Предобусловливатель быстрого нормального разложения для притягивающих связанных нелинейных уравнений Шредингера с дробным лапласианом

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Линейная консервативная разностная схема применяется для дискретизации притягивающих связанных нелинейных уравнений Шредингера с дробным лапласианом. В этом случае возникают сложные симметричные линейные системы, матрицы которых неопределенны и теплиц-плюс-диагональны. Стандартные быстрые методы прямого решения или итераций с использованием предобусловливателя не применимы для таких систем. Предлагается новый итерационный метод, основанный на нормальном разложении эквивалентной вещественной блочной формы линейных систем. Доказывается безусловная сходимость, определяется квазиоптимальный параметр итерации. Предобусловливатель для данного метода получается естественным путем, он строится и эффективно реализуется с помощью быстрого преобразования Фурье. Теоретический анализ показывает, что собственные значения предобусловленной матрицы системы тесно кластеризованы. Численные эксперименты показывают, что новый предобусловливатель значительно ускоряет скорость сходимости итерационных методов подпространства Крылова. В частности, поведение сходимости соответствующего предобусловленного итерационного метода минимальной невязки не зависит от размера пространственной сетки и почти нечувствительно к дробному порядку. Более того, линейно неявная консервативная разностная схема в этом случае сохраняет массу и энергию с заданной точностью.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Я. Ченг

Колледж математики Нанкинского ун-та аэронавтики и космонавтики

Автор, ответственный за переписку.
Email: lyandcxh@nuaa.edu.cn
Китай, Нанкин

Ш. Янг

Колледж математики Нанкинского ун-та аэронавтики и космонавтики

Email: lyandcxh@nuaa.edu.cn
Китай, Нанкин

И. А. Матвеев

ФИЦ ИУ РАН

Email: matveev@frccsc.ru
Россия, Москва

Список литературы

  1. Feynman R.P. Statistical Mechanics: A Set of Lectures. 1st edn. CRC Press, 1998.
  2. Feynman R.P., Hibbs A.R., Styer D.F. Quantum Mechanics and Path Integrals. Dover Publications, 2010.
  3. Laskin N. Fractional Quantum Mechanics and Levy Path Integrals // Phys. Lett. A. 2000. V. 268. P. 298–305.
  4. Laskin N. Fractional Quantum Mechanics // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 3135–3145.
  5. Guo X.Y., Xu M.Y. Some Physical Applications of Fractional Schroedinger Equation // J. Math. Phys. 2006. V. 47. P. 082104.
  6. Li M., Gu X.M., Huang C.M. et al. A Fast Linearized Conservative Finite Element Method for the Strongly Coupled Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2018. V. 358. P. 256–282.
  7. Li M., Huang C.M., Wang P.D. Galerkin Finite Element Method for Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // Numer. Algorithms. 2017. V. 74. P. 499–525.
  8. Duo S.W., Zhang Y.Z. Mass-conservative Fourier Spectral Methods for Solving the Fractional Nonlinear Schroedinger Equation // Comput. Math. Appl. 2016. V. 71. P. 2257–2271.
  9. Wang Y., Mei L.Q., Li Q. et al. Split-step Spectral Galerkin Method for the Two-dimensional Nonlinear Space-fractional Schroedinger Equation // Appl. Numer. Math. 2019. V. 136. P. 257–278.
  10. Amore P., Fernandez F.M., Hofmann C.P. et al. Collocation Method for Fractional Quantum Mechanics // J. Math. Phys. 2010. V. 51. P. 122101.
  11. Bhrawy A.H., Zaky M.A. An Improved Collocation Method for Multi-dimensional Space-time Variable-order Fractional Schroedinger Equations // Appl. Numer. Math. 2017. V. 111. P. 197–218.
  12. Wang D.L., Xiao A.G., Yang W. Crank-Nicolson Difference Scheme for the Coupled Nonlinear Schroedinger Equations with the Riesz Space Fractional Derivative // J. Comput. Phys. 2013. V. 242. P. 670–681.
  13. Wang D.L., Xiao A.G., Yang W. A Linearly Implicit Conservative Difference Scheme for the Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2014. V. 272. P. 644–655.
  14. Wang P.D., Huang C.M. An Energy Conservative Difference Scheme for the Nonlinear Fractional Schroedinger Equations // J. Comput. Phys. 2015. V. 293. P. 238–251.
  15. Zhang R.P., Zhang Y.T., Wang Z. et al. A Conservative Numerical Method for the Fractional Nonlinear Schroedinger Equation in Two Dimensions // Sci. China Math. 2019. V. 62. P. 1997–2014.
  16. Zhao X., Sun Z.Z., Hao Z.P. A Fourth-order Compact ADI Scheme for Two-dimensional Nonlinear Space Fractional Schroedinger Equation // SIAM J. Sci. Comput. 2014. V. 36. P. A2865–A2886.
  17. Laskin N. Fractional Schroedinger Equation // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 056108.
  18. Riesz M. Lintegrale de Riemann-Liouville et le Probleme de Cauchy // Acta Math. 1949. V. 81. P. 1–222.
  19. Guo B.L., Han Y.Q., Xin J. Existence of the Global Smooth Solution to the Period Boundary Value Problem of Fractional Nonlinear Schroedinger Equation // Appl. Math. Comput. 2008. V. 204. P. 468–477.
  20. Luchko Y. Fractional Schroedinger Equation for a Particle Moving in a Potential Well // J. Math. Phys. 2013. V. 54. P. 012111.
  21. Bao W.Z., Cai Y.Y. Mathematical Theory and Numerical Methods for Bose-Einstein Condensation // arXiv preprint. 2012. arXiv:1212.5341
  22. Carr L.D., Clark C.W., Reinhardt W.P. Stationary Solutions of the One Dimensional Nonlinear Schroedinger Equation I. Case of Repulsive Nonlinearity // Phys. Rev. A. 2000. V. 62. P. 063610.
  23. Jin S., Levermore C.D., McLaughlin D.W. The Semiclassical Limit of the Defocusing NLS Hierarchy // Comm. Pure Appl. Math. 1999. V. 52. P. 613–654.
  24. Bao W.Z., Jaksch D. An Explicit Unconditionally Stable Numerical Method for Solving Damped Nonlinear Schroedinger Equations with a Focusing Nonlinearity // SIAM J. Numer. Anal. 2003. V. 41. P. 1406–1426.
  25. Saito H., Ueda M. Intermittent Implosion and Pattern Formation of Trapped Bose-Einstein Condensates with an Attractive Interaction // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86. P. 1406–1409.
  26. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On HSS-like Iteration Method for the Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations // Appl. Math. Comput. 2015. V. 271. P. 482–488.
  27. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On Partially Inexact HSS Iteration Methods for the Complex Symmetric Linear Systems in Space Fractional CNLS Equations // J. Comput. Appl. Math. 2017. V. 317. P. 128–136.
  28. Ran Y.H., Wang J.G., Wang D.L. On Preconditioners Based on HSS for the Space Fractional CNLS Equations // East Asian J. Appl. Math. 2017. V. 7. P. 70–81.
  29. Wang Z.Q., Yin J.F., Dou Q.Y. Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Iteration Methods for Fractional Nonlinear Schroedinger Equations // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 367. P. 112420.
  30. Zhang F.Y., Yang X. Diagonal and Normal with Toeplitz-block Splitting Iteration Method for Space Fractional Coupled Nonlinear Schroedinger Equations with Repulsive Nonlinearities // arXiv preprint. 2023. arXiv: 2039.11106
  31. Bai Z.Z., Golub G.H., Ng M.K. Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Methods for Non-Hermitian Positive Definite Linear Systems // SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2003. V. 24. P. 603–626.
  32. Bai Z.Z., Golub G.H., Pan J.Y. Preconditioned Hermitian and Skew-Hermitian Splitting Methods for Non-Hermitian Positive Semidefinite Linear Systems // Numer. Math. 2004. V. 98. P. 1–32.
  33. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. Modified HSS Iteration Methods for a Class of Complex Symmetric Linear Systems // Computing. 2010. V. 87. P. 93–111.
  34. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. On Preconditioned MHSS Iteration Methods for Complex Symmetric Linear Systems // Numer. Algorithms. 2011. V. 56. P. 297–317.
  35. Bai Z.Z., Benzi M., Chen F. et al. Preconditioned MHSS Iteration Methods for a Class of Block Two-by-two Linear Systems with Applications to Distributed Control Problems // IMA J. Numer. Anal. 2013. V. 33. P. 343–369.
  36. Axelsson O., Kucherov A. Real Valued Iterative Methods for Solving Complex Symmetric Linear Systems // Numer. Linear Algebra Appl. 2000. V. 7. P. 197–218.
  37. Golub G.H., van Loan C.F. Matrix Computations // 4th Edn. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2013.
  38. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems // 2nd Edn. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.
  39. Chan R.H., Ng K.P. Fast Iterative Solvers for Toeplitz-plus-band Systems // SIAM J. Sci. Comput. 1993. V. 14. P. 1013–1019.
  40. Ng M.K., Pan J.Y. Approximate Inverse Circulant-plus-diagonal Preconditioners for Toeplitz-plus-diagonal Matrices // SIAM J. Sci. Comput. 2010. V. 32. P. 1442–1464.
  41. Bai Z.Z., Lu K.L., Pan J.Y. Diagonal and Toeplitz Splitting Iteration Methods for Diagonal-plus-Toeplitz Linear Systems from Spatial Fractional Diffusion Equations // Numer. Linear Algebra Appl. 2017. V. 24. P. e2093.
  42. Bai Z.Z., Lu K.Y. Fast Matrix Splitting Preconditioners for Higher Dimensional Spatial Fractional Diffusion Equations // J. Comput. Phys. 2020. V. 404. P. 109117.
  43. Peaceman D.W., Rachford H.H., Jr. The Numerical Solution of Parabolic and Elliptic Differential Equations // J. Soc. Ind Appl. Math. 1955. V. 3. P. 28–41.
  44. Douglas J. Alternating Direction Methods for Three Space Variables // Numer. Math. 1962. V. 4. P. 41–63.
  45. Celik C., Duman M. Crank-Nicolson Method for the Fractional Diffusion Equation with the Riesz Fractional Derivative // J. Comput. Phys. 2012. V. 231. P. 1743–1750.
  46. Ortigueira M.D. Riesz Potential Operators and Inverses via Fractional Centred Derivatives // Int. J. Math. Math. Sci. 2006. P. 1–12. (Aticle ID 48391).
  47. Chan R.H., Strang G. Toeplitz Equations by Conjugate Gradients with Circulant Preconditioner // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1989. V. 10. P. 104–119.
  48. Chan T. An Optimal Circulant Preconditioner for Toeplitz Systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1988. V. 9. P. 766–771.
  49. Chan R.H., Ng M.K. Conjugate Gradient Methods for Toeplitz Systems // SIAM Rev. 1996. V. 38. P. 427–482.
  50. Bauer F.L., Fike C.T. Norms and Exclusion Theorems // Numer. Math. 1960. V. 2. P. 137–141.
  51. Chan R.H., Jin X.Q. An Introduction to Iterative Toeplitz Solvers. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2007.
  52. Bebendorf M. Hierarchical Matrices. Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.
  53. Ho K.L., Ying L. Hierarchical Interpolative Factorization for Elliptic Operators: Differential Equations // Commun. Pur. Appl. Math. 2016. V. 69. P. 1415–1451.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Формула

Скачать (48KB)
Метаданные
3. Рис. 1. Кривые IT от параметра ω ∈ (0, 8] CNAS-GMRES при α = 1.1 : 0.2 : 1.9, M = 6400, N = 200

Скачать (192KB)
Метаданные
4. Рис. 2. Кривые IT CNAS-GMRES от размера пространственной сетки M при α = 1.1 : 0.2 : 1.9, N = 200

Скачать (117KB)
Метаданные
5. Рис. 3. Распределение собственных значений ℛ, ℱNASS−1ℛ и ℱCNAS−1ℛ, при α = 1.1, M = 1600, N = 200 (слева) и M = 3200, N = 200 (справа)

Скачать (126KB)
Метаданные
6. Рис. 4. Распределение собственных значений ℛ, ℱNASS−1ℛ и ℱCNAS−1ℛ, при α = 1.5, M = 1600,N = 200 (слева) и M = 3200, N = 200 (справа)

Скачать (111KB)
Метаданные
7. Рис. 5. Распределение собственных значений ℛ, ℱNASS−1ℛ и ℱCNAS−1ℛ, при α = 1.9, M = 1600, N = 200 (слева) и M = 3200, N = 200 (справа)

Скачать (101KB)
Метаданные
8. Рис. 6. Численное решение (слева) и его ошибка (справа) дробного пространственного уравнения DNLS (5.1) при α = 1.1, M = 800, N = 200

Скачать (220KB)
Метаданные
9. Рис. 7. Численное решение (слева) и его ошибка (справа) дробного пространственного уравнения DNLS (5.1) при α = 1.5, M = 800, N = 200

Скачать (228KB)
Метаданные
10. Рис. 8. Численное решение (слева) и его ошибка (справа) дробного пространственного уравнения DNLS (5.1) при α = 1.9, M = 800, N = 200

Скачать (247KB)
Метаданные
11. Рис. 9. Численное решение (слева) и его ошибка (справа) дробного пространственного уравнения DNLS (5.1) при α = 2, M = 800, N = 200

Скачать (242KB)
Метаданные
12. Рис. 10. Относительные погрешности дискретной энергии, т.е. |(En −E0)∕E0|, при h = 0.2, τ = 0.001

Скачать (189KB)
Метаданные
13. Рис. 11. Кривые IT CNAS-GMRES от размера пространственной сетки M при α = 1.1 : 0.2 : 1.9, N = 200

Скачать (134KB)
Метаданные
14. Рис. 12. Кривые IT NASS-GMRES, CNAS-GMRES и GMRES от нелинейного термопараметра ρ при α = 1.1 : 0.4 : 1.9, M = 1600, N = 200

Скачать (242KB)
Метаданные
15. Рис. 13. Относительные погрешности дискретной энергии, т.е. |(En −E0)∕E0|, при h = 0.1, τ = 0.01

Скачать (207KB)
Метаданные
16. Рис. 14. Численные решения (слева) и их ошибки (справа) дробно-пространственных уравнений CNLS (5.3) при α = 1.1, M = 800, N = 600

Скачать (154KB)
Метаданные
17. Рис. 15. Численные решения (слева) и их ошибки (справа) дробно-пространственных уравнений CNLS (5.3) при α = 1.5, M = 800, N = 600

Скачать (163KB)
Метаданные
18. Рис. 16. Численные решения (слева) и их ошибки (справа) дробно-пространственных уравнений CNLS (5.3) при α = 1.9, M = 800, N = 600

Скачать (189KB)
Метаданные
19. Рис. 17. Численные решения (слева) и их ошибки (справа) дробно-пространственных уравнений CNLS (5.3) при α = 2, M = 800, N = 600

Скачать (231KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024