Sub-Finsler problem on Cartan group

Abstract

Left invariant l-infinity sub-Finsler problem on Cartan group is considered as time-optimal control problem. We describe abnormal and singular normal trajectories, then prove that all such trajectories are optimal. We construct the bang-bang flow and obtain upper bounds on the number of switchings on bang-bang and mixed minimizers.

Full Text

Субфинслерова геометрия является естественным обобщением субримановой (а потому и римановой) геометрии. Пусть $M$ — гладкое многообразие, ∆ — векторное распределение на $M$, тогда субриманова структура задаётся скалярным произведением в ∆, а субфинслерова структура — нормой в ∆.[1]

Заметный интерес к субфинслеровой геометрии возник в последние годы в связи с её применением в геометрической теории групп [1], изометрически однородных пространствах [2], теории управления [3]. Важными вопросами субфинслеровой (как и субримановой) геометрии являются описание кратчайших и сфер, при этом естественными простейшими случаями являются левоинвариантные структуры на нильпотентных группах Ли. Левоинвариантная субфинслерова задача на группе Гейзенберга была исследована в работе [4]. Нильпотентные $l_{\infty }^{}$ -субфинслеровы структуры в случаях Мартине и Грушина были изучены в работе [5]. Данная работа продолжает эту линию исследований и посвящена левоинвариантной $l_{\infty }^{}$ -субфинслеровой задаче в простейшем 5-мерном свободном нильпотентном случае — на группе Картана.

1. Постановка задачи. Существование решений. Алгебра Картана — это 5-мерная нильпотентная алгебра Ли $L\mathrm{<mo>=</mo>}span\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{X}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с таблицей умножения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_1\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{X}_3$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_1\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{X}_4$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_2\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{X}_5$, $\text{ad}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}\text{ad}{X}_5\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Связная односвязная группа Ли $M$ с алгеброй Ли $L$ называется группой Картана.

Левоинвариантная $l_{\infty }^{}$ -субфинслерова задача на группе Картана ставится следующим образом:

$\dot{q}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1{X}_1+u_2{X}_2\mathrm{,}q\in M\mathrm{,}u\in U\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\in {ℝ}^2|\parallel u{\parallel }_{\infty }\le \mathrm{1<mo>\}</mo>,}$

$\parallel u{\parallel }_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{u}_1\mathrm{<mo>|</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_2\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}_0\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Id}\mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}_1\mathrm{,}$ $T\to \min \mathrm{.}$

Существование оптимальных управлений следует из теорем Рашевского–Чжоу и Филиппова [6].

2. Принцип максимума Понтрягина. Введём гамильтонианы $h_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}⟨\lambda \mathrm{,}{X}_i⟩,$ $\lambda \in T^{\mathrm{<mo>*</mo>}}M,$ i = 1, 2, ..., 5, и соответствующие им гамильтоновы векторные поля $h_i\in \text{Vec}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 1 (Принцип максимума Понтрягина [6, 7]). Если управление $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и соответствующая траектория $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ оптимальны, то существуют кривая ${\lambda }_t\in T_{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}M$ и число $\nu \le 0$, для которых выполнены условия

${\dot{\lambda }}_t\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1)

$u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{h}_1\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_2\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\lambda }_t\ne \mathrm{0,}$

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\nu \equiv 0.$

Гамильтонова система принципа максимума Понтрягина (1) имеет четыре интеграла — функции Казимира на коалгебре Ли $L^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$: $h_4$, $h_5$, $E\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{h_3^2}{2}+h_1{h}_5-h_2{h}_4$ и гамильтониан $H$.

3. Анормальные траектории. Пусть $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Теорема 2. Оптимальные анормальные траектории имеют вид

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \text{const}\mathrm{,}\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{\infty }\equiv \mathrm{1,}$

и все такие управления оптимальны.

Анормальные траектории суть однопараметрические подгруппы в $M,$ касающиеся распределения $\text{span}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{X}_1\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; они задают оптимальный синтез на анормальном многообразии

$A\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{e}^{u_1{X}_1+u_2{X}_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{Id}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|u_i\in ℝ\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

4. Виды нормальных экстремальных дуг. Пусть $-\nu \mathrm{<mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$.

Экстремальная дуга ${\lambda }_t$, $t\in I\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, называется

1) релейной дугой, если $\text{card}\mathrm{<mo>\{</mo>}t\in I|h_1{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>\}</mo><mo><</mo>}\infty ,$

2) особой дугой, если выполняется одно из двух условий:

$h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ ( $h_1$ -особая дуга) или $h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ ( $h_2$ -особая дуга),

3) смешанной дугой, если она состоит из конечного числа релейных и особых дуг.

Замечание 1. Если $h_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne \mathrm{0,}$ то $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\equiv s_i\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\text{sgn}{h}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

5. Особые дуги.

Теорема 3. Любая h₁-особая дуга удовлетворяет одному из следующих условий:

а) $\begin{array}{c}{h}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_5\equiv \mathrm{0,}{h}_2\equiv \text{const}\ne \mathrm{0,}\forall \mathrm{<mo>|</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \mathrm{1,}\\ u_2\equiv s_2\in \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm \mathrm{1<mo>\}</mo>};\end{array}$

$\begin{array}{c}{h}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_3\equiv \mathrm{0,}\left|\frac{h_5}{h_4}\right|\le \mathrm{0,}{h}_4\ne \mathrm{0,}{h}_2\equiv \text{const}\ne \mathrm{0,}\\ u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv -s_2\frac{h_5}{h_4},u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv s_2\in \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm \mathrm{1<mo>\}</mo>.}\end{array}$

Аналогичное описание имеет место для $h_2$ -особых дуг.

Следствие 1. Все особые траектории оптимальны.

Для описания множества достижимости вдоль особых траекторий применяется принцип максимума Понтрягина в геометрической постановке [6]. Исследование всех возможных фазовых портретов вертикальной подсистемы нормальной гамильтоновой системы позволяет сформулировать следующую теорему об управлении для особых траекторий, приходящих на границу множества достижимости.

Теорема 4. $h_1$ -Особые траектории с $u_2\equiv \mathrm{1,}$ концы которых формируют множество, содержащее границу множества достижимости, имеют один из двух типов:

а) управление $u_1$ кусочно-постоянное с двумя переключениями и соответствующими значениями $\pm \mathrm{1,}{u}_1^0,\pm 1$ либо $\pm \mathrm{1,}{u}_1^0\mathrm{,}\mp 1$ без ограничений на временные промежутки, где $u_1^0\in \left[-\mathrm{1,1}\right]$ [−1, 1];

б) управление $u_1$ кусочно-постоянное c соответствующими значениями $\pm \mathrm{1,}\mp \mathrm{1,}\pm \mathrm{1,}\mp \mathrm{1,}\mathrm{...}$ и временными промежутками $T_0\mathrm{,}{T}_1\mathrm{,}{T}_2\mathrm{,}{T}_3\mathrm{,}$ при этом T₃ ≤ T₁ и T₀ ≤ T₂.

Проекция множества достижимости вдоль $h_1$ -особых траекторий с $u_2\equiv 1$ на пространство (x, z, v) приведена на рис. 1.

6. Релейный поток.Если $h_1{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne 0$, то $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\equiv \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, поэтому релейные экстремали удовлетворяют следующей гамильтоновой системе с гамильтонианом $H\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{h}_1\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_2\mathrm{<mo>|</mo>}$:

$\begin{array}{c}{\dot{h}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-s_2{h}_3\mathrm{,}\\ {\dot{h}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1{h}_3\mathrm{,}\\ {\dot{h}}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1{h}_4+s_2{h}_5\mathrm{,}\\ {\dot{h}}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\dot{h}}_5\mathrm{<mo>=</mo>0,}\\ \dot{q}\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1{X}_1+s_2{X}_2\mathrm{.}\end{array}$ (2)

Учитывая симметрию $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mapsto \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\lambda \mathrm{,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo>></mo>0}$, будем считать далее, что $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 1$.

Введём на квадрате $\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_1\mathrm{,}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$ угловую координату $\theta \in ℝ\mathrm{<mo>/</mo>2}\pi \mathbb{Z}$:

$h_1\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sgn}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cos \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\cos }^2\theta \mathrm{,}{h}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sgn}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sin \theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\sin }^2\theta \mathrm{.}$

Тогда вертикальная часть системы (2) принимает форму

$\begin{array}{c}\dot{\theta }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{h_3}{\mathrm{<mo>|</mo>}\sin 2\theta \mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}\theta \ne \frac{\pi n}{2}\mathrm{,}\\ {\dot{h}}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1{h}_4+s_2{h}_5\mathrm{,}{s}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sgn}\cos \theta \mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sgn}\sin \theta \mathrm{.}\end{array}$ (3)

Система (3) сохраняется группой симметрий квадрата $\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_1\mathrm{,}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|H\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$. Факторизуя по действию этой группы, можно свести рассмотрение системы (3) к фундаментальной области этой группы $\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{h}_4\mathrm{,}{h}_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {ℝ}^2|h_4\ge h_5\ge \mathrm{0<mo>\}</mo>}$.

На основе исследования фазового портрета системы (3) строится релейный поток.

Предложение 1. Пусть $\lambda \in L^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\cap \mathrm{<mo>\{</mo>}H\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$ и $h_4\ge h_5\ge 0$.

Если E ≠ h₄ > h₅ или h₄ = h₅ = 0, то для любого $t\mathrm{<mo>></mo>0}$ существует единственное решение ${\lambda }_t$ системы (3), удовлетворяющее начальному условию ${\lambda }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda$, и, соответственно, единственная релейная траектория $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>:</mo>}\text{Exp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Если $E\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_4\mathrm{<mo>></mo>}{h}_5$, то для любого $T\mathrm{<mo>></mo>0}$ существует конечное число решений $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_t^1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\lambda }_t^N\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, системы (3) с начальным условием ${\lambda }_0^1\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_0^N\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda$, и, соответственно, конечное число релейных траекторий $\mathrm{<mo>\{</mo>}{q}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{q}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>:</mo>}\text{Exp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Определим время разреза вдоль релейных траекторий:

$t_{\text{cut}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\sup \mathrm{<mo>\{</mo>}T\mathrm{<mo>></mo>0}|$ хотя бы одна из траекторий $\text{Exp(}\lambda \text{,}t)$ оптимальна при $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>.}$

Рис. 1. Проекция множества достижимости вдоль особых траекторий на гиперплоскость (x, z, v).

7. Оптимальность релейных траекторий.

7.1. Релейные траектории с малой энергией $E$.

Теорема 5. Если релейная экстремаль ${\lambda }_t,\text{}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяет неравенству

$\min \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_4\mathrm{<mo>|</mo>,}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_5\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}E\le \max \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_4\mathrm{<mo>|</mo>,}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_5\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

то она оптимальна, т.е. $t_{\text{cut}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}+\infty$.

7.2. Релейные траектории с большой энергией $E$.

С помощью необходимых условий оптимальности [5, 8] доказана следующая оценка.

Теорема 6. Если $E\mathrm{<mo>></mo>}\max \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_4\mathrm{<mo>|</mo>,}-\mathrm{<mo>|</mo>}{h}_5\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то оптимальные релейные траектории имеют не более $11$ переключений. В частности, в этом случае $t_{\text{cut}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}+\infty$.

8. Общий вид нормальных экстремалей.

Предложение 2. Для любой нормальной экстремали ${\lambda }_t\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, существуют моменты времени $\mathrm{0<mo>=</mo>}{t}_0\mathrm{<mo><</mo>}{t}_1\mathrm{<mo><</mo>}{t}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_n\mathrm{<mo>=</mo>}T,$ для которых выполняются условия

1) $h_1{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{t_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}n-1;$

2) $\forall i\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}n-1h_1{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{,}{t}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne 0$ или

$h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_i\mathrm{,}{t}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\equiv \mathrm{0,}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{,}{t}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne 0$ или

$h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_i\mathrm{,}{t}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\equiv \mathrm{0,}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{,}{t}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ne 0$.

9. Смешанные экстремальные дуги.

Предложение 3. Пусть $h_4\ge h_5\ge 0$. Особые экстремальные дуги могут примыкать к релейным дугам только в точках, удовлетворяющих следующим условиям:

1) $\theta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{3\pi }{2}$, $h_3\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}{h}_5\le h_4,$

2) $\theta \mathrm{<mo>=</mo>0}$, $h_3\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}{h}_5\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_4$.

С помощью необходимого условия оптимальности [5, 8] доказана следующая оценка.

Теорема 7. Оптимальные смешанные управления имеют не более 13 переключений.

Заключение. В данной работе описана структура экстремальных траекторий в левоинвариантной $l_{\infty }^{}$ -субфинслеровой задаче на группе Картана и получены оценки числа переключений на оптимальных траекториях. Ряд важных вопросов по этой задаче остаётся открытым:

1) точное описание времени разреза и множества разреза,

2) структура и регулярность субфинслеровой сферы.

Этим вопросам будут посвящены дальнейшие работы.

Авторы выражают благодарность Энрико Ле Донне (Enrico Le Donne) за обсуждения задачи.

Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект 17–11–01387) в Институте программных систем им. А.К. Айламазяна Российской Академии наук.