Двойное асимптотическое разложение разрешающего оператора задачи коши для линеаризованной системы газовой динамики

Аннотация

Получено двойное асимптотическое разложение разрешающего оператора задачи Коши для линеаризованной системы газовой динамики по гладкости и малой вязкости. Найдены оценки слагаемых и остатка в шкале Соболева. Явно описаны гидродинамические и акустические моды.

Полный текст

Уравнениям газовой динамики посвящена огромная литература (как математическая, так и физическая); будучи линеаризованными на гладком течении, они описывают эволюцию малых возмущений на заданном фоне. С точки зрения уравнений в частных производных такая система обладает чертами как гиперболических, так и параболических уравнений. Точнее: если вязкость равна нулю (идеальный газ), система нестрого гиперболическая — ей отвечают как простые, так и двукратные характеристики. Учёт вязкости приводит к наличию “параболических” слагаемых, причём соответствующая квадратичная форма оказывается вырожденной. Кроме того, во многих приложениях вязкость естественно считать малой; тем самым в системе возникает малый параметр при старших производных. Эти обстоятельства приводят к специфической структуре разрешающего оператора задачи Коши для системы газовой динамики — он содержит компоненты различной гладкости и различного порядка по малому параметру. Ниже приведено полное асимптотическое разложение этого оператора, которое имеет двойной характер: остаток соответствующего ряда может быть сделан сколь угодно гладким и сколь угодно малым по параметру вязкости. Разложение состоит из двух частей: первая строится при помощи квазиклассической теории (или теории интегральных операторов Фурье (см., например, [1, 2]); вторая — при помощи теории возмущений по малой вязкости. Правильная склейка этих разложений приводит к наличию дробных степеней малого параметра в асимптотике. Отметим, что для линеаризованных уравнений Навье–Стокса аналогичное разложение было получено в [3], а для линеаризованных уравнений магнитной гидродинамики — в [4]; основное отличие системы газовой динамики от указанных уравнений состоит в наличии так называемых акустических мод — характеристик, соответствующих нелинейным по импульсам гамильтонианам. Это обстоятельство приводит к наличию фокальных точек и, как следствие, к необходимости использовать канонический оператор Маслова [5] вместо стандартных ВКБ-разложений. Этот же эффект отвечает за “ухудшение” оценок норм слагаемых параметрикса по сравнению с цитированными работами (см. п. 2.3 ниже). Наконец, отметим, что для старшей части упомянутых акустических мод мы получаем явные формулы (п. 2.2) — соответствующие уравнения переноса полностью интегрируются.

1. Постановка задачи

Линеаризованные уравнения газовой динамики представляют собой следующую систему уравнений на зависящее от времени трёхмерное векторное поле $u\left(x,t\right)$ и скалярную функцию ρ(x, t):

$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial t}+\left(V,\nabla \right)u+\left(u,\nabla \right)V+\nabla \rho P\text{'}\left({\rho }_0\right)+P″\left({\rho }_0\right)\rho \nabla {\rho }_0=\\ ={\epsilon }^2\nu \Delta u+{\epsilon }^2\mu \text{grad}\text{div}u,\\ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\left(V,\nabla \right)\rho +\rho \left(\nabla ,V\right)+\left(u,\nabla \right){\rho }_0+{\rho }_0\left(\nabla ,u\right)=0.\end{array}$

Здесь $x\in {ℝ}^3$, V(x), ρ₀(x) — заданные гладкие ограниченные вместе со всеми производными векторное поле и положительная скалярная функция, отделённая от нуля, $P\left(z\right)$ — заданная гладкая положительная функция одной переменной, $\mu ,\nu ,\epsilon$ — неотрицательные параметры, характеризующие вязкость. Мы будем считать, что ε → +0, а $\mu ,\nu ,\epsilon$ фиксированы и не зависят от ε. Поставим для этой системы задачу Коши

$u{|}_{t=0}=u^0\left(x\right),\rho {|}_{t=0}={\rho }^0\left(x\right),$ (2)

где u⁰, ρ⁰ — распределения из некоторого пространства Соболева H^S. Нетрудно показать (в частности, это следует из приведённой ниже теоремы), что при всех ε решение такой задачи на любом конечном отрезке времени $t\in [\mathrm{0,}T]$ будет представлять собой распределение, также принадлежащее H^S; тем самым определён оператор R(t, ε): H^S → H^S, переводящий начальную функцию в решение в момент времени t. Далее через v(t) будем обозначать четырехмерный вектор (u, ρ), а через v⁰ — вектор (u⁰, ρ⁰); таким образом, по определению, v(t) = R(t, ε) v⁰ .

Определение. Оператор R(t, ε) называется разрешающим оператором задачи Коши (1), (2).

Наша цель — представить оператор R в виде формального ряда, который будет асимптотическим одновременно по гладкости и по параметру ε; другими словами, для каждых M, N найдётся частичная сумма этого ряда, которая будет отличаться от R на оператор, ограниченный из H^S в H^S+M и имеющий норму порядка ε^N (ниже приведены более детальные оценки).

2. Основные конструкции и вспомогательные результаты

Опишем геометрические и функционально- аналитические объекты, участвующие в определении указанного асимптотического ряда.

2.1. Характеристики и волновые фронты. Системе уравнений газовой динамики соответствуют характеристики двух типов — так называемые гидродинамическая и акустические моды. Гидродинамическая мода двукратно вырождена и соответствующие характеристики лежат в конфигурационном пространстве ${ℝ}^3$; акустические моды простые, а характеристики лежат в фазовом пространстве ${ℝ}^6$. Начнём с гидродинамической моды; пусть X(y, t) — траектория векторного поля V(x), выпущенная из точки y, т.е. решение задачи Коши

X = V(X), X(0) = y; (3)

через x₀(x, t) будем обозначать начальную точку траектории, пришедшую в точку x за время t, т.е. решение уравнения X(x₀, t) = x. Через P(k, y, t) обозначим переносимый вдоль траектории кокасательный вектор, т.е. решение задачи

$\dot{P}+\frac{\partial V^{*}}{\partial x}\left(X\left(y,t\right)\right)P=\mathrm{0,}P\left(0\right)=k$ (4)

$\left(отметим что P{\left(\frac{\partial X^{*}}{\partial y}\right)}^{-1}k\right).$

Опишем теперь акустические моды; им соответствуют гамильтонианы $H^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}V\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\pm c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}p\mathrm{<mo>|</mo>,}$ где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^6,$ $c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{{\rho }_0{P}^{\text{'}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\rho }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}.$ Пусть $g_t^{\pm }$ — фазовые потоки этих систем и ω — единичный трёхмерный вектор; обозначим через ${\Lambda }_t^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ лагранжевы многообразия, полученные из начального многообразия ${\Lambda }_0:\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^6\mathrm{,}p\mathrm{<mo>=</mo>}\omega$ сдвигом вдоль потоков $g_t^{\pm }.$ На начальном многообразии Λ₀ зафискируем форму объема $dx\mathrm{<mo>=</mo>}d{x}_1\wedge d{x}_2\wedge d{x}_3$ и отметим произвольную точку; перенесём их потоком g_t на поверхность ${\Lambda }_t.$

2.2. Амплитуды мод. Эволюция амплитуды гидродинамической моды описывается трёхмерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений

$\dot{\phi }+\left(E-2\frac{P\otimes P}{P^2}\right)\frac{\partial V}{\partial x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (5)

где Е — единичная матрица. Пусть $A^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}t\mathrm{,}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ $A^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}t\mathrm{,}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ — оператор Коши этой системы; отметим, что он переводит ортогональное дополнение к вектору k в ортогональное дополнение к вектору P. Продолжим этот оператор до оператора $A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}t\mathrm{,}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ ${ℝ}^4\to {ℝ}^4$ следующим образом:

$A_{0}w\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^0\pi w{e}^{-\nu {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{<mo>|</mo>}P{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{{}^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\tau \mathrm{,}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }}\mathrm{,}$

где π — ортопроектор ${ℝ}^4$ на двумерную плоскость в ${ℝ}^3$, ортогональную вектору k (зануляются четвёртая компонента вектора w и компонента, параллельная k; в результате получается вектор с нулевой четвертой компонентой, ортогональный вектору P). Через A_j, j ≥ 1, обозначим операторы, определённые аналогичными конструкциями; разница состоит в том, что в уравнениие (5) добавляется правая часть и, кроме того, добавляются четвёртая компонента вектора и компонента, параллельная k; все эти функции выражаются явными формулами через A_m при m < j и их производные (мы не приводим этих формул ввиду громоздкости).

Перейдём теперь к описанию амплитуд акустических мод; для краткости будем опускать индексы ±, различающие две такие моды. Пусть B₀ $:{ℝ}^4\to {ℝ}^4$ — оператор, зависящий от точки на лагранжевом многообразии ${\Lambda }_t$ и дополнительного положительного параметра z и действующий на вектор w следующим образом:

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}(B_{0}w{)}_4=\frac{1}{2}{\left(w_4-\frac{{\rho }_0\hat{w}\mathrm{,}p}{cxp}\right)}_0\times \\ \times {\left(\sqrt{\frac{{\rho }_0}{cp}}\right)}_0\left(\sqrt{\frac{cp}{{\rho }_0}}\right)e^{-\mu +\nu z^{2}Gt}\mathrm{,}\end{array}\\ \begin{array}{l}\widehat{B_{0}w}p\frac{1}{2}{\left(\frac{cx}{p{\rho }_0}{w}_4+\frac{\hat{w}\mathrm{,}p}{p^2}\right)}_0\times \\ \times {\left(\sqrt{\frac{c{\rho }_0}{P\text{'}{\rho }_0}}\right)}_0\left(\sqrt{\frac{P\text{'}{\rho }_0}{c{\rho }_0}}\right)e^{-\mu +\nu z^{2}Gt}\mathrm{.}\end{array}\end{array}$

Здесь крышка обозначает проекцию на трёхмерное пространство (четвёртая компонента вектора забывается), индекс “0” после скобки означает, что соответствующая функция вычисляется на многообразии ${\Lambda }_0$ и затем переносится на ${\Lambda }_t$ потоком g_t . Функция G(t) в точке $\alpha \in {\Lambda }_t$ вычисляется по формуле

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{<mo>|</mo>}p{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_{-\tau }\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }\mathrm{.}$

Через B_j, j ≥ 1, обозначим операторы, определяемые аналогичными формулами и выражающиеся явно через B_m, m < j (мы не приводим этих формул ввиду громоздкости).

2.3. Разложение параметрикса. Опишем слагаемые, отвечающие “негладкой” части разрешающего оператора; обозначим через T_j и $T_j^{\pm }$ операторы, действующие на распределение v $\in H^s$ по следующим формулам:

$T_{j}v\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }^j}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}{\displaystyle \underset{R^3}{\int }{e}^{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}{A}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{\epsilon }k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tilde{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dk}\mathrm{,}$

$T_j^{\pm }v\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\epsilon }^j}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}{\displaystyle \underset{R^3}{\int }{e}^{imt}{K}_{{\Lambda }_t}^{\pm \mathrm{,}z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{B}_j^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon z{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{k\mathrm{<mo>=</mo>}z\omega }\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sqrt{\epsilon }k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\tilde{v}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dk}\mathrm{.}$

Здесь $K_{{\Lambda }_t}^{\pm \mathrm{,}z}$ — канонический оператор Маслова на лагранжевом многообразии ${\Lambda }_t^{\pm },$ соответствующий большому параметру z, m — индекс Морса траектории соответствующего гамильтонова поля, соединяющей отмеченные точки на ${\Lambda }_0$ и ${\Lambda }_t,$ $\tilde{v}$ — преобразование Фурье функции v. Через $\chi \text{(}y\text{)}$ обозначена гладкая функция в ${ℝ}^3$, равная нулю при |y| ≤ 1 и единице при |y| ≥ 2.

Лемма 1. Операторы T_j и $T_j^{\pm }$ ограничены из H^s в H^s+m при m ≤ j и m < j − 3/2 соответственно; при m ≤ j и m ≤ ( j − 3)/2 справедливы оценки

$\begin{array}{c}\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{T}_j{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{H^s\to H^{s+m}}\le \text{const}\cdot {\epsilon }^{j\mathrm{<mo>/</mo>2}-m}\mathrm{,}\\ \mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{T}_j{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{H^s\to H^{s+m}}\le \text{const}\cdot {\epsilon }^{j\mathrm{<mo>/</mo>2}-m-\mathrm{3<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}\end{array}$

2.4. Сглаживающие слагаемые. Опишем теперь “гладкие” слагаемые, участвующие в разложении разрешающего оператора; эти слагаемые строятся при помощи регулярной теории возмущений по параметру ε. Рассмотрим операторы

$W_0\mathrm{<mo>=</mo>}{R}_0\left(1-\chi \left(-i{\epsilon }^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\frac{\partial }{\partial x}\right)\right)\mathrm{,}$

$\begin{array}{c}{W}_j=-({\epsilon }^2{R}^{0}D{)}^j\left(1-\chi \left(-i{\epsilon }^{}\frac{\partial }{\partial x}\right)\right)\mathrm{,}\\ D\left(\begin{array}{c}u\\ \rho \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mu \nabla \nabla \mathrm{,}u+\nu \Delta u\\ 0\end{array}\right)\mathrm{,}\end{array}$

где R₀ — разрешающий оператор задачи Коши для уравнений идеальной газовой динамики, т.е. уравнений (1) при $\mu =v=\mathrm{0,}$

$R^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{R}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau }\mathrm{.}$

Лемма 2. Операторы W_j ограничены из H^s в H^s+m для любого m; справедливы оценки

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}{W}_j{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{H^s\to H^{s+m}}\le \text{const}\cdot {\epsilon }^{j-m\mathrm{<mo>/</mo>2}}.$

Замечание. Операторы W_j , хотя и оцениваются в H^s как O(ε^j), вообще говоря, нерегулярно зависят от параметра ε. Это обстоятельство связано с наличием в соответствующих формулах оператора $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(-i{\epsilon }^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\frac{\partial }{\partial x}\right)$. Действительно, под действием этого оператора распределение v (x)переходит в функцию

$\frac{1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[\widetilde{{\chi }_1}\left(\frac{x-y}{\sqrt{\epsilon }}\right)\right]\mathrm{,}{\chi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

которая, вообще говоря, нерегулярно зависит от ε; например,

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(-i{\epsilon }^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\frac{\partial }{\partial x}\right)\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\widetilde{{\chi }_1}\left(\frac{x}{\sqrt{\epsilon }}\right)\mathrm{.}$

Эту нерегулярность можно описать более явными формулами, если заменить в формулах для W_j разрешающий оператор R₀ уравнений идеального газа на его асимптотику по гладкости, которая строится аналогично п. 2.3 (в соответствующих формулах надо положить $\mu =v=0$ ). Остаток при этом будет “более регулярным”: если асимптотический ряд по гладкости оборвать на N-м слагаемом, оставшийся оператор при действии на распределение v будет определять функцию, (N + s)-я производная которой будет оцениваться (в L₂) через норму v в H^s (в частности, если v = δ(x), указанная функция имеет N − 2 ограниченные при ε → +0 производные).

3. Основная теорема

Теорема. Разрешающий оператор R задачи Коши (1), (2) разлагается в асимптотический ряд

$R\sim {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_j+T_j^{+}+T_j^{-}+W_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

в следующем смысле. Пусть

$R^N\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j=0}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_j+T_j^{+}+T_j^{-}+W_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$;

тогда оператор R − R^N действует из H^s в H^s+m при $m\le N-\mathrm{1<mo>/</mo>2}$, причём

$\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}R-R^N{\mathrm{<mo>|</mo><mo>|</mo>}}_{H^s\to H^{s+m}}\le \text{const}\cdot {\epsilon }^{N\mathrm{<mo>/</mo>2}-m-\mathrm{3<mo>/</mo>2}}$

при $m\le (N-3)\mathrm{<mo>/</mo>2.}$

Работа выполнена при поддержке РНФ (грант 16–11–10282).