Математическое моделирование биомеханических упругих и гиперупругих свойств миокарда

Полный текст

Обоснование

Сердечная недостаточность остается одной из самых распространенных причин смерти во всем мире, особенно среди людей старше 60 лет. Чтобы разработать и подобрать подходящие материалы для реконструктивных операций на сердце с целью эффективного лечения, необходимо изучить биомеханические параметры и деформационные свойства тканей различных отделов сердца. Исследование пассивных механических свойств твердых и мягких биологических тканей чрезвычайно информативно и является одним из важнейших направлений биомеханики. При этом изучение свойств пассивного миокарда имеет важный прикладной аспект. Знание физико-механических аспектов биологических объектов на основе экспериментальных данных может стать источником новых медико-технических решений при реконструкции свойств биологических тканей и разработке замещающих материалов. В то же время математические модели биотканей не требуют подготовки образцов и предоставляют исследователям возможности для изучения различных физиологических состояний in silico (термин, обозначающий компьютерное моделирование — симуляцию эксперимента, чаще биологического) без угрозы здоровью и жизни для моделируемых объектов [1].

Основатель уникальной советской школы биофизики миокаpда проф. В.Я. Изаков с учениками хорошо понимали и поддерживали значение математического моделирования кардиологических тканей. В основу своих работ, среди которых выделяется фундаментальная монография [2], посвященная экспериментальным и компьютерным моделям в сердечно-сосудистой физиологии и кардиологии, они положили тот факт, что активные элементы сердечной ткани погружены в специфическую реологическую среду. Действительно, по своим механическим свойствам миокард близок к полимерным материалам, изучение которых составляет предмет реологии. От свойств реологической среды значительно зависят и механическая функция сердечной мышцы, и насосная функция сердца, а изучение ее роли при функционировании сердца в норме и при патологии крайне существенно. В результате авторы анализировали пассивный миокард как биологическую среду, к которой применим экспериментальный и теоретический аппарат классической механики деформируемых сред, прежде всего реологии, то есть с позиций упругости, вязкости и пластичности. Большие гиперупругие деформации, свойственные сердечным тканям, они не рассматривали.

Бесспорно, мягкие биологические ткани — это сложные структуры, неоднородные (гетерофазные), анизотропные, физически нелинейные, фактически несжимаемые (коэффициент Пуассона μ ≈ 0,5) и физиологически активные [3]. А.П. Сарвазян, заведующий лабораторией Института теоретической и экспериментальной биофизики РАН, в «Размышлениях об Андрее Сковороде и его вкладе в биомедицинскую механику» сетовал, что «…крайне нелегко найти модуль Юнга мягких тканей тела». Тем не менее в недавних публикациях отмечалось, что решение задач теории упругости помогает преодолеть проблемы диагностики патологий мягких биологических тканей органов тела человека, а знание деформационно-прочностных свойств тканей отделов сердца необходимо для прогнозирования развития возможных осложнений при хирургических реконструктивных вмешательствах, проводимых при протезировании [4–6].

Методические аспекты исследования упругих свойств структур миокарда

На сегодняшний день наши знания о конститутивных (устанавливающих, определяющих, составляющих основу) соотношениях, касающихся механических свойств стенки сердца, весьма скудны и основаны почти исключительно на результатах одноосных исследований образцов, полученных иссечением тканей из различных отделов сердца, например, желудочковых трабекул [7]. Хотя одномерные исследования способствуют пониманию фундаментальных основ механики сердца, следует подчеркнуть, что не полностью оправдано количественно или даже качественно экстраполировать их на интактные ткани сердца. Например, то, что является изометрическим в одномерном случае, не является таковым для трехмерных измерений, поскольку боковые края образцов при испытаниях не фиксированы и могут свободно деформироваться [8]. Поскольку подавляющая часть сердечной стенки подвергается многоосным нагрузкам, вполне вероятно, что экстраполяции, основанные на одноосных данных, не точно отражают истинные напряжения или деформации тканей. В.Я. Изаков и соавт. [2] также отмечал, что, как показывает сравнение, при двухосном растяжении препарат ведет себя жестче по сравнению с одноосными деформациями. Поэтому одноосные испытания дают заниженные значения тангенциальных модулей. Кроме того, и по теоретическим соображениям одноосные данные не могут быть обобщены для получения устанавливающих соотношений для трехмерной модели. Таким образом, чтобы получить фундаментальные результаты, необходимые для понимания трехмерной механики миокарда, необходимы знания свойств миокарда при многоосных нагрузках [9–12]. Только если предположить, что ткань несжимаема, можно обобщить данные двумерных испытаний для получения полных трехмерных определяющих соотношений [13, 14]. В результате первоначальные усилия должны быть направлены на измерения многоосных сил и деформаций в изолированной ткани, из которых будут потом сформированы конститутивные соотношения для цельного миокарда. Тем не менее одноосные испытания биотканей остаются одними из самых востребованных у исследователей по причине относительной простоты экспериментальных методик и теоретических расчетов. Так, целью исследования [7] было определение взаимосвязи одно- и двумерных напряжений и деформаций тканей изолированного миокарда собак для изучения следующих аспектов:

Краткий обзор исследований упругих свойств и гиперупругих моделей миокарда

Механические свойства миокарда представляют собой объект интенсивных экспериментальных исследований. По данным работы [15], если исключить из анализа результаты по экспериментальным объектам с упругими модулями свыше 150 кПа (нетипичные значения, например, 400 кПа у «систолического модуля» собак [16]), получим, что модуль Юнга тканей сердца человека и животных изменяется от 29,25 ± 9,42 до 65,10 ± 12,74 кПа (M ± m), то есть на несколько десятков кПа, и зависит от величины деформации, методов измерения и других, весьма многочисленных факторов. Cледует отметить также отсутствие единства литературных данных в отношении типа упругой анизотропии сердечной ткани — различий в упругих модулях отделов миокарда в зависимости от направления деформации в них.

В последнее время наряду со стандартными механическими и ультразвуковыми испытаниями все большую популярность приобретают иные физические методы измерения деформационных параметров тканей. В исследовании [17] для оценки локального распределения деформации в сердце in vivo был разработан метод, основанный на радиочастотной (RF) корреляции, — эластография миокарда. Для точного измерения неоднородностей, таких как повреждения после радиочастотной абляции или инфаркта, использовали трехмерный подход. Авторы показали, что 3D-эластография миокарда может стать важным методом измерения регионального распределения деформаций в трех измерениях у кардиопациентов. По мнению авторов, оценка деформаций тканей представляет большой интерес в клинической кардиологии, поскольку позволяет количественно оценить функцию сердца.

В работе [18] отмечено, что жесткость миокарда — важный фактор, определяющий сердечную функцию, и в настоящее время ее можно инвазивно и косвенно оценить с помощью катетерной ангиографии. Целью исследования было продемонстрировать возможность количественной оценки жесткости правого желудочка неинвазивно с помощью магнитно-резонансной эластографии сердца у собак с тяжелым врожденным стенозом клапана легочной артерии, вызывающим гипертрофию правого желудочка, и сравнить ее с удаленным миокардом левого желудочка. Кроме того, были исследованы корреляции между жесткостью и отдельными патофизиологическими показателями, полученными при трансторакальной эхокардиографии и магнитно-резонансной томографии сердца.

Несмотря на достаточно большое количество работ по изучению биомеханических свойств миокарда, нет сведений о систематических исследованиях параметров гиперупругих свойств сердечных тканей. В работах [15, 19] гиперупругие свойства миокарда были описаны с помощью двухпараметрической модели Муни – Ривлина и получены численные значения коэффициентов C₁₀ и C₀₁ модели. Авторы исследовали гиперэластичные свойства миокарда на основе кривых, заимствованных в работе [4] и полученных по результатам механических испытаний на растяжение. Материалом для исследования служили 80 сердец, изъятых у трупов взрослых людей (мужчин и женщин) в возрасте 31–70 лет. Было проведено растяжение образцов эпикарда и миокарда желудочков совместно с эндокардом в двух направлениях. Авторы работы [20] охарактеризовали пассивные механические свойства сердец поздних эмбриональных и неонатальных свиней с помощью двухосного механического тестирования в качестве суррогата механических свойств сердца плода человека. Использовали образцы как из правого, так и из левого желудочков на поздних сроках беременности от 85 дней до родов. Впоследствии было проведено конститутивное моделирование с использованием трансверсально-изотропной модели типа Фанга и Хамфри, учитывающей ориентацию волокон. Существенной разницы в механической жесткости во всех возрастных группах и между образцами правого и левого желудочков обнаружено не было. Исследователи охарактеризовали изменчивость жесткости миокарда при деформировании как обоснование такой работы.

Достаточно подробный обзор по применению биомеханических моделей для исследования пассивных свойств миокарда при конечных деформациях представили R. Avazmohammadi и соавт. [21]. Авторы привели устанавливающие уравнения моделей и классифицировали их по группам симметрии (изотропные, трансверсально изотропные и ортотропные), а также по параметрам, на основе которх они были созданы: равенство инвариантов тензора деформаций W = Ψ (I_i) или компонент деформации W = Ψ (E_ij) (обозначения авторов сохранены). Однако практически все модели, как выяснилось при их изучении, весьма «экзотичны» и не получили массового распространения в механике больших деформаций. Исключение, пожалуй, составила модель Хольцапфеля – Огдена, представленная в литературе отдельно в виде модели Хольцапфеля [1] или модели Огдена [22]. Кроме того, в обзоре отсутствует сравнительный анализ точности аппроксимации различными моделями пассивных свойств миокарда.

В работе [1] исследовали механический отклик пассивного миокарда овец, полученного из трех разных отделов сердца. Образцы тканей были изъяты из центральных областей левого и правого желудочков, а также из межжелудочковой перегородки. Результаты показали, что модели Чои-Вито и Фанга наилучшим образом подходят для левого желудочка, а модели Хольцапфеля, полиномиальная (анизотропная) и «four-fiber family» — для правого. Авторы отмечали, что из шести примененных моделей две были связаны с использованием тензора Грина – Лагранжа, а 4 — инвариантов деформации I_k, при этом модель Фанга более 30 лет широко используется для характеристики нелинейности мягких биологических тканей. Однако систематического обсуждения статистических параметров ни упругих, ни гиперупругих моделей структур миокарда не проводилось.

Цель — определить параметры механических свойств тканей пассивного миокарда на основе анализа наиболее известных упругих и гиперупругих моделей.

Материалы и методы

В данной работе компьютерные модели были сопоставлены с экспериментальными данными, полученными учеными из медицинского института Джона Хопкинса (1983) [7]. Исследовательский материал был получен от 49 непородистых собак массой приблизительно 20 кг, предварительно получивших наркоз. Гепарин натрия (2000 ед.) вводили внутривенно для подавления образования тромбов в сосудах миокарда перед извлечением сердца из животного. После извлечения сердца его немедленно промывали и погружали в ледяной насыщенный кислородом физиологический раствор на нескольких минут перед секционированием. Были исследованы срезы передней и задней свободной стенки левого желудочка, а также базальной и апикальной половин (выше и ниже экватора). Чтобы свести к минимуму артефакты по краям, были измерены деформации в центральной части образца. Различия в толщине внутри каждого образца были сведены к минимуму путем отбора образцов. Плоские срезы свободной стенки левого желудочка сердца изучали при механических двухосных и одноосных испытаниях. Образцы эпикарда не использовали из-за наличия крупных коронарных сосудов, образцы эндокарда — из-за трабекуляций.

Деформационные свойства тканей миокарда исследовали с помощью системы компьютерной алгебры Mathcad 15.0 и пакета прикладных программ ANSYS 2022 R2. Для определения параметров линейной и экспоненциальной функции применяли функции linfit и genfit, коэффициентов корреляции — функцию corr Mathcad 15.0. Соответствие модельных данных опытным в пакете ANSYS 2022 R2 оценивали с помощью функции Error Norm for Fit в позиции Absolute error.

При построении адекватных феноменологических численных деформационных моделей биологических тканей как правило подбирается функция σ = σ (ε) (где традиционно σ — приложенное механическое напряжение, ε — относительная деформация), которая бы давала наименьшие отклонения расчетных данных от полученных опытным путем. Весьма распространена линейная модель (закон Гука) вследствие своей относительной простоты и единственности параметра (модуль Юнга E = σ/ε). Также достаточно часто [23] применяется многофазная, например, двухфазная билинейная модель с двумя модулями Юнга E₁ и E₂). Она соответствует бимодульному характеру деформационных свойств биотканей. Действительно, как материал мягкие биоткани представляют собой композит, поскольку они составлены из компонентов, обладающих различными механическими свойствами. Неудивительно, что такой материал демонстрирует достаточно сложное механическое поведение. Как следует из литературных данных, на начальной стадии деформации тканей за упругость отвечает эластиновая матрица с модулем упругости E₁, она является несущим элементом, а коллагеновые волокна «включаются» в процесс деформирования позже, только при ε = ε_кр. Они существенно «жестче» и инициируют увеличение общего модуля Юнга ткани до E₂. Исторически предлагались и другие функции σ = σ (ε), задаваемые формулами: ε² = aσ² + bσ (Wertheim, 1847) [24], ε = aσⁿ (Morgan, 1960) [25], σ = kε^d и σ = B [e^mε – 1] (Kenedi, 1964) [26], ε = C + kσ^b и ε = x + y lg σ (Ridge and Wright, 1964) [27], но они не получили широкого признания. Авторы работы [28] для аппроксимации экспериментальных кривых σ–ε миокарда левого желудочка крыс Спрег-Доули при митральной регургитации предлагали функции регрессии Stress = ae^{b (strain)} + c, в работе [7] использовали трехпараметрическую зависимость stress = A [exp B (stretch ratio) – 1] + C. При этом экспоненциальное приближение рекомендовано биомеханиками из-за весьма удовлетворительной корреляции опытных и расчетных данных [29, 30]. Кроме того, на обоснованность использования «e-аппроксимации» указывают имеющиеся многочисленные сведения об экспоненциальном характере J - зависимости напряжение – деформация σ = σ (ε), присущей большинству мягких биологических тканей [31, 32]. Помимо этого, экспоненциальная функция наиболее популярна, поскольку она описывает эффект упрочнения при деформации мягких тканей.

 

Таблица 1 / Table 1

Упругие модели, использованные в исследовании

Elastic models used in the study

Модель	Математическая формулировка
Линейная	σ = Eε
Билинейная	σ = E1ε + E2 (ε – εкр) θ(ε – εкр)
Экспоненциальная	σ = a (ebε – 1)

Примечание. E — модуль Юнга в линейной модели; E₁ = E_min, E₂ = E_max — модули Юнга в билинейной модели; θ — ступенчатая функция Хэвисайда, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных; параметры a и b соответствуют наибольшей точности аппроксимации экспоненциальной модели; e ≈ 2,72 — основание натуральных логарифмов.

 

В нашем исследовании деформационных свойств миокарда опытные кривые σ–ε [7] аппроксимировали функциями из табл. 1.

Значения упругих модулей в билинейной и экспоненциальной модели определяли по формулам табл. 2.

 

Таблица 2 / Table 2

Модули упругости линейной, билинейной и экспоненциальной моделей

Elastic modulus of linear, bilinear and exponential models

Модель	Математическая формулировка
Линейная	E
Билинейная	E1 = Emin = ab, E2 = Emax = abebεmax
Экспоненциальная	E (ε) = Emax = abebε, $E_{\text{cp}}=\frac{1}{{\epsilon }_{\text{max}}-0}\underset{0}{\overset{{\epsilon }_{\text{max\hspace{0.17em}}}}{\int }}E\left(\epsilon \right)d\epsilon =\frac{1}{{\epsilon }_{\text{max}}}\underset{0}{\overset{{\epsilon }_{\text{max\hspace{0.17em}}}}{\int }}ab{e}^{b\epsilon }d\epsilon =\frac{a}{{\epsilon }_{\text{max}}}\underset{0}{\overset{{\epsilon }_{\text{max\hspace{0.17em}}}}{\int }}(e^{b{\epsilon }_{\text{max}}}-1)$

 

В данном исследовании изучены также различия в тканях миокарда, выделенных из стенки левого желудочка, путем сравнения шести гиперупругих моделей: неогуковской, Муни – Ривлина, Огдена, Йео, полиномиальной и Веронда – Вестманн. Устанавливающие уравнения этих моделей приведены в табл. 3.

 

Таблица 3 / Table 3

Список гиперупругих моделей, использованных в исследовании

List of hyperelastic models used in the study

Название модели	Математическая формулировка	Источник
Неогуковская	$\sigma =2\mu \left({\lambda }^2-\frac{1}{\lambda }\right)$	[33, 34]
Муни – Ривлина	$\sigma =2C_{10}\left(\lambda -\frac{1}{{\lambda }^2}\right)+2C_{01}\left(1-\frac{1}{{\lambda }^3}\right)$	[33]
Огдена	$\sigma =\sum _{p=1}^n{\mu }_{\text{}p}\left({\lambda }^{{\alpha }_p}-{\lambda }^{-\frac{1}{2}{\alpha }_p}\right)$	[22]
Йео	$\sigma =2\left(\lambda -\frac{1}{{\lambda }^2}\right)\sum _{i=1}^{n}i{C}_i{(I_1-3)}^{i-1}$	[35]
Полиномиальная, пятипараметрическая	σ = 2 (λ – λ–2)[C10 + C01λ–1 + 2C20 (λ2 + 2λ–1 – 3) +  + 2λ–1C02 (2λ + λ–2 – 3) + 3C11 (λ – 1 – λ–1 + λ–2)]	[36]
Веронда – Вестманн	$\sigma =2C_1{C}_2{e}^{C_2({\lambda }^2+2{\lambda }^{-1}-3)}(\lambda -{\lambda }^{-2})+2C_3(1-{\lambda }^{-3})$	[37]

Примечание. σ — условные напряжения; λ = ε + 1 — коэффициенты (кратности) деформации; остальное — материальные константы гиперупругих моделей.

 

Электронно-микроскопическое исследование проводили с помощью микроскопа Hitachi 12А.

Результаты и обсуждение

Упругие модули

Для продольного направления экспериментальный график σ–ε испытаний образцов на растяжение и расчетные кривые, построенные с помощью линейной, билинейной и экспоненциальной функций, представлены на рис. 1. Аналогичный вид имеют опытный график σ–ε и кривые регрессии для поперечного направления.

 

Рис. 1. Направление вдоль волокон. Графики напряжение – деформация моделей миокарда: линейной σ_lin, билинейной σ_bilin (с двумя модулями упругости E₁ и E₂) и экспоненциальной σ (ε). Точки σ_i — опытные данные, ε — относительная деформация

Fig. 1. Longitudinal direction. Stress-strain graphs of myocardial models: linear σ_lin, bilinear σ_bilin (with 2 elastic modules E₁ and E₂) and exponential σ (ε). The points σ_i represent experimental data, ε is the relative deformation

 

Табл. 4 содержит информацию о параметрах деформационных и прочностных свойств трех использованных упругих моделей.

 

Таблица 4 / Table 4

Параметры линейных, билинейных и экспоненциальных моделей деформационных и прочностных свойств тканей миокарда. Mathcad 15.0

Parameters of linear, bilinear and exponential models of deformation and strength properties of myocardial tissues. Mathcad 15.0

Направление  Оносительно  волокон	Деформационные свойства модели							Прочностные свойства (опыт)
	экспоненциальной			линейной	билинейной
	a, кПа	b	Eср, кПа	Eлин, кПа	E1, кПа	E2, кПа	εкр	εmax	σmax, кПа
Продольное	3,359	20,343	145,92	119,627	68,33	267,43	0,041	0,067	9,557
Поперечное	1,307	18,317	70,174	55,016	23,93	155,03	0,066	0,101	7,358

Примечание. ε_кр — деформация, соответствующая в билинейной модели точке, где σ_bilin1 = σ_bilin2 (рис. 1), при которой эластиновый механизм деформации мягких биологических тканей сменяется на коллагеновый.

 

Из табл. 4 следует, что ткани миокарда в продольном направлении по деформационным и прочностным параметрам более жесткие, чем в поперечном (E_ср 145,92 и 70,174 кПа) и прочные (σ_max 9,557 и 7,358 кПа), а в поперечном направлении — несколько пластичнее (ε_max 0,101 и 0,067), что не противоречит экспериментальным данным [7].

Дифференциальный модуль Юнга миокарда в экспоненциальной модели инкрементальный, то есть увеличивающийся по мере деформации. Расчетный модуль в продольном/поперечном направлении был минимальным в исходном состоянии (68,33/23,93 кПа), максимальным при ε = ε_max (267,43/155,03 кПа), отношение E_max/E_min (показатель нелинейности упругих свойств) составило 3,91/6,48. Эти результаты несколько отличаются от данных, полученных при двухосном тестировании сердца плодов свиней (15,20 ± 6,28/7,21 ± 4,80 и 83,89 ± 51,80/34,81 ± 31,78 кПа, E_max/E_min = = 5,52/4,82), и существенно отличаются от известных данных для других биотканей, например, для слизистой оболочки рта (E₁ = 0,15, E₂ = 16,5 МПа [38]) и периодонтальной связки (E₁ = 0,05, E₂ = 10 МПа, ε_кр = 0,075 [39]). Параметры зависимости σ = a (e^bε – 1) a = 3,359/1,307 кПа, b = 20,343/18,317 (определялись с помощью функции genfit Mathcad 15.0).

 

Таблица 5 / Table 5

Статистические показатели экспоненциальных моделей тканей миокарда, Mathcad 15.0

Statistical indicators of exponential models of myocardial tissues, Mathcad 15.0

Направление  Относительно  волокон	Стандартное  Отклонение  SD, кПа	Максимальная  Абсолютная  ошибка, кПа	Максимальная  Относительная  погрешность δ, %	Коэффициент  корреляции R
Продольное	0,048	0,078	5,517	0,9958*
Поперечное	0,018	0,028	3,47	0,9984*

* Коэффициент корреляции линейной и билинейной моделей составил 0.9812/0.9787.

 

Коэффициент упругой анизотропии миокарда, определенный как отношение упругих модулей линейной модели, измеренных вдоль и поперек волокон, оказался равным $\frac{119,627}{55,016}$ кПа = 2,18, что удовлетворительно согласуется с литературными данными (1,2–2,6) [40], где также было установлено, что в миокарде крыс ткань правого желудочка демонстрирует более явное анизотропное поведение, чем ткань левого и межжелудочковая перегородка. За показатель анизотропии авторы принимали отношение максимальных значений тангенциального модуля (maximum tangent modulus) вдоль и поперек волокон миокарда.

 

Таблица 6 / Table 6

Параметры гиперупругих моделей миокарда в направлении вдоль волокон

Parameters of hyperelastic myocardial models in the longitudinal direction of the fibers

Гиперупругая  модель  (постоянные  модели)	Метод расчета	μ,  кПа	α	C10, C1,   кПа	C01, C2,   кПа	C20, C3,   кПа	C02,   кПа	C11,   кПа
Неогуковская (μ)	Mathcad	20,862	–	–	–	–	–	–
	ANSYS	41,72	–	–	–	–	–	–
Муни – Ривлина  (C10, C01)	Mathcad	–	–	281,004	–272,88	–	–	–
	ANSYS	–	–	281,004	–272,88	–	–	–
Огдена (μ, α)	Mathcad	1,74	27,83	–	–	–	–	–
	ANSYS	1,74	28,66	–	–	–	–	–
Йео (C1, C2, C3)	Mathcad	–	–	12,817	625,399	–6,60 · 103	–	–
	ANSYS	–	–	12,817	625,399	–6600,9	–	–
Полиномиальная  (C10, C01, C20, C02, C11)	Mathcad	–	–	1,36 · 103	–1,36 · 103	–1,37 · 106	–1,56 · 106	2,93 · 106
	ANSYS	–	–	1,36 · 103	–1,36 · 103	–1,37 · 106	–1,57 · 106	2,94 · 106
Веронда – Вестманн  (C1, C2, C3)	Mathcad	–	–	35,562	3,815	–124,57	–	–

 

В изотропном материале механические свойства одинаковы во всех направлениях деформации. Анизотропный материал обладает механическими свойствами, которые изменяются в зависимости от направления деформации. Ортотропный материал — это частный случай анизотропии, где изменения происходят в трех взаимно ортогональных направлениях. Последнее относится и к миокарду [41]. В то время как здоровый миокард можно считать ортотропным, значительная степень анизотропии, хотя и не ортотропии, наблюдается также в рубцовой ткани. Это было установлено исследованием, оценивающим механические свойства миокарда крыс в ответ на инфаркт миокарда. Испытание на равноосное растяжение выявило непрерывное увеличение модуля упругости в течение 28 дней после инфаркта миокарда, когда ткань растягивалась перпендикулярно волокнам, тогда как при растяжении параллельно волокнам различий обнаружено не было [42].

Удельную работу по деформации образцов, геометрически равную площади под кривой σ(ε), рассчитывали как определенный интеграл:

$W=\frac{1}{{\epsilon }_{\max }-0}\underset{0}{\overset{{\epsilon }_{\max \text{}}}{\int }}\sigma \left(\epsilon \right)d\epsilon .$

Вдоль волокон она составила 3,81, поперек — 2,52 мДж/см³. Таким образом, деформация вдоль волокон сердечной мышцы более энергозатратна в направлении вдоль волокон, чем поперек, что также говорит о наличии у миокарда упругой анизотропии.

Статистические параметры, показывющие адекватность применения экспоненциальной модели при анализе деформационных свойств тканей миокарда, приведены в табл. 5. Средняя квадратичная ошибка «e-аппроксимации» составила 0,048/0,018 (в продольном/поперечном направлении относительно волокон), максимальная абсолютная ошибка 0,078/0,028, максимальная относительная ошибка 5,517/3,470 %, коэффициент корреляции между экспериментальными и модельными данными 0,9958/0,9984, что свидетельствует о более чем достаточной приемлемости экспоненциальной модели σ = a (e^bε – 1).

Гиперупругие модели

Все мягкие биологические материалы, в том числе ткани пассивного миокарда человека и животных гиперупругие [34]. Однако детально параметры гиперэластичных свойств миокарда не изучались. В данной работе параметры основных гиперупругих моделей рассмотрены в пакетах специализированных программ Mathcad 15.0 и ANSYS 2022 R2. Для поиска наиболее совершенных алгоритмов расчета использовали оба пакета одновременно.

 

Рис. 2. Направление поперечно волокнам миокарда. Опытные точки (σi) и модельные кривые шести использованных гиперупругих моделей: неогуковской (NH), Муни – Ривлина (M–R), Огдена (Ogden), Йео (Yeoh), полиномиальной (Polynom) и Веронда – Вестманн (V–W). λ — коэффициент деформации

Fig. 2. Cross myocardial fibers direction. Experimental points (σ_i) and model curves of 6 hyperelastic models used: Neohookean (NH), Mooney–Rivlin (M–R), Ogden (Ogden), Yeoh (Yeoh), polynomial (Polynom) and Veronda–Westmann (V–W). λ — strain coefficient

 

Модельные кривые миокарда размещены на сводном графике (рис. 2), численные параметры моделей представлены в табл. 6 (продольное направление) и 7 (поперечное направление), статистические метрики — в табл. 8.

 

Таблица 7 / Table 7

Параметры гиперупругих моделей миокарда в направлении поперек волокон

Parameters of hyperelastic myocardial models in the transverse fiber direction

Гиперупругая модель	Метод расчета	μ, кПа	α	C10, C1, кПа	C01, C2, кПа	C20, C3, кПа	C02, кПа	C11, кПа
Неогуковская  (μ)	Mathcad	9,823	–	–	–	–	–	–
	ANSYS	19,65	–	–	–	–	–	–
Муни – Ривлина  (C10, C01)	Mathcad	–	–	128,252	–127,59	–	–	–
	ANSYS	–	–	128,252	–127,59	–	–	–
Огдена  (μ, α)	Mathcad	0,716	24,174	–	–	–	–	–
	ANSYS	0,739	24,716	–	–	–	–	–
Йео (C1, C2, C3)	Mathcad	–	–	3,351	241,665	–1,9 · 103	–	–
	ANSYS	–	–	3,351	241,664	–1,9 · 103	–	–
Полиномиальная  (C10, C01, C20, C02, C11)	Mathcad	–	–	228,36	–230,35	5,4 · 104	6,03 · 104	–1,1 · 105
	ANSYS	–	–	228,36	–230,36	5,4 · 104	6,03 · 104	–1,1 · 105
Веронда – Вестманн  (C1, C2, C3)	Mathcad	–	–	–549,82	–0,262	–144,08	–	–

 

Как известно, трудность, связанная с применением большинства гиперупругих моделей, заключается в том, что параметры таких моделей часто не имеют физического смысла, и, соответственно, такие модели сложно аппроксимировать. Наиболее просто эта ситуация разрешена в неогуковской модели (μ — это модуль сдвига) и в двухпараметрической модели Муни – Ривлина (2C₁₀ + 2C₀₁ = μ₀ ≈ E₀/3 — начальный модуль сдвига), при этом примерное равенство тем точнее, чем более несжимаем гиперупругий материал, а, как известно, почти все мягкие биологические ткани несжимаемы (коэффициент Пуассона 0,5) или близки к таковым. Тем не менее анализ табл. 6–8 позволяет сделать некоторые выводы.

Например, критерием механической стабильности гиперупругих моделей при одноосном растяжении служат неравенства ∂²W/∂λ² > 0, где W — энергия деформации, или ∂σ/∂λ > 0 (условия Hill [43] и Drucker [44]), которые предусматривают определенные ограничения на параметры моделей и для двухпараметрической модели Муни – Ривлина сводятся к неравенству C₁₀ + C₀₁ > 0. Как видно из рис. 2 и табл. 6, 7, эти неравенства выполняются, то есть данная модель механически стабильна и может применяться во всем диапазоне деформаций. Также устойчивы все остальные упругие и гиперэластичные модели (см. рис. 1, 2).

Из данных табл. 6 и 7 следует, что единственный параметр неогуковской модели μ различается ровно (!) в 2 раза, будучи определенным в разных пакетах программ. Очевидно, это обусловлено отличной от Mathcad 15.0 (см. табл. 3) формы записи устанавливающего уравнения этой модели в ANSYS 2022 R2 и требует обязательного выяснения.

 

Таблица 8 / Table 8

Статистические параметры гиперупругих моделей

Statistical parameters of hyperelastic models

Гиперупругая  модель	Метод расчета	Направление относительно  волокон	Стандартное отклонение  SD, кПа	Максимальная  абсолютная ошибка, кПа	Максимальная  относительная погрешность δ, %	Коэффициент корреляции R
Неогуковская	Mathcad	Продольное	0,804	1,07	11,195	0,98
		Поперечное	0,821	1,191	16,182	0,974
	ANSYS	Продольное	18,763*
		Поперечное	26,984*
Муни – Ривлина двухпараметрическая	Mathcad	Продольное	0,226	0,548	5,738	0,997
		Поперечное	0,213	0,404	5,485	0,995
	ANSYS	Продольное	1,488*
		Поперечное	1,818*
Огдена 1-го порядка	Mathcad	Продольное	0,22	0,397	4,152	0,9967
		Поперечное	0,277	0,571	7,759	0,9931
	ANSYS	Продольное	1,399*
		Поперечное	3,070*
Йео 3-го порядка	Mathcad	Продольное	0,214	0,475	4,975	0,997
		Поперечное	0,238	0,495	6,727	0,994
	ANSYS	Продольное	1,355*
		Поперечное	2,271*
Полиномиальная  2-го порядка	Mathcad	Продольное	0,206	0,447	4,682	0,9971
		Поперечное	0,198	0,495	6,725	0,9961
	ANSYS	Продольное	1,235*
		Поперечное	1,571*
Веронда – Вестманн	Mathcad	Продольное	0,214	0,467	4,885	0,9968
		Поперечное	0,212	0,45	6,117	0,9955

* Residual (параметр ANSYS).

 

Из табл. 8 следует, что из всех гиперупругих моделей исследованного биоматериала наименьшие отклонения модельных от экспериментальных данных показала полиномиальная модель (средняя квадратичная ошибка 0,198 кПа, максимальная абсолютная ошибка 0,447 кПа, максимальная относительная ошибка 4,682 %, коэффициент корреляции между экспериментальными и модельными данными 0,9971, параметр residual (ANSYS 2022 R2) 1,235; наибольшие отклонения показала простая неогуковская модель (средняя квадратичная ошибка 0,821 кПа, максимальная абсолютная ошибка 1,191 кПа, максимальная относительная ошибка 16,182 %, коэффициент корреляции между экспериментальными и модельными данными 0,974, residual 26,984). Высокую степень корреляции опытных и расчетных данных продемонстрировали модели Йео, Веронда – Вестманн и Огдена (R = 0,997).

Сравнение с литературными данными

В заключении остановимся на сравнении результатов моделирования в настоящем сообщении с полученными в работе [15] в модели Муни – Ривлина на основании данных Н.В. Островского и соавт. [4] при исследовании упругих свойств миокарда сердец, изъятых у трупов взрослых людей. Упругие модули (E_лин, E₁, E₂ и E_ср) миокарда человека по модулю в 2,77 ± 1,22 (M ± SD) раза были меньше, а тип упругой анизотропии — противоположный (меньше и больше единицы: 0,86 и 2,18). Вполне возможно, что на этот факт впервые обратили внимание В.Я. Изаков с учениками, когда обнаружили, что препараты из наружного слоя желудочков жестче поперек волокон, а из внутреннего слоя, наоборот, — жестче вдоль волокон [2]. Значения коэффициентов двухпараметрических моделей Муни – Ривлина C₁₀ и C₀₁ также существенно отличались от полученных в данном исследовании (для продольного направления в среднем меньше в 8,03 раза, для поперечного — в 5,27 раза). На наш взгляд, это может быть вызвано целым рядом причин, например методическими особенностями подготовки образцов биоматериала к исследованию, их секционирования и фиксации (предотвращения разрушения и сохранения тканей накануне измерений), а также различиями в методиках механических испытаний (в частности, скорости деформирования) и в расчетных формулах упругих свойств. Очевидно, авторы испытывали образцы с несколько отличающейся локализацией. Также анатомически сердце человека отличается от сердца собаки. В дополнение к этому, согласно данным работы [45] направления мышечных волокон миокарда определить непросто.

Отметим также следующее. Электронно-микроскопические снимки срезов миокарда продольно и поперечно его волокнистым структурам представлены на рис. 3, 4. В миокарде фибриллярные структуры соединительно-тканного происхождения — коллагеновые и эластические волокна — представлены скудно. Они локализуются в основном в узких прослойках соединительной ткани между мышечными клетками миокарда (кардиомиоцитами) и сопровождающими их кровеносными сосудами (стрелка на рис. 3).

 

Рис. 3. Миофибрилла, митохондрии и паравазальная соединительная ткань. Продольный срез фрагмента кардиомиоцита. Трансмиссионная электронная микро- скопия, ×130 00. Стрелка указывает на соединительную ткань рядом с кровеносным микрососудом, пунктирная линия — линия среза на рис. 4

Fig. 3. Myofibril, mitochondria and paravasal connective tissue. Longitudinal section of a cardiomyocyte fragment. Transmission electron microscopy, ×13,000. Arrow points to connective tissue next to a blood microvessel, the dotted line is the cut line in Fig. 4

 

Основной объем занят мышечными клетками, которые относятся к поперечно-полосатой мышечной ткани с характерной поперечной исчерченностью. В основе этой исчерченности миофибрилл лежат последовательности регулярно повторяющихся единиц — саркомеров. Каждый саркомер представлен совокупностью сократительных филаментов — актиновых (тонких) и миозиновых (толстых), которые взаимодействуют между собой в процессе сокращения. Эффективность сокращения в значительной мере связана с упорядоченной (гексагональной — наиболее плотно упакованной структуры) упаковкой толстых и тонких филаментов, что хорошо выявляется на поперечных срезах (рис. 4).

 

Рис. 4. Поперечный срез миофибриллы. Трансмиссионная электронная микроскопия, ×60 000. Взаимная гекса- гональная упаковка толстых и тонких миофиламентов. Срез проведен примерно на уровне, обозначенном пунктиром на рис. 3

Fig. 4. Cross section of a myofibril. Transmission electron microscopy, ×60,000. Mutual hexagonal packing of thick and thin myofilaments. The cut was made approximately at the level indicated by the dotted line in Fig. 3

 

В какой мере совокупность сократительных структур кардиомиоцитов может определять физико-механические свойства миокарда, в частности, исследуемые параметры, неясно. Возможно, что в данном случае вообще нельзя говорить об исключительно пассивном механическом ответе ткани.

Наконец, в работе [1] отмечали наличие значительного разброса данных в параметрах упругих и гиперупругих моделей в пределах даже одной серии измерений. Что касается значений упругих модулей миокарда, установленных в данной работе, они по порядку величины удовлетворительно соответствуют редуцированному (без нетипичных значений) диапазону 29–65 кПа, установленному в работе [15] на основании анализа мировых литературных данных.

Заключение

1. Представлены результаты моделирования биомеханических свойств изолированного миокарда посредством упругих и гиперупругих феноменологических моделей. Получены численные значения параметров линейной, билинейной и экспоненциальной моделей, а также основных гиперупругих моделей: неогуковской, Муни – Ривлина, Огдена, Йео, полиномиальной и Веронда – Вестманн при одноосном растяжении образцов вдоль и поперек волокон.
2. Установлено, что нельзя рассматривать миокард как изотропную ткань, его деформационное поведение не может быть представлено моделями, которые не учитывают ориентацию волокон. Упругие и гиперупругие свойства миокарда существенно анизотропны и зависят от преимущественной ориентации волокон в ткани. Коэффициент упругой анизотропии, определенный как отношение упругих модулей линейной модели, измеренных вдоль и поперек направления волокон, равен 2,18, а деформация вдоль волокон сердечной мышцы более энергозатратна, чем поперек волокон (3,81 и 2,52 мДж/см³).
3. Рассчитаны погрешности моделей. Наиболее подходящая для аппроксимации опытных данных среди упругих моделей пассивного миокарда экспоненциальная модель, среди гиперупругих — полиномиальная, Йео, Веронда – Вестманн и Огдена (коэффициент корреляции опытных и расчетных данных всех перечисленных моделей R > 0,99).
4. Все исследованные модели механически стабильны, поскольку удовлетворяют условиям Hill и Drucker ∂²W/∂λ² > 0, ∂σ/∂λ > 0, где W — внутренняя энергия материала, σ — механическое напряжение, λ — коэффициент деформации, и могут применяться во всем диапазоне деформаций.
5. Настоящее исследование демонстрирует важность выбора правильной модели для изолированного миокарда. Установленные численные характеристики могут быть использованы для точного компьютерного моделирования механической функции миокарда в виртуальных вмешательствах и в будущих работах по эмуляции упругих и гиперупругих свойств тканей пассивного миокарда. Полученные результаты также могут быть рекомендованы в целях разработки замещающих материалов для реконструктивных операций и обладают потенциалом для применения в тканевой инженерии сердца.

Дополнительная информация

Благодарности. Авторы признательны заведующему кафедрой гистологии, цитологии и эмбриологии ФГБОУ ВО «Российский университет медицины» профессору, доктору мед. наук, чл.-корр. РАН В.В. Банину за консультации и предоставление электронно-микроскопических снимков волокнистых структур миокарда.

Источник финансирования. Исследование выполнено в рамках НИОКТР АААА-А16- 116102010059-6 ФГАНУ ЦИТиС «Изучение физико-механических свойств материалов для медицины» и НИР № 121072300086-8 «Анализ и синтез динамики управляемых систем в экстремальных ситуациях».

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.

Этический комитет. Специальные биомедицинские исследования у людей не планировались и не проводились.

Информированное согласие на публикацию. Персональные медицинские данные и фотографии в статье отсутствуют.

Вклад авторов. Все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией.

Наибольший вклад распределен следующим образом: С.А. Муслов — концепция и дизайн исследования, расчеты в пакете Ansys 2022 R2, анализ и интерпретация данных, написание рукописи; Ю.А. Васюк — редактирование рукописи, предоставление текстового и графического материала по структуре миокарда, внесение окончательной правки; А.И. Завьялова — сбор и обработка материалов для введения и обзорной части статьи, консультации по основной части, вычитывание рукописи; Е.Ю. Шупенина — сбор и обработка материалов для обзорной части статьи; П.Ю. Сухочев — расчеты в системе компьютерной алгебры Mathcad 15.0, анализ данных, подготовка графического материала; Л.З. Гучукова — сбор и обработка материалов для обзорной части статьи, редактирование рукописи, редактирование списка публикаций.

Additional information

Acknowledgments. The authors are grateful to the head of the Department of Histology, Cytology and Embryology of the Russian University of Medicine, Professor, Doctor of Medical Sciences, corresponding member RAS V.V. Banin for consulting and providing electron microscopic images of fibrous structures of the myocardium.

Funding source. The study was carried out within the framework of NIOKR AAAA16-116102010059-6 of the Federal State Budgetary Institution CITiS “Study of physical and mechanical properties of materials for medicine” and research work state registration 121072300086-8 “Analysis and synthesis of the dynamics of controlled systems in extreme situations”.

Ethics approval. No specific biomedical studies in humans were planned or conducted.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Consent for publication. There are no personal medical data or photographs in the article.

Author contribution. All authors made a substantial contribution to the conception of the study, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the article, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the study.

Personal contribution of each author: S.A. Muslov — GC-MS, concept and design of the study, calculations in the Ansys 2022 R2 package, analysis and interpretation of data, writing the manuscript; Yu.A. Vasyuk — GC-MS, editing the manuscript, providing text and graphic material on the structure of the myocardium, making final corrections; A.I. Zavialova — collection and processing of materials for the review part of the article, proofreading of the manuscript; E.Yu. Shupenina — collection and processing of materials for the review part of the article; P.Yu. Sukhochev — calculations in the computer algebra system Mathcad 15.0, data analysis, preparation of graphic material in accordance with the requirements of the editor; L.Z. Guchukova — collecting and processing materials for the review part of the article, editing the manuscript for spelling and syntax errors, editing the list of publications.

Об авторах

Сергей Александрович Муслов

Российский университет медицины

Автор, ответственный за переписку.
Email: sergeymuslov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-9752-6804
SPIN-код: 7213-2852
Scopus Author ID: 6507596970
ResearcherId: AAK-9440-2020

канд. физ.-мат. наук, доктор биол. наук, профессор кафедры нормальной физиологии и медицинской физики

Россия, 127473, Москва, Делегатская ул., д. 20, стр. 1

Юрий Александрович Васюк

Российский университет медицины

Email: yvasyuk@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0003-2913-9797
SPIN-код: 2265-5331
Scopus Author ID: 6508291333
ResearcherId: G-1772-2013

доктор мед. наук, профессор, ученый секретарь, заведующий кафедрой госпитальной терапии № 1, заслуженный врач РФ, заслуженный работник высшей школы РФ

Россия, 127473, Москва, Делегатская ул., д. 20, стр. 1

Алла Ивановна Завьялова

Российский университет медицины

Email: allaz05@list.ru
ORCID iD: 0009-0001-1727-4388
SPIN-код: 4883-7130

канд. мед. наук, доцент кафедры госпитальной терапии № 1, заведующая терапевтическим отделением КМЦ «Кусково»

Россия, 127473, Москва, Делегатская ул., д. 20, стр. 1

Елена Юрьевна Шупенина

Российский университет медицины

Email: eshupenina@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6188-4610
SPIN-код: 2090-9938

канд. мед. наук, профессор кафедры госпитальной терапии № 1

Россия, 127473, Москва, Делегатская ул., д. 20, стр. 1

Павел Юрьевич Сухочев

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Email: ps@moids.ru
ORCID iD: 0000-0002-8004-6011
SPIN-код: 7780-8694

научный сотрудник лаборатории математического обеспечения имитационных динамических систем отдела прикладных исследований механико-математического факультета

Россия, Москва

Лайла Заурбековна Гучукова

Одинцовская областная больница

Email: Gucci.loca@mail.ru
ORCID iD: 0009-0007-2150-6034
SPIN-код: 8280-0970

врач-терапевт

Россия, Одинцово, Московская область

Список литературы

Дополнительные файлы