Mathematical model of the supporting structure of a finely-dispersing sprinkler installation

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Особенности природных условий горных и предгорных территории, характеризующимися большими уклонами, сложным рельефом местности, раздробленностью и мелконтурностью участков накладывают ряд ограничений на использование традиционной поливной техники. Наиболее полно принципам экологии и охраны окружающей среды отвечает многоцелевое использование дождевальных установок, в которых актуальна проблема снижения расхода воды за счет более рационального ее расходования. Одним из экономичных и высокоэффективных способов малоинтенсивного орошения является мелкодисперсное орошение [1–11].

По мнению И.С. Кочетова в горной местности наиболее целесообразным является создание малых технических средств, использующих канатную тягу [12].

В этой связи, актуальна задача создания эффективной системы защиты плодовых насаждений на склоновых землях, основанной на совершенствовании и разработке инновационных технических средств мелкодисперсного дождевания на базе принципиально новых малых средств механизации, работающих по постоянной технологической колее, которые по своим конструктивным характеристикам способны осуществлять увлажнение, внесение удобрений и химических средств защиты с поливной водой на мелкоконтурных склоновых участках. Для решения этой задачи необходимо разработка несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки с подвешенными к ней распылителями, позволяющими обрабатывать плодовые насаждения со всех сторон одновременно. При этом от обеспечения прочности и устойчивости несущей конструкции зависят конструктивно-технологические параметры работы мелкодисперсной дождевальной установки.

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ

Разработка математической модели несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки.

МЕТОДЫ

При проведении исследований использовались методы физического и математического моделирования, метод целенаправленного перебора параметров (метод Гемерлинга). Объект исследования — несущая конструкция мелкодисперсной дождевальной установки. Проверка работоспособности несущей конструкции по критериям прочности и устойчивости произведена на ЭВМ с использованием программы МАТLAB. 6.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Предлагаемая мелкодисперсная дождевальная установка (рис.1) способна осуществлять увлажнение плодовых деревьев, внесение удобрений и химических средств защиты с поливной водой на мелкоконтурных склоновых участках [13].

 

Рис. 1. Общий вид мелкодисперсной дождевальной установки.

 

Технологической особенностью работы мелкодисперсной дождевальной установки является необходимость ухода за кронами плодовых деревьев, который происходит по постоянной технологической колее. Установка благодаря канатной тяге свободно перемещается возвратно-поступательно на опорных блоках по несущему тросу и обрабатывает кроны плодовых деревьев.

Управление перемещением установки осуществляется автоматически, т.е. при соприкосновении с концевым переключателем автоматически реверсируется направление движения. При необходимости установку можно останавливать возле каждого дерева с помощью пульта дистанционного управления приводом установки.

Несущей конструкцией мелкодисперсной дождевальной установки является распределительный трубопровод, от конструктивных параметров которого зависят надежность работы установки и основные технико-эксплуатационные показатели.

Для определения различных вариантов компоновки несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки разработана математическая ее модель.

Расчетная схема несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки приведена на рис. 2.

 

Рис. 2. Расчетная схема несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки: a) общая; b) правая часть.

 

Несущая конструкция со всеми подвесками и канатами обладает свойствами симметрии (см. рис. 2) относительно оси ОУ.

Благодаря наличию симметрии, достаточно рассмотреть одну половину конструкции (рис. 2, b).

Распределительный трубопровод с жидкостью создает равномерно распределенную нагрузку $q$ по всей своей длине $\mathcal{l}$ . На нем закреплены подвески массой $G_1=G_2=G$ . Распределительный трубопровод закреплен на крюке (к) с помощью переходника (П) и поддерживается канатами длиной ${\mathcal{l}}_1$ и ${\mathcal{l}}_2$ , закрепленными в конце и середине рассматриваемой части распределительного устройства на расстоянии $h$ от его оси. В результате чего в таких сечениях появляются сосредоточенные изгибающие моменты.

 $M_d=S_{1}h\cdot \cos {\alpha }_1;$ (1)

$M_B=S_{2}h\cdot \cos {\alpha }_2.$ (2)

В переходнике трубопровод заглушен, поэтому примем это соединение жестким закреплением.

В зависимости от натяжения тросов упругая линия трубопровода будет принимать различные очер- тания.

Первоначально примем, что точки $b$ и $d$ остаются на оси $OZ$ . Схема сил и реакций связей показана на рис. 2, b.

$\sum x=0;$ $R_{ox}-S_1\cos {\alpha }_1-S_2\cos {\alpha }_2=0;$ (3)

 $\sum y=0;$ $R_{oy}+S_1\sin {\alpha }_1+S_2\sin {\alpha }_2-qd-2G=0;$ (4)

$\sum M_d=0;$ $$$R_{oy}\cdot d-M_o-q\frac{d^2}{2}-G(d-a+d-c)-S_2\cos {\alpha }_{2}h\left(1-\frac{d-b}{h}\mathrm{tg}{\alpha }_2\right)-S_{1}h\cos {\alpha }_1\left(1-\frac{d-c}{h}\mathrm{tg}{\alpha }_1\right)=0$. (5)

Система уравнений (3)–(5) содержит пять неизвестных: $R_{ox}$, $R_{oy}$, $S_1$, $S_2$ и $M_0$.

При заданных углах ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ можно получить:

 $S_{1x}=S_1\cdot \cos {\alpha }_1;S_{1y}=S_1\cdot \sin {\alpha }_1;$ (6)

$S_{2x}=S_2\cdot \cos {\alpha }_2;S_{2y}=S_2\cdot \sin {\alpha }_2.$  (7)

Начало координат выбрано в точке — пересечения оси трубы с сечением заделки, в котором принимается: при $z=0;y\left(0\right)=0;y^{\text{'}}\left(0\right)=0$ . Тогда, пользуясь методом начальных параметров, уравнение прогибов записывается в виде [7]:

$\begin{array}{c}ЕJ_{xy}=R_{oy}\frac{x^3}{6}-M_0\frac{x^2}{2}-q\frac{x^4}{24}{\left|{}_I-G\frac{{\left(x-a\right)}^3}{6}\right|}_{II}+S_2\sin {\alpha }_2\frac{{\left(x-b\right)}^3}{6}-\\ -S_2\cos {\alpha }_{2}h\frac{{\left(x-b\right)}^2}{2}{\left|{}_{III}-G\frac{{\left(x-c\right)}^3}{6}\right|}_{IY}+S_1\sin {\alpha }_1\frac{{\left(x-d\right)}^3}{6}-S_{1}h\cos {\alpha }_1{\left.\frac{{\left(x-d\right)}^2}{2}\right|}_Y.\end{array}$ (8)

В последнем уравнении принято за положительные направления силы, направленные вверх, а моменты — по часовой стрелке. Причем, при его составлении принято $x\succ d$ .

Преобразуем уравнение (8) в виде:

 $\begin{array}{l}ЕJ_{x}y=ЕJ_x{y}_0+ЕJ_x{{\rm O}}_{0}x+R_{oy}\frac{x^3}{6}-M_0\frac{x^2}{2}-q\frac{x^4}{24}{\left|{}_I-G\frac{{\left(x-a\right)}^3}{6}\right|}_{II}+\\ +\frac{S_{2}h\cos {\alpha }_2}{2}\cdot \left[\frac{{\left(x-в\right)}^3}{3h}tg{\alpha }_2-{\left(x-в\right)}^2\right]{\left|{}_{III}-G\frac{{\left(x-c\right)}^3}{6}\right|}_{IY}.\end{array}$ (9)

Приняв, что тросы натянуты таким образом, что в сечениях их присоединения к распределительному трубопроводу прогибы задаются, исходя из условия равнонагружения тросов, то есть в этих сечениях реализованы следующие граничные условия: при $x=b$, $y\left(b\right)=A$ и при $x=\mathcal{l}$, $y\left(\mathcal{l}\right)=B$, получим:

 $А=R_{oy}\frac{b^3}{6}-{М}_0\frac{b^2}{2}-q\frac{b^4}{24}-G\frac{{\left(b-а\right)}^3}{6};$ (10)

 

$В=R_{oy}\frac{{\mathcal{l}}^3}{6}-{М}_0\frac{{\mathcal{l}}^2}{2}-q\frac{{\mathcal{l}}^4}{24}-G\frac{{\left(\mathcal{l}-а\right)}^3}{6}+\frac{S_{2}h\cos {\alpha }_2}{2}\cdot \left[\frac{{\left(\mathcal{l}-b\right)}^3}{3h}tg{\alpha }_2-{(\mathcal{l}-b)}^2\right]-G\frac{{\left(\mathcal{l}-c\right)}^3}{6}.$ (11)

Приведенная система, кроме пяти усилий и моментов, содержит еще прогибы $A$ и $B$, для определения которых нужно сформулировать дополнительное условие об оптимальных прогибах в этих точках, при которых реализуется равнонагруженность тросов, или задаются допустимые натяжения тросов и определяются $A$ и $B$.

В частном случае эти прогибы могут быть приняты равными 0.

В этом случае получаем систему из пяти уравнений (1–3) и (10–11), содержащую пять искомых величин. Из нее получены замкнутые формулы для этих неизвестных.

Для расчета основных параметров несущей конструкции и дальнейшей их оптимизации математическая модель принимает вид:

 $R_{ox}-S_1\cos {\alpha }_1-S_2\cos {\alpha }_2=0;$ (12)

$R_{oy}+S_1\sin {\alpha }_1+S_2\sin {\alpha }_2-q\mathcal{l}-2G=0;$ (13)

 $R_{oy}\mathcal{l}-M_0-q\frac{{\mathcal{l}}^2}{2}-G(2l-a-c)-S_2\cos {\alpha }_{2}h\left(1-\frac{\mathcal{l}-b}{h}\mathrm{tg}{\alpha }_2\right)-S_{1}h\cos {\alpha }_1\left(1-\frac{\mathcal{l}-c}{h}\mathrm{tg}{\alpha }_1\right)=0;$ (14)

$R_{oy}\frac{{b_{}}^3}{6}-M_0\frac{{b_{}}^2}{2}-q\frac{b^4}{24}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}-G\frac{{(b-a)}^3}{6}=0$; (15)

$R_{oy}\frac{{b_1}^3}{6}-M_0\frac{{b_1}^2}{2}-q\frac{{b_1}^4}{24}\text{\hspace{0.05em}\hspace{0.05em}}-G\frac{{(b_1-a)}^3}{6}+S_2\frac{h\cos {\alpha }_2}{2}\left[\frac{{(b_1-b)}^3}{3h}\mathrm{tg}{\alpha }_2-{(b_1-b)}^2\right]=0$ (16)

Система уравнений (12)–(16) соответствует расчетной схеме, представленной на рис. 3, в ней предусматривается консоль длиной $X_1$ для уменьшения сжимаемой длины распределительного устройства.

 

Рис. 3. Общая схема расчета мелкодисперсной дождевальной установки.

 

Уравнения (12)–(16) позволяют решать оптимизационные задачи при различных вариантах компоновки несущей конструкции с одним или двумя поддерживающими канатами, при различных длинах пролета, местах крепления канатов, высотах подвеса и поперечных сечениях трубопровода, т.е. варьируемых параметров — пять. Поскольку число варьируемых параметров велико, то оптимизацию проводим методом целенаправленного перебора параметров (метод Гемерлинга ).

Ограничивающими условиями при моделировании являются: выполнение условия устойчивости (коэффициент запаса устойчивости ${К}_{\text{зап}}=\mathrm{1,5}$); условие прочности (фактические напряжения в сечении трубопровода должны быть меньше или равны допускаемых для материала трубопровода ${\sigma }_{\max .\text{ф}.}\le {\left[\sigma \right]}_{\text{и}}=160$ МПа); технологические требования к общей длине трубопровода, к его внутреннему диаметру и к количеству распылителей; требования стандарта к материалу и наружному диаметру трубопровода.

Решение системы уравнений (12)–(16) и проверка работоспособности несущей конструкции по критериям прочности и устойчивости произведена на ЭВМ с использованием программы МАТLAB.6.

Оптимизационные задачи решались для 4 вариантов компоновки несушей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки: вариант 1 — конструкция с одним поддерживающим канатом и длиной пролета одного крыла $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м; вариант 2 — конструкция с одним поддерживающим канатом и длиной пролета одного крыла $\mathcal{l}=\mathrm{12,5}$ м; вариант 3 — конструкция с двумя поддерживающими канатами и длиной пролета одного крыла $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м; вариант 4 — конструкция с двумя поддерживающими канатами и длиной пролета одного крыла $\mathcal{l}=\mathrm{12,5}$ м.

В ходе обработки данных оптимизационных задач для вариантов компоновки конструкции мелкодисперсной дождевальной установки получены следующие результаты.

Вариант 1. Несущая конструкция с одним поддерживающим канатом с длиной пролета $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м и креплением каната в конце трубопровода сверху.

Проведенными расчетами выявлено, что достаточный запас устойчивости ${К}_{\text{зап}}=\mathrm{1,5}$ не обеспечивается (в данном случае ${К}_{\text{зап}}=\mathrm{1,16}$).

Для повышения запаса устойчивости целесообразно уменьшить сжимаемую длину трубопровода, перемещая точку крепления каната от конца на такую величину, чтобы в сечении точки закрепления каната выполнялось бы условие прочности, т.е. фактические напряжения были равны или меньше допускаемых напряжений для материала трубопровода ( ${\sigma }_{x1}\le {\left[\sigma \right]}_{\text{и}}=160$ МПа).

Для данного случая нами были проведены расчеты с варьированием длины консоли $X_1$ в пределах от 0 до 3,5 м, при высоте подвеса ${Н}_{\text{подв}}=\mathrm{0,45}$ м.

Анализируя полученные результаты можно заключить, что наиболее оптимальным является крепление каната с консолью $X_1=\mathrm{1,5}$м от конца трубопровода, так как при этом коэффициент запаса устойчивости ${К}_{\text{зап}}=\mathrm{1,59}$, в то же время обеспечивается прочность.

При этом максимальные изгибающие напряжения в заделке составляют 49,9 МПа, а в сечении крепления каната 20,27 МПа, что меньше допускаемых ${\left[\sigma \right]}_{\text{и}}=160$ МПа, максимальный прогиб в пролете составляет 20 мм и на конце консоли 14,54 мм, что вполне допустимо (рис. 4).

 

Рис. 4. Графики зависимости усилия в канате (1), напряжений в заделке (2), критической силы (3) и коэффициента запаса устойчивости (4) в зависимости от сжимаемой длины несущей конструкции при одном поддерживающем канате.

 

Вариант 2. Несущая конструкция с одним поддерживающим канатом и длиной пролета $\mathcal{l}=\mathrm{12,5}$ м.

Для повышения технологических параметров установки, в частности ширины захвата, нами рассчитан вариант при длине пролета 12,5 м с варьированием длины консоли в пределах от 0 до 4,0 м при высоте подвеса ${Н}_{\text{подв}}=\mathrm{0,45}$ м.

Полученные в этом случае результаты показывают, что ни по одному критерию работоспособность конструкции не обеспечивается: максимальные напряжения в заделке составляют 235 МПа, что выше допустимого значения, коэффициент запаса устойчивости ${К}_{\text{зап}}=\mathrm{0,27}$, а максимальные прогибы в пролете и на консоли составляют соответственно 478,8 мм и 156,2 мм.

В связи с этим, с целью повышению прочностных показателей конструкции нами проведены расчеты при фиксированной длине консоли $X_1=\mathrm{1,0}$ м с варьированием высоты подвеса в пределах от 0,45 м до 1,95 м.

При этом варианте изгибающие напряжения в заделке снизились до 198,7 МПа, прогибы в пролете до 340,9 мм, на консоли до 125 мм, а коэффициент устойчивости повысился до 0,71. Но ни один из этих показателей так же не соответствует допускаемым значениям.

Исходя из этого рассмотрен вариант варьирования поперечным сечением трубопровода при фиксированных значениях высоты подвеса ${Н}_{\text{подв}}=\mathrm{0,95}$ м и длине консоли $X_1=\mathrm{1,0}$ м.

Анализ полученных результатов показал, что при использовании распределительного трубопровода с наружным диаметром 59,6 мм и внутренним диаметром 50 мм значения прочностных показателей работоспособности находятся в допустимых пределах: максимальные напряжения в заделке 96,4 МПа, коэффициент запаса устойчивости составляет 1,4, максимальный прогиб в пролете 82,7 мм и на консоли 28,9 мм. Однако, увеличение поперечного сечения трубопровода приводит к возрастанию веса конструкции в 2,07 раза.

Поэтому нами предложен и рассчитан вариант установки второго поддерживающего троса.

Вариант 3. Несущая конструкция с двумя поддерживающими канатами при длине пролета $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м.

Для данного варианта конструкции, при закреплении первого каната на конце трубопровода ($b_1=\mathrm{7,5}$ м), а второго каната в середине пролета ($b=\mathrm{3,75}$ м) все граничные условия соблюдаются полностью: максимальные напряжения — 17,7 МПа, прогиб максимальный в пролете — 3,66 мм, коэффициент запаса устойчивости — 3,2 (рис. 5).

 

Рис. 5. Графики зависимости усилия в канате (1), напряже- ний в заделке (2), критической силы (3) и коэффициента за- паса устойчивости (4) в зависимости от сжимаемой длины распределительного устройства при двух поддерживающих канатах.

 

Вариант 4. Несущая конструкция с двумя поддерживающими канатами при длине пролета $\mathcal{l}=\mathrm{12,5}$ м.

Для данного случая, при постоянных значениях высота подвеса ${Н}_{\text{подв}}=\mathrm{0,45}$ м и точки крепления второго каната $b=\mathrm{6,5}$ м от заделки, варьировали длиной консоли $X_1$ в пределах от 0 до 5,75 м.

Анализ полученных результатов показал, что при длине консоли 4,0–5,0 м показатели прочности и устойчивости находятся в допустимых пределах: максимальные изгибающие напряжения в заделке 113 МПа, в сечении крепления каната 157 МПа, коэффициент запаса устойчивости 1,51–1,87. Однако максимальные прогибы на консоли велики: от 249,9 мм до 625,1 мм, что не допустимо.

В связи с этим, как и в предыдущем варианте, варьируем высотой подвеса установки от 0,45 м до 1,95 м при постоянной длине консоли $X_1=\mathrm{1,0}$м и креплении второго каната на расстоянии b = 6,5 м от заделки (рис. 6). При этом значения максимальных изгибающих напряжений в заделке и сечении крепления каната резко снижаются и составляют соответственно 48,95 МПа, и 19,69 МПа, а коэффициент запаса устойчивости при высоте подвеса 0,7–1,95 м возрастает с 1,38 до 3,75.

 

Рис. 6. Графики зависимости усилий в канатах (1), напря- жений в заделке (2) и коэффициента запаса устойчивости (3) в зависимости от высоты подвески несущей конструкции.

 

Максимальные прогибы в пролете и на консоли малы и равны 20,17 мм и 5,72 мм соответственно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При длине трубопровода $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м и одном поддерживающем канате оптимальными параметрами, обеспечивающими заданные ограничения являются: консоль — 1,5 м: высота подвеса — 0,45 м: наружный и внутренний диаметры трубопровода 33,5 мм и 25 мм.

При длине трубопровода $\mathcal{l}=\mathrm{7,5}$ м и двух поддерживающих канатах оптимальными параметрами, обеспечивающими заданные ограничения являются: консоль 0 м: высота подвеса 0,45 м: наружный и внутренний диаметры трубопровода 33,5 мм и 25 мм.

При длине трубопровода $\mathcal{l}=\mathrm{12,5}$ м и двух поддерживающих канатах оптимальными параметрами, обеспечивающими заданные ограничения являются: консоль 1,5 м: высота подвеса 0,7 м: наружный и внутренний диаметры трубопровода 33,5 мм и 25 мм.

ДОПОЛНИТЕЛЬНО

Вклад авторов. А.К. Апажев ― научное руководство, формулирование основных направлений исследования, участие в обсуждении материалов статьи; Ю.А. Шекихачев ― разработка математической модели и программы для ЭВМ, участие в обсуждении материалов статьи; Л.М. Хажметов ― разработка и проведение исследований несущей конструкции мелкодисперсной дождевальной установки, формирование общих выводов; Т.Х. Пазова ― обработка результатов исследований, участие в обсуждении материалов статьи; А.Г. Фиапшев ― поиск материалов в отечественных и зарубежных источниках, участие в обсуждении материалов статьи; А.Л. Хажметова ― обработка результатов исследований, участие в обсуждении материалов статьи. Авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).

Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с проведенным исследованием и публикацией настоящей статьи.

Источник финансирования. Авторы заявляют об отсутствии внешнего финансирования при проведении исследования и подготовке публикации.

ADDITIONAL INFORMATION

Authors’ contribution. A.K. Apazhev ― scientific guidance, formulation of the main directions of research, participation in the discussion of the manuscript materials; Yu.A. Shekikhachev ― development of the mathematical model and a computer program, participation in the discussion of the materials of the manuscript; L.M. Khazhmetov ― development and research of the supporting structure of a finely-dispersing sprinkler installation, the formation of general conclusions; T.Kh. Pazova ― processing of research results, participation in the discussion of the materials of the manuscript; A.G. Fiapshev ― search for materials in domestic and foreign sources, participation in the discussion of the manuscript materials; A.L. Khazhmetova ― processing of research results, participation in the discussion of the manuscript materials. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work.

Competing interests. The authors declare that they have no competing interests.

Funding source. This study was not supported by any external sources of funding.

About the authors

Aslan K. Apazhev

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Email: kbr.apagev@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-5448-5782
SPIN-code: 1530-1950

Professor, Dr. Sci. (Tech.), Professor of the Technical Mechanics and Physics Department

Russian Federation, Nalchik

Yury A. Shekikhachev

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Author for correspondence.
Email: shek-fmep@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6300-0823

Professor, Dr. Sci. (Tech.), Dean of the Mechanization and Energy Supply of Enterprises Faculty

Russian Federation, Nalchik

Luan M. Khazhmetov

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Email: hajmetov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5830-4355
SPIN-code: 6145-0808

Professor, Dr. Sci. (Tech.), Professor of the Technical Mechanics and Physics Department

Russian Federation, Nalchik

Taimira Kh. Pazova

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Email: pazova65@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-6206-8612

Associate Professor, Dr. Sci. (Tech.), Associate Professor of the Agricultural Mechanization Department

Russian Federation, Nalchik

Amur G. Fiapshev

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Email: energo.kbr@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0002-3080-0901

Associate Professor, Cand. Sci. (Tech.), Associate Professor of the Energy Supply of Enterprises Department

Russian Federation, Nalchik

Alina L. Khazhmetova

Kabardino-Balkarian State Agrarian University named after V.M. Kokov

Email: alinahazhmetova@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0003-6286-7363
SPIN-code: 8402-3461

Sci. (Tech.), Senior Lecturer of the Agricultural Mechanization Department

Russian Federation, Nalchik

References

Supplementary files