Решение задачи вязкоупругого деформирования толстостенной трубы для анизотропного материала с операторами дробного интегро-дифференцирования

Полный текст

Обоснование. Толстостенные конструкции являются одним из эффективных средств, отвечающих технологическим условиям работы в условиях интенсивного силового и теплового нагружения. Изучению поведения толстостенных труб посвящено большое количество работ [1–6], но в подавляющем большинстве из них материал конструкций является упругим, не обладает реологическими свойствами и/или является изотропным. Явление ползучести свойственно некоторым металлам, явно проявляется в бетоне, грунте, дереве и особенно в полимерах. Учет фактора ползучести необходим для точного расчета работы конструкций. Однако классические модели вязкоупругости не всегда корректно описывают поведение материалов. Именно поэтому изучение вязкого поведения толстостенных конструкций, в том числе труб, изготовленных из анизотропных материалов, с помощью аппарата дробного интегро-дифференцирования является актуальной задачей.

Цель — найти аналитические решения задачи ползучести для толстостенной трубы из анизотропного материала на основе классических и дробных аналогов вязкоупругих моделей Максвелла и Фойхта.

Методы. Для построения новых вязкоупругих моделей поведения материалов использовался аппарат дробного интегро-дифференцирования [7]. Законность редукции структурных механических моделей к математическим моделям наследственно упругого тела с использования операторов дробного интегрирования и дифференцирования подробно описана в работе [8]. Поставлена плоская задача нагружения толстостенной трубы с внутренним и внешним радиусами r0 и R соответственно симметрично распределенными относительно оси трубы постоянными внутренним и внешним давлениями q и Q соответственно. Найдены определяющие соотношения для анизотропных материалов в интегральной форме:

1)  на основе классической модели Максвелла:

${\epsilon }_{rr}=\frac{{\sigma }_r}{E_r}+\frac{1}{{\eta }_r}{\int }_0^t{\sigma }_r\left(\tau \right)d\tau , {\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}+\frac{1}{{\eta }_{\theta }}{\int }_0^t{\sigma }_{\theta }\left(\tau \right)d\tau$              (1)

2)  на основе дробного аналога модели Максвелла:

${\epsilon }_{rr}=\frac{{\sigma }_r}{E_r}+\frac{1}{{\eta }_r}{I}_{0t}^{{\alpha }_r}{\sigma }_r, {\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}+\frac{1}{{\eta }_{\theta }}{I}_{0t}^{{\alpha }_{\theta }}{\sigma }_{\theta },$                            (2)

3)  на основе классической модели Фойхта:

${\epsilon }_{rr}=\frac{1}{{\eta }_r}{\int }_0^t{e}^{{\lambda }_r(t-\tau )}{\sigma }_r\left(\tau \right)d\tau , {\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{1}{{\eta }_{\theta }}{\int }_0^t{e}^{{\lambda }_{\theta }(t-\tau )}{\sigma }_{\theta }\left(\tau \right)d\tau ,$          (3)

4)  на основе дробного аналога модели Фойхта:

${\epsilon }_{rr}=\frac{1}{{\eta }_r}{E}_{ot;{\lambda }_r}^{{\alpha }_r,{\alpha }_r}{\sigma }_r, {\epsilon }_{\theta \theta }=\frac{1}{{\eta }_{\theta }}{E}_{ot;{\lambda }_{\theta }}^{{\alpha }_{\theta },{\alpha }_{\theta }}{\sigma }_r,$                              (4)

где ε_rr — радиальная деформация, вызванная действием радиального напряжения σ_r; ε_θθ — окружная деформация, вызванная действием окружного напряжения σ_θ; E_r и E_θ — модули упругости, η_r и η_θ — коэффициенты вязкости вдоль соответствующих осей; в определяющих соотношениях для дробного аналога модели Максвелла (2) $I_{0t}^{\alpha }$ — оператор дробного интегрирования порядка α [7]; в определяющих соотношениях на основе дробных моделей (2) и (4) параметры α_r ∈ (0, 1) и α_θ ∈ (0, 1) — порядки дробного интегрирования; для соотношений по типу фойхтовских (3) и (4) λr = −E_r /η_r, λ_θ = −E_θ /η_θ; в соотношениях (4) $E_{ot;\lambda }^{\alpha ,\alpha }$ — интегральный оператор [9, с. 36]. В процессе решения для параметров моделей были выведены следующие соотношения:

${\alpha }_r={\alpha }_{\theta }=\alpha ,\frac{{\mu }_{r\theta }}{{\mu }_{\theta r}}=\frac{E_r}{E_{\theta }}=\frac{{\eta }_r}{{\eta }_{\theta }}=k^2\Rightarrow {\lambda }_r={\lambda }_{\theta }=\lambda$.

Результаты. Получены решения поставленных задач:

1) на основе определяющих соотношений (1):

${\epsilon }_r=\frac{{\sigma }_r}{E_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}+\left(\frac{{\sigma }_r}{{\eta }_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{{\eta }_{\theta }}\right)t,{\epsilon }_{\theta }=\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{E_r}+\left(\frac{{\sigma }_{\theta }}{{\eta }_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{{\eta }_r}\right)t,$

2) на основе определяющих соотношений (2):

$\begin{array}{l}{\epsilon }_r=\frac{{\sigma }_r}{E_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}+\left(\frac{{\sigma }_r}{{\eta }_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{{\eta }_{\theta }}\right)\frac{t^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)},\\ {\epsilon }_{\theta }=\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{E_r}+\left(\frac{{\sigma }_{\theta }}{{\eta }_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{{\eta }_r}\right)\frac{t^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)},\end{array}$                      (5)

3) на основе определяющих соотношений (3):

${\epsilon }_r=\left(\frac{{\sigma }_r}{E_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}\right)\left[1-e^{\lambda t}\right],{\epsilon }_{\theta }=\left(\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{E_r}\right)\left[1-e^{\lambda t}\right],$

4) на основе определяющих соотношений (4):

$\begin{array}{l}{\epsilon }_r=\left(\frac{{\sigma }_r}{E_r}-\frac{{\mu }_{r\theta }{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}\right)\left[1-Exp(\alpha ,1;\lambda ;t)\right],\\ {\epsilon }_{\theta }=\left(\frac{{\sigma }_{\theta }}{E_{\theta }}-\frac{{\mu }_{\theta r}{\sigma }_r}{E_r}\right)\left[1-Exp(\alpha ,1;\lambda ;t)\right],\end{array}$                 (6)

где Exp(α, 1; λ; t) — обобщенная дробная экспоненциальная функция [9, с. 39].

В полученных решениях

${\sigma }_r=c_1^{*}{r}^{k-1}+c_2^{*}{r}^{-k-1},{\sigma }_{\theta }=c_1^{*}k{r}^{k-1}+c_2^{*}k{r}^{-k-1},$

где константы c1* и c2* были найдены через граничные условия для напряжений:

$c_1^{*}=\frac{(q{r}_{{}^0}^{k+1}-Q{R}^{k+1},}{R^{2k}-r_0^{2k}},c_2^{*}=\frac{r_{{}^0}^{k+1}{R}_{{}^{}}^{k+1}(Q{r}_{{}^0}^{k-1}-q{R}^{k-1},}{R^{2k}-r_0^{2k}}.$

Выводы. Данные решения получены на основе структурных механических моделей и хорошо описывают деформацию толстостенной трубы. Решения (5) и (6) лучше описывают реологические свойства материалов, так как содержат в себе параметр α, отвечающий за вязкость.

Об авторах

Анастасия Алексеевна Красильникова

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: krasilnikova.aa99@gmail.com
ORCID iD: 0009-0003-8197-1692
SPIN-код: 5467-6602

магистрант, группа 2–21ИАИТ–110м, институт информатики и информационных технологий, инженер кафедры "Прикладная математика и информатика"

Россия, Самара

Екатерина Юрьевна Арланова

Самарский государственный технический университет

Email: earlanova@gmail.com

научный руководитель, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент каф. прикладной математики и информатики

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы