Asymptotics of Branching of Families of the Least Stable Magnetic Modes of the Bloch Type

全文:

ВВЕДЕНИЕ

В статье [Желиговский, Чертовских, 2020] и в серии работ [Chertovskih, Zheligovsky, 2023a–2023c] были численно и аналитически рассмотрены три задачи линейной устойчивости пространственно-периодических стационарных состояний по отношению ко блоховским модам неустойчивости: задача гидродинамической устойчивости течений, задача кинематического динамо и полная задача магнитогидродинамической (МГД) устойчивости стационарных МГД состояний. Блоховская мода – это векторное поле той же пространственной периодичности, что и возмущаемое состояние, амплитудно-модулированное гармоникой Фурье e^{iq · x}. Здесь волновой вектор q – произвольный постоянный действительный вектор, модули всех компонент которого меньше единицы. По-видимому, впервые поля такого вида были рассмотрены в работе [Bloch, 1929] как решения уравнения Шредингера с пространственно-периодическим потенциалом. Впоследствии их использовали при математическом анализе явлений α-эффекта и вихревой (турбулентной) диффузии в различных МГД системах (см. работы [Желиговский, 2010; Zheligovsky, 2011]), где длина вектора q предполагалась малой, и по этому параметру проводили асимптотическое разложение мод неустойчивости и инкрементов их роста (точнее, собственных значений соответствующего оператора линейной устойчивости).

Вычисления, представленные в работе [Желиговский, Чертовских, 2020] для задачи кинематического динамо и в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] для всех трех указанных задач линейной устойчивости, показали, что наименее устойчивые моды возмущений отвечают волновым векторам q, длина которых, как правило, достаточно велика (в диапазоне 0.3–0.7 при достаточно малых параметрах диффузии), и она не демонстрирует тенденции к уменьшению при уменьшении молекулярных магнитной диффузии η или вязкости ν (Здесь и далее под наименее устойчивыми модами возмущения мы понимаем блоховские моды, имеющие максимальный по q инкремент роста.) Это означает, что если исходное гидродинамическое или МГД состояние и обладает существенным разделением пространственных масштабов, то при дальнейшей эволюции это разделение разрушается каскадом неустойчивостей рассматриваемого типа. Таким образом, показано, что описание воздействия мелкомасштабных структур на крупномасштабные посредством стандартных операторов α-эффекта и вихревой диффузии, выведенных в предположении существенного разделения пространственных масштабов, (см. монографию [Краузе, Рэдлер, 1984]; краткое, но четкое и достаточно полное введение в этот круг вопросов приведено в статье [Rädler, 2007]) логически внутренне противоречиво. Возникает задача о более точном описании этих явлений с учетом возникающего нелинейного каскада неустойчивостей.

В цитированных выше работах была рассмотрена устойчивость стационарных соленоидальных пространственно-периодических состояний, сгенерированных в виде рядов Фурье с псевдослучайными коэффициентами и энергетическими спектрами, затухающими по разным законам: экспоненциальному, степенному (как колмогоровский спектр) и типа крупных вихрей (где присутствуют только гармоники с волновыми числами не более 2). Были рассмотрены как центрально-симметричные стационарные состояния (в них возникает вихревая диффузия), так и не симметричные (в них возникает α-эффект). На определенном интервале величин параметра молекулярной диффузии вычислялись блоховские моды неустойчивости, ассоциированные с глобально максимальным по блоховскому волновому вектору (т.е. по всем q) инкрементом роста. Такие моды составляют семейства (ветви), параметризованные величиной молекулярной диффузии, в которых моды и их инкременты роста гладко зависят от диффузионного параметра (также были вычислены некоторые продолжения по параметру таких семейств мод, в которых сохранялось свойство локальной по q максимальности инкремента, но инкременты переставали быть глобально максимальными).

В работе [Желиговский, Чертовских, 2020] для задачи кинематического динамо, а в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023a] для всех трех рассмотренных задач линейной устойчивости было доказано, что для блоховских волновых векторов q, каждая компонента которых – целое или полуцелое число (мы называем такие q полуцелыми), выполнено необходимое условие

$\partial \gamma /\partial q^m=0$ (1)

экстремальности по q инкремента роста γ моды при условии, что возмущаемое состояние (V, B) центрально-симметрично, и/или если мода ассоциирована с действительным собственным значением соответствующего оператора линейной устойчивости. В расчетах работы [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] найдено, что для некоторых возмущаемых состояний действительно существуют семейства мод с глобально максимальными инкрементами роста, отвечающие полуцелым q, одинаковым для всей ветви. При этом на границе таких интервалов ν или η к семейству наименее устойчивых мод, отвечающих полуцелому q, иногда присоединяется семейство мод с глобально или локально максимальными инкрементами роста, отвечающих изменяющимся в присоединяющемся семействе не полуцелым q.

В работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023c] для задачи кинематической генерации магнитного поля центрально-симметричным течением была рассмотрена асимптотика семейства наименее устойчивых блоховских магнитных мод, ответвляющихся от семейства наименее устойчивых нейтральных (ассоциированных с нулевым собственным значением оператора магнитной индукции) короткомасштабных (отвечающих q = 0) мод. Пример такого ветвления приведен в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] на рис. 14a, 14b (на границе между интервалами II и III молекулярной магнитной диффузии). Было показано, что наименее устойчивые моды в ответвляющемся семействе, их собственные значения и блоховские волновые векторы, для которых реализуются максимальные инкременты роста этих мод, могут быть разложены в асимптотические степенные ряды по параметру ϑ = (η₀ − η)^1/2. Здесь η₀ – магнитная диффузия, при которой происходит ветвление; для нее выполняется условие, что при этой молекулярной магнитной диффузии оператор вихревой магнитной диффузии имеет нулевое собственное значение. Указанное разложение собственных значений магнитных мод начинается с порядка ϑ², но коэффициенты членов этого разложения порядков ϑ² и ϑ³ мнимые, и разложения инкрементов роста блоховских магнитных мод в ответвляющемся семействе начинаются с ϑ⁴. Разложения блоховских волновых векторов, для которых реализуются максимальные инкременты роста, начинаются с члена порядка ϑ. Эти особенности рассмотренных в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] асимптотических разложений связаны с тем, что в ситуации общего положения ядро оператора магнитной индукции трехмерно – его базис всегда включает три короткомасштабные (для q = 0) магнитные моды [Арнольд и др., 1982].

В данной работе рассмотрено, также в задаче кинематического динамо, аналогичное степенное асимптотическое разложение семейства наименее устойчивых мод, ответвляющегося от семейства наименее устойчивых магнитных мод, которые отвечают полуцелому q ≠ 0. Примеры такого ветвления приведены в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] на рис. 10a, 10b и рис. 13a, 13b для несимметричного генерирующего течения, и на рис. 15a, 15b для центрально-симметричного (на границе между интервалами I и II во всех трех случаях). В следующем разделе описана постановка задачи, последующие разделы посвящены рассмотрению систем уравнений, возникающих в порядках ϑ⁰, ϑ и ϑ², и завершают статью заключение и комментарии.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы изучаем генерацию магнитного поля пространственно-периодическим стационарным течением с полем скорости V (x). Магнитные моды B (x) удовлетворяют уравнению на собственные значения для оператора магнитной индукции:

$$\begin{gathered} \mathcal{M}B=\lambda B, \\ \mathcal{M}:B\mapsto \eta {\nabla }^{2}B+\nabla \times \left(V\times B\right). \end{gathered}$$ (2)

Электропроводная жидкость считается несжимаемой, магнитное поле соленоидально:

$\nabla \cdot V=\nabla \cdot B=0$. (3)

Рассматриваются магнитные моды блоховского вида:

$B\left(x\right)=e^{iq\cdot x}b\left(x\right)$, (4)

причем периодичность поля b такая же, как и у V; для простоты, считаем ячейку периодичности кубом ${\mathbb{T}}^3={[-\pi ,\pi ]}^3$. Мы ищем волновой вектор q, при котором для данного η мода (4) имеет максимальный инкремент роста:

$\gamma =\underset{q}{\max }Re\lambda \left(q\right)$.

Подставив выражение (4) в (2), получаем задачу на собственные значения

${\mathcal{D}}_{q}b=\lambda b$ (5)

для модифицированного оператора

${\mathcal{D}}_q:b\mapsto \eta {\Delta }_{q}b+\nabla \times \left(V\times b\right)+iq\times \left(V\times b\right)$.

Сопряженный к нему оператор имеет вид:

${\mathcal{D}}_q^{*}:b\mapsto \eta {\Delta }_{q}b-V\times \left(\nabla \times b+iq\times b\right)$,

где

${\Delta }_q:b\mapsto {\nabla }^{2}b+2i\left(q\cdot \nabla \right)b-|q{|}^{2}b$

– самосопряженный модифицированный оператор Лапласа. Сопряженность определена в смысле обычного скалярного произведения

$<<b_1,b_2>>=<b_1\cdot \overline{b_2}>\equiv {\left(2\pi \right)}^{-3}\underset{{\mathbb{T}}^3}{}{b}_1\left(x\right)\cdot \overline{b_2}\left(x\right)dx$

в пространстве Лебега ${\mathbb{L}}_2\left({\mathbb{T}}^3\right)$.

При вычислении максимального инкремента  достаточно рассматривать блоховские волновые векторы q в кубе |q_m| ≤ 1/ 2, т.к. ei^{q · x}b=e^{i (q – n) x}e^{in · x}b, а поле e^{in · x}b имеет периодичность течения V для любого вектора n с целочисленными компонентами. Более того, комплексное сопряжение уравнения (5) показывает, что моды (4) для противоположных q имеют одинаковые инкременты роста, поэтому максимальный по q инкремент достаточно найти в параллелепипеде

$\left\{q\right|0\le q^1\le 1/\mathrm{2,} -1/2\le q^2\le 1/\mathrm{2,} -1/2\le q^3\le 1/2\}$.

Если λ – собственное значение ${\mathcal{D}}_q$ (5), то комплексно-сопряженное число $\overline{\lambda }$ – собственное значение сопряженного оператора ${\mathcal{D}}_q^{*}$:

${\mathcal{D}}_q^{*}{b}^{*}=\overline{\lambda }{b}^{*}$. (6)

В дальнейшем считаем, что собственные значения λ (q) при q ≠ 0 имеют кратность 1. Мы нормируем собственные функции условием

$<<b,b^{*}>>=1$ (7)

(это всегда возможно, поскольку ⟨⟨b, b*⟩⟩ ≠ 0 в силу двойственности базисов взаимно сопряженных операторов ${\mathcal{D}}_q$ и ${\mathcal{D}}_q^{*}$ какова индивидуальная нормировка b и b* для наших целей значения не имеет).

Градиент λ (q) тогда вычисляется с использованием биортогональности собственных функций линейного оператора и сопряженного к нему. Дифференцируя (5) по q_m, получим:

$\left({\mathcal{D}}_q-\lambda \right)\frac{\partial b}{\partial q^m}+2\eta \left(-q^{m}b+i\frac{\partial b}{\partial x_m}\right)+i{e}_m\times \left(V\times b\right)=\frac{\partial \lambda }{\partial q^m}b$,

где e_m – единичные орты декартовой системы координат. Скалярно умножив это уравнение на b* получим с использованием (7)

$\frac{\partial \gamma }{\partial q^m}=-2\eta q_m-\mathrm{Im}<<2\eta \frac{\partial b}{\partial x_m}+e_m\times \left(V\times b\right),b^{*}>>$,

поэтому условие максимальности инкремента (1) принимает вид:

$2\eta \left(q+\sum _m\mathrm{Im}<\frac{\partial b}{\partial x_m}\cdot \overline{b^{*}}>e_m\right)+\mathrm{Im}<\left(V\times b\right)\times \overline{b^{*}}>=0$. (8)

Пусть при критической величине молекулярной магнитной диффузии η₀ от семейства наименее устойчивых магнитных мод, отвечающих полуцелому блоховскому волновому вектору q₀ ≠ 0, ответвляется другое семейство наименее устойчивых магнитных мод. Для определенности считаем, что ответвившееся семейство существует при η < η₀. Согласно численным результатам [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b], при приближении к точке ветвления компоненты оптимального блоховского волнового вектора, при котором реализуются максимальные инкременты роста этих мод, отличаются от q₀ на величины порядка ϑ = (η₀ − η)^1/2. Это указывает на возможность разложения мод b (x) в ответвившемся семействе, их собственных значений λ оптимального блоховского волнового вектора q и мод сопряженного оператора b* в асимптотические степенные ряды по этому параметру:

$$\begin{gathered} b=\sum _{j=0}^{\infty }{b}_j{\vartheta }^j, b^{*}=\sum _{j=0}^{\infty }{b}_j^{*}{\vartheta }^j, \\ \lambda =\sum _{j=0}^{\infty }{\lambda }_j{\vartheta }^j, q=\sum _{j=0}^{\infty }{q}_j{\vartheta }^j. \end{gathered}$$ (9)

Для вывода условия соленоидальности блоховской моды ei^{q · x}b (x) в терминах разложения (9) подставляем его в (3). В порядке ϑ^j находим:

$\nabla \cdot b_j+i\sum _{k=0}^j{q}_k\cdot b_{j-k}=0$. (10)

Подставляя ряды (9) и соотношение η < η₀ − ϑ² в уравнения (5) и (6) и в условия максимальности инкремента (8) и нормировки (7), мы получаем в порядках ϑ^j иерархию систем уравнений относительно слагаемых рядов (9), которые последовательно решаем в порядке возрастания степеней j.

УРАВНЕНИЯ В ПОРЯДКЕ ϑ⁰

Система уравнений, возникающая в порядке ϑ⁰ имеет вид:

${\mathcal{D}}_0{b}_0={\lambda }_0{b}_0$, (11.1)

${\mathcal{D}}_0^{*}{b}_0^{*}=\overline{{\lambda }_0}{b}_0^{*}$, (11.2)

$2{\eta }_0\left(q_0+\sum _m\mathrm{Im}\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}{e}_m\right)+\mathrm{Im}\left(V\times b_0\right)\times \overline{b_0^{*}}=0$, (11.3)

$<<b_0,b_0^{*}>>=1$, (11.4)

где

${\mathcal{D}}_0:b\mapsto {\eta }_0{\Delta }_{q_0}b+\nabla \times \left(V\times b\right)+i{q}_0\times \left(V\times b\right)$, (12)

${\mathcal{D}}_0^{*}:b\mapsto {\eta }_0{\Delta }_{q_0}b-V\times \left(\nabla \times b+i{q}_0\times b\right)$.

Эти уравнения не несут новой информации, они только обеспечивают непрерывное причленение ответвляющегося семейства к семейству, отвечающему полуцелому q₀ (мы не рассматриваем здесь случай границы интервала молекулярной диффузии, на котором максимальный инкремент достигается в определенном семействе, а после перехода через границу – в другом, причем на границе максимальный инкремент в двух этих семействах достигается на разных блоховских волновых векторах q).

По построению (и также это можно легко проверить непосредственно)

$e^{-i{q}_0\cdot x}\mathcal{M}\left(e^{i{q}_0\cdot x}b\right)={\mathcal{D}}_{0}b$

для любого векторного поля b, поэтому умножение уравнения (11.1) на $e^{i{q}_0\cdot x}$ и взятие дивергенции дает:

${\eta }_0{\nabla }^2\left(\nabla \cdot \left(e^{i{q}_0\cdot x}{b}_0\right)\right)={\lambda }_0\nabla \cdot \left(e^{i{q}_0\cdot x}{b}_0\right)$.

Следовательно, $\nabla \cdot \left(e^{i{q}_0\cdot x}{b}_0\right)=0$, если только λ₀ / η₀ не есть собственное значение лапласиана для скалярных полей с соответствующей пространственной квазипериодичностью (эти собственные значения равны −|n + q₀|², где n – произвольный вектор с целочисленными компонентами). В дальнейшем полагаем, что λ₀ удовлетворяет этому условию (в частности, оно выполнено, когда λ₀ не действительно или λ₀ ≥ 0 и поэтому выполнено модифицированное условие соленоидальности (10) для j = 0.

Применяя теорему об альтернативе Фредгольма, можно доказать, что уравнения

$\left({\mathcal{D}}_0-{\lambda }_0\right)b=f и \left({\mathcal{D}}_0^{*}-\overline{{\lambda }_0}\right)b^{*}=f^{*}$

имеют решения тогда и только тогда, когда

$<<f,b_0^{*}>>=0$, (13.1)

$<<f^{*},b_0>>=0$, (13.2)

соответственно. При этом решение b определяется с точностью до произвольного слагаемого, пропорционального b₀, а b* с точностью до произвольного слагаемого, пропорционального $b_0^{*}$.

УРАВНЕНИЯ В ПОРЯДКЕ ϑ

В порядке ϑ мы получаем из (5), (6), (8) и (7) следующую систему уравнений:

$\left({\mathcal{D}}_0-{\lambda }_0\right)b_1+2{\eta }_0\left(i\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0-\left(q_0\cdot q_1\right)b_0\right)+i{q}_1\times \left(V\times b_0\right)={\lambda }_1{b}_0$, (14.1)

$\left({\mathcal{D}}_0^{*}-\overline{{\lambda }_0}\right)b_1^{*}+2{\eta }_0\left(i\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0^{*}-\left(q_0\cdot q_1\right)b_0^{*}\right)-V\times \left(i{q}_1\times b_0^{*}\right)={\overline{\lambda }}_1{b}_0^{*}$, (14.2)

$2{\eta }_0\left(q_1+\mathrm{Im}\sum _m<\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{b_1^{*}}+\frac{\partial b_1}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}>e_m\right)+\mathrm{Im}<\left(V\times b_0\right)\times \overline{b_1^{*}}+\left(V\times b_1\right)\times \overline{b_0^{*}}>=0$, (14.3)

$<<b_0,b_1^{*}>>+<<b_1,b_0^{*}>>=0$. (14.4)

Скалярно умножив (14.1) на $b_0^{*}$ и (14.2) на b₀ найдем:

${\lambda }_1=<<2i{\eta }_0\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0+i{q}_1\times \left(V\times b_0\right), b_0^{*}>>-2{\eta }_0\left(q_0\cdot q_1\right)$, (15.1)

$\overline{{\lambda }_1}=<<2i{\eta }_0\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0^{*}-V\times \left(i{q}_1\times b_0^{*}\right), b_0>>-2{\eta }_0\left(q_0\cdot q_1\right)$. (15.2)

Поскольку, как легко проверить, для любых полей b₀ и $b_0^{*}$ правые части (15) – взаимно комплексно-сопряженные числа, два равенства (15) эквивалентны. Скалярно умножив (11.3) на q₁ и сложив результат с (15.1), находим, что Reλ₁ =0.

После подстановки (15) в (14.1) и (14.2) находим, что неоднородные члены этих уравнений являются линейными функциями компонент $q_1^m$ вектора q₁. Поэтому решения уравнений (14.1) и (14.2) имеют вид:

$b_1=\sum _m{\zeta }_{1m}{q}_1^m+{\mu }_1{b}_0, b_1^{*}=\sum _m{\zeta }_{1m}^{*}{q}_1^m+{\mu }_1^{*}{b}_0^{*}$, (16)

где ζ_1m и ${\zeta }_{1m}^{*}$ – решения вспомогательных задач:

$\left({\mathcal{D}}_0-{\lambda }_0\right){\zeta }_{1m}+2i{\eta }_0\partial b_0/\partial x_m+i{e}_m\times \left(V\times b_0\right)-<<2i{\eta }_0\partial b_0/\partial x_m+i{e}_m\times \left(V\times b_0\right),b_0^{*}>>b_0=0$,

$\left({\mathcal{D}}_0^{*}-\overline{{\lambda }_0}\right){\zeta }_{1m}^{*}+2i{\eta }_0\partial b_0^{*}/\partial x_m-V\times \left(i{e}_m\times b_0^{*}\right)-<<2i{\eta }_0\partial b_0^{*}/\partial x_m-V\times \left(i{e}_m\times b_0^{*}\right),b_0>>b_0^{*}=0$

(проверка выполнения условий разрешимости (13) для этих уравнений тривиальна), а μ₁ и ${\mu }_1^{*}$ – произвольные константы. Подставляя выражения (16) в (14.4), находим:

$\overline{{\mu }_1^{*}}+{\mu }_1=-\sum _m\left(<<b_0, {\zeta }_{1m}^{*}>>+<<{\zeta }_{1m}, b_0^{*}>>\right)q_1^m$. (17)

Поскольку нет необходимости нормировать собственные функции b и b* в отдельности, других ограничений на константы μ₁ и ${\mu }_1^{*}$ нет. Однако в дальнейшем алгебра несколько упрощается, если выбрать μ₁ из условия

$<<b_1, b_0^{*}>>=0$; (18.1)

тогда ${\mu }_1^{*}$ находим из соотношения (17), а (14.4) влечет

$<<b_0, b_1^{*}>>=0$. (18.2)

Подстановка выражений (16) и (17) в уравнение (14.3) приводит его к виду однородного уравнения

$\mathcal{E}{q}_1=0$. (19)

для линейного оператора $\mathcal{E}:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$. (Отметим, что константы μ₁ и ${\mu }_1^{*}$ входят в него только в виде суммы $\overline{{\mu }_1^{*}}+{\mu }_1$, которая определяется соотношением (17).) Это уравнение имеет решение q₁ ≠ 0, если определитель матрицы (которую мы также обозначим $\mathcal{E}$) этого оператора равен 0. Коэффициенты этой матрицы определяются параметром η₀ и полями b₀, $b_0^{*}$, ζ_1m и ${\zeta }_{1m}^{*}$, каждое из которых также зависит от η₀ и с точностью до этой зависимости полностью определено. Поэтому det $\mathcal{E}$ = 0 – уравнение относительно критической молекулярной магнитной диффузии η₀, при которой от семейства наименее устойчивых нейтральных мод для ненулевого полуцелого блоховского вектора q₀ ответвляется рассматриваемое семейство.

В случае общего положения ядро оператора $\mathcal{E}$ одномерно, что мы для простоты в дальнейшем предполагаем. Это позволяет найти из (19) направление вектора q₁. Тогда условие разрешимости уравнения $\mathcal{E}q=f$ состоит в ортогональности f вектору из ядра оператора, сопряженного к $\mathcal{E}$, а решение q определяется с точностью до слагаемого, пропорционального q₁.

Таким образом, система уравнений (14) полностью решена, и найдены величина критической диффузии η₀, при которой происходит ветвление, и вторые члены разложений (9): поля b₁ и $b_1^{*}$ и коэффициент λ₁ (с точностью до длины вектора q₁), а также направление вектора q₁ / |q₁|.

УРАВНЕНИЯ В ПОРЯДКЕ ϑ²

В порядке ϑ² уравнения (5), (6), (8) и (7) порождают следующие уравнения:

$$\begin{gathered} \left({\mathcal{D}}_0-{\lambda }_0\right)b_2+2i{\eta }_0\left(\left(q_1\cdot \nabla \right)b_1+\left(q_2\cdot \nabla \right)b_0\right)-\left({\nabla }^2{b}_0+2i\left(q_0\cdot \nabla \right)b_0\right)+ \\ +i{q}_1\times \left(V\times b_1\right)+i{q}_2\times \left(V\times b_0\right)=\left({\lambda }_1+2{\eta }_0{q}_1\cdot q_0\right)b_1+\left({\lambda }_2+{\eta }_0\left(|q_1{|}^2+2q_2\cdot q_0\right)-|q_0{|}^2\right)b_0, \end{gathered}$$ (20.1)

$$\begin{gathered} \left({\mathcal{D}}_0^{*}-\overline{{\lambda }_0}\right)b_2^{*}+2i{\eta }_0\left(\left(q_1\cdot \nabla \right)b_1^{*}+\left(q_2\cdot \nabla \right)b_0^{*}\right)--\left({\nabla }^2{b}_0^{*}+2i\left(q_0\cdot \nabla \right)b_0^{*}\right)-iV\times \left(q_1\times b_1^{*}+q_2\times b_0^{*}\right)= \\ =\left(\overline{{\lambda }_1}+2{\eta }_0{q}_1\cdot q_0\right)b_1^{*}+\left(\overline{{\lambda }_2}+{\eta }_0\left({\left|q_1\right|}^2+2q_2\cdot q_0\right)-{\left|q_0\right|}^2\right)b_0^{*}, \end{gathered}$$ (20.2)

$$\begin{gathered} 2{\eta }_0\left(q_2+\sum _m\mathrm{Im}<\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{b_2^{*}}+\frac{\partial b_1}{\partial x_m}\cdot \overline{b_1^{*}}+\frac{\partial b_2}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}>e_m\right)-2q_0-2\sum _m\mathrm{Im}<\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}>e_m+ \\ +\mathrm{Im}<\left(V\times b_0\right)\times \overline{b_2^{*}}+\left(V\times b_1\right)\times \overline{b_1^{*}}+\left(V\times b_2\right)\times \overline{b_0^{*}}>=\mathrm{0,} \end{gathered}$$ (20.3)

$<<b_0,b_2^{*}>>+<<b_1,b_1^{*}>>+<<b_2,b_0^{*}>>=0$. (20.4)

Решение этой системы следует тому же плану, что и решение уравнений (14), полученных в порядке ϑ. Скалярно умножив (20.1) на $b_0^{*}$ и (20.2) на b₀ с учетом (18) найдем:

$$\begin{gathered} {\lambda }_2=<<2i{\eta }_0\left(\left(q_1\cdot \nabla \right)b_1+\left(q_2\cdot \nabla \right)b_0\right)-{\nabla }^2{b}_0-2i\left(q_0\cdot \nabla \right)b_0+ \\ +i{q}_1\times \left(V\times b_1\right)+i{q}_2\times \left(V\times b_0\right),b_0^{*}>>-{\eta }_0\left(|q_1{|}^2+2q_2\cdot q_0\right)+|q_0{|}^2, \end{gathered}$$ (21.1)

$$\begin{gathered} \overline{{\lambda }_2}=⟨⟨2i{\eta }_0\left(\left(q_1\cdot \nabla \right)b_1^{*}+\left(q_2\cdot \nabla \right)b_0^{*}\right)-{\nabla }^2{b}_0^{*}-2i\left(q_0\cdot \nabla \right)b_0^{*}- \\ -iV\times \left(q_1\times b_1^{*}+q_2\times b_0^{*}\right),b_0⟩⟩-{\eta }_0\left(|q_1{|}^2+2q_2\cdot q_0\right)+|q_0{|}^2. \end{gathered}$$ (21.2)

Легко проверить, что правые части (21) – взаимно комплексно-сопряженные числа, используя тождество:

$$\begin{gathered} 2{\eta }_0\left(<<\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0,b_1^{*}>>+<<b_1,\left(q_1\cdot \nabla \right)b_0^{*}>>\right)+ \\ +<-\left(q_1\times \overline{b_0^{*}}\right)\cdot \left(V\times b_1\right)+\left(q_1\times \overline{b_1^{*}}\right)\cdot \left(V\times b_0\right)>=0, \end{gathered}$$

которое получается скалярным умножением (14.1) на $b_1^{*}$ и b₁ на (14.2), и вычитанием одного произведения из другого. Действительную часть Reλ₂ можно упростить, скалярно умножив (11.3) на q₂ и сложив результат с (21.1):

Поскольку полученное выражение не обязательно равно нулю, по-видимому, этот член вносит вклад в разложение инкремента роста моды (на графиках из работы [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] отрезки магнитной диффузии  на которых видно характерное поведение ответвляющихся семейств, весьма коротки, и ни на одном из них не удается различить, касается ли график инкрементов роста в точке ветвления η₀ графика инкрементов мод из семейства, от которого происходит ответвление, или касательные к этим графикам в точке η₀ для такой пары семейств разные).

Зависимость полученного выражения (21.1) для λ₂ от q₂ линейная. После его подстановки в уравнения (20.1) и (20.2) условия разрешимости этих уравнений оказываются выполнены. Преобразованные уравнения (20.1) и (20.2) также линейны по q₂. Их решения имеют вид:

$b_2=\sum _m{\zeta }_{1m}{q}_2^m+{\zeta }_2+{\mu }_2{b}_0, b_2^{*}=\sum _m{\zeta }_{1m}^{*}{q}_2^m+{\zeta }_2^{*}+{\mu }_2^{*}{b}_0^{*}$, (22)

где функции ζ₂ и ${\zeta }_2^{*}$ не зависят от q₂ и могут быть найдены как решения вспомогательных задач, которые легко вывести из указанных преобразованных уравнений, а μ₂ и ${\mu }_2^{*}$ – произвольные константы.

Подстановка (22) в (20.4) позволяет найти:

${\mu }_2+\overline{{\mu }_2^{*}}=-\sum _m<{\zeta }_{1m}\cdot \overline{b_0^{*}}+b_0\cdot \overline{{\zeta }_{1m}^{*}}>q_2^m+\mu ,\mu =-<{\zeta }_2\cdot \overline{b_0^{*}}+b_0\cdot \overline{{\zeta }_2^{*}}+b_1\cdot \overline{b_1^{*}}>$, (23)

Как и коэффициенты μ₁ и ${\mu }_1^{*}$ индивидуальные величины μ₂ и ${\mu }_2^{*}$ определяют нормировку мод b и b* и потому не имеют принципиальной важности (хотя в дальнейшем их можно выбрать оптимально для упрощения выкладок при исследовании уравнений в старших порядках разложения по ϑ).

Подстановка выражений (22) и (23) в уравнение (20.3) преобразует его к виду:

$$\begin{gathered} \mathcal{E}{q}_2+2{\eta }_0\sum _m\mathrm{Im}<\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{{\zeta }_2^{*}}+\frac{\partial b_1}{\partial x_m}\cdot \overline{b_1^{*}}+\frac{\partial {\zeta }_2}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}+\left(\mu -\frac{1}{{\eta }_0}\right)\frac{\partial b_0}{\partial x_m}\cdot \overline{b_0^{*}}>e_m-2q_0+ \\ +\mathrm{Im}<\left(V\cdot \left(\overline{{\zeta }_2^{*}}-\left(b_0\cdot \overline{{\zeta }_2^{*}}\right)\right)\overline{b_0^{*}}\right)b_0+\left({\zeta }_2-\left({\zeta }_2\cdot \overline{b_0^{*}}\right)b_0\right)\left(V\cdot \overline{b_0^{*}}\right)+\left(V\cdot \overline{b_1^{*}}\right)b_1-\left(V\cdot \overline{b_0^{*}}\right)\left(b_1\cdot \overline{b_1^{*}}\right)b_0>=0. \end{gathered}$$ (24)

Как обсуждено в предыдущем разделе, это уравнение имеет решение, если его неоднородная часть ортогональна ядру оператора, сопряженного к $\mathcal{E}$. Поля b₁, $b_1^{*}$, а также ζ₂ и ${\zeta }_2^{*}$ через которые выражается неоднородная часть (24), зависят от еще не найденной длины вектора q₁ которую определяем из этого условия разрешимости (24). После удовлетворения этого условия определяем из (24) вектор q₂ с точностью до произвольного слагаемого, пропорционального q₁.

На этом решение системы (20) закончено. Полностью найдены все третьи (порядка ϑ² члены асимптотических разложений (9), за исключением вектора q₂, определенного с точностью до произвольного слагаемого, пропорционального q₁.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Мы изучили найденные численно в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023b] случаи ответвления семейства наименее устойчивых блоховских магнитных мод (4) от аналогичного семейства наименее устойчивых мод, отвечающего полуцелому блоховскому вектору q ≠ 0. Вычислены первые члены асимптотических разложений (9) в степенные ряды по параметру ϑ =|η₀ − η|^1/2 этих мод, ассоциированных с ними собственных значений оператора магнитной индукции и векторов q, отвечающих максимальным по q инкрементам роста мод, в ответвляющемся семействе. Следуя описанному выше плану, несложно найти решение систем уравнений для коэффициентов этих разложений произвольных высших порядков ϑ^j для j > 2, однако ввиду отсутствия в настоящий момент практического интереса в построении полного разложения и определенной алгебраической громоздкости получаемых в процессе решения выражений, в данной работе это не сделано.

Внешне графики оптимальных векторов q в ответвляющихся семействах не сильно отличаются для случая q₀ = 0 рассмотренного в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023c], и для случая полуцелого q₀ ≠ 0 рассмотренного здесь, и магнитные моды в ответвляющихся семействах и их собственные значения допускают асимптотическое разложение по одному и тому же параметру ϑ =|η₀ − η|^1/2. Однако в деталях свойства ответвляющихся семейств в этих двух случаях существенно разные:

1. Тогда как рассмотренные здесь разложения для q₀ ≠ 0 одинаковы в случаях центрально-симметричных течений и несимметричных, разложения для q₀ = 0 в этих случаях существенно разные. Это объясняется тем, что для ненулевого блоховского вектора q, в отличие от случая короткомасштабных (q = 0) мод, из центральной симметрии течения для модифицированного оператора магнитной индукции (12) не следует инвариантность подпространств центрально-симметричных и центрально-антисимметричных полей.
2. Как было показано в работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023c], в задаче кинематического динамо для центрально-симметричных течений при ответвлении от семейства наименее устойчивых короткомасштабных нейтральных (т.е. принадлежащих ядру оператора магнитной индукции) магнитных мод, точка ветвления (критическая молекулярная магнитная диффузия) определяется из условия потери устойчивости к действию вихревой магнитной диффузии, т.е. в точке появления у оператора вихревой магнитной диффузии собственного значения с нулевой действительной частью. В противоположность этому, в анализе для полуцелого q₀ ≠ 0, приведенном здесь, операторы магнитного α-эффекта или вихревой магнитной диффузии (или аналогичные им) не возникают, т.е. ветвление не связано с этими явлениями, а точка ветвления определяется появлением нетривиального ядра у оператора $\mathcal{E}$, генетически связанного с необходимым условием (1) экстремальности инкрементов мод, составляющих ответвляющееся семейство. С одной стороны, это следствие того обстоятельства, что оператор магнитной индукции $\mathcal{M}$ (2) имеет как минимум трехмерное ядро [Арнольд и др., 1982], а при исследовании ответвления от семейства нейтральных короткомасштабных магнитных мод он играет ту же роль, что и оператор ${\mathcal{D}}_0-{\lambda }_0$ (имеющий одномерное ядро) в настоящей работе. С другой, приведенное нами разложение показывает, что многообразие физических явлений, связанных с многомасштабностью МГД системы, не сводится к явлениям α-эффекта или вихревой (турбулентной) диффузии (впрочем, в рассматриваемом здесь случае отношение пространственных масштабов порядка |q₀|⁻¹ ≤ 2 не велико).
3. В работе [Chertovskih, Zheligovsky, 2023c] было установлено, что при ответвлении от семейства наименее устойчивых короткомасштабных нейтральных магнитных мод разложение собственных значений для магнитных мод начинается с чисто мнимого слагаемого. Построенные здесь разложения также обладают этим свойством: первый член разложения собственного значения равен собственному значению моды в точке ветвления в семействе, от которого происходит ответвление, а следующий чисто мнимый. Однако разложение инкрементов мод в ответвляющемся семействе в случае q₀ = 0 начинается с члена порядка ϑ⁴ в противоположность этому в рассматриваемом здесь случае первый ненулевой субдоминирующий член разложения инкрементов (в общем случае) порядка ϑ².

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-17-00114, https://rscf.ru/project/22-17-00114/.

作者简介

V. Zheligovsky

编辑信件的主要联系方式.
Email: vlad@mitp.ru
俄罗斯联邦, Moscow, 117997

参考

补充文件