω_{2} (t) \times \int_{t_{1}}^{t} [{d_{3 j}}^{'} (τ) - d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)] d τ - (ω_{2} (t) - ω_{2}^{(n, k)}) \int_{t_{1}}^{t} d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ) d τ - - ω_{2}^{(n, k)} \int_{t_{n, k}}^{t} d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ) d τ + δ_{2 j} (ω_{3} (t) - ω_{3}^{(n, k)}) - δ_{3 j} (ω_{2} (t) - ω_{2}^{(n, k)}) .$

Тогда для $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) получаем:

$\int_{t_{1}}^{t} |{d_{2 j}}^{'} (τ) - d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{3 j}}^{'} (τ) - d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ$

$+ ω (ω_{3} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + ω (ω_{y} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + δ_{2 j} ω (ω_{3} {,2}^{- n}) + δ_{3 j} ω (ω_{2} {,2}^{- n}),$

где

$Ω = \max \{Ω_{1}, Ω_{2}, Ω_{3}\}, Ω_{j} = \max_{t \in [t_{1}, t_{2}]} |ω_{j} (t)| (j = 1, 2, 3),$

а $ω (f, δ)$ – модуль непрерывности функции f, т. е.

$ω (f, δ) = \sup_{|t^{'} - t^{''}| \leq δ} |f (t^{'}) - f (t^{''})| .$

Аналогично, для (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) имеем:

$|{d_{2 j}}^{'} (t) - d_{2 j}^{(n)} ^{'} (t)| \leq Ω [\int_{t_{1}}^{t} |{d_{3 j}}^{'} (τ) - d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{1 j}}^{'} (τ) - d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ] +$

$+ ω (ω_{1} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{3 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + ω (ω_{3} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + δ_{3 j} ω (ω_{1} {,2}^{- n}) + δ_{1 j} ω (ω_{3} {,2}^{- n}),$

$|{d_{3 j}}^{'} (t) - d_{3 j}^{(n)} ^{'} (t)| \leq Ω [\int_{t_{1}}^{t} |{d_{1 j}}^{'} (τ) - d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{2 j}}^{'} (τ) - d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ] +$

$+ ω (ω_{2} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + ω (ω_{1} {,2}^{- n}) \int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{2 j}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + δ_{1 j} ω (ω_{2} {,2}^{- n}) + δ_{2 j} ω (ω_{1} {,2}^{- n}),$

k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1.

Для $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) справедливы неравенства

$|d_{i 1}^{(n)} ^{'} (t)| \leq α_{i}^{(n, k)}$ $(i = 1, 2, 3),$ (10)

где

$α_{1}^{(n, k)} = 2^{- n} Ω \sum_{l = 0}^{k - 1} (|d_{21}^{(n, l)}| + |d_{31}^{(n, l)}|), α_{2}^{(n, k)} = Ω + 2^{- n} Ω \sum_{l = 0}^{k - 1} (|d_{11}^{(n, l)}| + |d_{31}^{(n, l)}|), α_{3}^{(n, k)} =$

$= Ω + 2^{- n} Ω \sum_{l = 0}^{k - 1} (|d_{11}^{(n, l)}| + |d_{21}^{(n, l)}|),$ (11)

k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Здесь мы по-прежнему считаем, что при k = 0 суммы в (11) принимают значение, равное нулю.

Истинность неравенств (10) при k = 0 вытекает из равенств

$d_{11}^{(n,0)} = 0,$ $d_{21}^{(n,0)} = - ω_{3}^{(n,0)},$ $d_{31}^{(n,0)} = ω_{2}^{(n,0)},$ (12)

которые следуют из (7). Применяя неравенства (10) к оценке величин

$|d_{i 1}^{(n, k - 1)}|$ $(i = 1, 2, 3),$

получим

$α_{i}^{(n, k)} = α_{i}^{(n, k - 1)} + 2^{- n} Ω (Δ^{(k - 1)} - |d_{i 1}^{(n, k - 1)}|) \leq α_{i}^{(n, k - 1)} + 2^{- n} Ω (Γ^{(k - 1)} - α_{i}^{(n, k - 1)}),$ (13)

i = 1, 2, 3, где

$Δ^{(k - 1)} = \sum_{i = 1}^{3} |d_{i 1}^{(n, k - 1)}|,$ $Γ^{(k - 1)} = \sum_{i = 1}^{3} α_{i}^{(n, k - 1)},$

k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Из (13) по индукции выводим неравенства

$α_{i}^{(n, k)} \leq \frac{1}{3} [{(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} Γ^{(0)} + ({3α}_{i}^{(n,0)} - Γ^{(0)}) {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}],$

i = 1, 2, 3, k = 1, 2, …, 2ⁿ – 1. Из равенств (12) следует, что

$α_{1}^{(n,0)} = 0,$ $α_{2}^{(n,0)} = Ω,$ $α_{3}^{(n,0)} = Ω,$

откуда с учетом (11) получаем неравенства для $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1):

$|d_{11}^{(n)} ^{'} (t)| \leq \frac{2 Ω}{3} [{(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} - {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}],$

$|d_{i 1}^{(n)} ^{'} (t)| \leq \frac{Ω}{3} [2 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}]$ $(i = 2, 3) .$ (14)

Из (14) следуют неравенства

$\int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 1}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ \leq \frac{2^{- n + 1} Ω}{3} [{(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} - {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}],$

$\int_{t_{n, k}}^{t_{n, k + 1}} |d_{i 1}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ \leq \frac{2^{- n} Ω}{3} [2 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}]$

(i = 2, 3), из которых получаем:

$\int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{1 1}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ \leq \frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n - 1}} [{(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} - {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}],$

$\int_{t_{1}}^{t_{n, k + 1}} |d_{i 1}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ \leq \frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n}} [2 {(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} + {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}]$

(i = 2, 3), поэтому для $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1) будет выполняться

$|{d_{11}}^{'} (t) - d_{11}^{(n)} ^{'} (t)| \leq Ω [\int_{t_{1}}^{t} |{d_{21}}^{'} (τ) - d_{21}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{31}}^{'} (τ) - d_{31}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ] + \frac{2^{- n + 1} Ω^{2}}{3} \times$

$\times [2 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}] + \frac{2^{- n} Ω T (k + 1)}{3} [2 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}] \times$

$\times (ω (ω_{3} {,2}^{- n}) + ω (ω_{2} {,2}^{- n})) .$ (15)

Аналогично выводятся неравенства

$|{d_{21}}^{'} (t) - d_{21}^{(n)} ^{'} (t)| \leq Ω [\int_{t_{1}}^{t} |{d_{31}}^{'} (τ) - d_{31}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{11}}^{'} (τ) - d_{11}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ] +$

$+ \frac{Ω^{2}}{3 \cdot 2^{n}} [4 {(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} - {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}] + \frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n}} [2 {(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} + {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}] ω (ω_{1} {,2}^{- n}) +$

$+ [\frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n - 1}} ({(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} - {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}) + 1] ω (ω_{3} {,2}^{- n}),$ (16)

$|{d_{31}}^{'} (t) - d_{31}^{(n)} ^{'} (t)| \leq Ω [\int_{t_{1}}^{t} |{d_{11}}^{'} (τ) - d_{11}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ + \int_{t_{1}}^{t} |{d_{21}}^{'} (τ) - d_{21}^{(n)} ^{'} (τ)| d τ] +$

$+ \frac{Ω^{2}}{3 \cdot 2^{n}} [4 {(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} - {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}] + \frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n}} [ 2 {(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} + {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}] ω (ω_{1} {,2}^{- n}) +$

$+ [ \frac{Ω T (k + 1)}{3 \cdot 2^{n - 1}} ({(1 + \frac{Ω}{2^{n - 1}})}^{k} - {(1 - \frac{Ω}{2^{n}})}^{k}) + 1 ] ω (ω_{2} {,2}^{- n}),$ (17)

$t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1),$ k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1. Почленно суммируя неравенства (15)–(17), получаем:

$|{d_{11}}^{'} (t) - d_{11}^{(n)} ^{'} (t)| + |{d_{21}}^{'} (t) - d_{21}^{(n)} ^{'} (t)| + |{d_{31}}^{'} (t) - d_{31}^{(n)} ^{'} (t)| \leq$

$\leq 2 Ω \int_{t_{1}}^{t} (|{d_{11}}^{'} (τ) - d_{11}^{(n)} ^{'} (τ)| + |{d_{21}}^{'} (τ) - d_{21}^{(n)} ^{'} (τ)| + |{d_{31}}^{'} (τ) - d_{31}^{(n)} ^{'} (τ)|) d τ + A (n, k),$

где

$A (n, k) = 2^{- n + 2} Ω^{2} {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + \frac{2^{- n + 1} Ω T (k + 1)}{3} [2 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} + {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}] ω (ω_{1} {,2}^{- n}) +$

$+ [\frac{2^{- n} Ω T (k + 1)}{3} (4 {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{k} - {(1 - 2^{- n} Ω)}^{k}) + 1] [ω (ω_{2} {,2}^{- n}) + ω (ω_{3} {,2}^{- n})] .$

В [12] доказано следующее утверждение.

Лемма 1. Если неотрицательная функция f(x), x₀ £ x £ X, имеет лишь конечное число точек разрыва первого рода {x₁, x₂,…, x_N} $\subset$ (x₀, X), в которых f(x_k) £ max{f(x_k − 0), f(x_k + 0)}, k = 1, 2,…, $N$ , и удовлетворяет с некоторыми постоянными $α$ , $β$ > 0 условию

$f (x) \leq α + β \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$

хотя бы во всех точках непрерывности (а тогда и вообще во всех точках отрезка [x₀, X]), то при x₀ $\leq$ x $\leq$ X выполняется неравенство

$f (x) \leq α e^{β (x - x_{0})} .$

Применяя эту лемму, приходим к следующему неравенству:

$|{d_{11}}^{'} (t) - d_{11}^{(n)} ^{'} (t)| + |{d_{21}}^{'} (t) - d_{21}^{(n)} ^{'} (t)| + |{d_{31}}^{'} (t) - d_{31}^{(n)} ^{'} (t)| \leq A (n, k) e^{2 Ω (t - t_{1})} .$

Следовательно, для $t_{1} + 2^{- n} T k < t < t_{1} + 2^{- n} T (k + 1)$ (k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1)

$|{d_{i 1}}^{'} (t) - d_{i 1}^{(n)} ^{'} (t)| \leq A (n, k) e^{2 Ω (t - t_{1})},$ (18)

i = 1, 2, 3. Справедливо равенство

$d_{i 1} (t_{n, k}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{n, k}) = δ_{i 1} + \int_{t_{1}}^{t_{n, k}} {d_{i 1}}^{'} (τ) d τ - δ_{i 1} - 2^{- n} \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{i 1}^{(n, l)} = \int_{t_{1}}^{t_{n, k}} {d_{i 1}}^{'} (τ) d τ - 2^{- n} \sum_{l = 0}^{k - 1} d_{i 1}^{(n, l)},$

где t_n_,_k – точки множества (6), k = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3. Отсюда получаем:

$d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} {d_{i 1}}^{'} (τ) d τ - 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} d_{i 1}^{(n, l)} = \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} \int_{t_{n, l}}^{t_{n, l + 1}} {d_{i 1}}^{'} (τ) d τ - 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} d_{i 1}^{(n, l)} =$

$= 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} ({d_{i 1}}^{'} (τ_{l}) - {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (t_{n, l})) = 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} [({d_{i 1}}^{'} (τ_{l}) - {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (τ_{l})) + ({d_{i 1}^{(n)}}^{'} (τ_{l}) - {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (t_{n, l}))] =$

$= 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} ({d_{i 1}}^{'} (τ_{l}) - {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (τ_{l})),$ (19)

где $τ_{ι}$ – точки интервала (t_n_,_l, t_n_,_l₊₁), l = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3. Здесь мы воспользовались теоремой о среднем для определенного интеграла, из которой вытекает существование точек интервала (t_n_,_l, t_n_,_l₊₁) таких, что для непрерывных функций ${d_{i 1}}^{'} (τ)$ выполняются равенства

$\int_{t_{n, l}}^{t_{n, l + 1}} {d_{i 1}}^{'} (τ) d τ = {d_{i 1}}^{'} (τ_{l}) (t_{n, l + 1} - t_{n, l}) = 2^{- n} {d_{i 1}}^{'} (τ_{l}),$

где l = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3, а также тем, что на каждом из интервалов

$(t_{n, l}, t_{n, l + 1}) = (t_{1} + 2^{- n} T l, t_{1} + 2^{- n} T (l + 1))$

многочлены Хаара ${d_{i 1}^{(n)}}^{'} (t)$ принимают постоянное значение, вследствие чего

${d_{i 1}^{(n)}}^{'} (τ_{l}) = {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (t_{n, l}),$

l = 0, 1, …, 2ⁿ – 1, i = 1, 2, 3. Применяя неравенство треугольника и неравенства (16), из (17) получаем:

$|d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2})| \leq 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} |{d_{i 1}}^{'} (τ_{l}) - {d_{i 1}^{(n)}}^{'} (τ_{l})| \leq$

$\leq 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} A (n, l) e^{2 Ω (τ_{l} - t_{1})} < 2^{- n} T \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} A (n, l) e^{2^{- n + 1} Ω T (l + 1)},$ (20)

i = 1, 2, 3. Имеют место равенства

$\sum_{l = 0}^{N - 1} q^{l} = (q^{N} - 1) {(q - 1)}^{- 1},$ $\sum_{l = 0}^{N - 1} (l + 1) q^{l} = (N q^{N + 1} - (N + 1) q^{N} + 1) {(q - 1)}^{- 2},$

истинность которых легко проверяется по индукции. Используя эти равенства, вычислим следующие суммы:

$σ_{1} (n) = \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} e^{2^{- n + 1} Ω T (l + 1)} {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{l} = e^{2^{- n + 1} Ω T} \frac{e^{2 Ω T} {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{2^{n}} - 1}{e^{2^{- n + 1} Ω T} (1 + 2^{- n + 1} Ω) - 1},$

$σ_{2} (n) = \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} e^{2^{- n + 1} Ω T (l + 1)} (l + 1) {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{l} =$

$= e^{2^{- n + 1} Ω T} \frac{e^{2 Ω T} 2^{n} e^{2^{- n + 1} Ω T} {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{2^{n} + 1} - e^{2 Ω T} (2^{n} + 1) {(1 + 2^{- n + 1} Ω)}^{2^{n}} + 1}{{(e^{2^{- n + 1} Ω T} (1 + 2^{- n + 1} Ω) - 1)}^{2}},$

$σ_{3} (n) = \sum_{l = 0}^{2^{n} - 1} e^{2^{- n + 1} Ω T (l + 1)} (l + 1) {(1 - 2^{- n} Ω)}^{l} =$

$= e^{2^{- n + 1} Ω T} \frac{e^{2 Ω T} 2^{n} e^{2^{- n + 1} Ω T} {(1 - 2^{- n} Ω)}^{2^{n} + 1} - e^{2 Ω T} (2^{n} + 1) {(1 - 2^{- n} Ω)}^{2^{n}} + 1}{{(e^{2^{- n + 1} Ω T} (1 - 2^{- n} Ω) - 1)}^{2}} .$

Из неравенства (20) получаем:

$|d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2})| \leq 2^{- n} T \{2^{- n + 2} Ω^{2} σ_{1} (n) + \frac{2^{- n + 1} Ω T}{3} [{2σ}_{2} (n) + σ_{3} (n)] ω (ω_{1} {,2}^{- n}) +$

$+ [\frac{2^{- n} Ω T}{3} ({4σ}_{2} (n) - σ_{3} (n)) + 1] [ω (ω_{2} {,2}^{- n}) + ω (ω_{3} {,2}^{- n})]$ (21)

i = 1, 2, 3. Заметим, что

$lim_{n \to \infty} 2^{- n + 2} σ_{1} (n) = 2 Ω^{- 1} {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1),$ $lim_{n \to \infty} 2^{- n + 1} σ_{2} (n) = 0,$ $lim_{n \to \infty} 2^{- n + 1} σ_{3} (n) = 0.$ (22)

Тогда из неравенства (20) вытекает оценка

$|d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2})| \leq Σ_{1} (n),$ (23)

i = 1, 2, 3, где

$Σ_{1} (n) ~ T [2^{- n + 1} Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + ω (ω_{2} {,2}^{- n}) + ω (ω_{3} {,2}^{- n})]$

при $n \to \infty .$ Если при этом функции $ω_{2} (t)$ и $ω_{3} (t)$ удовлетворяют условию Липшица, т. е. существуют константы $L_{2} \geq 0$ и $L_{3} \geq 0$ такие, что для любого числа $δ > 0$ выполняются неравенства

$ω (ω_{2}, δ) \leq L_{2} δ,$ $ω (ω_{3}, δ) \leq L_{3} δ,$

то для величины $Σ_{1} (n),$ фигурирующей в неравенстве (23), имеет место соотношение

$Σ_{1} (n) ~ 2^{- n} T [2 Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + L_{2} + L_{3}]$

при $n \to \infty .$

Аналогично тому, как было получено неравенство (21), выводим соотношения

$|d_{i j} (t_{2}) - d_{i j}^{(n)} (t_{2})| \leq 2^{- n} T \{2^{- n + 2} Ω^{2} σ_{1} (n) + \frac{2^{- n + 1} Ω T}{3} [2 σ_{2} (n) + σ_{3} (n)] ω (ω_{j} {,2}^{- n}) +$

$+ [\frac{2^{- n} Ω T}{3} (4 σ_{2} (n) - σ_{3} (n)) + 1] [Ω_{S} - ω (ω_{j} {,2}^{- n})]$ (24)

i = 1, 2, 3, j = 2, 3, где определяется равенством

$Ω_{S} = \sum_{j = 1}^{3} ω (ω_{j} {,2}^{- n}) .$

Учитывая (22) и (24), приходим к оценкам

$|d_{i j} (t_{2}) - d_{i j}^{(n)} (t_{2})| \leq Σ_{j} (n),$

i = 1, 2, 3, j = 2, 3, где

$Σ_{j} (n) ~ T [2^{- n + 1} Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + Ω_{S} - ω (ω_{j} {,2}^{- n})]$

при j = 2, 3. Если при этом функции $ω_{j} (t)$ удовлетворяют условию Липшица с константами $L_{j} \geq 0$ (j = 1, 2, 3), то

$Σ_{j} (n) ~ 2^{- n} T [2 Ω {(T + 1)}^{- 1} (e^{2 Ω (T + 1)} - 1) + L - L_{j}]$

при $n \to \infty,$ j = 2, 3, где $L = L_{1} + L_{2} + L_{3} .$

4. Результаты численных экспериментов

Пример 1. Рассмотрим задачу Коши (2)–(3) для j = 1 со значениями параметров $t_{1} = 0,$ $t_{2} = 1$ и коэффициентами

$ω_{1} (t) = \cos 1,5 t;$ $ω_{2} (t) = \frac{1}{2} \sin 1,5 t + \frac{3 \sqrt{3}}{4};$ $ω_{3} (t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 1,5 t - 0,75.$

Нетрудно проверить, что точное решение такой задачи Коши есть

$d_{11} (t) = \cos 1,5 t;$ $d_{21} (t) = \frac{1}{2} \sin 1,5 t;$ $d_{31} (t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 1,5 t;$

причем $d_{11} (t_{2}) \approx - 0,07074,$ $d_{21} (t_{2}) \approx 0,49875,$ $d_{31} (t_{2}) \approx 0,86386.$

В табл. 1 приведены значения величины квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения рассматриваемой задачи Коши в точке $t_{2}$ с использованными в примере 1 значениями параметров и коэффициентов, полученные методами сумм Хаара, Эйлера, Эйлера –Коши [16] и Рунге – Кутты 2-го порядка [14; 15] для $N$ разбиений отрезка $[t_{1}, t_{2}],$ где $N = 2^{15} {,2}^{16}, \dots {,2}^{24} .$

В данном случае погрешности решения задачи Коши (2)–(3) методами сумм Хаара и Эйлера практически идентичны, но погрешности для методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка значительно меньше погрешностей, полученных в результате применения первых двух методов.

Таблица 1. Величина квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения в точке $t_{2}$

для значений параметров и коэффициентов, использованных в примере 1

N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Величина $\sqrt{\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} {(d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2}))}^{2}}$
N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Метод сумм Хаара	Метод Эйлера	Метод Эйлера – Коши	Метод Рунге – Кутты 2-го порядка
2¹⁵	1,98221∙10^–5	2,14845∙10^–5	2,90010∙10^–10	2,90010∙10^–10
2¹⁶	9,91096∙10^–6	1,07423∙10^–5	7,25045∙10^–11	7,25045∙10^–11
2¹⁷	4,95546∙10^–6	5,37117∙10^–6	1,81151∙10^–11	1,81152∙10^–11
2¹⁸	2,47772∙10^–6	2,68559∙10^–6	4,53666∙10^–1²	4,53667∙10^–1²
2¹⁹	1,23886∙10^–6	1,34279∙10^–6	1,13229∙10^–1²	1,13229∙10^–1²
2²⁰	6,19430∙10^–⁷	6,71397∙10^–⁷	2,89097∙10^–1³	2,89107∙10^–1³
2²¹	3,09715∙10^–⁷	3,35699∙10^–⁷	6,36173∙10^–1⁴	6,36283∙10^–1⁴
2²²	1,54857∙10^–⁷	1,67849∙10^–⁷	1,62080∙10^–1⁴	1,62080∙10^–1⁴
2²³	7,74287∙10^–⁸	8,39247∙10^–⁸	5,05499∙10^–1⁴	5,05598∙10^–1⁴
2²⁴	3,87144∙10^–⁸	4,19624∙10^–⁸	2,36189∙10^–1⁴	2,36183∙10^–1⁴

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши (2)–(3) для j = 1 со значениями параметров $t_{1} = 0,$ $t_{2} = 2$ и коэффициентами

$ω_{1} (t) = \sqrt[5]{{ch}^{9} t},$ $ω_{2} (t) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt[5]{{ch}^{9} t} tg t + 1),$ $ω_{3} (t) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt[5]{{ch}^{9} t} tg t - 1) .$

Нетрудно проверить, что точное решение такой задачи Коши есть

$d_{11} (t) = \cos t,$ $d_{21} (t) = d_{31} (t) = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin t,$

причем $d_{11} (t_{2}) \approx - 0,41615,$ $d_{21} (t_{2}) = d_{31} (t_{2}) \approx 0,64297.$

В табл. 2 приведены значения величины квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения рассматриваемой задачи Коши в точке $t_{2}$ с использованными в примере 2 значениями параметров и коэффициентов, полученные методами сумм Хаара, Эйлера, Эйлера – Коши [16] и Рунге – Кутты 2-го порядка [14; 15] для $N$ разбиений отрезка $[t_{1}, t_{2}],$ где $N = 2^{15} {,2}^{16}, \dots {,2}^{24} .$

Таблица 2. Величина квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения в точке $t_{2}$ для значений параметров и коэффициентов, использованных в примере 2

N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Величина $\sqrt{\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} {(d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2}))}^{2}}$
N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Метод сумм Хаара	Метод Эйлера	Метод Эйлера – Коши	Метод Рунге – Кутты 2-го порядка
2¹⁵	1,77319∙10^–²	5,86421∙10^–²	1,94818∙10^–²	4,54692∙10^–³
2¹⁶	2,27484∙10^–³	1,68334∙10^–²	1,28402∙10^–³	6,33870∙10^–⁴
2¹⁷	3,17159∙10^–⁴	6,71757∙10^–⁴	9,98299∙10^–⁵	1,30330∙10^–⁴
2¹⁸	6,52261∙10^–⁵	3,35977∙10^–⁴	1,68894∙10^–⁵	6,26192∙10^–⁵
2¹⁹	3,12779∙10^–⁵	2,52341∙10^–⁴	1,56949∙10^–⁵	9,12427∙10^–⁶
2²⁰	4,57051∙10^–⁶	1,76562∙10^–⁴	1,35320∙10^–⁶	2,37992∙10^–⁶
2²¹	1,45672∙10^–⁶	1,43105∙10^–⁴	3,89106∙10^–⁷	6,50765∙10^–⁷
2²²	5,97437∙10^–⁷	6.01678∙10^–⁵	2,00878∙10^–⁷	3,41657∙10^–⁷
2²³	3,05874∙10^–⁷	3,76402∙10^–⁵	1,86299∙10^–⁷	3,07409∙10^–⁷
2²⁴	1,51830∙10^–⁷	1,30176∙10^–⁵	1,13470∙10^–⁷	2,58138∙10^–⁷

В данном случае метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям решения задачи Коши (2)–(3) методами Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка.

Пример 3. Рассмотрим задачу Коши (2)–(3) для j = 1 со значениями параметров $t_{1} = 0,$ $t_{2} = 2$ и коэффициентами

$ω_{1} (t) = \sqrt[8]{|sec t|},$ $ω_{2} (t) = \frac{3}{5} \sqrt[8]{|sec t|} tg t + \frac{4}{5},$ $ω_{3} (t) = \frac{4}{5} \sqrt[8]{|sec t|} tg t - \frac{3}{5} .$

Точное решение такой задачи Коши имеет вид

$d_{11} (t) = \cos t,$ $d_{21} (t) = \frac{3}{5} \sin t,$ $d_{31} (t) = \frac{4}{5} \sin t,$

причем $d_{11} (t_{2}) \approx - 0,41615,$ $d_{21} (t_{2}) \approx 0,54558,$ $d_{31} (t_{2}) \approx 0,72744.$

В табл. 3 приведены значения величины квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения рассматриваемой задачи Коши в точке $t_{2}$ с использованными в примере 3 значениями параметров и коэффициентов, полученные методами сумм Хаара, Эйлера, Эйлера – Коши [16] и Рунге – Кутты 2-го порядка [14; 15] для $N$ разбиений отрезка $[t_{1}, t_{2}],$ где $N = 2^{15} {,2}^{16}, \dots {,2}^{24} .$

Таблица 3. Величина квадратного корня из среднеквадратичной ошибки компонент решения в точке $t_{2}$ для значений параметров и коэффициентов, использованных в примере 3

N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Величина $\sqrt{\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} {(d_{i 1} (t_{2}) - d_{i 1}^{(n)} (t_{2}))}^{2}}$
N (число разбиений отрезка [t₁, t₂])	Метод сумм Хаара	Метод Эйлера	Метод Эйлера – Коши	Метод Рунге – Кутты 2-го порядка
2¹⁵	4,09952∙10^–⁵	3,64380∙10^–²	8,14584∙10^–⁵	1,60285∙10^–⁵
2¹⁶	1,83821∙10^–⁵	1,47670∙10^–³	1,05944∙10^–⁵	4,83737∙10^–⁶
2¹⁷	8,94108∙10^–⁶	1,00902∙10^–³	5,50037∙10^–⁶	3,37017∙10^–⁶
2¹⁸	4,46564∙10^–⁶	6,25570∙10^–⁴	2,39992∙10^–⁶	2,41542∙10^–⁶
2¹⁹	2,41361∙10^–⁶	5,37907∙10^–⁴	1,77466∙10^–⁶	1,31424∙10^–⁶
2²⁰	1,16140∙10^–⁶	2,79979∙10^–⁴	1,47872∙10^–⁶	1,05524∙10^–⁶
2²¹	6,26278∙10^–⁷	1,65719∙10^–⁴	7,68163∙10^–⁷	1,01374∙10^–⁶
2²²	3,14122∙10^–⁷	1,80869∙10^–⁴	5,62648∙10^–⁷	8,27771∙10^–⁷
2²³	6,62019∙10^–⁷	1,51395∙10^–⁴	5,56389∙10^–⁷	2,44021∙10^–⁷
2²⁴	6,36338∙10^–⁷	4,78043∙10^–⁵	4,17734∙10^–⁷	1,36309∙10^–⁷

Пример 3, как и пример 2, показывает, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка.

При этом следует отметить, что трудоемкость методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка примерно вдвое превосходит трудоемкость метода сумм Хаара – число арифметических операций $Λ_{ЭК} (N)$ и $Λ_{PК} (N),$ требуемых для решения каждой из трех задач Коши (2)–(3) методами Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка соответственно, удовлетворяет соотношениям

$Λ_{ЭК} (N) ~ 34 N$ при $N \to \infty,$ $Λ_{PК} (N) ~ 32 N$ при $N \to \infty,$

Заключение

В настоящей работе представлен новый метод решения системы кинематических уравнений Пуассона, определяющих эволюцию положения КА из момента времени $t_{1}$ в момент времени $t_{2} .$ Из полученных оценок погрешности метода следует, что если функции, представляющие собой проекции абсолютной угловой скорости КА на координатные оси, удовлетворяют условию Липшица, то абсолютная погрешность вычисления каждого из элементов матрицы перехода от связанной с КА системы координат в момент времени $t_{1}$ к связанной с КА системе координат в момент времени $t_{2},$ так же, как и в случае решения указанной системы уравнений методом Эйлера, есть величина $O (N^{- 1})$ при $N \to \infty .$ где $N$ – число разбиений отрезка при построении сетки используемых узлов.

Сравнение алгоритмов решения рассматриваемой системы уравнений предложенным методом и методом Эйлера по их вычислительной эффективности показало, что для реализации каждого из них требуется $O (N)$ арифметических операций при $N \to \infty,$ при этом трудоемкость построенного в данной работе алгоритма незначительно превышает трудоемкость алгоритма решения системы методом Эйлера.

Из приведенных в работе результатов численных экспериментов следует, что в определенных случаях метод сумм Хаара дает погрешность, значительно меньшую, чем метод Эйлера, и практически идентичную погрешностям методов Эйлера – Коши и Рунге – Кутты 2-го порядка, трудоемкость которых примерно в два раза превосходит трудоемкость метода сумм Хаара.

Об авторах

Кирилл Анатольевич Кириллов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: kkirillow@yandex.ru

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры прикладной математики

Россия, Красноярск

Елена Владимировна Овчинникова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: ovchinnikova_ev@sibsau.ru

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики

Россия, Красноярск

Константин Владимирович Сафонов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: safonovkv@rambler.ru

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики

Россия, Красноярск

Геннадий Павлович Титов

АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва» (АО «РЕШЕТНЁВ»)

Email: titov@iss-reshetnev.ru

ведущий специалист 935 Отдела

Россия, Железногорск

Антон Игоревич Хохлов

АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнёва» (АО «РЕШЕТНЁВ»)

Email: hohlovai@iss-reshetnev.ru

инженер 935 Отдела

Россия, Железногорск

Артем Александрович Гашин

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: artem.gashin@gmail.com

аспирант кафедры прикладной математики

Россия, Красноярск

Список литературы

Пат. 2691536 Российская Федерация, МПК B64G 1/32. Способ определения трехосной ориентации космического аппарата / Нуждин А. Н., Титов Г. П., Омельниченко В. Б. и др. № 2018105409 ; заявл. 13.02.2018 ; опубл. 14.06.2019, Бюл. № 17. 9 с.
Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2: Динамика системы. Аналитическая механика. М. : Физматгиз, 1960. 487 с.
Барышев В. А., Крылов Г. Н. Контроль ориентации метеорологических спутников. Л. : Гидрометеоиздат, 1968. 210 с.
Голован А. А., Парусников Н. А. Математические основы навигационных систем. Ч. 1: Математические модели инерциальной навигации. М. : МАКС Пресс, 2011. 136 с.
Кэрт Б. Э., Андреева Ж. Н., Агошков О. Г. Кинематика (с дополнительными главами). СПб. : Балт. гос. техн. ун-т, 2014. 222 с.
Фомичев А. В. Кинематика точки и твердого тела. М. : МФТИ, 2021. 128 с.
Богданов О. Н. Методика согласованного моделирования измерений инерциальных датчиков, траекторных параметров объекта с приложением к задачам инерциальной и спутниковой навигации : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М. : МГУ, 2015. 142 с.
Богданов О. Н., Коростелева С. С. Кухтевич С. Е., Фомичев А. В. О выборе алгоритма и тактовой частоты расчета матрицы ориентации для бесплатформенной инерциальной навигационной системы // Труды МИЭА. 2010. Вып. 2. С. 60–67.
Джепе А. Задача навигации и ориентации искусственного спутника Земли на основе датчиков угловой скорости и многоантенного спутникового приемника : дисс. … канд. физ.-мат. наук. М. : МГУ, 2016. 94 с.
Маштаков Я. В. Использование прямого метода Ляпунова в задачах управления ориентацией космических аппаратов: дисс. … канд. физ.-мат. наук. М. : ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 2019. 94 с.
Savage P. G. Strapdown inertial navigation integration algorithm design. Part 1: attitude algorithms // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1998. Vol. 21, no. 1. P. 19–28.
Лукомский Д. С., Лукомский С. Ф., Терехин П. А. Применение системы Хаара к численному решению задачи Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 2. С. 151–159.
Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М. : Наука, 1969. 288 с.
Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. М. : Интернет-ун-т инф. технологий, 2006. 523 с.
Пантелеев А. В., Якимова А. С., Рыбаков К. А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практикум. М. : Инфра-М, 2016. 432 с.
Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге – Кутта. М. : НИВЦ МГУ, 2014. 58 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация

Имя пользователя
Пароль
Запомнить меня

Забыли пароль?	Регистрация