Моделирование динамики движения межпланетного космического аппарата с малой тягой при перелете Земля – Марс

全文:

Обоснование. Солнечный парус — приспособление, использующее давление солнечного света на отражающую поверхность для приведения в движение космического аппарата (КА) [1].

С помощью солнечных парусов КА может продолжать ускоряться до тех пор, пока на него давит свет. В солнечной системе давление света на парус происходит на протяжении всего перелета. Это означает, что КА, движимые солнечными парусами (КАСП), могут достигать таких скоростей, которых практически невозможно достичь с помощью химических ракет.

Активное управление положением солнечного паруса необходимо для регулировки силы давления солнечного излучения для изменения траектории и управления орбитой.

Цель — разработать процедуру определения оптимальной функции включения-выключения управления КАСП при минимальном времени перелета.

Методы. Стартовой орбитой является круговая гелиоцентрическая траектория, совпадающая с орбитой Земли.

Для описания гелиоцентрического движения КАСП используется плоская полярная система координат.

Рассмотрим солнечный парус с идеально отражающей поверхностью со сторонами a и b, а также с наличием управляющих поверхностей шириной h и длиной a. В таком случае будет 2 варианта работы управляющих поверхностей. При δ = –1 управляющие поверхности полностью поглощают фотоны. При δ = +1 пленка полностью прозрачна и, соответственно, идеально отражающая поверхность. При δ = 0 обе поверхности находятся в одинаковом состоянии и, следовательно, управляющего момента не возникает. Таким образом, попеременным включением и выключением соответствующих поверхностей на парусе появляется возможность совершать необходимые для межпланетного перелета маневры.

Система дифференциальных уравнений, описывающих управляемое движение КАСП имеет следующий вид:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{dr}{dt}=V_r;\\ \frac{d\phi }{dt}=\frac{V_{\phi }}{r};\\ \frac{d{V}_r}{dt}=\frac{V_{\phi }^2}{r}-\frac{\mu }{r^2}+P_a\cdot \frac{ab}{M}\cdot \frac{1}{r^2}\cdot {\cos }^3\lambda ;\\ \frac{d{V}_{\phi }}{dt}=-\frac{V_r{V}_{\phi }}{r}+P_a\cdot \frac{ab}{M}\cdot \frac{1}{r^2}\cdot {\cos }^2\lambda \cdot \sin \lambda ;\\ \frac{d\lambda }{dt}={\omega }_z-\frac{V_{\phi }}{r};\\ \frac{d{\omega }_z}{dt}=\frac{M_{вн.сил}\delta }{I_z}=\frac{3P_a\cdot h\cdot b}{M\cdot a^2{r}^2}\cdot (a-h)\cos \lambda \cdot \delta .\end{array}\right.$

Здесь $r$ — текущее расстояние от КА до притягивающего центра, φ — текущая угловая дальность КА, V_r — проекция скорости КА на радиус вектор, V_φ — проекция скорости КА на трансверсальное направление, μ — величина гравитационного параметра Земли, a_r, a_φ — компоненты управляющего ускорения, λ — угол между радиус-вектором гравитационный центр – КА и нормалью к плоскости паруса, ω_z — текущая угловая скорость КА, ξ_z — угловое ускорение.

Задача баллистической оптимизации сформулирована следующим образом [2].

Определить вектор функции управления $\overline{u}\left(t\right)\in U$ и вектор баллистических параметров перелета $\overline{b}\in B$, доставляющие при заданной массе космического аппарата с солнечным парусом минимальное время перелета и обеспечивающие выполнение целевой задачи проекта, описываемой множеством допустимых фазовых координат аппарата $\overline{x}\left(t\right)\in X:$

$O_{opt}=\underset{\overline{u}\in U,\overline{b}\in B}{\min }T\left(M_0=fixe,\overline{x}\left(t\right)\in X,\overline{u}\left(t\right),\overline{b}\right).$

Для определения оптимального закона изменения угла управления вектором ускорения $\overline{u}\left(t\right)$, а следовательно функции включения-выключения управляющих плоскостей ${\delta }_{opt}$ требуется перейти к вариационной задаче об оптимальных по быстродействию перелетах между круговыми компланарными орбитами.

Найдем максимальное по быстродействию управление в соответствии с принципом максимума Понтрягина.

${\delta }_{opt}\to \max H\Rightarrow {\delta }_{opt}=\left\{\begin{array}{l}{\psi }_{{\omega }_z}>0\Rightarrow \delta =+1;\\ {\psi }_{{\omega }_z}<0\Rightarrow \delta =-1.\end{array}\right.$

Рассмотрим задачу пролета орбиты Марса без выравнивания скорости.

$\left\{\begin{array}{l}r=r_0=1а.е.;\\ \phi ={\phi }_0;\\ V_r=V_{r_0}=0;\\ V_{\phi }=V_{{\phi }_0}=1;\\ \lambda ={\lambda }_0;\\ {\omega }_z=0.\end{array}\right.$$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\psi }_r=y_1;\\ {\psi }_{\phi }=0;\\ {\psi }_{V_r}=y_2;\\ {\psi }_{V_{\phi }}=y_3;\\ {\psi }_{\lambda }=y_4;\\ {\psi }_{{\omega }_z}=y_5.\end{array}\right.\\ t=T_{к}=y_6\to \min \end{array}$ $\begin{array}{l}t\to \min \\ \left\{\begin{array}{l}r=r_{п};\\ \phi =unfix;\\ V_r=unfix;\\ V_{\phi }=unfix;\\ \lambda =unfix;\\ {\omega }_z=unfix.\end{array}\right.\end{array}$ $\left\{\begin{array}{l}{\psi }_r=unfix;\\ {\psi }_{\phi }=0;\\ {\psi }_{V_r}=0;\\ {\psi }_{V_{\phi }}=0;\\ {\psi }_{\lambda }=0;\\ {\psi }_{{\omega }_z}=0.\end{array}\right.$ 

И перелета к орбите Марса с выравниванием скорости.

$\left\{\begin{array}{l}r=r_0=1а.е.;\\ \phi ={\phi }_0;\\ V_r=V_{r_0}=0;\\ V_{\phi }=V_{{\phi }_0}=1;\\ \lambda ={\lambda }_0;\\ {\omega }_z=0.\end{array}\right.$ $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{\psi }_r=y_1;\\ {\psi }_{\phi }=0;\\ {\psi }_{V_r}=y_2;\\ {\psi }_{V_{\phi }}=y_3;\\ {\psi }_{\lambda }=y_4;\\ {\psi }_{{\omega }_z}=y_5.\end{array}\right.\\ t=T_{к}=y_6\to \min \end{array}$ $\begin{array}{l}t\to \min \\ \left\{\begin{array}{l}r=r_{п};\\ \phi =unfix;\\ V_r=V_{п};\\ V_{\phi }=V_{п};\\ \lambda =unfix;\\ {\omega }_z=unfix.\end{array}\right.\end{array}$ $\left\{\begin{array}{l}{\psi }_r=unfix;\\ {\psi }_{\phi }=0;\\ {\psi }_{V_r}=unfix;\\ {\psi }_{V_{\phi }}=unfix;\\ {\psi }_{\lambda }=0;\\ {\psi }_{{\omega }_z}=0.\end{array}\right.$   

Результаты.

 

Рис. 1. Траектория КАСП при пролете Марса и при выравнивании скорости на орбите Марса

 

Рис. 2. Изменение угловой скорости ω и функции включения-выключения управляющих плоскостей δ при пролете Марса

 

Рис. 3. Изменение угловой скорости ω и функции включения-выключения управляющих плоскостей δ при выравнивании скорости на орбите Марса

 

Выводы. В работе описана математическая модель управляемого движения КАСП при использовании управляющих поверхностей. Описана математическая модель углового движения КАСП, необходимого для осуществления оптимального перелета с орбиты Земли на орбиту Марса. Проведен баллистический расчет пролета КАСП орбиты Марса, а также перелета к Марсу с выравниванием скорости.

作者简介

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

Email: aldem16298@gmail.com

студентка, группа 1607-240501D, институт авиационной и ракетно-космической техники

俄罗斯联邦, Самара

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева

编辑信件的主要联系方式.
Email: aldem16298@gmail.com

научный руководитель, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры динамики полета и систем управления

俄罗斯联邦, Самара

参考

补充文件