Sensitivity of the ocean circulation model to the k–omega vertical turbulence parametrization

Cover Page

Abstract


Ocean general circulation model (OGCM) of the INM RAS with embedded k – ω turbulent model is developed. The solution of the k – ω model equations depends on the frequencies of buoyancy and velocity shift which are generated by the OGCM. The coefficients of vertical turbulence in OGCM depend on k and omega. The numerical algorithms of both models are based on the splitting method for physical processes. The model equations are split into two stages, describing the three-dimensional transport-diffusion of the kinetic energy of turbulence and frequency and their local generation-dissipation. The system of ordinary differential equations arising at the second stage is solved analytically, which ensures the efficiency of the algorithm. Analytical solution also written for the vertical turbulence coefficient equation. The model is used to study the sensitivity of the model circulation of the North Atlantic–Arctic Ocean to variations in the parameters of vertical turbulence. Experiments show that varying the coefficients of the analytical model solution can improve the adequacy of the simulation.


1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время интенсивно развиваются численные модели общей циркуляции океана (МОЦО), основанные на примитивных уравнениях. Модели применяются для изучения изменчивости климатической структуры гидрофизических полей и для их гидродинамического прогноза. Кардинальными направлениями повышения адекватности моделей являются три: увеличение пространственного разрешения, улучшение физических параметризаций и ассимиляция данных наблюдений [1–4]. В этой работе мы описываем развитие МОЦО ИВМ РАН по пути усовершенствования параметризации вертикального турбулентного обмена.

Модель представлена в эволюционной форме, а алгоритм ее решения основан на методе многокомпонентного расщепления [1, 2]. Основным является расщепление по физическим процессам — это внешний контур расщепления модели [1, 2]. Решение новой модельной параметризации также проводится в рамках метода расщепления. Встраиваемая в МОЦО новая подсистема записывается в эволюционной форме, а ее оператор представляется в виде суммы подоператоров более простой структуры [1, 2]. Этому условию удовлетворяет рассматриваемая в работе k–ω модель вертикальной турбулентности.

Важным фактором развития МОЦО является улучшение физического описания вертикального турбулентного обмена импульсом, теплом и солью. По сравнению с крупномасштабной циркуляцией пространственно-временные масштабы вертикального турбулентного обмена значительно меньше: порядка 1–10 км по горизонтали, 1–10 м по вертикали и от минут до нескольких часов по времени. В рамках традиционной модели, основанной на «примитивных» уравнениях, это — подсеточный процесс, подлежащий параметризации. Параметризация подсеточных процессов остается одной из актуальнейших задач моделирования и прогноза гидрофизических и метеорологических полей [4–14].

Часто турбулентное перемешивание описывают в МОЦО оператором второго порядка, с коэффициентами турбулентного обмена импульсом νu, теплом νT и солью νS [1–5]. Для определения коэффициентов обмена используются модели, основанные на двух уравнениях [7]. Первое уравнение описывает поведение кинетической энергии турбулентности k (КЭТ). Второе уравнение записывается либо для масштаба турбулентности l (k – kl-замыкание), либо для скорости удельной диссипации КЭТ ε (k – ε-замыкание), либо для частоты ω (k – ω-замыкание). Характеристики l, ε, ω связаны алгебраическими соотношениями. Эти модели описывают развитую турбулентность и разделяют слои с развитой и слаборазвитой перемежающейся турбулентностью. Перемешивание в слоях слаборазвитой турбулентности осуществляется за счет двойной диффузии, разрушения внутренних и приливных волн и других эффектов [8, 9].

В данной работе развивается эффективный алгоритм решения k – ω уравнений турбулентности, встроенных в МОЦО. Уравнения МОЦО и k – ω модели решаются с помощью единого метода многокомпонентного расщепления. Основным или внешним циклом является расщепление по физическим процессам. Выбор k – ω модели турбулентности обусловлен наличием в ее численном решении эффективного аналитического алгоритма на втором этапе расщепления. Цель данной работы — описать детали алгоритма и результаты его использования для повышения адекватности моделирования крупномасштабных полей Северной Атлантики и Северного Ледовитого океана.

2. ОСОБЕННОСТИ k – ω МОДЕЛИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА

Сравним особенности часто используемой для параметризации вертикального турбулентного обмена k – ε модели [7, 9], с особенностями k – ω модели. Первая основана на системе двух уравнений для кинетической энергии турбулентности (КЭТ) k и ее диссипации ε. Вторая — на уравнениях для КЭТ и ее частоты диссипации ω. Запишем уравнения k – ε и k – ω моделей в σ-системе координат [7] (предполагая k ≠ 0, ε ≠ 0):

 (1)

 (2)

Здесь   — геопотенциальная вертикальная координата, уровень и глубина океана; G, N — частоты сдвига скорости и плавучести, рассчитываемые в МОЦО (N 2 > 0 соответствует устойчивой стратификации)

,

;

 – оператор горизонтальной диффузии, νρ — коэффициент вертикального турбулентного обмена потенциальной плотностью; σk, σε, σω — безразмерные турбулентные числа Шмидта для k, ε и ω.

Для функций и параметров моделей турбулентности выполняются соотношения:

 

 

 

 (3)

где l — характерный масштаб турбулентных возмущений,  — безразмерные функции устойчивости для вектора и скаляра. Значения параметров  можно найти в [7]:

 

 

 (4)

К (1)–(2) присоединяются соответствующие граничные и начальные условия [13].

Учитывая (3), системы (1), (2) можно переписать в виде

 (5)

 (6)

Видно, что в отличие от k – ε, система k – ω уравнений (6) имеет более простой вид, поскольку уравнение для ω не зависит от k!

Применим к (5), (6) метод расщепления по физическим процессам. Процедуру решения уравнений расщепим на два этапа, описывающих процессы переноса–диффузии и генерации–диссипации. На каждом этапе по времени решаются более простые расщепленные подсистемы, полученное на текущем этапе решение используется в качестве начального условия на последующем этапе.

Процессы переноса–диффузии и генерации–диссипации имеют разные характерные времена. Перенос–диффузия — медленная трехмерная эволюция полей k, ε, ω, аналогичная эволюции фоновых полей МОЦО. Генерация–диссипация — быстрый локальный по пространству процесс, описывающий динамику турбулентных возмущений.

На этапе трехмерного переноса–диффузии имеем:

 

 

 (7)

На верхней границе океана, при σ = 0, поставим условия:

 

 (8)

где  — скорость трения в воде у поверхности океана, cg — безразмерный параметр, зависящий от ветра и волн (параметр ветровой генерации):  [11] или  [12], ,  — «потоки диссипации и частоты диссипации» на поверхности. Об одном способе задания «потока диссипации» дана информация на с. 22–23 работы [18]. В экспериментах далее мы полагали  = 0.

На дне океана, при σ = 1, поставим условия отсутствия потоков k, ε и ω по нормали.

На этапе генерации–диссипации имеем уравнения:

(9)

 (10)

 (11)

 (12)

3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ k – ω МОДЕЛИ НА ЭТАПЕ ГЕНЕРАЦИИ–ДИССИПАЦИИ

Перепишем (11), (12) в виде

 (13)

 (14)

 (15)

 

(16)

 (17)

Отметим, что B > 0, C > 0, D > 0, в то время как A может менять знак. Предположим, что A, B, C, D не зависят от времени на временном шаге модели. Тогда, поскольку уравнение для ω не зависит от k, его несложно решить аналитически, а затем найти из (13) k. Аналитическое решение (14), (13) имеет вид:

 

 

или

 (18)

 (19)

Здесь

 

 

 

ω0 и k0 — значения в начальный момент времени на этапе генерации–диссипации.

Отметим, что для коэффициентов A, B с учетом (3) можно использовать две формы записи (см. (15), (16)):

 (20)

или

 (21)

Алгоритм, использующий аналитическое решение (18), (19), мы называем «алгоритмом расщепления турбулентности» (АРТ) [10, 13, 14].

Важными факторами повышения адекватности моделирования крупномасштабной циркуляции океана является подбор модельных параметров и использование в расчетах данных наблюдений. В наших работах [13, 14] изучена возможность повышения адекватности МОЦО с помощью учета в A и B данных наблюдений о среднегодовой климатической частоте плавучести. С этой точки зрения алгоритм является достаточно гибким. Во-первых, он позволяет варьировать A и B, изменяя функции устойчивости в (20) или число Прандтля в (21), сохраняя простоту и устойчивость вычислений. Во-вторых, — решать уравнения турбулентности с большим шагом по времени, равным шагу МОЦО. В-третьих, — алгоритм можно эффективно использовать при решении задач четырехмерной вариационной ассимиляции данных наблюдений [15, 16].

Замечание 1. Используя соотношение   можно выписать аналитическое выражения для νu. Из (13), (14) следует уравнение для νu

 (22)

 (23)

Уравнение (22), с точностью до коэффициентов (23), совпадает с (13), и его решение имеет вид

. (24)

Замечание 2. Из вида решений (18), (19), (24) следует, что функции ω, k и νu на этапе генерации–диссипации остаются положительными. Аналитические решения для ω, k и νu позволяют оценить их характерную изменчивость по времени. Например, переписывая (18), имеем:

 

При  функция  а при  ее значение будет  Отсюда характерную изменчивость ω, или время стационирования решения, можно оценить как

 

Наши численные эксперименты показывают, что характерное время процессов вертикальной турбулентности в верхнем перемешанном слое Северной Атлантики в зимний период изменяется от 2–3 ч в тропической зоне до 1–2 мин в средних широтах.

4. ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ ОБЩЕЙ ЦИРКУЛЯЦИИ ОКЕАНА И k – ω ПАРАМЕТРИЗАЦИИ

Модель общей циркуляции океана ИВМ РАН формулируется в сигма-системе координат со свободной поверхностью [1, 2, 15]. Она основана на примитивных уравнениях, записанных в приближениях Буссинеска и гидростатики. Уравнения записываются в биполярной ортогональной системе координат на сфере, полюсы расположены на географическом экваторе в точках 120° з.д. и 60° в.д. [14]. Прогностическими переменными модели являются горизонтальные скорости течения, высота уровня поверхности океана  потенциальная температура и соленость. Морской лед рассчитывается по модели [17].

Система уравнений МОЦО расщепляется на две подсистемы: переносдиффузия субстанций и адаптация полей течений и плотности. При решении подсистем переносадиффузии и адаптации повторно применяется метод расщепления по физическим процессам и по отдельным пространственным координатам. Разностная аппроксимация модельных уравнений по пространству осуществляется на сетке «C». Процессы вертикального турбулентного обмена описываются в рамках «диффузионного» подхода, коэффициенты обмена рассчитываются с помощью встроенной k – ω модели. Более подробное описание МОЦО приводится в [2, 15].

Опишем основные модельные параметры. При вычислении коэффициентов вертикальной турбулентной вязкости и диффузии в МОЦО используются соотношения подобия:

 (25)

В слоях развитой турбулентности, где k > kmin = 0.03 cм22 полагается νS = νT [18]. В слоях слабой турбулентности используются фоновые значения νu = 1, νS = νT = 0.05 cм2/с.

В численных экспериментах для МОЦО шаг по времени τост равняется 1 ч. На этапе переносадиффузии уравнения k – ω модели также решаются с шагом по времени 1 ч. На этапе генерациидиссипации уравнения решаются с шагом τT, который менялся в пределах 1 мин ≤ τT ≤ 1 ч.

Для задания коэффициентов A, B используются два подхода. В первом используем представление (21) и полагаем, следуя [18], в каждом слое:

 (26)

B (21) также полагаем:

 (27)

В этом случае, объединяя (21) с (26), (27), имеем

 (28)

Коэффициенты турбулентного обмена, с учетом (3) и (26), имеют вид:

 (29)

где число Прандтля, согласно [19], есть функция от числа Ричардсона Ri = N 2/G 2 в виде:

 (30)

Во втором подходе выбираем A, B в форме (20). В этом случае, — в предположении о локальном равновесии напряжений Рейнольдса и турбулентных потоков тепла [18, 20], — функции устойчивости в каждом слое определяются в виде:

 (31)

где

 

Система (31) разрешима, поскольку ее определитель d ≠ 0. В качестве ограничений на развитие свободной конвекции и вырождение турбулентности можно использовать ограничения [18]:

 

5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Цель численных экспериментов — изучить чувствительность решения МОЦО с встроенной в нее k – ω моделью к вариациям коэффициентов A и B. Расчеты проводятся для акватории, включающей Атлантический океан к северу от 30° ю.ш., Северный Ледовитый океан и Берингово море. Открытые границы области расположены на 30° ю.ш. и в проливах Алеутских островов. Область включает также Средиземное, Черное и Балтийское моря. Шаг сетки по широте и долготе равен 0.25°. По вертикали задаются сорок сигма-уровней со сгущением к поверхности океана. Рельеф дна океана сглажен в соответствии с горизонтальным разрешением модели так, чтобы отсутствовали резкие градиенты дна. Модельная глубина ограничена минимальной величиной 10 м.

Граничные условия на поверхности океана рассчитываются с использованием атмосферных характеристик по данным CORE-2 [21]. Потоки явного и скрытого тепла, влаги и напряжение ветра рассчитываются с дискретностью в один час по данным CORE-2 о температуре воздуха, влажности, компонентах скорости ветра и давлении на уровне моря с использованием модельной температуры воды. Потоки длинноволновой и коротковолновой радиации задаются с дискретностью одни сутки [21]. Для коротковолновой радиации учитывается ее проникающая способность. Интенсивность атмосферных осадков и речного стока задается с дискретностью один месяц. Сток основных рек учитывается косвенно в граничном условии для солености.

На твердых береговых границах ставятся условия непротекания и отсутствия потоков тепла и соли. На жидких границах от поверхности до дна задаются значения температуры и солености, интерполированные на каждый шаг интегрирования по данным о их ежемесячных климатических значениях.

В качестве начальных условий выбираются климатические январские поля температуры и солености океана, отсутствие движения и морского льда [14]. В граничном условии (8) положено

Численные эксперименты проведены на период 20 лет с различными входными параметрами, указанными в табл. 1.

 

Таблица 1. Список вычислительных экспериментов

Эксперимент

Форма коэффициентов А и В (18), (19)

cg

Шаг по времени k – ω модели τT

EP40

(28)

40

1 ч

EС40

(20)

40

5 мин

EС10

(20)

10

5 мин

EС1h

(20)

40

1 ч

 

Эксперимент EP40. Коэффициенты A и B выбираются в форме (28). Параметр ветровой генерации в (8) cg = 40. Коэффициенты турбулентной диффузии и вязкости рассчитываются по (29), где число Прандтля есть функция числа Ричардсона (30). Уравнения турбулентности решаются аналитически согласно (18), (19) с шагом по времени τT = 1 ч. Заметим, что шаг модели турбулентности по времени τT равен шагу МОЦО: τT = τост.

Эксперимент EC40. Коэффициенты A и B выбираются в форме (20) с функциями устойчивости в форме (31), коэффициенты вертикальной турбулентной вязкости и диффузии в форме (25), параметр cg = 40 в (8). Уравнения турбулентности решаются аналитически согласно (18), (19) с шагом по времени τT = 5 мин.

Эксперимент EC10. Он отличается от EC40 только тем, что в граничном условии (8) cg = 10.

Эксперимент EС1h. В отличие от EC40 уравнения турбулентности решаются аналитически с шагом по времени равным шагу МОЦО: τT = τост = 1 час. Функции устойчивости (31) на расчетном интервале t j < t < t j + 1 берутся с предыдущего шага по времени t = t j. Функции устойчивости пересчитываются далее при t = t j + 1.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

Рассмотрим вопрос о чувствительности толщины верхнего квазиоднородного слоя (ВКС) к вариациям коэффициентов аналитического решения (18), (19). Сравнение проведем для периода максимального развития свободной конвекции. На рис. 1 показана толщина ВКС для Северной Атлантики и Арктики в феврале 20-го года модельного расчета, полученная в экспериментах EP40 и EС1h. Отметим, что данные распределения типичны для всех зимних периодов. Видна высокая чувствительность толщины ВКС к изменению коэффициентов A и B. Разница между двумя расчетами составляет десятки метров в средних широтах и сотни, — а в отдельных районах интенсивной конвекции до 1–2 тысяч, — метров в Лабрадорском, Норвежском и Гренландском морях. В эксперименте EP40 (рис. 1a) в Лабрадорском и Норвежском морях толщина ВКС заметно больше по сравнению с данными наблюдений [22]. В экспериментах EС1h и EС40, в которых толщины ВПС близки друг другу, этот недостаток устраняется (рис. 1б). В них более реалистично воспроизводится также толщина ВКС в восточной Атлантике. В целом, результаты EС1h и EС40 лучше соответствуют данным наблюдений [22], чем результаты EP40.

 

Рис. 1. Толщина верхнего квазиоднородного слоя в Северной Атлантике и Арктике, в феврале 20-го года модельного расчета в экспериментах EP40 (а) и EС1h (б). В пределах ВКС потенциальная плотность воды отличается от плотности на поверхности океана менее чем на 0.15 кг/м3. Координаты модельные (см. текст).

 

На рис. 2 показаны типичные для летнего периода профили температуры Т(z) и солености S(z) на Северном географическом полюсе при различных значениях параметров. Для сравнения приведены соответствующие климатические профили по данным Атласа океанов [23, 24]. Устойчивость стратификации верхнего слоя океана здесь в основном связана с распределением солености по вертикали. Летний период выбран для иллюстрации наибольшей чувствительности вертикальной структуры расчетных полей к вариациям параметра cg. В этот период зона развитой турбулентности у поверхности океана относительно невелика. Уменьшение в четыре раза притока КЭТ в океан у поверхности в эксперименте EС10 по сравнению с EС40 уменьшает перемешивание. Опресненные (за счет таяния льдов и речного стока) воды проникают на меньшую глубину, и в верхнем 15-метровом слое в EС10 воспроизводится соленость на 0.6–0.9 PSU ниже, чем в EС40. Ниже 15 м, в галоклине, из-за недостатка КЭТ и слабого перемешивания (с верхними опресненными слоями), соленость в EС10 выше, чем в EС40 (рис. 2а). Указанные причины обуславливают наличие в EС10 более теплой воды в верхнем 25-метровом слое, в июне, по сравнению с EС40 (рис. 2б). В целом S(z) и T(z) в эксперименте EС40 ближе к климатическим данным наблюдений, чем в EС10.

 

Рис. 2. (a) Соленость (в PSU), (б) температура (в °С) на Северном полюсе. Июль, слой 0–50 м. Эксперимент EС40 – черная линия и полые кружки; EС1h — черная линия, штрихи; EС10 — красная линия, кружки; EP40 – зеленая линия, квадраты; соответствующие климатические данные для июля из Атласа океанов — синяя линия, крестики [23, 24].

 

При использовании функций устойчивости в виде (31) модельное решение лучше соответствует данным наблюдений, чем при задании числа Прандтля как функции от числа Ричардсона в эксперимент EP40 (рис. 2). В эксперименте EP40, как и в EС10, приповерхностный слой более пресный, чем в EС40 и EС1h. При этом в EP40 в 20-метровом слое заметно завышаются градиент солености и температура воды, и возникает завышенная по сравнению с наблюдениями термическая инверсия (рис. 2б). В целом можно сказать, что в EP40 уменьшен приток КЭТ. Распределение КЭТ в слое 0–20 м показывает, что в эксперименте EС40 величина КЭТ равна ~30 см22, а в EP40 ~5–15 см22.

Следует особо отметить малую чувствительность вертикальной структуры верхнего слоя океана при переходе от эксперимента EС40 к EС1h (рис. 2).

Эксперименты показывают заметное изменение полей температуры, солености и плотности в верхнем слое океана при вариации коэффициентов A и B (18), (19), что отражается и в поле течений. На рис. 3а показано среднее за 20 февралей поле течений в слое 10–300 м в Субполярном циклоническом круговороте в эксперименте EС1h. Хорошо выражены все известные течения региона. Пространственное распределение течений в эксперименте EP40 имеет ту же структуру, что и в EС1h. Чтобы показать различия в скоростях между этими экспериментами, на рис. 3б приведена их разность: «EС1h минус EP40». Относительные изменения модулей течений в отдельных районах могут достигать величины 20–30%. Так, на южной периферии Северо-Атлантического течения скорости в EС1h меньше, чем в EP40. Скорости в EС1h возрастают по сравнению с EP40 на северной периферии Северо-Атлантического течения и на западной периферии Лабрадорского течения (рис. 3). В целом в экспериментах EС40 и EС1h Северо-Атлантического течение приобретает более выраженный струйный характер, чем в EP40.

 

Рис. 3. (a) Линии тока и модуль скоростей течений (см/c, цветной фон) в слое 10–300 м. Среднее за 20 февралей (1948–1967 гг.): (а) — эксперимент EС1h, (б) — векторная разность течений «EС1h минус EP40». Координаты модельные: вверху — очертания Гренландии и Исландии, слева — Лабрадор и Ньюфаундленд.

 

7. ВЫВОДЫ

Описывается развитие модели общей циркуляции океана ИВМ РАН, используемой в различных исследованиях динамики морей и океанов [1–4, 15, 16]. Модель циркуляции включает k – ω параметризацию вертикального турбулентного обмена. Уравнения турбулентности расщепляются на два этапа, описывающие процессы трехмерного переноса–диффузии и локальной генерации–диссипации k и ω. На этапе генерации–диссипации уравнения решаются аналитически, что обуславливает эффективность и устойчивость расчетов. С вычислительной точки зрения алгоритм является достаточно гибким. Он позволяет варьировать коэффициенты аналитического решения, изменяя функции устойчивости или число Прандтля и сохраняя при этом простоту и устойчивость вычислений.

Изучена чувствительность модельных крупномасштабных полей Северной Атлантики — Северного Ледовитого океана к изменению коэффициентов турбулентного обмена. Изменение коэффициентов обмена производится путем изменения коэффициентов аналитического решения k – ω модели. Эксперименты показывают, что, варьируя коэффициенты аналитического решения на стадии генерации–диссипации k – ω модели, можно повышать адекватность моделирования. Приводятся оценки чувствительности совместной модели циркуляции и турбулентности к вариациям притока кинетической энергии турбулентности на поверхности океана. Даны также оценки времени выхода на стационар турбулентных процессов, показавшие принципиальную необходимость использования нестационарных уравнений турбулентных характеристик.

Источники финансирования. Работа выполнена в ИВМ РАН при поддержке Российского научного фонда (грант № 18-11-00163) и РФФИ (грант 18-05-00177).

V. B. Zalesny

Marchuk Institute of Numerical Mathematics, RAS

Author for correspondence.
Email: atarexm@himki.net

Russian Federation, Gubkina str, 8, Moscow, 119333

S. N. Moshonkin

Marchuk Institute of Numerical Mathematics, RAS

Email: atarexm@himki.net

Russian Federation, Gubkina str, 8, Moscow, 119333

  1. Zalesny V.B., Gusev A.V. Mathematical model of the World Ocean dynamics with algorithms of variational assimilation of temperature and salinity fields // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24. № 2. P. 171–191.
  2. Zalesny V.B., Marchuk G.I., Agoshkov V.I., Bagno A.V., Gusev F.V., Diansky N.A., Moshonkin S.N., Volodin E.M., Tamsalu R. Numerical modeling of the large-scale ocean circulation on the base of multicomponent splitting method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 2010. V. 25. № 6. P. 581–609.
  3. Володин Е.М., Дианский Н.А., Гусев А.В. Воспроизведение современного климата с помощью совместной модели общей циркуляции атмосферы и океана INMCM 4.0 // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. № 4. С. 1–17.
  4. Zalesny V.B., Diansky N.A., Fomin V.V., Moshonkin S.N., Demyshev S.G. Numerical model of the circulation of the Black Sea and the Sea of Azov // Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling. 2012. V. 27. № 1. P. 95–111.
  5. Ибраев Р.А., Хабеев Р.Н., Ушаков К.В. Вихреразрешающая 1/10° Модель Мирового океана // Изв. РАН. Физ. атм. и океана. 2012. Т. 48. № 1. С. 37–46.
  6. Перов В.Л. Расчет коэффициентов турбулентного перемешивания на основе спектрального алгоритма и его использование в модели COSMO-RU. // Труды Гидрометцентра РФ. 2012. Вып. 347. С. 81–94.
  7. Warner J.C., Sherwood C.R., Arango H.G., Signell R.P. Performance of four turbulence closure models implemented using a generic length scale method // Ocean Modelling. 2005. V. 8. № 1–2. P. 81–113.
  8. Large W.G., McWilliams J.C., Doney S.C. Oceanic vertical mixing: a review and a model with a nonlocal boundary layer parameterization // Rev. Geophys. 1994. V. 32. № 4. P. 363–403.
  9. Canuto V.M., A.M. Howard, Y. Cheng, et al. Ocean turbulence, III: New GISS vertical mixing scheme // Ocean Modelling. 2010. V. 34. № 3. P. 70–91.
  10. Moshonkin S.N., Zalesny V.B., Gusev A.V. A splitting turbulence algorithm for mixing parameterization in the ocean circulation model. Turbulence, Atmosphere and Climate Dynamics // IOP Conf. Series: Earth and Environmental Science. 2019. V. 231. 012038 IOP Publishing. doi: 10.1088/1755–1315/231/1/012038
  11. Заславский М.М., Залесный В.Б., Кабатченко И.М., Тамсалу Р. О самосогласованном описании приводного слоя атмосферы, ветровых волн и верхнего слоя моря // Океанология. 2006. Т. 46. № 2. С. 178–188.
  12. Noh Y., Ok H., Lee E., et al. Parameterization of Langmuir circulation in the ocean mixed layer model using LES and its application to the OGCM // J. Phys. Oceanogr. 2016. V. 46. № 1. P. 57–78.
  13. Moshonkin S.N., Zalesny V.B., Gusev A.V. Simulation of the Arctic -North Atlantic Ocean Circulation with a Two-Equation k-omega Turbulence Parameterization // Journal of Marine Science and Engineering. 2018. V. 95. № 6. P. 1–23. doi: 10.3390/jmse6030095
  14. Мошонкин С.Н., Залесный В.Б., Гусев А.В. Алгоритм решения к-омега уравнений турбулентности в модели общей циркуляции океана // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 5. С. 223–246.
  15. Марчук Г.И., Залесный В.Б. Моделирование циркуляции Мирового океана с четырехмерной вариационной ассимиляцией полей температуры и солености // Изв. РАН. сер. Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48. № 1. С. 21–36.
  16. Залесный В.Б., Агошков В.И., Шутяев В.П., Ле Диме Ф., Ивченко В.О. Задачи численного моделирования гидродинамики океана с вариационной ассимиляцией данных наблюдений // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2016. Т. 52. № 4. С. 488–500.
  17. Яковлев Н.Г. Совместная модель общей циркуляции океана и эволюции морского льда в Северном Ледовитом океане // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39. № 3. С. 394–409.
  18. Burchard H., Bolding K., Villarreal M. GOTM, a General Ocean Turbulence Model: Theory, Implementation and Test Cases // Centre, E.C.J.R., Institute, S.A. EUR / European Commission. Space Applications Institute. 1999. URL https://books.google.ru/books?id=zsJUHAAACAAJ
  19. Blanke B., Delecluse P. Variability of the tropical Atlantic ocean simulated by a general circulation model with two different mixed-layer physics // Journal of Physical Oceanography. 1993. V. 23. № 7. P. 1363–1388.
  20. Mellor G., Yamada T. A hierarchy of turbulence closure models for planetary boundary layers // Journal of the Atmospheric Sciences. 1974. V. 31. № 7. P. 1791–1806.
  21. Large W.G., Yeager S.G. The global climatology of an interannually varying air–sea flux // Climate Dynamics. 2009. V. 33. P. 341–364.
  22. de Boyer Montégut C., Madec G., Fischer A., Lazar A., Iudicone D. Mixed layer depth over the global ocean: An examination of profile data and a profile-based climatology // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2004. V. 109. № C12. doi: 10.1029/2004JC002378
  23. Locarnini R.A., Mishonov A.V., Antonov J.I., et al. World Ocean Atlas 2009. V. 1: Temperature. S. Levitus. Ed. 2010. NOAA Atlas NESDIS68. U.S. Government Printing Office. Washington. D.C. 184 pp.
  24. Antonov J.I., Seidov D., Boyer T.P., Locarnini R.A., Mishonov A.V., Garcia H.E., Baranova O.K., Zweng M.M., Johnson D.R. World Ocean Atlas 2009. V. 2: Salinity. S. Levitus, Ed. NOAA Atlas NESDIS69. U.S. Government Printing Office. Washington. D.C. 184 pp.

Views

Abstract - 49

PDF (Russian) - 39

Cited-By


PlumX

Refbacks

  • There are currently no refbacks.

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies