Один класс решений уравнений идеальной пластичности

Полный текст

Введение

Решение и исследование дифференциальных уравнений по-прежнему являются одной из важнейших задач современной математики. В линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях исследуются вопросы разрешимости смешанных нелокальных краевых и обратных задач, содержащие действительные параметры и дифференциальные операторы математической физики [1; 2].

Точные решения для нелинейных дифференциальных уравнений известны только в исключительных случаях. Для их поиска применяют методы обобщенного разделения переменных, методы группового анализа, метод дифференциальных связей и некоторые другие. Большой список решенных уравнений и обзор методов их решения приведен в фундаментальной работе [3]. В последнее время для решения краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений начали использоваться законы сохранения [4–7]. Ранее они чаще всего играли вспомогательную роль. Способы использования группового анализа к разнообразным уравнениям, которые возникают в физике и механике, можно увидеть в работах [8–15].

Постановка задачи

В работе [1] приведено решение, описывающее чисто пластическое напряженное состояние призматического стержня

$u=\frac{1}{4}A(y^2-x^2-2z^2)-\frac{1}{2}Bxy-\frac{1}{2}Cx+Dyz,$

$v=\frac{1}{4}B(-y^2+x^2-2z^2)-\frac{1}{2}Axy-\frac{1}{2}y+Dxz,$

$w=\psi (x,y)+Axz+Byz+Cz,$ (1)

где A, B, C, D – постоянные, $\psi (x,y)$ – функция, определяемая из системы уравнений.

$\frac{\partial \psi }{\partial x}=-Dy\mp \frac{\sqrt{3}(Ax+By+C)f_y}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}},$ $\frac{\partial \psi }{\partial y}=Dy\pm \frac{\sqrt{3}(Ax+By+C)f_x}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}.$

Условие совместности этих соотношений дает эллиптическое уравнение второго порядка

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{(Ax+By+C)f_x}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{(Ax+By+C)f_y}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)\pm \frac{2D}{\sqrt{3}}=0.$ (3)

При этом компоненты тензора напряжений ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\tau }_{xy}$ тождественно равны нулю, а

${\sigma }_z=\pm \sqrt{3}k\sqrt{1-f_x^2-f_y^2},{\tau }_{xz}=-k{f}_y,{\tau }_{yz}=k{f}_x,$ (4)

где k – пластическая постоянная.

Целью работы является изучение некоторых свойств уравнения (3) и построение его решения при условии, что

A = B = 0.

В этом случае получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение

${\partial }_x\left(\frac{f_x}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)+{\partial }_y\left(\frac{f_y}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)=K,K=\mp \frac{2D}{\sqrt{3}}.$ (5)

Индекс внизу означает дифференцирование по соответствующему аргументу; все функции предполагаются гладкими.

Некоторые свойства уравнения (5) при K = 0.

1. Уравнение (5) можно вывести из вариационного принципа, и оно есть минимум функционала

$Z\left(w\right)=\iint \sqrt{w_x^2+w_y^2}dxdy=\iint Ldxdy.$

2. Группа точечных симметрий уравнения (5) порождается следующими операторами:

$X_1={\partial }_x,$ $X_2={\partial }_y,$ $X_3={\partial }_f,$ $X_4=x{\partial }_x+y{\partial }_y+f{\partial }_f,$ $X_5=y{\partial }_x-x{\partial }_y.$

(6)

Для построения различных инвариантных решений необходимо построить оптимальную систему подалгебр. Для алгебры Ли, порожденной операторами (6), она имеет вид

$X_1+\alpha X_3,\alpha X_3+X_5,X_5+\alpha X_4,X_3,X_4,$ (7)

где α – произвольная постоянная. Различным значениям этой постоянной соответствуют неподобные подалгебры.

Уравнение (5) приведем к виду

$(1-f_y^2)f_{xx}+2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1-f_x^2)f_{yy}=0.$ (8)

3. Определение. Законом сохранения для уравнения (8) назовем выражение вида

$A_x+B_y=\Delta \left[\right(1-f_y^2)f_{xx}+2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1-f_x^2\left)f_{yy}\right]=\mathrm{0,}$ (9)

где $∆$ – линейный дифференциальный оператор, тождественно не равный нулю.

Для уравнений, выводимых из вариационного принципа, каждому оператору, допускаемому уравнением, соответствует, по теореме Нетер [3], некоторый закон сохранения. Используем эту теорему для уравнения (5). Получаем пять законов сохранения.

Оператору X₁ соответствует закон сохранения

$D_x\left(L-f_x\frac{\partial L}{\partial f_x}\right)+D_y\left(-f_y\frac{\partial L}{\partial f_y}\right)=0$.

Оператору X₂ соответствует закон сохранения

$D_x\left(-f_y\frac{\partial L}{\partial f_x}\right)+D_y\left(L-f_y\frac{\partial L}{\partial f_y}\right)=0.$

Оператору X₃ соответствует закон сохранения

$D_x\left(\frac{f_x}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)+D_y\left(\frac{f_y}{\sqrt{1-f_x^2-f_y^2}}\right)=0.$

Оператору X₄ соответствует закон сохранения

$D_x\left(Lx+(f-x{f}_x-y{f}_y)\frac{\partial L}{\partial f_x}\right)+D_y\left(Ly+(f-x{f}_x-y{f}_y)\frac{\partial L}{\partial f_y}\right)=0.$

Оператору X₅ соответствует закон сохранения

$D_x\left(Ly+(y{f}_x-x{f}_y)\frac{\partial L}{\partial f_x}\right)+D_y\left(-Lx+(y{f}_x-x{f}_y)\frac{\partial L}{\partial f_y}\right)=0.$

Заметим, что уравнение (8) имеет и другие законы сохранения, которые отличны от предыдущих законов. Укажем некоторые. Пусть $A(f_x,f_y),B(f_x,f_y)$, тогда из (9) получаем

$\frac{\partial A}{\partial f_x}{f}_{xx}+\frac{\partial A}{\partial f_y}{f}_{xy}+\frac{\partial B}{\partial f_x}{f}_{xy}+\frac{\partial B}{\partial f_y}{f}_{yy}=\Delta \left[\right(1-f_y^2)f_{xx}+2f_x{f}_y{f}_{xy}+(1-f_x^2\left)f_{yy}\right]=0.$

Отсюда без труда получаем два уравнения для определения сохраняющегося тока

$(1-f_x^2)\frac{\partial A}{\partial f_x}=(1-f_y^2)\frac{\partial B}{\partial f_y},\frac{\partial A}{\partial f_y}+(1-f_x^2)\frac{\partial B}{\partial f_x}=2f_x{f}_y\frac{\partial B}{\partial f_y}.$

Отсюда следует, что уравнение (8) допускает бесконечную серию законов сохранения. Это следует, в частности, из линейности приведенной системы на сохраняющийся ток.

4. Преобразование Лежандра позволяет линеаризовать уравнение (8) и привести к виду

$(1-{\eta }^2)w_{\eta \eta }-2\xi \eta w_{\xi \eta }+(1-{\xi }^2)w_{\xi \xi }=0.$

Это преобразование определяется соотношениями

$f_x=\xi ,f_y=\eta ,x=f_{\xi },y=f_{\eta },w+f=x\xi +y\eta .$

Точные решения (5). Все эти решения являются инвариантным решениями, построенными на подалгебрах (7):

а) ищем решение уравнения (8) в виде

$f=g\left(x\right)+h\left(y\right).$ (10)

Подставляя (10) в (8), получим

$(1-h{\text{'}}^2)g\text{'}\text{'}+(1-g{\text{'}}^2)h\text{'}\text{'}=0.$ (11)

Здесь штрих означает производную по соответствующему аргументу. Из (11) получаем

$\frac{h\text{'}\text{'}}{1-h{\text{'}}^2}=-\frac{g\text{'}\text{'}}{1-g{\text{'}}^2}=\lambda -\text{const}.$ (12)

Интегрируя (12), получаем

$\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+h\text{'}}{1-h\text{'}}\right|=2\lambda +\ln C_1,$ $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+g\text{'}}{1-g\text{'}}\right|=-2\lambda +\ln C_2.$ (13)

Из (13) получаем

$h=-x+\frac{1}{\lambda }\ln (1+C_1\exp 2\lambda x)+C_3,$  $g=-y-\frac{1}{\lambda }\ln (1+C_2\exp (-2\lambda y\left)\right)+C_4.$ (14)

При C₁ = C₂ = 1 решение (10) можно записать в более удобном виде

$h\text{'}=th\lambda x,g\text{'}=th\lambda y,h=\ln ch\lambda x,g=-\ln ch\lambda y,f=\ln \frac{ch\lambda x}{ch\lambda y}$

б) запишем уравнение (5) при K = 0 в полярной системе координат $r,\theta$. Имеем

$\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{r^2{f}_r}{\sqrt{r^2-r^2{f}_r^2-f_{\theta }^2}}\right)+\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\frac{f_{\theta }}{\sqrt{r^2-r^2{f}_r^2-f_{\theta }^2}}\right)=0.$ (15)

Ищем решение этого уравнения в виде $f=rf\left(t\right),t=r\exp \left(\alpha \theta \right),\alpha -\text{const}.$

Из (15) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, которое удалось проинтегрировать только в случае, когда $\alpha =0$. В этом случае получаем

$f=\ln \left|r+\sqrt{r^2+c^2}\right|=\text{Arcsh}\frac{r}{c},c-\text{const}$ (16)

в) ищем решение уравнения (5) в виде

$f=\alpha y+\phi \left(x\right).$

Подставляя это соотношение в (5) получаем

$\phi =\frac{\sqrt{1-{\alpha }^2}}{K}\sqrt{1+{(Kx+C)}^2}$;

г) ищем решение уравнения (5) в виде

$f=\alpha \theta +\phi \left(r\right).$

Подставляя это соотношение в (5), получаем

$\phi =K\int \sqrt{\frac{r^2-{\alpha }^2}{r^2+K^2}}\frac{dr}{r}$;

д) ищем решение уравнения (5) в виде

$f=r\phi \left(\theta \right).$

Подставляя это соотношение в (5) получаем

 

$f=r\sin \sqrt{1+K^2{\theta }^2}.$

Гомотопия двух решений уравнения (5)

Покажем, как из двух решений (14) и (16) можно получить целую серию новых точных решений уравнения (5). Для этого применим к этим решениям преобразование Лежандра.

Решению (16) (обозначим его F ) соответствует решение уравнения Лежандра U , которое определяется формулой

$F_x=\xi ,F_y=\eta ,x=F_{\xi },\text{ }y=F_{\eta },U+F=x\xi +y\eta .$

Отсюда получаем

$U=-F+x\xi +y\eta =-F+x{F}_x+y{F}_y=\ln (r+\sqrt{r^2+c^2})+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}.$  (17)

Окончательно получаем

$U=\ln (r+\sqrt{r^2+c^2})+\sqrt{x^2+y^2}.$

То же самое сделаем с решением (14), обозначив его через G , а его образ – через V . Имеем

$V=-G+x\xi +y\eta =-G+x{G}_x+y{G}_y=-x-y+$

$+\frac{1}{2\lambda }\ln \frac{1+C_1\exp 2\lambda x}{1+C_2(-2\lambda y)}+x\frac{C_1\exp 2\lambda x-1}{C_1\exp 2\lambda +1}+y\frac{C_2\exp (-2\lambda y)-1}{C{}_2\mathrm{e}xp(-2\lambda y)+1}.$ (18)

Уравнение Лежандра, соответствующее уравнению (7), линейно, поэтому для него имеем

$w=aU+(1-a)V,$ (19)

где a – произвольная постоянная, есть снова решение этого же уравнения. При этом при a = 0 решение совпадает с решением V , а при a = 1 – с решением U . Отсюда следует, что формула (19) позволяет непрерывно преобразовать решение (16) в решение (14) изменяя a от нуля до единицы. Алгоритм действия при этом такой: решения (17) и (18) записываем в переменных $\xi ,\eta$, складываем их по формуле (19), а затем их линейную комбинацию записываем в терминах x, y. Тем самым получаем серию решений уравнения (7) для каждого фиксированного значения a.

Заключение

В работе найдена группа точечных преобразований, допускаемых уравнением (5) в смысле Ли – Овсянникова. Эта группа имеет размерность пять. Она порождается тремя переносами по пространственным переменным и искомой функции, растяжением по этим же переменным, круговому вращению в плоскости ОХY. Найдены новые классы точных решений этого уравнения, зависящие от произвольных функций из класса С ². На основе точечных симметрий найдены четыре закона сохранения уравнения (5). Приведена новая бесконечная серия законов сохранения, которая найдена прямым вычислением. Новые полученные решения дополняют другие инвариантные решения, приведенные в [1].

Все построенные в данной работе решения могут быть использованы для описания напряженно-деформированного состояния прямолинейного стержня, подвергнутого растяжению вдоль оси OZ и кручению вокруг этой оси парой сил.

Об авторах

Сергей Иванович Сенашов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: sen@sibsau.ru

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры ИЭС

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Ирина Леонидовна Савостьянова

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Автор, ответственный за переписку.
Email: ruppa@inbox.ru

кандидат педагогических наук, доцент кафедры ИЭС

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Ольга Николаевна Черепанова

Сибирский федеральный университет

Email: OCherepanova@sfu-kras.ru

кандидат физико-математических наук, директор института математики и фундаментальной информатики

Россия, 660014, Красноярск, просп. Свободный, 79

Сергей Владимирович Лукьянов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева

Email: lukyanovsv@sibsau.ru

аспирант

Россия, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Список литературы

Дополнительные файлы