Method for selection of parameters of machine and tractor unit taking into account a possible stability loss of wheeled tractor with high tractional load

Full Text

УДК 629.01 ТСМ № 9-2014 Методика выбора параметров МТА с учетом возможной потери устойчивости колесного трактора при высокой тяговой нагрузке Канд. техн. наук Ю.С. Щетинин, инж-ры Е.В. Климова, Л.И. Тарасова (Университет машиностроения (МАМИ), jsetinin@mail.ru) Аннотация. Применительно к случаю движения колесного тягового средства по ровному основанию с нагрузкой, вызывающей значительное буксование ведущих колес, разработана методика расчета на ЭВМ, позволяющая определить условия самовозбуждения колебаний остова в продольной плоскости. Приведены блок-схема процесса вычислений и пример выполнения расчета. Ключевые слова: колебательная система, математическая модель, самовозбуждение колебаний, методика расчета, устойчивость движения. В работе [1] теоретически обоснована возможность самовозбуждения колебаний остова колесного трактора в продольной плоскости при его работе в тяговом режиме. Показано, что при движении колесного трактора с нагрузкой на крюке даже по ровной опорной поверхности возможно установление в системе положительных обратных связей между источником энергии, который реагирует на изменение касательных сил, и состоянием системы, которое обусловливает изменение вертикальных нагрузок на колеса. В этом случае система становится потенциально автоколебательной и в ней возможно самовозбуждение колебаний. Внешне это будет проявляться в резком увеличении амплитуд вертикальных и продольно-угловых колебаний остова. В данной работе сам по себе процесс автоколебаний не исследуется. Дело в том, что снижение уровня установившихся колебаний различными конструкционными методами не оправдано. Важно исключить саму возможность возникновения таких колебаний. В связи с этим практический интерес представляет определение влияния параметров агрегата на самовозбуждение колебаний. Для решения поставленной задачи воспользуемся математической моделью, созданной на основе расчетной схемы, которая представлена на рис. 1. Полноприводный колесный трактор массой m1 совершает движение по ровному недеформируемому основанию с прицепным орудием массой m2 . Система имеет четыре степени свободы. Начало инерционной системы координат 0 расположено в центре масс остова (координаты h0 и a). За положение равновесия системы принято равномерное поступательное движение под действием веса, постоянных касательных сил и силы тяги на крюке. Для описания движения относительно подвижной системы координат введены обобщенные координаты q1-q4. Масса остова m1 и масса орудия m2 совершают поступательные движения в продольной плоскости, масса с моментом инерции J0 совершает вращательное движение. Демпфирующие и упругие свойства подвески и шин учтены использованием упругих элементов с коэффициентами диссипации k1, k2 и коэффициентами жесткости с1, с2. Элементы k3 и с3 учитывают демпфирующие и упругие свойства сцепки. Элементы k4 и с4 введены для учета изменения силы сопротивления орудия. Изменение реакций под колесами относительно принятого состояния равновесия учтено введением внешних сил , , и . Силы инерции , , и момент сил инерции учитывают инерционные свойства системы. L - продольная база трактора, hкр - высота точки прицепа. Для составления уравнений движения воспользуемся методом, изложенным в работе [2]. В этом случае уравнения движения системы имеют вид: , (1) где А - матрица инерционных коэффициентов; В - матрица коэффициентов диссипации; С - матрица коэффициентов жесткости; - вектор обобщенных сил; - векторы (матрицы-столбцы) соответственно обобщенных координат, обобщенных скоростей и обобщенных ускорений. Матрица А представляет собой диагональную матрицу размерностью : . Матрицы B и С вычисляются: ; ; ; ; . Здесь и далее т - оператор транспонирования матрицы. ; . В работе [1] теоретически установлено, что касательная сила тяги пневматического колеса зависит от нормальной нагрузки на колесо. Для оценки этого влияния введен коэффициент Кв , представляющий собой отношение изменения касательной силы к изменению нормальной нагрузки. Расчеты показали, что эта зависимость неоднозначна: с увеличением нормальной нагрузки на колесо можно ожидать как увеличения, так и уменьшения касательной силы тяги. В значительной мере это зависит от величины буксования колеса. При буксовании 20% и более зависимость становится практически пропорциональной, и коэффициентом этой пропорциональности служит коэффициент сцепления . Далее ограничимся рассмотрением только этого режима качения и примем допущение, что мощность двигателя и нагрузка со стороны орудия обеспечивают реализацию этого режима. Тогда ; . С учетом того, что ; , получим , где ; . С учетом этого уравнение (1) принимает вид: , (2) где ; ; . На данном этапе важен вопрос: возникнет ли процесс автоколебаний при заданных параметрах системы? Для подобных исследований достаточно рассмотреть движение автономной системы, которое описывается уравнением (2). Условие отсутствия автоколебаний в системе сводится к условию устойчивости движения этой системы относительно установившегося движения. Под устойчивостью движения здесь следует понимать асимптотическую устойчивость движения по Ляпунову. При выводе уравнения (2) за положение равновесия было принято установившееся движение системы, поэтому для получения уравнения возмущенного движения достаточно привести это уравнение к нормальной форме Коши. Для исследования устойчивости движения механических систем такого типа наиболее эффективно использовать первое приближение Ляпунова. Во-первых, оно позволяет использовать алгебраические методы, заключающиеся в отыскании корней характеристического уравнения, которые довольно просто реализовать с помощью ЭВМ. В ряде случаев можно даже ограничиться только изучением расположения корней характеристического полинома. Во-вторых, линеаризация часто приводит к тому, что система дифференциальных уравнений распадается на ряд более простых независимых друг от друга систем уравнений, что значительно упрощает их анализ. И наконец, линейные системы удобны для нахождения оптимальных в смысле устойчивости параметров системы. Они позволяют сравнительно легко проводить исследования зависимости характера устойчивости от параметров системы, не прибегая к рассмотрению большого числа вариантов. Для применения этого метода необходимо, чтобы система отвечала определенным условиям в отношении характера существующих в реальном объекте нелинейностей. В данном случае есть основания считать, что эти условия выполняются. Действительно, для случая малых колебаний нелинейность уравнения (1) определяется нелинейностью коэффициентов и (ранее было принято, что для рассматриваемого случая работы колес коэффициенты и - постоянные величины). При отсутствии сил «сухого» трения нелинейности упругих и демпфирующих свойств пневматических шин, подвески колес и сцепки несущественны в рассматриваемых пределах изменения обобщенных координат и их производных. Кроме того, нетрудно показать, что эти члены уравнения допускают разложение в ряд Тейлора. Ситуация с коэффициентами k4 и с4 сложнее, но на данном этапе примем априори, что они постоянны. С учетом этих обстоятельств для решения вопроса об устойчивости движения машинно-тракторного агрегата (МТА) достаточно исследовать устойчивость равновесия линейной автономной системы, движение которой описывается дифференциальным уравнением: , или , где G - матрица размерностью 8х8. ; . Коэффициенты уравнения - постоянные величины, 0 - нулевая матрица 4х4, Е - единичная матрица 4х4. Известно [3], что устойчивость такой системы полностью определяется свойствами характеристических показателей - корней характеристического уравнения: . (3) Равновесие системы устойчиво по Ляпунову, если действительные части всех характеристических показателей неположительны, причем чисто мнимые характеристические показатели с нулевой действительной частью - либо простые, либо имеют простые элементарные делители. Равновесие системы асимптотически устойчиво, если все характеристические показатели имеют отрицательные действительные части. Равновесие системы неустойчиво, если среди характеристических показателей есть хотя бы один с положительной действительной частью. Следовательно, чтобы доказать, что движение МТА устойчиво, достаточно убедиться, что все корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части, т.е. лежат в открытой левой полуплоскости комплексных чисел. Существуют три пути решения этой задачи. Первый - решение полной задачи о собственных значениях матрицы G с помощью итерационных методов. Второй путь связан с использованием методов, основанных на предварительном вычислении коэффициентов характеристического полинома (3), и численных методов определения его корней. Третий путь - применение критериев асимптотической устойчивости Рауса и Гурвица. Основное преимущество использования критериев устойчивости - возможность получения аналитического решения - практически реализуется только для систем с одной и двумя степенями свободы. Поэтому если при решении предполагается использование численных методов с применением ЭВМ, то предпочтение следует отдавать первым двум путям. При практически равных затратах машинного времени по сравнению с третьим путем они позволяют получить более полную информацию о процессе. Наглядное представление о влиянии параметров МТА на устойчивость его движения может дать построение областей устойчивости. Практически эта задача сводится к построению границ устойчивости на плоскости двух параметров с последующей идентификацией областей. Границей устойчивости на плоскости параметров и будет служить некоторая функция , удовлетворяющая условию: , (4) где - наибольшая действительная часть корней характеристического уравнения. В качестве параметра удобно выбрать величину Р, которая соответствует суммарной касательной силе тяги трактора при установившемся режиме движения МТА. Преимущество такого выбора заключается в том, что, во-первых, эта сила во многом характеризует общую работоспособность трактора, во-вторых, она непосредственно связана с буксованием колес, которое нельзя не учитывать при анализе результатов, и наконец, при этом упрощается построение областей устойчивости. Действительно, в связи с тем, что входящие в выражение (4) коэффициенты и однозначно влияют на поступление энергии от двигателя в систему, во всей области изменения параметра Р для каждого набора значений остальных параметров существует единственное состояние системы, когда баланс энергии в ней равен нулю. При этом в случае существования в системе положительных обратных связей увеличение Р всегда приводит к снижению устойчивости системы. Все это позволяет применить довольно простой метод поиска границы устойчивости, основанный на том, что если при некотором Р величина , то значение , при котором выполняется условие (4), больше Р; если , то . График функции представляет собой границу устойчивости системы на плоскости параметров Р и . При всех значениях Р, не превышающих Ркрит, движение системы всегда устойчиво, при всех движение неустойчиво. В дальнейшем условимся Ркрит называть критической силой тяги. Она определяется по выражению: , (5) где , - статические вертикальные нагрузки на колеса с учетом их перераспределения от действия реакции со стороны сцепки. Для системы с отрицательными обратными связями искать границу устойчивости не имеет смысла. Движение такой системы всегда устойчиво. Для нахождения границ устойчивости движения МТА были использованы численные методы, реализованные на персональном компьютере. Упрощенная блок-схема вычислений представлена на рис. 2. В процессе расчета один из параметров системы (Х) изменялся от минимального значения Хmin до максимального Xmax с шагом ΔX. Методом итераций определялось значение , соответствующее границе устойчивости системы. Для полноприводного трактора принималось, что = = ; для заднеприводного = ; =0; при работе только переднего привода = ; =0. При нахождении применялся метод половинного деления. Путем последовательного приближения из области значений 0…1 отыскивалось значение , при котором величина была близка к нулю. Приближение считалось удовлетворительным, если ошибка в вычислении не превышала 0,01. Величина находилась путем последовательного перебора действительных частей вычисленных собственных значений матрицы G. Исходная несимметричная матрица G предварительно приводилась к верхней почти треугольной форме (форме Хессенберга), после чего к ней применялась двойная итерация Френсиса для вычисления спектра собственных значений. При создании этой части программы использовался текст стандартных подпрограмм HSBG и ATEIG из библиотеки FORTRAN IV [4]. Результаты расчетов Ркрит для различных сочетаний коэффициентов жесткости передней и задней подвесок в зависимости от положения продольной координаты центра масс трактора представлены на рис. 3. Остальные параметры системы имели следующие значения: m1=5200 кг; m2=7500 кг; J0=6300 кг/м2; с1=с2=0,86·106 Н/м; с3=108 Н/м; с4=0; k1=k2=4200 Н·с/м; k3=104 Н·с/м; k4=2·104 Н·с/м; h0=1 м; hкр=0,45 м; L=2,6 м; а=1,1 м. Анализ результатов здесь отсутствует, так как график приводится только для оценки возможности реализации предлагаемой методики. На рис. 4 даны результаты теоретических расчетов значений действительных частей собственных значений матрицы G в зависимости от параметра Р для случая, когда с1 = с2 = 0,86·106 Н/м; а = 1,1 м. Корни уравнения (3) комплексные сопряженные. Rel2 = Rel1; Rel4 = Rel3; Rel6 = Rel5; Rel8 = Rel7 . Мнимые части корней уравнения при этом имели значения: Ril1= 193,4; Ril3 = 19,2; Ril5 = 18,7; Ril7= 0. Согласно расчету, при Р > Ркрит= 26 кН в системе возникает самовозбуждение колебаний с частотой 18,7 1/с (2,98 Гц). Выводы 1. Применительно к случаю движения колесного тягового средства по ровному основанию с нагрузкой на крюке, вызывающей значительное буксование ведущих колес, разработана методика численного расчета на ЭВМ, позволяющая определить условия самовозбуждения колебаний остова в продольной плоскости. 2. Методика может быть использована для оценки возможности возникновения процесса автоколебаний остова тягового средства при выбранных соотношениях конструкционных параметров и при оптимизации параметров агрегата с целью исключения возможности появления этого процесса.

About the authors

Yu. S Schetinin

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

Email: jsetinin@mail.ru

Ye. V Klimova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

L. I Tarasova

Moscow State University of Mechanical Engineering (MAMI)

References

Supplementary files