The method for calculating the traction resistance of a flat disk

全文:

Введение При предпосевной обработке почвы и на парах предпочтительнее использовать лущильники с плоскими дисками, поскольку в этом случае происходит меньшее распыление почвы и нижние (влажные) слои ее не выносятся на поверхность. Они применяются также в районах, подверженных действию ветровой эрозии почв для закрытия влаги на стерневых полях, так как плоские диски не оборачивают снимаемые ими пласты, а лишь рыхлят их, сдвигая в сторону. Поэтому значительная часть лущильников ЛД-10 выпускалась с плоскими дисками. Лущильники гидрофицированные дисковые ЛДГ-5, ЛДГ-10, ЛДГ-15 и ЛДГ-20 могут быть укомплектованы плоскими дисками. Однако проектирование таких лущильников затрудняется недостаточным количеством данных, необходимых для проведения их силовых и прочностных расчетов [1], поэтому построение математической модели взаимодействия диска лущильника с почвой является актуальной. Такая модель позволит не только заменять натурные эксперименты вычислительными, но и решать задачу выбора оптимальных параметров диска по одному или многим критериям оценки. Построением математических моделей взаимодействия плоского диска с почвой, начиная с Н. Нерли, занимались многие исследователи [2-7]. Величина кинематического параметра диска, равная отношению окружной скорости точек его лезвия к скорости поступательного движения, определяет распределение сил трения почвы о диск на его боковой поверхности и распределение элементарных сил сопротивления почвы резанию на его лезвии. В работах ряда автора [8-10] была построена обобщенная математическая модель взаимодействия плоского диска с почвой, учитывающая величину этого кинематического параметра, из которой вытекали как частные случаи известные модели, построенные ранее. Эта модель позволила теоретически описать явление скольжения-буксования свободно вращающегося диска в почве и определить его основные силовые характеристики в зависимости от геометрических параметров и параметров режима работы диска [10-11]. Кроме того, эта модель позволила получить решения неформальной задачи рационального выбора параметров дискового ножа при одном и двух критериях оценки [12-14]. Однако во всех построенных моделях рассматривался диск, движущийся в своей плоскости, поэтому они не применимы для описания взаимодействия диска лущильника с почвой, движущегося под ненулевым углом атаки к направлению поступательного движения. Цель исследования Цель данной работы - построить математическую модель взаимодействия диска лущильника с почвой, движущегося под заданным углом атаки, которая учитывает режим движения диска, его геометрию и позволяет рассчитывать тяговое сопротивление диска лущильника в зависимости от этих параметров. Основные результаты исследования и их обсуждение Пусть плоский диск лущильника радиуса r, погруженный в почву на глубину h, движется при постоянной поступательной скорости орудия равной vп, вращаясь при этом с некоторой постоянной угловой скоростью ω в своей плоскости, образующей угол атаки α с направлением поступательной скорости (рис. 1). Со стороны почвы на лезвие диска действуют реакции сопротивления резанию, а на сектор его боковой поверхности - силы нормального давления и силы трения почвы. Будем считать, что почва достаточно однородна. Тогда ее давление на боковую поверхность сегмента ножа в почве может быть приближенно заменено средним значением p, а сопротивление почвы резанию, приходящееся на единицу длины лезвия диска, можно заменить некоторым средним значением Q. Для определения проекции главного вектора реакций почвы на диск лущильника свяжем с ним подвижную систему координат, поместив ее начало в центр диска. Направим ось Ox горизонтально в сторону его поступательного движения, ось Oz - вертикально вниз, а ось Oy - перпендикулярно этим двум осям, так чтобы получилась правая система координат (рис. 1). Кроме того, свяжем с диском еще одну подвижную систему координат Ox1y1z с началом в той же точке, получающуюся из системы Oxyz поворотом на угол α, так чтобы ось Ox1 оказалась в плоскости диска (рис. 1). Относительно системы координат Oxyz диск совершает вращательное движение, и относительную скорость его произвольной точки М (x1; y1; z1) можно определить по формуле Эйлера, если ввести вектор угловой скорости диска, направленный против оси Oy1, модуль которого равен ω: (1) где - радиус-вектор точки М; - орты координатных осей системы Ox1y1z. Переносной скоростью точки М является поступательная скорость диска, направленная по оси Ox: (2) Абсолютная скорость точки М находится сложением ее относительной и переносной скорости и согласно (1), (2) равна: (3) Примем модель сжимаемого пласта, для которой плоскость относительного перемещения любой частицы почвы проходит через нормаль к плоскости диска и через вектор скорости той точки диска, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая частица почвы [6]. При этом направление относительной скорости частицы почвы, взаимодействующей с данной элементарной площадкой боковой поверхности диска, противоположно направлению векторной проекции вектора некоторой точки этой элементарной площадки на плоскость диска. Поскольку вектор перпендикулярен плоскости диска, то эта проекция, с учетом (3), равна: Находя модуль этого вектора, определяем орт направления элементарной силы трения, действующей на рассматриваемую элементарную площадку: (4) где При α = 0 равенство (4) запишется следующим образом: (5) где Это равенство определяет орт направления элементарной силы трения, действующей на рассматриваемую элементарную площадку при α = 0. При замене λ на λ1 в равенстве (5) оно переходит в равенство (4). Поэтому выражения для главного вектора и главного момента элементарных сил трения почвы о диск лущильника, движущегося с углом атаки, получаются из соответствующих выражений для дискового ножа, движущегося в своей плоскости, если в них заменить λ на λ1, а давление p - на 0,5p (диск лущильника взаимодействует с почвой лишь одной боковой поверхностью). Коэффициент λ1 можно выразить через коэффициент скольжения (буксования) η: Как следует из экспериментов [6], хотя плоские диски лущильника при различных углах атаки α могут двигаться в почве как со скольжением (η < 0), так и с буксованием (η > 0) или катятся (η = 0), абсолютные значения этого коэффициента меняются в тех же пределах, что и для дискового ножа, движущегося в своей плоскости. А значит, коэффициент λ1 также изменяется незначительно. В работе Ю.В. Константинова [15] были получены явные выражения для главного вектора и главного момента элементарных сил трения почвы дискового ножа при следующих предположениях: скорость поступательного движения диска постоянна; заглубление дискового ножа постоянно; трением в подшипнике диска можно пренебречь; давление почвы на боковую поверхность дискового ножа можно заменить его средним значением; усилие реакций почвы, приходящееся на единицу длины его лезвия, можно заменить его средним значением. Было показано, что при 0,95 ≤ λ ≤ 1,05 ошибка этих выражений не превышает 5 % и стремится к нулю при λ → 1. Заменяя в них λ на λ1, а давление p - на 0,5p, получим для диска лущильника, движущегося с углом атаки, выражения для проекции на ось Ox1 главного вектора элементарных сил трения о боковую поверхность и их суммарного момента относительно точки O: (6) (7) где f - коэффициент трения почвы о материал диска (сталь). В первом приближении можно считать, что элементарные сопротивления почвы резанию лезвием диска, движущегося под углом атаки, лежат в его плоскости. Поэтому выражение для его проекции на Ox1 можно получить из соответствующего выражения для дискового ножа, движущегося в своей плоскости, заменяя λ на λ1. В работе [15] были получены явные выражения для главного вектора и главного момента элементарных сил сопротивления резанию почвы для дискового ножа. Их ошибка при 0,8 ≤ λ ≤ 1,2 не превышает 1 % и стремится к нулю при λ→1. Заменяя в этих выражениях λ на λ1, получим выражения для проекции на ось Ox1 главного вектора элементарных сопротивлений почвы резанию лезвием диска, движущегося с углом атаки, и их суммарного момента относительно точки O: (8) (9) Для того чтобы найти проекции на оси координат результирующей реакции почвы на диск лущильника, нужно сначала определить значение коэффициента , соответствующего движению диска под действием сил реакций почвы. Момент трения в подшипнике диска, установленного свободно на оси и равномерно вращающегося вследствие его взаимодействия с почвой, мал [4]. Если им пренебречь, то параметр , определяющий режим движения диска лущильника, найдется из следующего уравнения равновесия моментов: (10) где и - безразмерный суммарный момент сил сопротивлений резанию почвы лезвием диска лущильника и безразмерный суммарный момент сил трения на боковой поверхности, а - безразмерный эмпирический коэффициент, зависящий от свойств почвы (p, Q), радиуса диска r и определяющий относительный вес этих безразмерных моментов в результирующем безразмерном моменте сил реакций почвы. Из (9) следует выражение для , подставляя которое в уравнение (10), получим: Правая часть последнего равенства является дифференцируемой функцией переменной. Поэтому для , близких к единице, можно приближенно заменить значение правой части на ее значение при : В силу этого равенства подстановка λ = в формулу (8) приводит к следующему равенству: (11) Проекция на ось Ox1 главного вектора элементарных реакций почвы на диск лущильника равна сумме проекций результирующих реакций на его лезвие и боковую поверхность: Rx1 = Rлx1 + Fбx. Поскольку проекция Fбx является дифференцируемой функцией λ1, а близко к единице, то ее значение при λ1 = можно заменить значением этой проекции при λ1 = 1. Тогда из равенств (6), (7) и (11) получим: При малых ξ из последнего равенства следует более простое выражение для искомой проекции [11]: (12) Поскольку силы нормального давления на плоскость диска параллельны между собой, то величина их главного вектора Fn равна произведению давления p на площадь сегмента диска в почве: где cosϑ0 = 1 - ξ. При малых относительных заглублениях для определения Fn также можно использовать более простую формулу: (13) Как показывают расчеты, ошибка этой формулы при относительном заглублении ξ = 0,5 не превышает 8,6 % и убывает с его уменьшением. Проектируя силы Fn и на ось Ox, получим проекцию главного вектора всех элементарных сил реакций почвы, действующих на диск в направлении его поступательного движения (рис. 2): Rx = Rx1cosα - Fnsinα. Подставляя в это равенство формулы (12) и (13), получим: Как известно, давление на щеку диска растет с увеличением угла атаки [6], поэтому, хотя для диска лущильника n неизвестным образом зависит от α, в первом приближении можно положить n = n1+n2α, где n1 и n2 - эмпирические коэффициенты. Поэтому выражение искомой проекции окончательно перепишется в виде: (14) Экспериментальные точки были получены пересчетом на один диск результатов опытов В.Ф. Стрельбицкого по динамометрированию батарей из плоских дисков ЛФ402 диаметром D = 450 мм при обработке пара [1]. На рис. 3 квадратиками отмечены точки, соответствующие углу атаки α = 15°; кружками - углу атаки 25° и треугольниками - углу атаки 35°, а также теоретические кривые, построенные по формуле (14). Положив f = 0,5, Q = 714,76 Н/м, n1 = 0,9 и n2 = 5,6, получим, что для зависимости (14) вида: максимальная относительная ошибка представления экспериментальных данных меньше 12 %. Графики модуля Rx, то есть тягового сопротивления диска лущильника, представлены на том же рисунке тремя кривыми. Нижняя кривая соответствует углу α = 15°, средняя - углу α = 25° и верхняя - углу α = 35°. Для полевых экспериментов согласие теоретических зависимостей с экспериментальными данными следует признать удовлетворительным. Заключение Построенная математическая модель позволяет существенно упростить эксперименты по изучению взаимодействия дисков лущильника с почвой и значительно уменьшить их число, заменяя такие эксперименты вычислительными, обоснованно производить силовые и прочностные расчеты дисковых рабочих органов. Ее можно использовать для рационального выбора геометрических и режимных параметров диска лущильника с помощью решения задач оптимизации по одному или нескольким критериям оценки. Рис. 1. Системы координат связанные с движущимся диском лущильника Рис. 2. Составляющие главных векторов элементарных реакций почвы, расположенные в горизонтальной плоскости Рис. 3. Графики зависимости тягового усилия от ξ для 3 значений α и экспериментальные точки

作者简介

A. Akimov

Chuvash State Agricultural Academy

Email: akimov_mechfak@mail.ru
DSc in Engineering

Yu. Konstantinov

Chuvash State Agricultural Academy

Email: akimov_mechfak@mail.ru
PhD in Engineering

参考

补充文件