Модель заглубления зуба рыхлителя на примере движения прямого штампа

Полный текст

Введение

В настоящее время рыхление грунта получило широкое применение в различных областях народного хозяйства.

1. В сельском хозяйстве рыхление является заключительной операцией мелкой обработки почвы, предназначенной для увеличения ее пористости. Рыхление увеличивает доступ воздуха в глубокие слои почвы, что усиливает разложение органических остатков и накопление питательных веществ в доступной для растений форме. Поверхностный рыхлый слой почвы препятствует капиллярному поднятию влаги и излишнему её испарению. Попутно при рыхлении почвы уничтожаются всходы сорняков. В агропромышленном комплексе для рыхления используют культиваторы [1–2], бороны [3–4], сепараторные машины [5–6] и другие рыхлительные орудия [7].
2. При строительстве различных объектов технологический цикл разработки грунта часто включает в себя процесс рыхления, целью которого является разрушения единого пласта и увеличение объёма грунта для дальнейшей его разработки. Процесс промышленного рыхления наиболее актуален при разработке мерзлых и скальных пород, характеризующихся повышенной твердостью. Для этих целей чаще всего используются бульдозерно-рыхлительные агрегаты на базе гусеничных тракторов. Специальные ножи и зубья рыхлительного оборудования способны проникать глубоко в грунт и эффективно его разрыхлять [8].
3. В горнодобывающей отрасли рыхление является одним из способов подготовки горных пород к выемке полезных ископаемых. В зависимости от типа горной породы используется механический, термический, гидравлический или взрывной способ рыхления. Механический способ рыхления представляется самым безопасным и наиболее широко распространён при открытых горных работах. Для механического рыхления используются фрезерные комбайны [9–10].

В агропромышленном комплексе процесс рыхления почвы достаточно хорошо изучен [11–12]. Однако, он принципиально отличается от процесса промышленного рыхления отсутствием принудительного заглубления [13]. Для промышленного рыхления процесс заглубления рабочего органа во многом определяет эффективность работы всего машинно-тракторного агрегата.

В настоящий момент существуют математические модели взрывного рыхления [14], газодинамического рыхления [15], рыхления с помощью сжатого воздуха [16], но отсутствуют модели механического рыхления. Между тем, по механическому способу промышленного рыхления накоплен большой объём экспериментальных данных, обработка которого производится посредством получения различных эмпирических зависимостей [17–18].

Существующие попытки математического моделирования работы рыхлителя, как правило, рассматривают вертикальное и горизонтальное его движение раздельно. Это является не вполне правильным, так как в случае принудительного заглубления, рыхлитель осуществляет совместное движение в горизонтальном и вертикальном направлении. Свойства грунта, при этом зависят от его деформации, определяемой твердостью [19].

Цель исследования — разработка математической модели заглубления рыхлителя в грунт на примере движения прямого штампа.

Математическая модель

Движение рабочего орудия в грунте определяется кинематическими и силовыми зависимостями. Рассмотрение процесса принудительного заглубления зуба рыхлителя в грунт было проведено путём решения второй задачи динамики точки. По известному вертикальному усилию и горизонтальному перемещению трактора определялась траектория его движения. Модель движения зуба рыхлителя в грунте рассмотрена на примере прямого штампа.

Начальное погружение зуба рыхлителя на твердых грунтах составляет всего 10–50 мм. Это позволило нам принять допущение о линейной зависимости между деформацией и усилием в вертикальном направлении [20–21]. Тогда связь между удельным давлением $q$ и вертикальной деформацией грунта $h$ имеет вид:

$q=ch$, (1)

где  $c$— коэффициент пропорциональности.

Процесс заглубление зуба рыхлителя на глубину $h$ исследовался на примере прямого штампа с шириной $b$ (рис. 1). Вертикальное движение штампа осуществляется под действием усилия $P$. Одновременно штамп осуществляет движение в горизонтальном направлении за счет движения трактора. Разделять эти два движения неверно, так как они взаимно влияют друг на друга. Поэтому необходимо описать совокупное движение штампа под действием вертикального усилия при заданном горизонтальном движении.

Рис. 1. Схема вертикального погружения прямого штампа в грунт.

Fig. 1. Diagram of vertical deepening of a straight stamp into the ground.

Под действием только одной вертикальной силы $P$ штамп заглубляется на глубину $h_0$ (рис. 2). Линейное удельное давление под опорной площадкой штампа составляет $q_1=P/b$.

Рис. 2. Схема горизонтального перемещения прямого штампа в грунте при действии вертикальной силы (в пределах ширины штампа).

Fig. 2. Diagram of horizontal motion of a straight stamp in the ground under the vertical force (within the width of the stamp).

Добавим теперь к вертикальному заглублению горизонтальное (вдоль оси ) перемещение штампа. Обозначим элементарное горизонтальное перемещение $dx$. Тогда условие равновесия приобретает вид:

$q_{1}dx=bd{q}_1$ или $hdx=bdh$. (2)

Вертикальная деформация грунта опорной площадкой штампа существенно зависит от его горизонтального перемещения. Например, пока горизонтальное перемещение меньше ширины штампа $0\le x\le b$ вертикальная деформация равна вертикальному перемещению $h=y$. Однако, как только горизонтальное перемещение станет больше ширины штампа $b<x$, это равенство нарушается. Поэтому, для исследования движения штампа рассмотрим эти этапы подробнее.

Этап первый $0\le x\le b$ (горизонтальное перемещение не превышает ширину штампа)

Поскольку $h=y$, то дифференциальное уравнение (2) можно записать в виде:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y}{b}$ (3)

Уравнение (3) относится к классу линейных дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, и его общее решение имеет вид [22]:

$y\left(x\right)=C{e}^b$, (4)

где  $C$ — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий: $x_{(t=0)}=0$; $y_{(t=0)}=y_0$.

Подставляя начальные условия, находим значение постоянной интегрирования $C=y_0$. Тогда уравнение движения на первом этапе (4) приобретает вид:

$y\left(x\right)=y_0{e}^b$. (5)

Этап второй $b<x$ (горизонтальное перемещение больше ширины штампа)

На втором этапе (рис. 3) величина вертикальной деформации грунта под задней кромкой штампа равна

$h\left(x\right)=y\left(x\right)-y(x-b)$ (6)

и дифференциальное уравнение (3) приобретает вид

$\frac{dy}{dx}=\frac{y\left(x\right)-y(x-b)}{b}$. (7)

Уравнение (7) относится к классу линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом, где начальная функция определяется на предыдущем участке $0\le x\le b$ уравнением (5).

Рис. 3. Схема горизонтального перемещения прямого штампа в грунте при действии вертикальной силы (за пределами ширины штампа.

Fig. 3. Diagram of horizontal motion of a straight stamp in the ground under the vertical force (beyond the width of the stamp).

Решение уравнения (7) определяется методом шагов, идея которого заключается в сведении данного уравнения с запаздывающим аргументом к обыкновенному дифференциальному уравнению без запаздывания [23]. Для этого в уравнение (7) необходимо подставить значение начальной функции, полученной на предыдущем участке согласно уравнению (5):

$\frac{dy}{dx}=\frac{y\left(x\right)-y_0{e}^{(x-b)/b}}{b}$. (8)

Уравнение (8) представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого имеет вид [22]:

$y\left(x\right)=-\frac{y_{0}x}{b}{e}^{(x-b)/b}+C{e}^{x/b}$. (9)

С учётом начальных условий $x_{(t=0)}=b$ $y_{(t=0)}=y_{0}e$ уравнение траектории движения (9) приобретает следующий вид:

$y\left(x\right)=y_0{e}^{\left(x-b\right)/b}\left(e+1-\frac{x}{b}\right)$. (10)

Это решение должно использоваться в качестве начальной функции на следующем шаге второго этапа. Такой же алгоритм предусматривается для всех последующих шагов (решение на предыдущем этапе используется в качестве начальной функции следующего этапа).

Результаты

Для получения результатов математической модели (5) и (10) воспользуемся численным методом. Для этого мы использовали математический пакет Мathcad, позволяющий решать дифференциальные уравнения методом Риддера.

Мы получили аналитический вид уравнений траекторий движения зуба рыхлителя на первом этапе (5) и первом шаге второго этапа (10). На следующем шаге горизонтальное перемещение (аргумент) лежит в пределах $b\le x\le 2b$. Значение функции заглубления изменяется в пределах:

$y_{0}e\le y\left(x\right)\le y_{0}e\left(e-1\right)$. (11)

Численный метод позволяет для использования в качестве начальной функцией следующего этапа решение, полученное на предыдущем шаге, записать в виде аппроксимирующей функции. Мы для этих целей использовали систему Excel. Аппроксимирующие функции записывались в виде полинома второго порядка. При этом ошибка составляла за пределами третьего знака после запятой. Внешний вид аппроксимирующей функции на втором шаге второго этапа имел вид:

$y\left(x\right)=y_0\left[\mathrm{0,149}{\left(\frac{x}{b}\right)}^2+\mathrm{1,5209}\left(\frac{x}{b}\right)+\mathrm{1,0416}\right]$. (12)

Согласно уравнению (8), производная $dy/dx$ на втором этапе меньше своего значения на первом этапе. Это соотношение сохраняется и для всех последующих шагов. Следовательно, погрешность аппроксимирующего полинома по отношению к точному решению не возрастает. Преимущество предлагаемого нами метода заключается в том, что аппроксимирующую функцию на каждом последующем шаге можно записать в виде полинома, не увеличивая его степень.

Общий вид аппроксимирующих полиномов на последующих шагах второго этапа:

$2b\le x\le 3b\begin{array}{cc}& \end{array}y\left(x\right)=y_0\left[\mathrm{0,0175}{\left(\frac{x}{b}\right)}^2+\mathrm{1,9101}\left(\frac{x}{b}\right)+\mathrm{0,7795}\right]$;

$3b\le x\le 4b\begin{array}{cc}& \end{array}y\left(x\right)=y_0\left[8\cdot {10}^{-12}{\left(\frac{x}{b}\right)}^2+2\left(\frac{x}{b}\right)+\mathrm{0,666}\right]$;

$4b<x\begin{array}{cc}& \end{array}y\left(x\right)=y_0\left[2\left(\frac{x}{b}\right)+\mathrm{0,666}\right]$ .

Вид аппроксимирующих полиномов показывает, что функция $y\left(x\right)=y_0(2x/b+\mathrm{0,666})$ является асимптотой для всех траекторий $y\left(x\right)$ движения штампа. Кроме того, при достаточно больших горизонтальных смещениях $x$ прослеживается линейная зависимость вертикального перемещения от горизонтального.

Обсуждение

Видно, что функция вертикального перемещения $y\left(x\right)$ зависит от двух параметров: начального погружения $y_0$ и ширины штампа $b$. Ширина штампа $b$ является геометрической характеристикой самого штампа и напрямую определяет размер шага заглубления. В пределах одного шага, максимальная величина заглубления имеет одно и то же значение (рис. 4, a). Величина начального заглубления $y_0$ является характеристикой грунта и зависит (1) от вертикального усилия $P$. Таким образом, глубина погружения штампа $y\left(x\right)$ пропорционально величине начального заглубления $y_0$ (рис. 4, b).

Для обобщения введём относительные переменные $\xi =x/b$ и $\eta =y/y_0$, позволяющие свести обе зависимости (см. рис. 4) к одной общей зависимости (рис. 5). Полученная зависимость описывает траекторию заглубления штампа в произвольный грунт независимо от геометрических параметров штампа и может быть использована при проектировании рабочих орудий рыхлителя.

Рис. 4. Траектория у(х) движения штампа при разной а) — ширине b и b) — начальном погружении у0.

Fig. 4. The motion path y(x) of the stamp for different а: widths b and b: initial depths у0.

Рис. 5. Траектория движения штампа у(х) для разных грунтов и размеров штампа.

Fig. 5. Motion path of the stamp y(x) for various soils and stamp sizes.

Заключение

Разработана математическая модель движения прямого штампа под действием вертикальной силы при горизонтальном перемещении, которая может быть положена в основу описания взаимодействия процесса заглубления рабочего орудия в грунт.

Процесс погружения прямого штампа в грунт под действием вертикального усилия и при заданном горизонтальном перемещении описывается разными моделями на разных этапах:

• на первом этапе $b\ge x$ модель движения описывается линейным уравнением с разделяющимися переменными;
• на втором этапе $b\le x$ модель движения описывается линейным дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.

Решение уравнений движения удобно выполнять численным пошаговым методом, аппроксимируя их полиномом не выше второго порядка.

Введение безразмерных переменных позволяет свести уравнение траектории движения штампа к единому виду, не зависимо от его размеров и типа грунта.

Дополнительная информация

Вклад автора. Автор одобрил рукопись (версию для публикации), а также согласился нести ответственность за все аспекты работы, гарантируя надлежащее рассмотрение и решение вопросов, связанных с точностью и добросовестностью любой её части.

Этическая экспертиза. Неприменимо.

Источники финансирования. Отсутствуют.

Раскрытие интересов. Автор заявляет об отсутствии отношений, деятельности и интересов за последние три года, связанных с третьими лицами (коммерческими и некоммерческими), интересы которых могут быть затронуты содержанием статьи.

Оригинальность. При создании настоящей работы автор не использовал ранее опубликованные сведения (текст, иллюстрации, данные).

Доступ к данным. Редакционная политика в отношении совместного использования данных к настоящей работе не применима, новые данные не собирали и не создавали.

Генеративный искусственный интеллект. При создании настоящей статьи технологии генеративного искусственного интеллекта не использовали.

Рассмотрение и рецензирование. Настоящая работа подана в журнал в инициативном порядке и рассмотрена по обычной процедуре. В рецензировании участвовали два внешних рецензента, член редакционной коллегии и научный редактор издания.

Additional information

Author contribution: Thereby, the author made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agrees to be accountable for all aspects of the work.

Ethics approval: Not applicable.

Funding sources: No funding.

Disclosure of interests: The author has no relationships, activities or interests for the last three years related with for-profit or non-profit third parties whose interests may be affected by the content of the article.

Statement of originality: In creating this work, the author did not use previously published information (text, illustrations, data).

Data availability statement: Editor’s policy in terms of collective use of data is not applicable to this paper, any new data are neither collected nor created.

Generative AI: Generative AI technologies were not used for this article creation.

Provenance and peer-review: The paper was submitted to the journal in a proactive way and was reviewed according to the standard procedure. Two external reviewers, a member of the editorial board and the scientific editor of the journal took part in the review.

Об авторах

Ирина Павловна Трояновская

Автор, ответственный за переписку.
Email: tripav63@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-2763-0515
SPIN-код: 8733-7935

Почетный машиностроитель РФ, д-р техн. наук, профессор

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Схема вертикального погружения прямого штампа в грунт.

Скачать (84KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Схема горизонтального перемещения прямого штампа в грунте при действии вертикальной силы (в пределах ширины штампа).

Скачать (63KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Схема горизонтального перемещения прямого штампа в грунте при действии вертикальной силы (за пределами ширины штампа.

Скачать (104KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Траектория у(х) движения штампа при разной а) — ширине b и b) — начальном погружении у0.

Скачать (193KB)

Метаданные

6. Рис. 5. Траектория движения штампа у(х) для разных грунтов и размеров штампа.

Скачать (105KB)

Метаданные