Double asymptotic expansion of the resolving operator of the cauchy problem for the line-arized system of gas dynamics

Cover Page

Abstract


We obtain double asymptotic expansion (with respect to smoothness and small viscosity) of the resolving operator of the Cauchy problem for the linearized system of gas dynamics. We derive estimates for the summands and for the residual in the Sobolev scale.We describe explicitly hydrodynamic and acoustic modes.


Full Text

Уравнениям газовой динамики посвящена огромная литература (как математическая, так и физическая); будучи линеаризованными на гладком течении, они описывают эволюцию малых возмущений на заданном фоне. С точки зрения уравнений в частных производных такая система обладает чертами как гиперболических, так и параболических уравнений. Точнее: если вязкость равна нулю (идеальный газ), система нестрого гиперболическая — ей отвечают как простые, так и двукратные характеристики. Учёт вязкости приводит к наличию “параболических” слагаемых, причём соответствующая квадратичная форма оказывается вырожденной. Кроме того, во многих приложениях вязкость естественно считать малой; тем самым в системе возникает малый параметр при старших производных. Эти обстоятельства приводят к специфической структуре разрешающего оператора задачи Коши для системы газовой динамики — он содержит компоненты различной гладкости и различного порядка по малому параметру. Ниже приведено полное асимптотическое разложение этого оператора, которое имеет двойной характер: остаток соответствующего ряда может быть сделан сколь угодно гладким и сколь угодно малым по параметру вязкости. Разложение состоит из двух частей: первая строится при помощи квазиклассической теории (или теории интегральных операторов Фурье (см., например, [1, 2]); вторая — при помощи теории возмущений по малой вязкости. Правильная склейка этих разложений приводит к наличию дробных степеней малого параметра в асимптотике. Отметим, что для линеаризованных уравнений Навье–Стокса аналогичное разложение было получено в [3], а для линеаризованных уравнений магнитной гидродинамики — в [4]; основное отличие системы газовой динамики от указанных уравнений состоит в наличии так называемых акустических мод — характеристик, соответствующих нелинейным по импульсам гамильтонианам. Это обстоятельство приводит к наличию фокальных точек и, как следствие, к необходимости использовать канонический оператор Маслова [5] вместо стандартных ВКБ-разложений. Этот же эффект отвечает за “ухудшение” оценок норм слагаемых параметрикса по сравнению с цитированными работами (см. п. 2.3 ниже). Наконец, отметим, что для старшей части упомянутых акустических мод мы получаем явные формулы (п. 2.2) — соответствующие уравнения переноса полностью интегрируются.

1. Постановка задачи

Линеаризованные уравнения газовой динамики представляют собой следующую систему уравнений на зависящее от времени трёхмерное векторное поле u x,t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaamyDamaabmaapaqaa8qacaWG4bGaaiilaiaadshaaiaawIcacaGL Paaaaaa@3B21@ и скалярную функцию ρ(x, t):

u t + V, u+ u, V+ρP' ρ 0 +P ρ 0 ρ ρ 0 = = ε 2 νΔu+ ε 2 μgraddivu, ρ t + V, ρ+ρ ,V + u, ρ 0 + ρ 0 ,u =0. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaKaaGbbaaaaaaa aapeqbaeqabmqaaaqaaOWaaSaaaKaaG9aabaWdbiabgkGi2kaadwha a8aabaWdbiabgkGi2kaadshaaaGaey4kaSIcdaqadaqcaa2daeaape GaamOvaiaacYcacqGHhis0aiaawIcacaGLPaaacaWG1bGaey4kaSIc daqadaqcaa2daeaapeGaamyDaiaacYcacqGHhis0aiaawIcacaGLPa aacaWGwbGaey4kaSIaey4bIeTaeqyWdiNaamiuaiaacEcakmaabmaa jaaypaqaa8qacqaHbpGCk8aadaWgaaqcbawaa8qacaaIWaaapaqaba aajaaypeGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaadcfacqGHZaISkmaabmaa jaaypaqaa8qacqaHbpGCk8aadaWgaaqcbawaa8qacaaIWaaapaqaba aajaaypeGaayjkaiaawMcaaiabeg8aYjabgEGirlabeg8aYPWdamaa BaaajeaybaWdbiaaicdaa8aabeaajaaycqGH9aqpa8qabaGaeyypa0 JaeqyTduMcpaWaaWbaaKqaGfqabaWdbiaaikdaaaqcaaMaeqyVd4Ma euiLdqKaamyDaiabgUcaRiabew7aLPWdamaaCaaajeaybeqaa8qaca aIYaaaaKaaGjabeY7aTjaaysW7caqGNbGaaeOCaiaabggacaqGKbGa aGjbVlaabsgacaqGPbGaaeODaiaaysW7caWG1bGaaiilaaqaaOWaaS aaaKaaG9aabaWdbiabgkGi2kabeg8aYbWdaeaapeGaeyOaIyRaamiD aaaacqGHRaWkkmaabmaajaaypaqaa8qacaWGwbGaaiilaiabgEGird GaayjkaiaawMcaaiabeg8aYjabgUcaRiabeg8aYPWaaeWaaKaaG9aa baWdbiabgEGirlaacYcacaWGwbaacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIcda qadaqcaa2daeaapeGaamyDaiaacYcacqGHhis0aiaawIcacaGLPaaa cqaHbpGCk8aadaWgaaqcbawaa8qacaaIWaaapaqabaqcaa2dbiabgU caRiabeg8aYPWdamaaBaaajeaybaWdbiaaicdaa8aabeaak8qadaqa daqcaa2daeaapeGaey4bIeTaaiilaiaadwhaaiaawIcacaGLPaaacq GH9aqpcaaIWaGaaiOlaaaaaaa@ADA4@

Здесь x 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaamiEaiabgIGioprr1ngBPrwtHrhAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1D VbacfaGae8xhHi1damaaCaaaleqabaWdbiaaiodaaaaaaa@441B@ , V(x), ρ0(x) — заданные гладкие ограниченные вместе со всеми производными векторное поле и положительная скалярная функция, отделённая от нуля, P z MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape Gaamiuamaabmaapaqaa8qacaWG6baacaGLOaGaayzkaaaaaa@3955@ — заданная гладкая положительная функция одной переменной, μ,ν,ε MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaeqiVd0Maaiilaiabe27aUjaacYcacaaMc8UaaGPaVlabew7aLbaa @3F64@ — неотрицательные параметры, характеризующие вязкость. Мы будем считать, что ε +0, а μ,ν,ε MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaeqiVd0Maaiilaiabe27aUjaacYcacqaH1oqzaaa@3C4E@ фиксированы и не зависят от ε. Поставим для этой системы задачу Коши

u | t=0 = u 0 x , ρ | t=0 = ρ 0 x , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaamyDaiaacYhapaWaaSbaaSqaa8qacaWG0bGaeyypa0JaaGimaaWd aeqaaOWdbiabg2da9iaadwhapaWaaWbaaSqabeaapeGaaGimaaaakm aabmaapaqaa8qacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaiilaGGaaiab=bca Giab=bcaGiab=bcaGiabeg8aYjaacYhapaWaaSbaaSqaa8qacaWG0b Gaeyypa0JaaGimaaWdaeqaaOWdbiabg2da9iabeg8aY9aadaahaaWc beqaa8qacaaIWaaaaOWaaeWaa8aabaWdbiaadIhaaiaawIcacaGLPa aacaGGSaaaaa@50D6@ (2)

где u0, ρ0 — распределения из некоторого пространства Соболева HS. Нетрудно показать (в частности, это следует из приведённой ниже теоремы), что при всех ε решение такой задачи на любом конечном отрезке времени t[0,T] MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadshacqGHii IZcaaMc8UaaGPaVlaacUfacaaIWaGaaiilaiaadsfacaGGDbaaaa@3F4E@ будет представлять собой распределение, также принадлежащее HS; тем самым определён оператор R(t, ε): HSHS, переводящий начальную функцию в решение в момент времени t. Далее через v(t) будем обозначать четырехмерный вектор (u, ρ), а через v0 — вектор (u0, ρ0); таким образом, по определению, v(t) = R(t, ε) v0 .

Определение. Оператор R(t, ε) называется разрешающим оператором задачи Коши (1), (2).

Наша цель — представить оператор R в виде формального ряда, который будет асимптотическим одновременно по гладкости и по параметру ε; другими словами, для каждых M, N найдётся частичная сумма этого ряда, которая будет отличаться от R на оператор, ограниченный из HS в HS+M и имеющий норму порядка εN (ниже приведены более детальные оценки).

2. Основные конструкции и вспомогательные результаты

Опишем геометрические и функционально- аналитические объекты, участвующие в определении указанного асимптотического ряда.

2.1. Характеристики и волновые фронты. Системе уравнений газовой динамики соответствуют характеристики двух типов — так называемые гидродинамическая и акустические моды. Гидродинамическая мода двукратно вырождена и соответствующие характеристики лежат в конфигурационном пространстве 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabl2riHoaaCa aaleqabaGaaG4maaaaaaa@3812@ ; акустические моды простые, а характеристики лежат в фазовом пространстве 6 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabl2riHoaaCa aaleqabaGaaGOnaaaaaaa@3815@ . Начнём с гидродинамической моды; пусть X(y, t) — траектория векторного поля V(x), выпущенная из точки y, т.е. решение задачи Коши

X = V(X), X(0) = y; (3)

через x0(x, t) будем обозначать начальную точку траектории, пришедшую в точку x за время t, т.е. решение уравнения X(x0, t) = x. Через P(k, y, t) обозначим переносимый вдоль траектории кокасательный вектор, т.е. решение задачи

P ˙ + V * x X y,t P=0, P 0 =k MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape Gabmiua8aagaGaa8qacqGHRaWkdaWcaaWdaeaapeGaeyOaIyRaamOv a8aadaahaaWcbeqaa8qacaGGQaaaaaGcpaqaa8qacqGHciITcaWG4b aaamaabmaapaqaa8qacaWGybWaaeWaa8aabaWdbiaadMhacaGGSaGa amiDaaGaayjkaiaawMcaaaGaayjkaiaawMcaaiaadcfacqGH9aqpca aIWaGaaiilaGGaaiab=bcaGiab=bcaGiab=bcaGiaadcfadaqadaWd aeaapeGaaGimaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaadUgaaaa@4F4D@ (4)

отметим что PX*y1k.

Опишем теперь акустические моды; им соответствуют гамильтонианы H ± (x,p)=(V,p) ± c(x)|p|, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadIeadaahaa WcbeqaaiabgglaXcaakiaaiIcacaWG4bGaaGilaiaadchacaaIPaGa aGypaiaaiIcacaWGwbGaaGilaiaaykW7caWGWbGaaGykaGGaaiab=b caGiabgglaXkab=bcaGiaadogacaaIOaGaamiEaiaaiMcacaaI8bGa amiCaiaaiYhacaGGSaaaaa@4DC1@ где (x,p) 6 , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaiIcacaWG4b GaaGilaiaadchacaaIPaGaeyicI48efv3ySLgznfgDOjdaryqr1ngB PrginfgDObcv39gaiuaacqWFDeIudaahaaWcbeqaaiaaiAdaaaGcca GGSaaaaa@47F8@ c(x)= ρ 0 P ' ( ρ 0 ) . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadogacaaIOa GaamiEaiaaiMcacaaI9aWaaOaaaeaacqaHbpGCdaWgaaWcbaGaaGim aaqabaGccaWGqbWaaWbaaSqabeaacaWGNaaaaOGaaGikaiabeg8aYn aaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaaiMcaaSqabaGccaGGUaaaaa@436D@ Пусть g t ± MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaqhaa WcbaGaamiDaaqaaiabgglaXcaaaaa@3A08@ — фазовые потоки этих систем и ω — единичный трёхмерный вектор; обозначим через Λ t ± (ω) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaDa aaleaacaWG0baabaGaeyySaelaaOGaaGikaiabeM8a3jaaiMcaaaa@3DCD@ лагранжевы многообразия, полученные из начального многообразия Λ 0 : (x,p) 6 ,p=ω MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaaIWaaabeaakiaaykW7caGG6aGaaGPaVlaaykW7iiaacqWF GaaicqWFGaaicaaIOaGaamiEaiaaiYcacaWGWbGaaGykaiabgIGiop rr1ngBPrwtHrhAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaGae4xhHi1a aWbaaSqabeaacaaI2aaaaOGaaGilaiaadchacaaI9aGaeqyYdChaaa@54DE@ сдвигом вдоль потоков g t ± . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEgadaqhaa WcbaGaamiDaaqaaiabgglaXcaakiaac6caaaa@3AC4@ На начальном многообразии Λ0 зафискируем форму объема dx=d x 1 d x 2 d x 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsgacaWG4b GaaGypaiaadsgacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaey4jIKTa amizaiaadIhadaWgaaWcbaGaaGOmaaqabaGccqGHNis2caWGKbGaam iEamaaBaaaleaacaaIZaaabeaaaaa@448F@ и отметим произвольную точку; перенесём их потоком gt на поверхность Λ t . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaWG0baabeaakiaac6caaaa@390E@

2.2. Амплитуды мод. Эволюция амплитуды гидродинамической моды описывается трёхмерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

φ ˙ + E2 PP P 2 V x (X)φ=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiqbeA8aQzaaca Gaey4kaSYaaeWaaeaacaWGfbGaeyOeI0IaaGOmamaalaaabaGaamiu aiabgEPielaadcfaaeaacaWGqbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaO GaayjkaiaawMcaamaalaaabaGaeyOaIyRaamOvaaqaaiabgkGi2kaa dIhaaaGaaGikaiaadIfacaaIPaGaeqOXdOMaaGypaiaaicdacaaISa aaaa@4D21@ (5)

где Е — единичная матрица. Пусть A 0 (y, t, k): MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgeadaahaa WcbeqaaiaaicdaaaGccaaIOaGaamyEaiaaiYcaiiaacqWFGaaicaaM c8UaamiDaiaaiYcacaaMc8Uae8hiaaIaam4AaiaaiMcacaaI6aGaaG PaVdaa@4470@ A 0 (y, t, k): 3 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgeadaahaa WcbeqaaiaaicdaaaGccaaIOaGaamyEaiaaiYcaiiaacqWFGaaicaaM c8UaamiDaiaaiYcacaaMc8Uae8hiaaIaam4AaiaaiMcacaaI6aGaaG PaVlaaykW7caaMc8+efv3ySLgznfgDOjdaryqr1ngBPrginfgDObcv 39gaiuaacqGFDeIudaahaaWcbeqaaiaaiodaaaGccqGHsgIRcqGFDe IudaahaaWcbeqaaiaaiodaaaaaaa@571C@ — оператор Коши этой системы; отметим, что он переводит ортогональное дополнение к вектору k в ортогональное дополнение к вектору P. Продолжим этот оператор до оператора A 0 (y, t, k): MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgeadaWgaa WcbaGaaGimaaqabaGccaaIOaGaamyEaiaaiYcaiiaacqWFGaaicaaM c8UaamiDaiaaiYcacaaMc8Uae8hiaaIaam4AaiaaiMcacaaI6aGaaG PaVlaaykW7aaa@45FA@ 4 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPrwtHr hAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaaeaaaaaaaaa8qacqWFDeIu paWaaWbaaSqabeaapeGaaGinaaaak8aacqGHsgIRcaaMc8UaaGPaVl aaykW7peGae8xhHi1damaaCaaaleqabaWdbiaaisdaaaaaaa@4A71@ следующим образом:

A 0 w= A 0 πw e ν 0 t |P | 2 (y,τ,k)dτ , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadgeadaWgaa WcbaGaaGimaaqabaGccaWG3bGaaGypaiaadgeadaahaaWcbeqaaiaa icdaaaGccqaHapaCcaWG3bGaamyzamaaCaaaleqabaGaeyOeI0Iaeq yVd42aa8qCaeaacaaI8bGaamiuaiaaiYhadaahaaqabeaadaahaaad beqaaiaaikdaaaaaaSGaaGikaiaadMhacaaISaGaeqiXdqNaaGilai aadUgacaaIPaGaamizaiabes8a0badbaGaaGimaaqaaiaadshaa4Ga ey4kIipaaaGccaaISaaaaa@53B5@

где π — ортопроектор 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPrwtHr hAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaaeaaaaaaaaa8qacqWFDeIu paWaaWbaaSqabeaapeGaaGinaaaaaaa@419B@ на двумерную плоскость в 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPrwtHr hAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaaeaaaaaaaaa8qacqWFDeIu paWaaWbaaSqabeaapeGaaG4maaaaaaa@419A@ , ортогональную вектору k (зануляются четвёртая компонента вектора w и компонента, параллельная k; в результате получается вектор с нулевой четвертой компонентой, ортогональный вектору P). Через Aj, j ≥ 1, обозначим операторы, определённые аналогичными конструкциями; разница состоит в том, что в уравнениие (5) добавляется правая часть и, кроме того, добавляются четвёртая компонента вектора и компонента, параллельная k; все эти функции выражаются явными формулами через Am при m < j и их производные (мы не приводим этих формул ввиду громоздкости).

Перейдём теперь к описанию амплитуд акустических мод; для краткости будем опускать индексы ±, различающие две такие моды. Пусть B0 : 4 4 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaabaaaaaaaaape GaaiOoaiaaykW7caaMc8UaaGPaVprr1ngBPrwtHrhAYaqeguuDJXwA KbstHrhAGq1DVbacfaGae8xhHi1damaaCaaaleqabaWdbiaaisdaaa GcpaGaeyOKH4QaaGPaVlaaykW7caaMc8+dbiab=1ris9aadaahaaWc beqaa8qacaaI0aaaaaaa@4FCF@ — оператор, зависящий от точки на лагранжевом многообразии Λ t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaWG0baabeaaaaa@3852@ и дополнительного положительного параметра z и действующий на вектор w следующим образом:

(B0w)4=12w4ρ0w^,pcxp0××ρ0cp0cpρ0eμ+νz2Gt,B0w^p12cxpρ0w4+w^,pp20××cρ0P'ρ00P'ρ0cρ0eμ+νz2Gt.

 

Здесь крышка обозначает проекцию на трёхмерное пространство (четвёртая компонента вектора забывается), индекс “0” после скобки означает, что соответствующая функция вычисляется на многообразии Λ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@3813@ и затем переносится на Λ t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaWG0baabeaaaaa@3852@ потоком gt . Функция G(t) в точке α Λ t MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeg7aHjabgI GiolabfU5amnaaBaaaleaacaWG0baabeaaaaa@3B75@ вычисляется по формуле

G(t)= 0 t |p | 2 ( g τ α)dτ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEeacaaIOa GaamiDaiaaiMcacaaI9aWaa8qCaeaacaaI8bGaamiCaiaaiYhadaah aaWcbeqaaiaaikdaaaGccaaIOaGaam4zamaaBaaaleaacqGHsislcq aHepaDaeqaaOGaeqySdeMaaGykaiaadsgacqaHepaDaSqaaiaaicda aeaacaWG0baaniabgUIiYdGccaaIUaaaaa@4C51@

Через Bj, j 1, обозначим операторы, определяемые аналогичными формулами и выражающиеся явно через Bm, m < j (мы не приводим этих формул ввиду громоздкости).

2.3. Разложение параметрикса. Опишем слагаемые, отвечающие “негладкой” части разрешающего оператора; обозначим через Tj и T j ± MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfadaqhaa WcbaGaamOAaaqaaiabgglaXcaaaaa@39EB@ операторы, действующие на распределение v H s MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9 vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=x fr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyicI4Saam isamaaCaaaleqabaGaam4Caaaaaaa@3969@ по следующим формулам:

T j v= ε j (2π) 3/2 R 3 e i(k, x 0 (x,t)) A j (x, t, εk)χ( ε k) v ˜ (k)dk , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfadaWgaa WcbaGaamOAaaqabaWexLMBb50ujbqeguuDJXwAKbacfiGccqWF2bGD caaI9aWaaSaaaeaacqaH1oqzdaahaaWcbeqaaiaadQgaaaaakeaaca aIOaGaaGOmaiabec8aWjaaiMcadaahaaWcbeqaaiaaiodacaaIVaGa aGOmaaaaaaGcdaWdrbqaaiaadwgadaahaaWcbeqaaiaadMgacaaIOa Gaam4AaiaaiYcacaWG4bWaaSbaaeaacaaIWaaabeaacaaIOaGaamiE aiaaiYcacaWG0bGaaGykaiaaiMcaaaGccaWGbbWaaSbaaSqaaiaadQ gaaeqaaOGaaGikaiaadIhacaaISaaccaGae4hiaaIaamiDaiaaiYca cqGFGaaicqaH1oqzcaWGRbGaaGykaiabeE8aJjaaiIcadaGcaaqaai abew7aLbWcbeaakiaadUgacaaIPaGaf8NDayNbaGaacaaIOaGaam4A aiaaiMcacaWGKbGaam4AaaWcbaGaamOuamaaCaaabeqaaiaaiodaaa aabeqdcqGHRiI8aOGaaGilaaaa@6E6E@

 

T j ± v= ε j (2π) 3/2 R 3 e imt K Λ t ±,z ( B j ± (εz ))| k=zω χ( ε k) v ˜ (k)dk . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfadaqhaa WcbaGaamOAaaqaaiabgglaXcaatCvAUfKttLearyqr1ngBPrgaiuGa kiab=zha2jaai2dadaWcaaqaaiabew7aLTWaaWbaaeqabaGaamOAaa aaaOqaaiaaiIcacaaIYaGaeqiWdaNaaGykamaaCaaaleqabaGaaG4m aiaai+cacaaIYaaaaaaakmaapefabaGaamyzamaaCaaaleqabaGaam yAaiaad2gacaWG0baaaOGaam4samaaDaaaleaacqqHBoatdaWgaaqa aiaadshaaeqaaaqaaiabgglaXkaaiYcacaWG6baaaOGaaGikaiaadk eadaqhaaWcbaGaamOAaaqaaiabgglaXcaakiaaiIcacqaH1oqzcaWG 6bGaaGykaiaaiMcacaaI8bWaaSbaaSqaaiaadUgacaaI9aGaamOEai abeM8a3bqabaGccqaHhpWycaaIOaWaaOaaaeaacqaH1oqzaSqabaGc caWGRbGaaGykaiqb=zha2zaaiaGaaGikaiaadUgacaaIPaGaamizai aadUgaaSqaaiaadkfadaahaaqabeaacaaIZaaaaaqab0Gaey4kIipa kiaai6caaaa@74BE@

Здесь K Λ t ±,z MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadUeadaqhaa WcbaGaeu4MdW0aaSbaaeaacaWG0baabeaaaeaacqGHXcqScaaISaGa amOEaaaaaaa@3CE7@ — канонический оператор Маслова на лагранжевом многообразии Λ t ± , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaDa aaleaacaWG0baabaGaeyySaelaaOGaaiilaaaa@3AFB@ соответствующий большому параметру z, m — индекс Морса траектории соответствующего гамильтонова поля, соединяющей отмеченные точки на Λ 0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaaIWaaabeaaaaa@3813@ и Λ t , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabfU5amnaaBa aaleaacaWG0baabeaakiaacYcaaaa@390C@ v ˜ MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamXvP5wqonvsae Hbfv3ySLgzaGqbciqb=zha2zaaiaaaaa@3C20@ — преобразование Фурье функции v. Через χ(y) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaGGaaiab=D8aJj aabIcacaWG5bGaaeykaaaa@39C9@ обозначена гладкая функция в 3 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamrr1ngBPrwtHr hAYaqeguuDJXwAKbstHrhAGq1DVbacfaaeaaaaaaaaa8qacqWFDeIu paWaaWbaaSqabeaapeGaaG4maaaaaaa@419A@ , равная нулю при |y| 1 и единице при |y| 2.

Лемма 1. Операторы Tj и T j ± MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadsfadaqhaa WcbaGaamOAaaqaaiabgglaXcaaaaa@39EB@ ограничены из Hs в Hs+m при m j и m < j − 3/2 соответственно; при m j и m ( j − 3)/2 справедливы оценки

|| T j || H s H s+m const ε j/2 m , || T j || H s H s+m const ε j/2 m 3/2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOabaiqabaGaaGiFai aaiYhacaWGubWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaaGiFaiaaiYhadaWg aaWcbaGaamisamaaCaaabeqaaiaadohaaaGaeyOKH4QaamisamaaCa aabeqaaiaadohacqGHRaWkcaWGTbaaaaqabaGccqGHKjYOcaqGJbGa ae4Baiaab6gacaqGZbGaaeiDaiabgwSixlabew7aLnaaCaaaleqaba GaamOAaiaai+cacaaIYaaccaGae8hiaaIaeyOeI0Iae8hiaaIaamyB aaaakiaaiYcaaeaacaaI8bGaaGiFaiaadsfadaWgaaWcbaGaamOAaa qabaGccaaI8bGaaGiFamaaBaaaleaacaWGibWaaWbaaeqabaGaam4C aaaacqGHsgIRcaWGibWaaWbaaeqabaGaam4CaiabgUcaRiaad2gaaa aabeaakiabgsMiJkaabogacaqGVbGaaeOBaiaabohacaqG0bGaeyyX ICTaeqyTdu2aaWbaaSqabeaacaWGQbGaaG4laiaaikdacqWFGaaicq GHsislcqWFGaaicaWGTbGae8hiaaIaeyOeI0Iae8hiaaIaaG4maiaa i+cacaaIYaaaaOGaaGOlaaaaaa@78A7@

2.4. Сглаживающие слагаемые. Опишем теперь “гладкие” слагаемые, участвующие в разложении разрешающего оператора; эти слагаемые строятся при помощи регулярной теории возмущений по параметру ε. Рассмотрим операторы

W 0 = R 0 1χ i ε 1/2 x , MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadEfadaWgaa WcbaGaaGimaaqabaGccaaI9aGaamOuamaaBaaaleaacaaIWaaabeaa kmaabmaabaGaaGymaiabgkHiTiabeE8aJnaabmaabaGaeyOeI0Iaam yAaiabew7aLnaaCaaaleqabaGaaGymaiaai+cacaaIYaaaaOWaaSaa aeaacqGHciITaeaacqGHciITcaWG4baaaaGaayjkaiaawMcaaaGaay jkaiaawMcaaiaaiYcaaaa@4B4B@

Wj=(ε2R0D)j1χiεx,Duρμ,u+νΔu0,

где R0 — разрешающий оператор задачи Коши для уравнений идеальной газовой динамики, т.е. уравнений (1) при μ=v=0, MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeY7aTjabg2 da9iaadAhacqGH9aqpcaaIWaGaaiilaaaa@3BDF@

R 0 (t)= 0 t R 0 (τ)dτ . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadkfadaahaa WcbeqaaiaaicdaaaGccaaIOaGaamiDaiaaiMcacaaI9aWaa8qCaeaa caWGsbWaaSbaaSqaaiaaicdaaeqaaOGaaGikaiabes8a0jaaiMcaca WGKbGaeqiXdqhaleaacaaIWaaabaGaamiDaaqdcqGHRiI8aOGaaGOl aaaa@4772@

Лемма 2. Операторы Wj ограничены из Hs в Hs+m для любого m; справедливы оценки

|| W j || H s H s+m const ε j m/2 . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaiYhacaaI8b Gaam4vamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaaiYhacaaI8bWaaSbaaSqa aiaadIeadaahaaqabeaacaWGZbaaaiabgkziUkaadIeadaahaaqabe aacaWGZbGaey4kaSIaamyBaaaaaeqaaOGaeyizImQaae4yaiaab+ga caqGUbGaae4CaiaabshacqGHflY1cqaH1oqzdaahaaWcbeqaaiaadQ gaiiaacqWFGaaicqGHsislcqWFGaaicaWGTbGaaG4laiaaikdaaaGc caGGUaaaaa@5502@

Замечание. Операторы Wj , хотя и оцениваются в Hs как Oj), вообще говоря, нерегулярно зависят от параметра ε. Это обстоятельство связано с наличием в соответствующих формулах оператора (1χ) i ε 1/2 x MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaiIcacaaIXa GaeyOeI0Iaeq4XdmMaaGykamaabmaabaGaeyOeI0IaamyAaiabew7a LnaaCaaaleqabaGaaGymaiaai+cacaaIYaaaaOWaaSaaaeaacqGHci ITaeaacqGHciITcaWG4baaaaGaayjkaiaawMcaaaaa@4617@ . Действительно, под действием этого оператора распределение v (x)переходит в функцию

1 (2πε) 3/2 v(y) χ 1 ˜ xy ε , χ 1 (y)=1χ(y), MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaamaalaaabaGaaG ymaaqaaiaaiIcacaaIYaGaeqiWdaNaeqyTduMaaGykamaaCaaaleqa baGaaG4maiaai+cacaaIYaaaaaaatCvAUfKttLearyqr1ngBPrgaiu Gakiab=zha2jaaiIcacaWG5bGaaGykamaadmaabaWaaacaaeaacqaH hpWydaWgaaWcbaGaaGymaaqabaaakiaawoWaamaabmaabaWaaSaaae aacaWG4bGaeyOeI0IaamyEaaqaamaakaaabaGaeqyTdugaleqaaaaa aOGaayjkaiaawMcaaaGaay5waiaaw2faaiaaiYcacaaMf8Uaeq4Xdm 2aaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaOGaaGikaiaadMhacaaIPaGaaGypaiaa igdacqGHsislcqaHhpWycaaIOaGaamyEaiaaiMcacaGGSaaaaa@61AE@

которая, вообще говоря, нерегулярно зависит от ε; например,

(1χ) i ε 1/2 x δ(x)= 1 (2πε) 3/2 χ 1 ˜ x ε . MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaiIcacaaIXa GaeyOeI0Iaeq4XdmMaaGykamaabmaabaGaeyOeI0IaamyAaiabew7a LnaaCaaaleqabaGaaGymaiaai+cacaaIYaaaaOWaaSaaaeaacqGHci ITaeaacqGHciITcaWG4baaaaGaayjkaiaawMcaaiabes7aKjaaiIca caWG4bGaaGykaiaai2dadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIOaGaaGOmai abec8aWjabew7aLjaaiMcadaahaaWcbeqaaiaaiodacaaIVaGaaGOm aaaaaaGcdaaiaaqaaiabeE8aJnaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOGaay 5adaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadIhaaeaadaGcaaqaaiabew7aLbWc beaaaaaakiaawIcacaGLPaaacaaIUaaaaa@5C22@

Эту нерегулярность можно описать более явными формулами, если заменить в формулах для Wj разрешающий оператор R0 уравнений идеального газа на его асимптотику по гладкости, которая строится аналогично п. 2.3 (в соответствующих формулах надо положить μ=v=0 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbba9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiabeY7aTjabg2 da9iaadAhacqGH9aqpcaaIWaaaaa@3B2F@ ). Остаток при этом будет “более регулярным”: если асимптотический ряд по гладкости оборвать на N-м слагаемом, оставшийся оператор при действии на распределение v будет определять функцию, (N + s)-я производная которой будет оцениваться (в L2) через норму v в Hs (в частности, если v = δ(x), указанная функция имеет N 2 ограниченные при ε → +0 производные).

3. Основная теорема

Теорема. Разрешающий оператор R задачи Коши (1), (2) разлагается в асимптотический ряд

R j=0 ( T j + T j + + T j + W j ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadkfarqqr1n gBPrgifHhDYfgaiuaacqWF8iIodaaeWbqabSqaaiaadQgacaaI9aGa aGimaaqaaiabg6HiLcqdcqGHris5aOGaaGikaiaadsfadaWgaaWcba GaamOAaaqabaGccqGHRaWkcaWGubWaa0baaSqaaiaadQgaaeaacqGH RaWkaaGccqGHRaWkcaWGubWaa0baaSqaaiaadQgaaeaacqGHsislaa GccqGHRaWkcaWGxbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaaGykaaaa@509D@

в следующем смысле. Пусть

R N = j=0 N ( T j + T j + + T j + W j ) MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaadkfadaahaa Wcbeqaaiaad6eaaaGccaaI9aWaaabCaeaacaaIOaGaamivamaaBaaa leaacaWGQbaabeaakiabgUcaRiaadsfadaqhaaWcbaGaamOAaaqaai abgUcaRaaakiabgUcaRiaadsfadaqhaaWcbaGaamOAaaqaaiabgkHi TaaakiabgUcaRiaadEfadaWgaaWcbaGaamOAaaqabaGccaaIPaaale aacaWGQbGaeyypa0JaaGimaaqaaiaad6eaa0GaeyyeIuoaaaa@4C4B@ ;

тогда оператор R − RN действует из Hs в Hs+m при mN 1/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2gacqGHKj YOcaWGobGaeyOeI0cccaGae8hiaaIaaGymaiaai+cacaaIYaaaaa@3D6E@ , причём

||R R N || H s H s+m const ε N/2 m 3/2 MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaaiYhacaaI8b GaamOuaiabgkHiTiaadkfadaahaaWcbeqaaiaad6eaaaGccaaI8bGa aGiFamaaBaaaleaacaWGibWaaWbaaeqabaGaam4CaaaacqGHsgIRca WGibWaaWbaaeqabaGaam4CaiabgUcaRiaad2gaaaaabeaakiabgsMi JkaabogacaqGVbGaaeOBaiaabohacaqG0bGaeyyXICTaeqyTdu2aaW baaSqabeaacaWGobGaaG4laiaaikdaiiaacqWFGaaicqGHsislcqWF GaaicaWGTbGae8hiaaIaeyOeI0Iae8hiaaIaaG4maiaai+cacaaIYa aaaaaa@5A77@

при m(N 3)/2. MathType@MTEF@5@5@+= feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr 4rNCHbGeaGqik81jY=vipgYlh9vqqj=hEeeu0xXdbbf9frFj0=OqFf ea0dXdd9vqaq=JfrVkFHe9pgea0dXdar=Jb9hs0dXdbPYxe9vr0=vr 0=vqpWqaaeaabiGaaiaacaqabeaadaqaaqaaaOqaaiaad2gacqGHKj YOcaGGOaGaamOtaiabgkHiTGGaaiab=bcaGiab=ndaZiab=LcaPiaa i+cacaaIYaGaaiOlaaaa@3FD3@

Работа выполнена при поддержке РНФ (грант 16–11–10282).

About the authors

A. I. Allilueva

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences; Moscow Institute of Physics and Technology; National Research Center “Kurchatov Institute”

Author for correspondence.
Email: shafarev@yahoo.com

Russian Federation, Moscow 

A. I. Shafarevich

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences; Moscow Institute of Physics and Technology; National Research Center “Kurchatov Institute”; Lomonosov Moscow State University

Email: shafarev@yahoo.com

Russian Federation, Moscow

References

  1. Маслов. В.П. Операторные методы. М.: Наука, 1973.
  2. Хермандер Л. Интегральные операторы Фурье //Математика. Сб. переводов. 1972. Т. 16. № 1. С. 17–61; № 2. С. 67–136.
  3. Доброхотов С.Ю, Шафаревич А.И. Парамтрикс и асимптотика локализованных решений уравнений На-вье–Стокса в R3, линеаризованных на гладком течении // Мат. заметки. 1992. Т. 51. № 1. С. 72–82.
  4. Аллилуева А.И., Шафаревич А.И. Нестандартные характеристики и локализованные асимптотические ре-шения линеаризованной системы магнитной гидродинамики с малыми вязкостью и сопротивлением // ТМФ. 2017. Т. 190. № 1. С. 191–204.
  5. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.
  6. Доброхотов С.Ю., Жевандров П.Н., Маслов В.П., Шафаревич А.И. Асимптотические быстроубывающие ре-шения линейных строго гиперболических систем с переменными коэффициентами // Мат. заметки. 1991. Т. 49. № 4. С. 31–46.
  7. Федорюк М.В. Особенности ядер интегральных операторов Фурье и асимптотика решения смешанной за-дачи // УМН. 1977. Т. 32. № 6 (198). С. 67–115.

Statistics

Views

Abstract - 336

PDF (Russian) - 131

PlumX


Copyright (c) 2019 Russian Academy of Sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies