Construction of high-precision low-dimensional MgFE using local approximations and generating FE
- 作者: Matveev A.D.1
-
隶属关系:
- Institute of Computational Modeling SB RAS
- 期: 卷 23, 编号 3 (2022)
- 页面: 372-390
- 栏目: Section 1. Computer Science, Computer Engineering and Management
- URL: https://journals.eco-vector.com/2712-8970/article/view/546161
- DOI: https://doi.org/10.31772/2712-8970-2022-23-3-372-390
- ID: 546161
如何引用文章
全文:
详细
Composite structures (bodies), in particular, plates, beams, shells, are widely used in aviation and rocket and space technology. To analyze the stress state of elastic composite bodies (CB), the method of multigrid finite elements (MMFE) is effectively used, which is implemented on the basis of the Lagrange functional (in displacements). When constructing a multigrid finite element (MgFE), briefly a standard MgFE, using known procedures, a small base grid is used, which can be arbitrarily small, and large ones nested in a small one. The fine grid is generated by the partition of the MgFE, which takes into account its inhomogeneous, micro-inhomogeneous structure within the framework of the micro-passage. Large grids are used to reduce the dimension of the MgFE. The following is typical for a standard MgFE. Any large grid of a standard MgFE and corresponding approximations of displacements are determined on its entire area. This leads to an increase in the dimension of the standard MgFE with an increase in its order of accuracy, since in this case approximations of high-order displacements are determined on large grids. To reduce the error of solutions, high-precision MgFE are used, i. e., of a high order of accuracy, which have a large dimension. However, the use of high-precision MgFE is difficult, since they form discrete models of high-dimensional bodies.
In this paper, we propose a method of local approximations (MLA) for constructing high-current MgFE of small dimension (short - small-sized MgFE), which are used to calculate elastic homogeneous and CB by MgFE. Two types of small-sized MgFE are considered. Small-sized MgFE of the 1st type are designed on the basis of standard ones with the use of local approximations of displacements, which are determined on the subdomains of standard MgFE, of the 2nd type - with the use of finite element generators (FE). The brief essence of the construction of small-sized MgFE of the 1st type is as follows. According to the MLA, we define a smaller Н grid on the V0 area of the standard MgFE than its base one. The V0 region is represented by the boundary and inner regions. The boundary (inner) regions have a common boundary, which does not degenerate into a point (do not have a common boundary), with the V0 region. On the boundary (inner) regions, we define large grids that are embedded in a small Н grid and generate local approximations of small (high) order displacements. On the V0 region, using local approximations of the displacements of the boundary and inner regions, we construct the MgFE. Then, using the condensation method, we express the movements of the internal nodes of the MgFE through the movements of the nodes lying on its boundary, i.e. on the boundary of the V0 region. As a result, we obtain a high-precision Vp MgFE of small dimension, i.e. a small-sized MgFE of the 1st type, the dimension of which is equal to the dimension of the standard one. It is important to note that with an increase in the order of accuracy of the Vp MgFE, its dimension does not change, i.e. it does not increase, and therefore it is called a high-precision MgFE of small dimension, i.e. small-sized. The procedure for constructing small-sized MgFE of the 1st type is described in detail. As is known, the calculation of the static strength of structures is reduced to determining the maximum equivalent stresses for them, the determination of which with a small error for CB is an urgent problem.
Calculations show that small-sized MgFE of the 1st type generate maximum equivalent stresses in CB, the errors of which are 25÷50 smaller than the errors of analogous stresses obtained using standard ones, on the basis of which small-sized, i.e. small-sized MgFE of the 1st type are more effective than standard ones. The use of small-sized MgFE of the 1st type in MMFE calculations makes it possible to determine the maximum equivalent stresses with a small error for large CB partitions.
The construction of small-sized MgFE of the 2nd type is shown, which are designed on the basis of standard high-precision MgFE with the use of generating FE. A small-sized MgFE of the 2nd type has the same order of accuracy as the standard one, but its dimension is smaller than the dimension of the standard one. The advantage of small-sized MgFE of the 2nd type is that they give rise to discrete CB models of smaller dimension than standard ones.
全文:
Введение
В современной авиационной и ракетно-космической технике широко применяются упругие конструкции, пластины, балки, оболочки, имеющие неоднородную (волокнистую) структуру. При анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих конструкций (тел) активно используется метод конечных элементов (МКЭ) [1–7]. Базовые дискретные модели (БМ) тел, которые учитывают их неоднородную, микронеоднородную структуру в рамках микроподхода [8] с помощью конечных элементов (КЭ) 1-го порядка, имеют очень высокую размерность.
Для понижения размерностей дискретных моделей очень результативно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [9–11]. Особенно эффективно ММКЭ используется при решении задач теории упругости [12–16] для композитных тел (КТ). ММКЭ реализуется на основе функционала Лагранжа (т. е. в перемещениях) [17] с применением многосеточных конечных элементов (МнКЭ) [18–21]. Поскольку при построении n-сеточного КЭ используется не одна, а вложенных сеток (n ≥ 2), то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т. е. МКЭ – частный случай ММКЭ. Отсюда следует, что если в расчетах тел по МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ. Неоднородные, микронеоднородные структуры КТ учитываются в рамках микроподхода с помощью МнКЭ. Существующие подходы и численные методы решения задач упругости для КТ имеют сложные формулировки и труднореализуемы [22–30]. Для тел с неоднородной регулярной структурой с различными коэффициентами наполнения, которые с позиций макроподхода рассматриваются как изотропные однородные тела, НДС определяется с помощью фиктивных модулей упругости. Процедуры нахождения фиктивных модулей упругости показаны в работе [31] для двумерных композитов, в [32] – для трехмерных. Основные достоинства ММКЭ состоят в том, что он порождает для КТ дискретные модели малой размерности и реализуется на базе процедур МКЭ.
При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (кратко – стандартного МнКЭ) используются мелкая сетка и крупные, вложенные в мелкую. Мелкая (базовая) сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает неоднородную, микронеоднородную структуру стандартного МнКЭ, крупные сетки применяются для понижения его размерности. Для стандартных МнКЭ характерно следующее. Всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при повышении его порядка точности, так как в этом случае на крупных сетках используются аппроксимаци перемещений высокого порядка. Для уменьшения погрешности приближенных решений используются (стандартные) высокоточные МнКЭ, т. е. МнКЭ высокого порядка точности, которые имеют большую размерность. Однако применение высокоточных МнКЭ затруднительно, так как они порождают дискретные модели тел высокой размерности.
Основной недостаток МКЭ и ММКЭ состоит в том, что при построении по МКЭ, ММКЭ решений с малой погрешностью для КТ с помощью известных односеточных КЭ, МнКЭ необходимо применять дискретные модели тел высокой размерности. Для решения данной проблемы здесь предлагается использовать высокоточные МнКЭ малой размерности, которые позволяют для крупных дискретных моделей КТ определять напряжения с малой погрешностью.
В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко – малоразмерных МнКЭ), которые применяются при расчете НДС по ММКЭ упругих однородных и КТ. МЛА применяется для КТ, которые удовлетворяют следующим основным положениям.
Положение 1. КТ состоят из разномодульных изотропных однородных тел, связи между которыми идеальны, т. е. на общих границах разномодульных изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений являются непрерывными.
Положение 2. Перемещения, деформации и напряжения разномодульных изотропных однородных тел отвечают соотношениям Коши и закону Гука трехмерной задачи линейной теории упругости [16].
Следует отметить, что МЛА, по сути, порождает новые подходы построения МнКЭ. Рассмотрены два подхода, т. е. два типа малоразмерных МнКЭ. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа проектируются на базе стандартных с применением локальных аппроксимаций перемещений, которые определяются на подобластях стандартных МнКЭ, 2-го типа – с применением образующих КЭ. Краткая суть построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоит в следующем. Согласно МЛА в центральной части области V0 стандартного МнКЭ применяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка (построенные на крупных сетках), в окрестности границы области V0 – малого порядка, что позволяет проектировать высокоточный МнКЭ Vp малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа, размерность которого равна размерности стандартного. Следует отметить следующее: При увеличении порядка точности МнКЭ Vp размерность его не меняется, т. е. не увеличивается, и поэтому он называется высокоточным МнКЭ малой размерности. Подробно изложена процедура построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Как известно, расчет на статическую прочность упругих конструкций сводится к нахождению для них максимальных эквивалентных напряжений, определение которых с малой погрешностью для КТ является в настоящее время актуальной проблемой.
- Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25–50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с применением стандартных МнКЭ, которые имеют такие же формы, характерные размеры, размерности, неоднородную структуру и образуют такие же дискретные модели, как малоразмерные МнКЭ. Приведенный пример расчета КТ по ММКЭ с применением малоразмерных МнКЭ 1-го типа показывает их высокую эффективность.
- Основные достоинства малоразмерных МнКЭ 1-го типа состоят в следующем. Во-первых,
- малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения с меньшей погрешностью, чем стандартные, и образуют дискретные модели КТ малой размерности. Во-вторых, применение в расчетах по ММКЭ малоразмерных МнКЭ 1-го типа позволяет для крупных дискретных моделей КТ определять максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Отсюда следует, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа более эффективны, чем стандартные (на базе которых построены малоразмерные).
- Кратко показана процедура построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа на базе стандартных высокоточных МнКЭ с применением образующих КЭ. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа имеют такой же порядок точности, как стандартные, но размерность их меньше размерности стандартных. Поэтому малоразмерные МнКЭ 2-го типа порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.
1. Процедура построения стандартных многосеточных конечных элементов
Основные положения построения стандартных МнКЭ на основе функционала Лагранжа, не теряя общности суждений, покажем на примере лагранжевого двухсеточного конечного элемента (2сКЭ) размерами 8h × 8h × 8h (рис. 1), h – задано. Здесь и далее МнКЭ на рисунках показаны в локальной декартовой системе координат Oxyz. Рассматриваемый 2сКЭ армирован непрерывными волокнами сечением h × h, которые параллельны оси Oy, расстояние между которыми равно h. На рис. 2 показано сечение 2сКЭ в плоскости , сечения волокон закрашены. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающие трехмерной задачи линейной теории упругости [12–16], т. е. во всей области 2сКЭ реализуется трехмерное НДС [16]. Область 2сКЭ представляем БМ Rd, состоящей из однородных односеточных КЭ (1сКЭ) первого порядка формы куба со стороной h [6; 7], j = 1,..., M; M – общее число 1сКЭ , для рис. 1 имеем M = 512. На рис. 1 показана БМ Rd 2сКЭ , которая учитывает неоднородную структуру 2сКЭ и порождает мелкую (базовую) узловую равномерную сетку hd размерности 9 × 9 × 9 с шагом h.
Рис. 1. Сетки 2сКЭ Fig. 1. Grids 2gFE | Рис. 2. Сечение 2сКЭ Fig. 2. Section 2gFE |
На мелкой сетке hd определяем крупную равномерную сетку размерности 5 × 5 × 5 с шагом 2h. На рис. 1 узлы крупной сетки отмечены точками – 125 узлов. Полную потенциальную энергию Пd базового разбиения Rd 2сКЭ (т. е. функционал Лагранжа [17]) представим в матричной форме [6; 7]:
(1)
где – матрица жесткости; Pj qj– векторы узловых сил и неизвестных 1сКЭ ; T – транспонирование; М – общее число 1сКЭ .
С помощью полиномов Лагранжа [6] на сетке определяем аппроксимирующие функции u2, v2, w2 для перемещений u, v, w 2сКЭ , которые запишем в форме
, , , (2)
где – искомые значения функций u2, v2, w2 в узле i, j, k сетки ; i, j, k – координаты целочисленной системы координат ijk, которая введена для узлов крупной сетки (рис. 1); Nijk = Nijk (x, y, z) – базисная функция узла i, j, k сетки , i, j, k =1,.....,5, где
, (3)
где ; ; ,
xi, yj, zk – координаты узла i, j, k сетки в системе координат Oxyz.
Обозначим: Nb = Nijk , uβ = uijk , vβ = vijk , wβ = wijk , где i , j, k = 1,...,5 , т. е. β = 1,...,125. Тогда выражения (2) принимают вид
, , . (4)
Обозначим: qd = {u1,...,u125, v1,...,v125, w1,...,w125}T – вектор узловых перемещений крупной сетки , т. е. вектор неизвестных 2сКЭ . Используя (4), компоненты вектора qj узловых неизвестных 1сКЭ выражаем через компоненты вектора qd, в результате получим
, (5)
где – прямоугольная матрица; j = 1,.....M.
Подставляя (5) в выражение (1), из условия ∂Пd /∂qd = 0 получаем матричное соотношение вида [Kd ] qd = Fd , где
, , (6)
где [Kd], Fd – матрица жесткости (размерности 375 × 375) и вектор узловых сил (размерности 375) стандартного 2сКЭ .
Особенность стандартных МнКЭ заключается в том, что всякая крупная сетка стандартного МнКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области.
Стандартный 2сКЭ формы куба, имеющий равномерную крупную сетку размерности (n + 1)×(n + 1)×(n + 1), называется 2сКЭ n-го порядка. Поскольку равномерная крупная сетка 2сКЭ имеет размерность 5 × 5 × 5 , то 2сКЭ называется 2сКЭ 4-го порядка. Отметим, что размерность лагранжевого 2сКЭ n-го порядка формы куба при использовании крупной равномерной сетки равна 3(n+1)3, т. е. с увеличением порядка n размерность 2сКЭ резко возрастает.
Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки 2сКЭ , с помощью формулы (5) проецируется на мелкую сетку hd базового разбиения Rd 2сКЭ, что дает возможность вычислять напряжения в любом 1сКЭ разбиения Rd, следовательно, можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры 2сКЭ .
Замечание 2. В силу (5) размерность вектора qd (размерность 2сКЭ ) не зависит от числа М, т. е. от размерности разбиения Rd. Следовательно, для учета в 2сКЭ сложной неоднородной (микронеоднородной) структуры, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения Rd, состоящие из 1сКЭ . В этом случае в 1сКЭ сколь угодно точно описывается трехмерное напряженное состояние (без упрощающих гипотез).
Замечание 3. Отметим случай, когда 2сКЭ имеет сложную форму и его крупная сетка имеет внешние узлы, которые совпадают с узлами крупных сеток соседних с ним 2сКЭ. В этом случае при построении 2сКЭ во всех узлах его мелкой сетки искомые перемещения u, v, w выражаются через узловые перемещения крупной сетки 2сКЭ , кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами (со стыковочными узлами) крупных сеток соседних 2сКЭ и сетки , что обеспечивает стыковку 2сКЭ с соседними с ним 2сКЭ.
Рис. 3. Крупная сетка Hd(3)
Fig. 3. Large grid Hd(3)
При построении (трехсеточного) 3сКЭ используем конечное число 2сКЭ, их крупные сетки образуют мелкую сетку 3сКЭ, на которой определяем крупную сетку для 3сКЭ. Процедура построения 3сКЭ изложена в работах [9; 19]. Рассмотрим частный случай, когда построение 3сКЭ проводится на базе одного 2сКЭ . Крупную сетку 2сКЭ считаем мелкой сеткой 3сКЭ. На сетке для 3сКЭ определяем крупную сетку . На рис. 3 узлы равномерной
сетки с шагом 4h отмечены точками – 27 узлов.
Затем по выше описанной процедуре определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил стандартного 3сКЭ . Построение стандартного 3сКЭ (МнКЭ) на базе одного стандартного 2сКЭ целесообразно применять в случае, когда стандартный 2сКЭ имеет большие геометрические характерные размеры.
2. Построение малоразмерных МнКЭ с применением локальных аппроксимаций
Малоразмерные МнКЭ 1-го типа проектируются на базе стандартных с применением локальных аппроксимаций перемещений, которые определяются на подобластях стандартных МнКЭ. Рассмотрим процедуру построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа.
Предлагаемая процедура реализуется на базе более мелкой сетки, чем мелкая базовая сетка стандартного МнКЭ. Основные положения рассматриваемой процедуры кратко заключаются в следующем. Согласно МЛА на области стандартного МнКЭ определяем более мелкую сетку H, чем базовая сетка H0, H0 ⊂ H. Область V0 представляем n тонкостенными граничными и m внутренними областями. Граничные (внутренние) области имеют общую границу (не имеют общей границы) с областью V0 (общие границы областей не вырождаются в точку). На граничных (внутренних) областях определяем n(m) крупных сеток, которые вложены в мелкую сетку H и порождают аппроксимации перемещений малого (высокого) порядка. На границе области V0 число узлов крупных сеток мало. На граничных и внутренних областях, используя их мелкие и крупные сетки, строим n граничных и m внутренних 2сКЭ, которые образуют высокоточный р-сеточный КЭ (pсКЭ), где p = 1 + n + m. Отметим, что при построении pсКЭ используются одна мелкая сетка H и n + m (в общем случае различных) крупных сеток. Выражая в pсКЭ перемещения внутренних узлов крупных сеток (с помощью метода конденсации [6]) через перемещения граничных узлов, получаем высокоточный pсКЭ малой размерности, т. е. малоразмерный МнКЭ 1-го типа. Следует отметить, что математические операции метода конденсации являются математическими тождественными преобразованиями, т. е. они не влияют на погрешность решения.
Для простоты изложения, рассмотрим стандартный МнКЭ, мелкая базовая сетка H которого имеет большую размерность. На мелкой сетке H определяем крупную сетку на всей области МнКЭ, которая также имеет высокую размерность. Тогда в центральной части области МнКЭ на крупной сетке определяем аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области – малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и порядок точности малоразмерного МнКЭ. Основные положения процедуры построения малоразмерных МнКЭ 1-го типа показаны в примере 1.
Пример 1. Рассмотрим модельную задачу определения НДС по ММКЭ для тела с неоднородной (волокнистой) структурой размерами 16h × 64h × 16h, которое лежит в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz (рис. 4), где h – задано. В расчетах тела используем его БМ R0 и дискретные модели R1 и R2, состоящие соответственно из стандартных и малоразмерных МнКЭ 1-го типа. Тело армировано непрерывными волокнами сечением h × h, параллельными оси Oy, расстояние между волокнами равно h при y = 0: u, v, w = 0, т. е. при y =0 тело жестко закреплено. Для модельной задачи имеем следующие исходные данные:
h = 0,5; 1 Ec = , Ev =10 , vc = vv = 0,3 , (7)
Рис. 4. Размеры КТ V01
Fig. 4. Sizes CB V01
где Ec, Ev(vc, vv) – модули Юнга (коэффициенты Пуассона) соответственно связующего материала и волокна; в точках тела с координатами
xi , yj , z , где z =16h , 8 ( 1) xi = hi - , i = 1,2,3 , yj = 8hj , j =1,...,8 , действует нагрузка 0,35 → Fz = 0.35 (рис. 4).
Сечение тела в плоскости Oxz показано на рис. 5, сечения волокон закрашены.
БМ R0 КТ состоит из односеточных конечных элементов (1сКЭ) 1-го порядка формы куба со стороной h (в которых реализуется трехмерное НДС [16]). БМ R0 учитывает в рамках микроподхода неоднородную структуру КТ и порождает равномерную (базовую) сетку с шагом h размерности 17 × 65 × 17.
Дискретную модель R1 КТ образуют четыре одинаковых стандартных 2сКЭ 4-го порядка формы куба, построенных на области размерами 16h × 16h ×16h (рис. 6). На рис. 5, 6 показаны сечение 2сКЭ и его крупная равномерная сетка с шагом 4h , узлы крупной сетки отмечены точками – 125 узлов. Матрицу жесткости (размерности 375 × 375) и вектор узловых сил (размерности 375) 2сКЭ определяем по процедуре п. 1.
Рис. 5. Сечение КТ (МнКЭ )
Fig. 5. Section CB (MgFE )
Рис. 6. Область Vq, 2сКЭ , МнКЭ
Fig. 6. Region Vq, 2gFE , MgFE
Рис. 7. Внутренняя область V1
Fig. 7. Inner region V1
Дискретная модель R2 КТ состоит из 4-х одинаковых малоразмерных МнКЭ (1-го типа) размерами 16h × 16h ×16h, сечения которых показаны на рис. 5. Согласно МЛА, построение МнКЭ 1-го типа (рис. 6) на базе стандартного 2сКЭ , т. е. на области размерами 16h × 16h ×16h, сводится к следующему. В центральной части области выделяем внутреннюю область размерами 12h × 12h ×12h (рис. 7), которая состоит из восьми одинаковых внутренних 2сКЭ 3-го порядка размерами 6h × 6h ×6h (рис. 8).
Рис. 8. Сетки внутреннего 2сКЭ
Fig. 8. Grids of the inner 2gFE
Рис. 9. Сечение 2сКЭ
Fig. 9. Section 2gFE
Крупная и мелкая сетки и сечение 2сКЭ показаны на рис. 8, 9, сечения волокон (параллельных оси Oy) размерами h × h закрашены, узлы крупной сетки отмечены точками, 64 узла. Матрицу жесткости (размерности 192 × 192) и вектор узловых сил (размерности 192) 2сКЭ находим по процедуре п. 1. Внутреннюю область V1 окружают восемь одинаковых по форме и характерным размерам граничных тонкостенных областей V2 сложной формы, толщиной 2h (рис. 10). На области V2 строим граничный 2сКЭ , используя крупную (равномерную) сетку размерами 8h × 8h × 8h с шагом 4h, т. е. малой размерности 3 × 3 × 3 (рис. 11), узлы крупной сетки отмечены точками – 27 узлов. На рис. 10 представлена мелкая равномерная сетка 2сКЭ с шагом h. Отметим, что 8 узлов крупной сетки лежат вне области V2, но совпадают с узлами крупной сетки 2сКЭ .
При построении 2сКЭ во всех узлах его мелкой сетки искомые перемещения u, v, w, выражаем через узловые перемещения крупной сетки , кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами сетки (27 узлов) и с граничными узлами крупной сетки 2сКЭ (37 узлов), которые обеспечивают стыковку 2сКЭ и . На рис. 10 эти стыковочные узлы 2сКЭ отмечены точками (см. замечание 3 п. 1). Итак, 2сКЭ имеет 64 узла, в которых определяются перемещения, т. е. 2сКЭ имеет матрицу жесткости размерности 192 × 192 и вектор узловых сил размерности 192. В области Vq восемь одинаковых внутренних 2сКЭ и восемь граничных 2сКЭ типа образуют высокоточный МнКЭ .
Рис. 10. Граничная область V2 (2сКЭ)
Fig. 10. Boundary region V2 (2gFE)
Рис. 11. Сетка 2сКЭ
Fig. 11. Grid of the 2gFE
Выражая в МнКЭ перемещения внутренних узлов (с помощью метода конденсации [6]) через перемещения граничных узлов МнКЭ , получаем малоразмерный МнКЭ 1-го типа. Отметим, что МнКЭ 1-го типа имеет такую же размерность, как стандартный МнКЭ (рис. 6), в котором с помощью метода конденсации исключены перемещения внутренних узлов.
Результаты расчетов КТ по ММКЭ с применением дискретных моделей R0, R1 и R2 и даны в таблице, где σn – максимальное эквивалентное напряжение модели Rn (напряжение σn определяется по 4-й теории прочности [33]), и – размерность и ширина ленты системы уравнений ММКЭ модели Rn, n = 0,1,2. Считаем, что БМ R0 КТ порождает точное решение, т. е. напряжение σo отвечает точному решению. Тогда относительная погрешность δn(%) для напряжения σn, отвечающего модели Rn, где n = 1.2, определяется по формуле
. (8)
Анализ результатов таблице показывает, что погрешность напряжения σ2, которое отвечает модели R2, состоящей из малоразмерных МнКЭ 1-го типа, в k1 = δ1(%) /δ2(%) = 25,122 раз меньше погрешности напряжения σ1, отвечающего модели R1, состоящей из стандартных 2сКЭ . Для приближенных решений используются скорректированные условия прочности, которые учитывают погрешность напряжений и представлены в следующей теореме.
Результаты расчетов моделей R0, R1 и R2
n | Rn | σn | δn(%) | Nn | bno |
0 | R0 | 4,999 | – | 55488 | 924 |
1 | R1 | 4,374 | 12,511 | 1200 | 375 |
2 | R2 | 5,0246 | 0,498 | 1200 | 375 |
Теорема. Пусть для коэффициента запаса n0 упругого тела V0 заданы условия прочности
, (9)
где n1, n2 – заданы, n1> 1, no = σT/σ0, σT– предельное напряжение тела V0, σ0 – максимальное эквивалентное напряжение тела V0, которое отвечает точному решению задачи теории упругости, построенному для тела V0.
Пусть коэффициент запаса nb тела V0, отвечающий приближенному решению задачи теории упругости, удовлетворяет скорректированным условиям прочности вида
. (10)
Тогда коэффициент запаса n0 тела V0, отвечающий точному решению задачи теории упругости, удовлетворяет заданным условиям прочности (9), где , nb = σT/σb, σb – максимальное эквивалентное напряжение тела V0, отвечающее приближенному решению задачи теории упругости, построенному для тела V0, и найденное с такой погрешностью δb, что
, (11)
где δα – верхняя оценка относительной погрешности δb, δα – задано, погрешность δb для напряжения σb определяется по формуле δb = (σ0 - σb)/σ0, 0 < δα <1.
Теорема доказана в работе [34].
Следует отметить, что с увеличением погрешности δb, т. е. с увеличением оценки δα, диапазон для коэффициента запаса nb в скорректированных условиях прочности (10) уменьшается, становится меньше диапазона заданных условий прочности (9). Например, согласно (11), при δα = Cα диапазон для скорректированных условий прочности вырождается в точку, что трудно выполнить на практике. Поэтому для практики важно применять приближенные решения с малой погрешностью. Напряжение σ2, отвечающее модели R2, отличается от напряжения σ0 базовой модели R0 (которое считаем точным) на0,498 % (см. таблицу). Для малых значений погрешности максимальных эквивалентных напряжений, меньше одного процента, оценку δα можно принять δα(%) = 1%, т. е. δα = 0,01. При δα =0,01 диапазон Δ1 скорректированных условий прочности (10) мало отличается от диапазона Δ2 заданных условий прочности (9), т. е.
.
Дискретная модель R2 (и модель R1) требует в k2 =(N0× b0)/(N10 ×b10) = 113,94 раз меньше объема памяти ЭВМ, т. е. почти в 114 раз меньше, чем БМ R0 КТ (см. таблицу). Анализ результатов расчетов показывает, что предлагаемые малоразмерные МнКЭ (1-го типа) более эффективны, чем стандартные 2сКЭ , которые имеют такие же форму, характерные размеры, размерность и такую же неоднородную структуру, как малоразмерные.
Важно отметить следующее. Согласно замечанию 2 (см. п. 1), при построении МнКЭ можно использовать сколь угодно мелкую базовую сетку. Тогда крупные сетки малоразмерного МнКЭ (1-го типа) могут иметь сколь угодно высокую размерность и, следовательно, порождать на внутренних областях МнКЭ локальные аппроксимации перемещений сколь угодно высокого порядка и число внутренних областей в МнКЭ возрастает. При этом порядок локальных аппроксимаций перемещений на граничных областях и их число не меняется. Это приводит к увеличению порядка точности малоразмерных МнКЭ при постоянстве их размерности. Однако порядок точности малоразмерных МнКЭ не может быть сколь угодно большим, так как реализация метода конденсации, связанная с матрицами высокого порядка, в этом случае требует большого объема памяти ЭВМ, который ограничен.
3. Построение малоразмерных МнКЭ с применением образующих КЭ
Основные положения процедуры построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа с применением образующих КЭ показаны в следующем примере.
Пример 2. Основные положения построения малоразмерных МнКЭ 2-го типа с применением образующих КЭ покажем на примере высокоточного лагранжевого 2сКЭ размерами 9h×10h × 9h (рис. 12), где h – задано, который расположен в декартовой системе координат Oxyz. Рассматриваемый 2сКЭ армирован непрерывными волокнами сечением h × h, которые параллельны оси Oy. На рис. 13 показано сечение 2сКЭ , сечения волокон закрашены, расстояние между волокнами равно h. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающие трехмерной задачи линейной теории упругости [16], т. е. в области 2сКЭ реализуется трехмерное НДС.
Рис. 12. Сетки 2сКЭ
Fig. 12. Grids of the 2gFE
Область 2сКЭ представляем БМ , состоящей из однородных 1сКЭ первого порядка формы куба со стороной h [6; 7], в которых реализуется трехмерное НДС [16]. На рис. 12 показано базовое разбиение 2сКЭ , которое учитывает неоднородную структуру 2сКЭ и порождает мелкую (базовую) узловую равномерную сетку размерности 10 × 11 × 10 с шагом h. На мелкой сетке определяем крупную равномерную сетку размерности 4 × 6 × 4 с шагом 3h по осям Ox, Oz и с шагом 2h по оси Oy. На рис. 12 узлы крупной сетки отмечены точками – 96 узлов. В данном случае с помощью полиномов Лагранжа [6] на крупной сетке аппроксимирующие функции u2, v2, w2 для перемещений u, v, w 2сКЭ представим в форме
Рис. 13. Сечение 2сКЭ
Fig. 13. Section of the 2gFE
(12)
где – искомые значения функций в узле крупной сетки ; – координаты целочисленной системы координат , которая введена для узлов крупной сетки (рис. 12); – базисная функция узла сетки , i, k = 1,... 4, j = 1,..., 6, где
, (13)
где , , ;
– координаты узла крупной сетки в системе координат Oxyz.
Введем обозначения: , , , ,где i, k = 1,..., 4, j = 1 т. е. имеем β = 1,.... 96. Тогда выражения (12) принимают вид
, , . (14)
Используя (12)–(14), по процедуре п. 1 для 2сКЭ определяем матрицу жесткости (размерности 288 × 288) и вектор узловых сил (размерности 288), т. е. размерность 2сКЭ равна 288. Для понижения размерности 2сКЭ применяем метод конденсации [6]. Выражаем перемещения внутренних узлов крупной сетки через перемещения узлов сетки , которые лежат на границе 2сКЭ . В результате получаем 2сКЭ , который имеет 240 узловых неизвестных. Итак, размерность 2сКЭ равна 240. Отметим, что 2сКЭ является высокоточным, так как он имеет 3-й порядок аппроксимации перемещений по осям Ox, Oz и 5-й порядок – по оси Oy.
Кратко рассмотрим процедуру построения малоразмерного 2сКЭ 2-го типа на основе высокоточного стандартного лагранжевого 2сКЭ (рис. 12), т. е. высокого порядка точности, с применением образующего КЭ VL размерами 9h × 9h. На рис. 14 показаны мелкая сетка, отвечающая 2сКЭ , и сетка КЭ VL, узлы которой отмечены точками – 12 узлов.
Согласно методу образующих КЭ [21], область 2сКЭ получается путем параллельного перемещения образующего КЭ VL квадратной формы вдоль оси Oy на заданное расстояние d = 10h (рис. 15). Сетка образующего КЭ VL образует крупную сетку 2сКЭ . Отметим, что неоднородные структуры 2сКЭ и одинаковы. Поэтому БМ 2сКЭ , как и БМ 2сКЭ , состоит из однородных 1сКЭ 1-го порядка формы куба со стороной h, где , где j = 1,....M – общее число 1сКЭ , M = 810. БМ учитывает неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ и порождает мелкую сетку .
Рис. 14. Сетки образующего КЭ VL
Fig. 14. Grids of the generating FE VL
Согласно методу образующих КЭ, общее число узлов Nd крупной сетки 2сКЭ , которая вложена в мелкую сетку , определяется по формуле Nd = nxzny, где nxz – число узлов образующего КЭ VL, для которого nxz = 12, ny – число узлов крупной сетки , лежащих на оси Oy (на оси j), 2сКЭ имеет 6 узлов на оси Oy, т. е. ny = 6 , тогда Nd = 12 × 6 = 72. Узлы крупной сетки равномерно расположены по оси Oy с шагом 2h. На рис. 15 узлы сетки отмечены точками – 72 узла. Для 2сКЭ введены две локальные системы координат: декартовая Oxyz и для узлов крупной сетки – целочисленная , где (рис. 14, 15). В области 1сКЭ НДС описывается уравнениями трехмерной задачи линейной теории упругости [16]. Следовательно, в области 2сКЭ реализуется трехмерное НДС.
Рис. 15. Сетки 2сКЭ
Fig. 15. Grids of the 2gFE
Поскольку сетка образующего КЭ VL имеет 12 узлов (построенная на мелкой сетке 2сКЭ , т. е. на мелкой сетке образующего КЭ VL), которые на рис. 14 отмечены точками, то для описания перемещений в образующем КЭ VL используем полином P(x, z) 3-го порядка, который в локальной декартовой системе координат Oxz (рис. 14) имеет вид [6]:
, (15)
где ai – постоянные, i = 1,...., 12.
Базисную функцию для узла крупной сетки согласно методу образующих КЭ [20; 21] определяем в виде
, (16)
где – базисная функция узла i, k образующего КЭ VL, отвечающая полиному P(x, z) вида (15), i, k = 1,....6, – полином Лагранжа 5-го порядка:
, (17)
где yp – координата р-го узла сетки , лежащего на оси J, j // J; , J = (рис. 15).
Используя (15) – (17), на крупной сетке аппроксимирующие функции u2, v2, w2 для перемещений u, v, w 2сКЭ формально представим
(18)
где – искомые значения функций в узле крупной сетки ; – координаты целочисленной системы координат ijk, которая введена для узлов крупной сетки (рис. 15); – базисная функция узла сетки , i, k, j = 1,....,6.
Обозначим где – искомые перемещения в узле сетки ; i, k = 1,6; i = 3,4 , k = 2,5 ; i = 2,5 , k = 3,4 ; j = 1,...,6, рис. 14, 15, т. е. β = 1,....,75. Тогда функции перемещений (18) для сетки принимают вид
(19)
где , , , – базисная функция и перемещения β-го узла сетки , β = .
Используя (15)–(19), по процедуре п. 1 для 2сКЭ определяем матрицу жесткости (размерности 216 × 216) и вектор узловых сил (размерности 216). Для понижения размерности 2сКЭ применяем метод конденсации [6], т. е. выражаем перемещения внутренних узлов крупной сетки через перемещения узлов сетки , которые лежат на границе 2сКЭ .В результате получаем 2сКЭ (2-го типа), имеющий 120 узловых неизвестных. Итак, размерность 2сКЭ равна 120. В силу (15)–(17) 2сКЭ имеет 3-й порядок аппроксимации перемещений по осям Ox, Oz и 5-й порядок – по оси Oy, т. е. является высокоточным. Отметим, что 2сКЭ имеет такой же порядок аппроксимаций перемещений по осям Ox, Oy, Oz, такие же размеры 9h × 10h × 9h и неоднородную структуру, как стандартный 2сКЭ , но размерность 2сКЭ , равная 120, в 2 раза меньше размерности 2сКЭ , размерность которого равна 240. Итак, малоразмерные 2сКЭ 2-го типа порождают дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные 2сКЭ . Следует отметить следующее. Если крупная и мелкая сетки стандартного высокоточного лагранжевого МнКЭ имеют большую размерность, то при построении аппроксимирующих функций перемещений для образующего КЭ целесообразно использовать локальные аппроксимации перемещений, построенные на его мелкой сетке. Особенности малоразмерных МнКЭ 1-го и 2-го типов состоят в следующем. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа имеют более высокий порядок точности, чем стандартные, что позволяет проектировать дискретные модели КТ малой размерности, которые порождают напряжения с малой погрешностью. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа имеют такой же порядок точности, как стандартные высокоточные МнКЭ, но образуют дискретные модели меньшей размерности, чем стандартные.
Заключение
В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности, кратко – малоразмерных МнКЭ, которые проектируются на базе известных (стандартных) МнКЭ. Рассмотрены малоразмерные МнКЭ двух типов. Построение малоразмерные МнКЭ 1-го типа проводится с применением локальных аппроксимаций перемещений, определяемых на подобластях МнКЭ, 2-го типа – с применением образующих конечных элементов. Расчеты композитных тел (КТ) показывают, что малоразмерные МнКЭ 1-го типа порождают максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 25–50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с помощью стандартных МнКЭ, которые имеют такие же размерности, формы, размеры и неоднородные структуры, как малоразмерные. Малоразмерные МнКЭ 1-го типа для крупных дискретных моделей КТ порождают максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью. Малоразмерные МнКЭ 2-го типа образуют дискретные модели КТ меньшей размерности, чем стандартные.
作者简介
Alexander Matveev
Institute of Computational Modeling SB RAS
编辑信件的主要联系方式.
Email: mtv241@mail.ru
Cand. Sc., associate Professor, senior researcher
俄罗斯联邦, 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036参考
- Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013, 715 p.
- Golovanov A. I., Tiuleneva O. I., Shigabutdinov A. F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsii [Finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006, 392 p.
- Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov [Numerical analysis methods and finite element method]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1982, 448 p.
- Obraztsov I. F., Savel'ev L. M., Khazanov Kh. S. Metod konechnykh elementov v zadachakh stroitel'noi mekhaniki letatel'nykh apparatov [Finite element method in problems of aircraft structural mechanics]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1985, 392 p.
- Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite element method]. Moscow, Stroiizdat Publ., 1993, 664 p.
- Norri D., de Friz Zh. Vvedenie v metod konechnykh elementov [Introduction to the finite element method]. Moscow, Mir Publ., 1981, 304 p.
- Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir Publ., 1975, 544 p.
- Fudzii T., Dzako M. Mekhanika razrusheniya kompozicionnyh materialov [Fracture mechanics of composite materials]. Moscow, Mir Publ., 1982, 232 p.
- Matveev A. D. [The method of multigrid finite elements in the calculations of three-dimensional homogeneous and composite bodies]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Seriia: Fiz.-matem. Nauki. 2016, Vol. 158, No. 4, P. 530–543 (In Russ.).
- Matveev A. D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. IOP Conf, Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016, Vol. 158, No. 1, Art. 012067, P. 1–9.
- Matveev A. D. [Multigrid finite element Method]. The Bulletin of KrasGAU. 2018, No. 2, P. 90–103 (In Russ.).
- Rabotnov Yu. N. Mekhanika deformirovannogo tverdogo tela [Mechanics of a deformed solid]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 711 p.
- Demidov S. P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1979, 432 p.
- Timoshenko S. P., Dzh. Gud'er. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 560 p.
- Bezuhov N. I. Osnovy teorii uprugosti, plastichnosti i polzuchesti [Fundamentals of the theory of elasticity, plasticity and creep]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1968, 512 p.
- Samul' V. I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1982, 264 p.
- Rozin L. A. Variacionnye postanovki zadach dlya uprugih sistem [Variational problem statements for elastic systems]. Leningrad, 1978, 224 p.
- Matveev A. D. [Multigrid modeling of composites of irregular structure with a small filling ratio]. J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2004, No. 3, P. 161–171 (In Russ.).
- Matveev A. D. Postroenie slozhnyh mnogosetochnyh konechnyh elementov s neodnorodnoj i mikroneodnorodnoj strukturoy [The construction of complex multigrid finite element heterogeneous and micro-inhomogeneities in structure]. Izvestiya AltGU. Seriya: Matematika i mekhanika. 2014, No. 1/1, P. 80–83 (In Russ.). doi: 10.14258/izvasu(2014)1.1-18.
- Matveev A. D. [Method of generating finite elements]. The Bulletin of KrasGAU. 2018, No. 6, P. 141–154 (In Russ.).
- Matveev A. D. [Construction of multigrid finite elements to calculate shells, plates and beams based on generating finite elements]. PNRPU Mechanics Bulletin. 2019, No. 3, P. 48–57 (In Russ.). DOI: 10/15593/perm.mech/2019.3.05.
- Golushko S. K., Nemirovskij Yu.V. Pryamye i obratnye zadachi mekhaniki uprugih kompozitnyh plastin i obolochek vrashcheniya [Direct and inverse problems of mechanics of elastic composite plates and shells of rotation]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 432 p.
- Nemirovskij Yu. V., Reznikov B. S. Prochnost' elementov konstrukcij iz kompozitnyh materiallov [Strength of structural elements made of composite materials]. Novosibirsk, Nauka Publ., Sibirskoe otdelenie, 1984, 164 p.
- Kravchuk A. S., Majboroda V. P., Urzhumcev Yu. S. Mekhanika polimernyh i kompozicionnyh materialov [Mechanics of polymer and composite materials]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 201 p.
- Alfutov N. A., Zinov'ev A. A., Popov B. G. Raschet mnogoslojnyh plastin i obolochek iz kompozicionnyh materialov [Calculation of multilayer plates and shells made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1984, 264 p.
- Pobedrya B. E. Mekhanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow, MGU Publ., 1984, 336 p.
- Andreev A. N., Nemirovskij Yu. V. Mnogoslojnye anizotropnye obolochki i plastiny. Izgib, ustojchivost', kolebaniya [Multilayer anisotropic shells and plates. Bending, stability, vibration]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2001, 288 p.
- Vanin G. A. Mikromekhanika kompozicionnyh materialov [Micromechanics of composite mate rials]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985, 302 p.
- Vasil'ev V. V. Mekhanika konstrukciy iz kompozicionnyh materialov [Mechanics of structures made of composite materials]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1988, 269 p.
- Guz' A. N., Ignatov I. V., Girchenko A. G. et al. Mekhanika kompozitnyh materialov i elementov konstrukciy[Mechanics of composite materials and structural elements]. Vol. 3. Prikladnye issledovaniya. Kiev, Naukova dumka Publ., 1983, 262 p.
- Matveev A. D. [Determination of fictitious elastic modulus of composites of complex structure with holes]. The Bulletin of KrasGAU. 2006, No. 12, P. 212–222 (In Russ.).
- Matveev A. D. [Determination of fictitious elastic modulus for three-dimensional composites based on the stiffness ratios of homogeneous finite elements]. The Bulletin of KrasGAU. 2008, No. 5, P. 34–47(In Russ.).
- Pisarenko G. S., Yakovlev A. P., Matveev V. V. Spravochnik po soprotivleniyu materialov [Hand book of resistance materials']. Kiev, Nauk. Dumka Publ., 1975, 704 p.
- Matveev A. D. [Calculation of elastic structures using the adjusted terms of strength]. Izvestiya AltGU. 2017, No. 4, P. 116–119. doi: 10.14258/izvasu(2017)4-21.