Решение задачи вязкоупругого деформирования толстостенной трубы для анизотропного материала с операторами дробного интегро-дифференцирования
- Авторлар: 1, 1
-
Мекемелер:
- Самарский государственный технический университет
- Шығарылым: Том 1 (2023)
- Беттер: 337-339
- Бөлім: Теоретическая и прикладная механика
- URL: https://journals.eco-vector.com/osnk-sr2023/article/view/423442
- ID: 423442
Дәйексөз келтіру
Толық мәтін
Аннотация
Обоснование. Толстостенные конструкции являются одним из эффективных средств, отвечающих технологическим условиям работы в условиях интенсивного силового и теплового нагружения. Изучению поведения толстостенных труб посвящено большое количество работ [1–6], но в подавляющем большинстве из них материал конструкций является упругим, не обладает реологическими свойствами и/или является изотропным. Явление ползучести свойственно некоторым металлам, явно проявляется в бетоне, грунте, дереве и особенно в полимерах. Учет фактора ползучести необходим для точного расчета работы конструкций. Однако классические модели вязкоупругости не всегда корректно описывают поведение материалов. Именно поэтому изучение вязкого поведения толстостенных конструкций, в том числе труб, изготовленных из анизотропных материалов, с помощью аппарата дробного интегро-дифференцирования является актуальной задачей.
Цель — найти аналитические решения задачи ползучести для толстостенной трубы из анизотропного материала на основе классических и дробных аналогов вязкоупругих моделей Максвелла и Фойхта.
Методы. Для построения новых вязкоупругих моделей поведения материалов использовался аппарат дробного интегро-дифференцирования [7]. Законность редукции структурных механических моделей к математическим моделям наследственно упругого тела с использования операторов дробного интегрирования и дифференцирования подробно описана в работе [8]. Поставлена плоская задача нагружения толстостенной трубы с внутренним и внешним радиусами r0 и R соответственно симметрично распределенными относительно оси трубы постоянными внутренним и внешним давлениями q и Q соответственно. Найдены определяющие соотношения для анизотропных материалов в интегральной форме:
1) на основе классической модели Максвелла:
(1)
2) на основе дробного аналога модели Максвелла:
(2)
3) на основе классической модели Фойхта:
(3)
4) на основе дробного аналога модели Фойхта:
(4)
где εrr — радиальная деформация, вызванная действием радиального напряжения σr; εθθ — окружная деформация, вызванная действием окружного напряжения σθ; Er и Eθ — модули упругости, ηr и ηθ — коэффициенты вязкости вдоль соответствующих осей; в определяющих соотношениях для дробного аналога модели Максвелла (2) — оператор дробного интегрирования порядка α [7]; в определяющих соотношениях на основе дробных моделей (2) и (4) параметры αr ∈ (0, 1) и αθ ∈ (0, 1) — порядки дробного интегрирования; для соотношений по типу фойхтовских (3) и (4) λr = −Er /ηr, λθ = −Eθ /ηθ; в соотношениях (4) — интегральный оператор [9, с. 36]. В процессе решения для параметров моделей были выведены следующие соотношения:
.
Результаты. Получены решения поставленных задач:
1) на основе определяющих соотношений (1):
2) на основе определяющих соотношений (2):
(5)
3) на основе определяющих соотношений (3):
4) на основе определяющих соотношений (4):
(6)
где Exp(α, 1; λ; t) — обобщенная дробная экспоненциальная функция [9, с. 39].
В полученных решениях
где константы c1* и c2* были найдены через граничные условия для напряжений:
Выводы. Данные решения получены на основе структурных механических моделей и хорошо описывают деформацию толстостенной трубы. Решения (5) и (6) лучше описывают реологические свойства материалов, так как содержат в себе параметр α, отвечающий за вязкость.
Толық мәтін
Обоснование. Толстостенные конструкции являются одним из эффективных средств, отвечающих технологическим условиям работы в условиях интенсивного силового и теплового нагружения. Изучению поведения толстостенных труб посвящено большое количество работ [1–6], но в подавляющем большинстве из них материал конструкций является упругим, не обладает реологическими свойствами и/или является изотропным. Явление ползучести свойственно некоторым металлам, явно проявляется в бетоне, грунте, дереве и особенно в полимерах. Учет фактора ползучести необходим для точного расчета работы конструкций. Однако классические модели вязкоупругости не всегда корректно описывают поведение материалов. Именно поэтому изучение вязкого поведения толстостенных конструкций, в том числе труб, изготовленных из анизотропных материалов, с помощью аппарата дробного интегро-дифференцирования является актуальной задачей.
Цель — найти аналитические решения задачи ползучести для толстостенной трубы из анизотропного материала на основе классических и дробных аналогов вязкоупругих моделей Максвелла и Фойхта.
Методы. Для построения новых вязкоупругих моделей поведения материалов использовался аппарат дробного интегро-дифференцирования [7]. Законность редукции структурных механических моделей к математическим моделям наследственно упругого тела с использования операторов дробного интегрирования и дифференцирования подробно описана в работе [8]. Поставлена плоская задача нагружения толстостенной трубы с внутренним и внешним радиусами r0 и R соответственно симметрично распределенными относительно оси трубы постоянными внутренним и внешним давлениями q и Q соответственно. Найдены определяющие соотношения для анизотропных материалов в интегральной форме:
1) на основе классической модели Максвелла:
(1)
2) на основе дробного аналога модели Максвелла:
(2)
3) на основе классической модели Фойхта:
(3)
4) на основе дробного аналога модели Фойхта:
(4)
где εrr — радиальная деформация, вызванная действием радиального напряжения σr; εθθ — окружная деформация, вызванная действием окружного напряжения σθ; Er и Eθ — модули упругости, ηr и ηθ — коэффициенты вязкости вдоль соответствующих осей; в определяющих соотношениях для дробного аналога модели Максвелла (2) — оператор дробного интегрирования порядка α [7]; в определяющих соотношениях на основе дробных моделей (2) и (4) параметры αr ∈ (0, 1) и αθ ∈ (0, 1) — порядки дробного интегрирования; для соотношений по типу фойхтовских (3) и (4) λr = −Er /ηr, λθ = −Eθ /ηθ; в соотношениях (4) — интегральный оператор [9, с. 36]. В процессе решения для параметров моделей были выведены следующие соотношения:
.
Результаты. Получены решения поставленных задач:
1) на основе определяющих соотношений (1):
2) на основе определяющих соотношений (2):
(5)
3) на основе определяющих соотношений (3):
4) на основе определяющих соотношений (4):
(6)
где Exp(α, 1; λ; t) — обобщенная дробная экспоненциальная функция [9, с. 39].
В полученных решениях
где константы c1* и c2* были найдены через граничные условия для напряжений:
Выводы. Данные решения получены на основе структурных механических моделей и хорошо описывают деформацию толстостенной трубы. Решения (5) и (6) лучше описывают реологические свойства материалов, так как содержат в себе параметр α, отвечающий за вязкость.
Авторлар туралы
Самарский государственный технический университет
Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: krasilnikova.aa99@gmail.com
ORCID iD: 0009-0003-8197-1692
SPIN-код: 5467-6602
Самарский государственный технический университет
Email: earlanova@gmail.com
Әдебиет тізімі
- Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Москва: Наука, 1977. 416 с.
- Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. Москва: Наука, 1977. 384 с.
- Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. Москва: Наука, 1988. 712 с.
- Радченко В.П. Введение в механику деформируемых систем. Самара: СамГТУ, 2009. 196 с.
- Бажанов В.Л. Механика деформируемого твердого тела. Учебное пособие для бакалавриата и магистратуры. Москва: Юрайт, 2019. 178 с.
- Скворцов Ю.В., Перов С.Н. Основы теории пластичности и ползучести: учебное пособие. Самара: АНО ВО Университет «МИР», 2019. 212 с.
- Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. Москва: Физматлит, 2003. 272 с.
- Огородников Е.Н., Радченко В.П., Унгарова Л.Г. Математическое моделирование наследственно упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана–Лиувилля // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физизо-математические науки». 2016. Т. 20, № 1. С. 167–194. doi: 10.14498/vsgtu1456
- Огородников Е.Н., Арланова Е.Ю. Применение аппарата дробного исчисления при решении интегральных и дифференциальных уравнений. Самара: СамГТУ, 2019. 94 с.