Методы усвоения данных наблюдений в задачах физики атмосферы и океана
- Авторы: Шутяев В.П.1,2
-
Учреждения:
- Институт вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН Россия
- Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Морской гидрофизический институт РАН"
- Выпуск: Том 55, № 1 (2019)
- Страницы: 17-34
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.eco-vector.com/0002-3515/article/view/11785
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0002-351555117-34
- ID: 11785
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В настоящей статье приведен обзор и анализ подходов к усвоению данных в задачах геофизической гидродинамики, начиная с простейших последовательных схем усвоения и заканчивая современными вариационными методами. Особое внимание уделено новому направлению, где автору принадлежит ряд оригинальных результатов, – исследованию задачи вариационного усвоения в слабой формулировке, в частности построению системы оптимальности, и оценке ковариационных матриц ошибок оптимального решения.
Об авторах
В. П. Шутяев
Институт вычислительной математики им. Г.И. Марчука РАН Россия; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Морской гидрофизический институт РАН"
Автор, ответственный за переписку.
Email: victor.shutyaev@mail.ru
Россия, 199333 Москва, ул. Губкина, 8; 299011, Севастополь, ул. Капитанская, 2
Список литературы
- Richardson L. Weather prediction by numerical process. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.
- Charney J.G. The use of the primitive equations of motion in numerical prediction // Tellus. 1955. V. 7. P. 22–26.
- Phillips N.A. On the problem of initial data for the primitive equations // Tellus. 1960. V. 12. P. 121–126.
- Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory. London: Academic Press, 1970. 376 p.
- Bucy R.S., Joseph P.D. Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance (2nd ed.). Chelsea, New York, 1987. 217 p.
- Lions J.L. Contrôle optimal des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Paris: Dunod, 1968.
- Marchuk G.I. Adjoint Equations and Analysis of Complex Systems. Kluwer, Dordrecht, 1995.
- Gill P.E., Murray W., Wright M.H. Practical Optimization. London: Academic Press, 1987.
- Marchuk G.I., Agoshkov V.I., Shutyaev V.P. Adjoint Equations and Perturbation Algorithms in Nonlinear Problems. New York: CRC Press Inc., 1996.
- Bennett A.F. Inverse modeling of the ocean and atmosphere. Cambridge: Cambridge University Press, 2002.
- Daley R. Atmospheric Data Analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. 457p.
- Ghil M., Malanotte-Rizzoli P. Data assimilation in meteorology and oceanography. Adv. Geophys. 1991. 33. P. 141–266.
- Kalnay E. Atmospheric Modeling. Data Assimilation and Predictibility. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.
- Panofsky H. Objective weather-map analysis. J. Appl. Meteor. 1949. V. 6. P. 386–392.
- Gilchrist B., Cressman G. An experiment in objective analysis // Tellus. 1954. V. 6. 309–318.
- Bergthorsson P., Doos B. Numerical weather map analysis // Tellus. 1955. P. 329–340.
- Cressman G. An operational objective analysis system // Mon. Wea. Rev. 1959. V. 87. P. 367–374.
- Hoke J., Anthes R.A. The initialization of numerical models by a dynamic initialization technique // Mon. Weather Rev. 1976. V. 104. P. 1551–1556.
- Verron J. Altimeter data assimilation into an ocean circulation model: sensitivity to orbital parameters, J. Geophys. Res. 1990. V. 95(C7) P. 443–459.
- Verron J., Holland W.R. Impact de données d’altimétrie satellitaire sur les simulations numériques des circulations générales océaniques aux latitudes moyennes // Ann. Geophys. 1989. V. 7. P. 31–46.
- Blayo E., Verron J., Molines J.-M. Assimilation of TOPEX/POSEIDON altimeter data into a circulation model of the North Atlantic // J. Geophys. Res. 1994. V. 99(C12). P. 24 691–24 705.
- Auroux D., Blum J. A nudging-based data assimilation method: the Back and Forth Nudging (BFN) algorithm // Nonlin. Processes Geophys. 2008. V. 15. P. 305–319.
- Гандин Л.C. Объективный анализ гидрометеорологических полей. Л.: Гидрометиздат, 1963.
- Lorenc A.C. A global three-dimensional multivariate statistical analysis scheme // Mon. Wea. Rev. 1981. V. 109. P. 701–721.
- McPherson R.D., Bergman K.H., Kistler R.E., Rasch G.E., Gordon D.S. The NMC operational global data assimilation system // Mon. Wea. Rev. 1979. V. 107. P. 1445–1461.
- Lyne W.H., Swinbank R., Birch N.T. A data assimilation experiment, with results showing the atmospheric circulation during the FGGE special observing periods. Q. J. R. Meteorol. Soc. 1982. V. 108. P. 575–594.
- Lorenc A.C. Analysis methods for numerical weather prediction. Q. J. R. Meteorol. Soc. 1986. V. 112. P. 1177–1194.
- Lorenc A.C., Bell R.S., Macpherson B. The Meteorological Office analysis correction data assimilation scheme // Q. J. R. Meteorol. Soc. 1991. V. 117. P. 59–89.
- Thiebaux H.J., Pedder M.A. Spatial Objective Analysis. London: Academic Press, 1987. 299 pp.
- Douville H., Viterbo P., Mahfouf J.-F., Beljaars A.C.M. Evaluation of the optimum interpolation and nudging techniques for soil moisture analysis using FIFE Data // Mon. Wea. Rev. 2000. V. 128. P. 1733– 1756.
- Багров А.Н., Цирульников М.Д. Оперативная схема объективного анализа Гидрометцентра России // 70 лет Гидрометцентру России. СПб.: Гидрометеоиздат, 1999. С. 59–69.
- Фролов А.В., Важник А.И., Свиренко П.И., Цветков В.И. Глобальная система усвоения данных наблюдений о состоянии атмосферы. СПб.: Гидрометеоиздат, 2000.
- Carton J.A., Hackert E.C. Applications of multi-variate statistical objective analysis to the circulation in the tropical Atlantic // Ocean. Dyn. Atm. Oceans. 1989. V. 13. P. 491–515.
- Derber J.C., Rosati A. A global ocean data assimilation system // J. Phys. Oceanogr. 1989. V. 19. P. 1333– 1347.
- Smith S., Cummings J.A., Rowley C. Validation Test Report for the Navy Coupled Ocean Data Assimilation 3D Variational Analysis (NCODA-VAR) System, Version 3.43. 2012.
- Evensen G. The Ensemble Kalman filter: Theoretical formulation and practical implementation // Ocean Dynamics. 2003. V. 53(4). P. 343–367.
- Sakov P., Sandery P.A. Comparison of EnOI and EnKF regional ocean reanalysis systems // Ocean Modelling. 2015. V. 89. P. 45–60.
- Кауркин М.Н., Ибраев Р.А., Беляев К.П. Усвоение данных наблюдений в модели динамики океана высокого пространственного разрешения с применением методов параллельного программирования // Океанология. 2016. Т. 56. № 6. С. 252–260.
- Kalman R.E. A new approach to linear filter and prediction theory, J. Basic. Eng.-T. ASCE. 1960. V. 82. P. 35–45.
- Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filte ring and prediction theory. ASME J. Basic. Eng. 1961. V. 83D. P. 95–108.
- Ghil M., Cohn S.E., Dalcher A. Sequential estimation, data assimilation, and initialization. In: "The Interaction Between Objective Analysis and Initialization" (D. Williamson, ed.), Publ. Meteorol. 127 (Proc. 14th Stanstead Seminar). Montreal: McGill University, 1982. P. 83–97.
- Budgell N.P. Stochastic filtering of linear shallow water wave processes. SIAM, J. Sci. Stat. Comput. 1986. С. 34–42.
- Саркисян А.С. Моделирование динамики океана. СПб.: Гидрометеоиздат, 1991.
- Нелепо Б.А., Кныш В.В., Саркисян А.С., Тимченко И.Е. Изучение синоптической изменчивости океана на основе динамико-стохастического подхода // Докл. АН СССР. 1979. 246. № 4. С. 974–978.
- Коротаев Г.К., Еремеев В.Н. Введение в оперативную океанографию Черного моря. Севастополь: НПЦ ЭКОСИ-Гидрофизика, 2006. 382 с.
- Саркисян А.С., Демышев С.Г., Коротаев Г.К., Моисеенко В.А. Пример четырехмерного анализа данных наблюдений программы "Разрезы" для Ньюфаундлендской ЭАЗО. Итоги науки и техники. Атмосфера, океан, космос – программа "Разрезы", т. 6. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 88–89.
- Кныш В.В., Коротаев Г.К., Мизюк А.И., Саркисян А.С. Усвоение гидрологических наблюдений для расчета течений в морях и океанах // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2012. Т. 48. № 1. С. 67–85.
- Evensen G. Data Assimilation: The Ensemble Kalman Filter. Berlin: Springer, 2007.
- Klimova E. A suboptimal data assimilation algorithm based on the ensemble Kalman filter. Q. J. R. Meteorol. Soc. 2012. V. 138. P. 2079–2085.
- Shlyaeva A.V., Tolstykh M.A., Mizyak V.G., Rogutov V.S. Local ensemble transform Kalman filter data assimilation system for the global semi-Lagrangian atmospheric model // Russ. J. Num. An. & Math. Mod. 2013. V. 28. № 4. P. 419–441.
- Sasaki Y.K. An objective analysis based on the variational method // J. Meteor. Soc. Japan. 1958. V. 36. P. 77–88.
- Sasaki Y. Some basic formalisms in numerical variational analysis. Mon. Wea Rev. 1970. V. 98. P. 875–883.
- Provost C., Salmon R. A variational method for inverting hydrographic data. J. Mar. Res. 1986. V. 44. P. 1–34.
- Пененко В.В., Образцов Н.В. Вариационный метод для полей метеорологических элементов // Метеорология и гидрология. 1976. Т. 11. С. 1–11.
- Marchuk G.I., Penenko V.V. Application of optimization methods to the problem of mathematical simulation of atmospheric processes and environment, in G.I. Marchuk (ed.), Modelling and Optimization of Complex Systems: Proc. Of the IFIP-TC7 Working conf. New York: Springer, 1978. P. 240–252.
- Le Dimet F.-X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: Theoretical Aspects // Tellus. 1986. V. 38A. P. 97–110.
- Lewis J.M., Derber J.C. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus. 1985. V. 37A. P. 309–322.
- Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. II. Numerical results. Q. J. R. Meteorol. Soc. 1987. V. 111. P. 1329–1347.
- Navon I.M. A review of variational and optimization methods in meteorology. In: Y.K. Sasaki (ed.) Varia tional Methods in Geosciences. New York: Elsevier, 1986. P. 29–34.
- Agoshkov V.I., Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. V. 8. P. 1–16.
- Marchuk G.I., Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin’s principle and splitting-up method. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. V. 8. P. 311–326.
- Marchuk G.I., Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. V. 9. P. 265–279.
- Марчук Г.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. Труды ИММ УрО РАН, 2011. Т. 17. № 2. С. 136–150.
- Agoshkov V.I., Parmuzin E.I., Zalesny V.B., Shutyaev V.P., Zakharova N.B., Gusev A.V. Variational assimilation of observation data in the mathematical model of the Baltic Sea dynamics // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2015. V. 30. № 4. P. 203–212.
- Agoshkov V.I., Assovskii M., Zalesny V.B., Zakharova N.B., Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Variational assimilation of observation data in the mathematical model of the Black Sea taking into account the tide-generating forces // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2015. V. 30. № 3. 129–142.
- Венцель М., Залесный В.Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекции-диффузии тепла в океане. Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т. 32. № 5. С. 613–629.
- Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М.: Наука, 2001.
- Агошков В.И., Пармузин Е.И., Шутяев В.П. Численный алгоритм вариационной ассимиляции данных наблюдений о температуре поверхности океана. ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48. № 8. С. 1371–1391.
- Parrish D.F., Derber J.C. The National Meteorological Center’s spectral statistical interpolation analysis scheme. Mon. Wea. Rev. 1992. V. 120. P. 1747–1763.
- Courtier P., Andersson E., Heckley W., Pailleux J., Vasiljevic D., Hamrud M., Hollingsworth A., Rabier F., Fisher M. The ECMWF implementation of three-dimensional variational assimilation (3D-Var). I: Formulation. Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1998. V. 124. P. 1783–1807.
- Courtier P., Thepaut J.N., Hollingsworth A. A strategy for operational implementation of 4D-Var, using an incremental approach. Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1994. V. 120. P. 1389–1408.
- Ide K., Courtier P., Ghil M., Lorenc A.C. Unified notation for data assimilation: Operational, sequential and variational. J. Met. Soc. Japan. 1997. V. 75. P. 181–189.
- Mogensen K., Balmaseda M.A., Weaver A.T., Martin M., Vidard A. NEMOVAR: a variational data assimilation system for the NEMO ocean model, ECMWF Technical Memorandum. 2009. Number 120.
- Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий. ЖВМ и МФ. 1997. Т. 2. № 12. С. 1449–1458.
- Ипатова В.М. Задача усвоения данных для модели общей циркуляции океана в квазигеострофическом приближении. Деп. в ВИНИТИ № 2333-В92. М., 1992.
- Агошков В.И., Ипатова В.М. Разрешимость задачи усвоения данных наблюдений в трехмерной модели динамики океана. Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43. № 8. С. 1064–1075.
- Агошков В.И., Ипатова В.М. Теоремы существования для трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных // ДАН. 2007. Т. 412. № 2. С. 151–153.
- Sirkes Z., Tziperman E. Finite difference of adjoint or adjoint of finite difference? Mon. Weather Rev. 1997. V. 125. P. 3373–3378.
- Parmuzin E.I., Shutyaev V.P., Diansky N.A. Numerical solution of a variational data assimilation problem for a 3D ocean thermohydrodynamics model with a nonlinear vertical heat exchange // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V. 22 (2). P. 177–198.
- Le Dimet F.-X., Charpentier I. Methodes de second order en assimilation de donnees. Equations aux Derivees Partielles et Applications (Articles dediees a Jacques-Louis Lions). Paris: Elsevier, 1998. P. 623–639.
- Lawless A.S., Nichols N.K., Balloid S.P. A comparison of two methods for developing the linearization of a shallow-water model. Q. J. R. M. S. 2003. V. 129. P. 1237–1254.
- Chao W.C., Chang L.-P. Development of a four-dimensional variational analysis system using the adjoint method at GLA. Part I: Dynamics. Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 1661–1672.
- Giering R., Kaminski T. Recipes for adjoint code constructions. ACM Trans. Math. Software. 1998. V. 24. P. 437–474.
- Giles M.B., Pierce N.A. An introduction to the adjoint approach to design. Flow, Turbul. Combust. 2000. V. 65. P. 393–415.
- Le Dimet F.-X., Shutyaev V.P. On deterministic error analysis in variational data assimilation // Nonlinear Processes in Geophysics. 2005. V. 12. P. 481–490.
- Gejadze I., Le Dimet F.-X., Shutyaev V. On analysis error covariances in variational data assimilation. SIAM Journal on Scientific Computing. 2008. V. 30. № 4. P. 1847–1874.
- Shutyaev V.P., Parmuzin E.I. Some algorithms for studying solution sensitivity in the problem of variational assimilation of observation data for a model of ocean thermodynamics // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24. № 2. P. 145–160.
- Агошков В.И., Пармузин Е.И., Шутяев В.П. Ассимиляция данных наблюдений в задаче циркуляции Черного моря и анализ чувствительности ее решения // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2013. Т. 49. № 6. С. 643–654.
- Шутяев В.П., Ле Диме Ф., Агошков В.И., Пармузин Е.И. Чувствительность функционалов задач вариационного усвоения данных наблюдений // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2015. Т. 51. № 3. С. 392–400.
- Шутяев В.П., Пармузин Е.И. Исследование чувствительности оптимального решения задачи вариационного усвоения данных для модели термодинамики Балтийского моря // Метеорология и гидрология. 2015. № 6. С. 88–97.
- Le Dimet F.-X., Shutyaev V., Parmuzin E.I. Sensitivity of functionals with respect to observations in variational data assimilation // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2016. V. 31. № 2. P. 81–91.
- Залесный В.Б., Агошков В.И., Шутяев В.П., Ле Диме Ф., Ивченко В.О. Задачи численного моделирования гидродинамики океана с вариационной ассимиляцией данных наблюдений // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2016. Т. 52. № 4. С. 488–500.
- Lorenc A. The potential of the ensemble Kalman filter for NWP – a comparison with 4D-Var, Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2003. V. 129. P. 3183–3203.
- Kalnay E., Li H., Miyoshi T., Yang S.-C., Ballabrera-Poy J. 4D-Var or Ensemble Kalman Filter? // Tellus. 2007. V. A 59. P. 758–773.
- Caya A., Sun J., Snyder C. A Comparison between the 4DVAR and the ensemble Kalman filter techniques for radar data assimilation. Monthly Weather Review. 2005. V. 133(11). P. 3081–3094.
- Gustafsson N. Discussion on "4D-Var or EnKF" // Tellus A. 2007. V. 59. P. 774–777.
- Fertig E.J., Harlim J., Hunt B.R. A Comparative Study of 4D-VAR and a 4D Ensemble Kalman Filter: Perfect Model Simulations with Lorenz-96 // Tellus. 2007. V. 59A. P. 96–100.
- Buehner M., Houtekamer P., Charette C., Mitchell H., He B. Intercomparison of variational data assimilation and the ensemble Kalman filter for global deterministic NWP. Part I: Description and single-observation experiments, Mon. Weather Rev. 2010. V. 138. P. 1550–1566.
- Fairbairn D., Pring S.R., Lorenc A.C., Roulstone I. A comparison of 4DVar with ensemble data assimilation methods. Q. J. Roy. Meteor. Soc. 2014. V. 140. P. 281–294.
- Tian X., Xie J., Dai A. An ensemble-based explicit 4D-Var assimilation method // Journal of Geophysical Research. 2008. V. 113 (D21124).
- Zhang F.Q., Zhang M., Hansen J.A. Coupling ensemble Kalman filter with four dimensional variational data assimilation // Adv. Atmos. Sci. 2009. V. 26 (1). P. 1–8.
- Clayton A.M., Lorenc A.C., Barker D.M. Operational implementation of a hybrid ensemble/4D-Var global data assimilation at the Met Office // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2013. V. 139. P. 1445–1461.
- Gustafsson N., Bojarova J., Vignes O. A hybrid variational ensemble data assimilation for the HIgh Resolution Limited Area Model (HIRLAM), Nonlin. Processes Geophys. 2014. V. 21. P. 303–323.
- Bonavita M., Hólm E., Isaksen L., Fisher M. The evolution of the ECMWF hybrid data assimilation system // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2016. V. 142. P. 287–303.
- Liu C., Xiao Q., Wang B. An ensemble-based four- dimensional variational data assimilation scheme. Part I: Technical formulation and prelimi nary test // Mon. Weather Rev. 2008. V. 136. P. 3363–3373.
- Liu C., Xiao Q., Wang B. An ensemble-based four- dimensional variational data assimilation scheme. Part II: Observing system simulation experiments with advanced research WRF (ARW) // Mon. Weather Rev. 2009. V. 137. P. 1687–1704.
- Liu C., Xiao Q. An ensemble-based four-dimensional variational data assimilation scheme. Part III: Antarctic applications with advanced WRF using real data // Mon. Weather Rev. 2013. V. 141. P. 2721–2739.
- Desroziers G., Camino J.-T., Berre L. 4DEnVar: link with 4D state formulation of variational assimilation and different possible implementations // Q. J. Roy. Meteorol. Soc. 2014. V. 140. P. 2097–2110.
- Gustafsson N., Bojarova J. Four-dimensional ensemble variational (4D-En-Var) data assimilation for the HIgh Resolution Limited Area Model (HIRLAM). Nonlin. Processes Geophys. 2014. V. 21. P. 745–762.
- Asch M., Bocquet M., Nodet M. Data Assimilation: Methods, Algorithms, and Applications. Philadelphia, SIAM, 2016.
- Gejadze I., Le Dimet F.-X., Shutyaev V.P. On optimal solution error covariances in variational data assimilation problems // J. Comp. Phys. (2010). V. 229. P. 2159–2178.
- Gejadze I., Shutyaev V.P., Le Dimet F.-X. Analysis error covariance versus posterior covariance in variational data assimilation // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2013. V. 139. P. 1826–1841.
- Gejadze I.Yu., Shutyaev V.P. On gauss-verifiability of optimal solutions in variational data assimilation problems with nonlinear dynamics // J. Comput. Phys. 2015. V. 280. P. 439–456.
- Liu D.C., Nocedal J. On the limited memory BFGS method for large scale minimization // Math. Program. 1989. V. 45. P. 503–528.
- Veerse F., Auroux D., Fisher M. Limited-memory BFGS diagonal pre-conditioners for a data assimilation problem in meterology // Optim. Eng. 2000. V. 1. P. 323–339.
- Trémolet Y. Model-error estimation in 4D-Var // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2007. V. 133(626). P. 1267–1280.
- Carrassi A., Vannitsem S. Accounting for model error in variational data assimilation: a deterministic approach // Monthly Weather Review. 2010. V. 138. P. 875–883.
- Furbish D., Hussaini M.Y., Le Dimet F.-X., et al. On discretization error and its control in variational data assimilation // Tellus. 2008. V. 60A. P. 979–991.
- Griffith A.K., Nichols N.K. Adjoint methods in data assimilation for estimating model error // Flow, Turbul. Combust. 2000. V. 65(3/4). P. 469–488.
- Vidard A., Piacentini A., Le Dimet F.-X. Variational data analysis with control of the forecast bias // Tellus, 2004. V. A56. P. 1–12.
- Akella S., Navon I. Different approaches to model error formulation in 4D-Var: a study with high resolution advection schemes // Tellus. 2009. V. 61A. P. 112–128.
- Пененко В.В. Вариационные методы усвоения данных и обратные задачи для изучения атмо cферы, океана и окружающей среды // Сиб. журн. вычисл. математики. 2009. Т. 12. С. 421–434.
- Tsyrulnikov M.D. 2005. Stochastic modelling of model errors: a simulation study. Q. J. R. Meteorol. Soc. 2005. V. 131. P. 3345–3371.
- Gejadze I., Oubanas H., Shutyaev V. Implicit treatment of model error using inflated observation-error covariance // Q. J. R. Meteorol. Soc. 2017. V. 143. P. 2496–2508.
- Shutyaev V., Gejadze I., Vidard A., Le Dimet F.-X. Optimal solution error quantification in variational data assimilation involving imperfect models // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2017. V. 83. № 3. P. 276–290.
- Stuart A. M. Inverse problems: a Bayesian perspective // Acta Numerica. 2010. V. 9. P. 451–559.
Дополнительные файлы
![](/img/style/loading.gif)