Absence of global solutions of a mixed problem for a Ginzburg–Landau type nonline-ar evolution equation

Cover Page

Abstract


We study the problem of the absence of global solutions of the first mixed problem for one nonlinear evolution equation of Ginzburg–Landau type.We prove that global solutions of the studied problem are absent for “sufficiently large” values of the initial data.


Пусть ΩRn- произвольная ограниченная область с гладкой границей. Рассмотрим следующую смешанную задачу:

ut=α+iβΔu+fu,u,xΩ,t>0, (1)

ux,0=u0x,xΩ¯,ux,t|Ω=0,t0, (2)

Здесь fu,uω1|u|1+γ+ω2|u|1+μ, (3)

где ω10,ω20,ω12+ω220,γ>0,μ>0,β0,αR.

Уравнение (1) встречается в различных разделах прикладной физики, в нелинейной квантовой механике, в теории распространения световых волн в нелинейных средах (см., например, [1–3]). При

fu=iγ|u|pu+iμu,γμ>0,pn4

соответственно вопрос о разрушении решений задачи (1), (2) при α=0рассматривался в случае μ=0 в [4], в случае μ>0 в [5], а решений задачи Коши для уравнения (1) при μ=0,α=0 в [4, 6–10] и др. Для близких уравнений к (1), т. е. f(u)=|u|1+p,p>0, вопросы разрушения решений задачи (1), (2) исследованы в [11, 12].

Задача Коши для уравнения (1) при α>0 и f(u,u)=F(|u|)u при подходящих условиях на F(|u|) исследована в работах [13, 14] и др.

  1. Обозначения и формулировка основных результатов. Пусть λ1- первое собственное число, ϑ1x — соответствующая первая собственная функция задачи

Δϑ+λϑ=0,xΩ;ϑx=0,xΩ .(4)

Известно, что λ1>0,ϑ1x>0,xΩ (см., например, [15, c. 434]. Не умаляя общности, будем считать, что

Ωϑ1xdx=1 .(5)

Примем следующие обозначения:

ω=ω1+ω0ω2 , (6)

здесь ω0=k0-1Ωϑ1-1μxdx-μ1+μϑ1n-11+μ,

где k0=1n1σn1n,σn=πn2Γn2+1,

Γ(·) — гамма-функция Эйлера. Здесь ||·||p — норма в  LpΩ,p1. (7)

Установлены следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть λ1 — первое собственное число, ϑ1x — соответствующая первая собственная функция задачи (4), ϑ1x удовлетворяет условию нормировки (5). Далее пусть начальная функция u0x такая, что y0=Ωϑ1xReu0xdx удовлетворяет условию

y0>  λ1βω0ρ1ρ, (8)

где ω0=ωeπαρ2βпри αω при α0>0

Тогда максимальное время существования гладких решений задачи (1)–(3) оценивается следующей формулой:

tmax<1λ1βarcsinλ1βω0ρy0ρ.

Здесь ω определена формулой (6), ρ  — формулой (7).

Теорема 2. Пусть λ1 — первое собственное число, ϑ1(x) — соответствующая первая собственная функция задачи (4), ϑ1(x) удовлетворяет условию нормировки (5). Далее пусть начальная функция u0x такая, что y0=sgn(β)Ωϑ1(x)Imu0dx удовлетворяет условию

y0>λ1β2ω0ρ1ρ, (9)

где

ω0=ωeπαρ2βпри αω при α0>0

Тогда максимальное время существования гладких решений задачи (1)(3) оценивается следующей формулой:

tmax<1λ1βarccos1λ1βω0ρy0ρ.

Здесь ω определена формулой (6), ρ — формулой (7).

  1. Приведём схему доказательства теоремы 1. Введем на отрезке 0,Τ, где Τ=π2λ1β, функцию y1(t)=12Ωeλ1ztu(t,x)+eλ1z¯tu¯(t,x)ϑ1(x)dx,

где z=α+iβ,  z¯=αiβ,  u¯(x,t) — комплексно-сопряжённая функция к функции u(x,t).

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть u(x,t) — гладкое решение задачи (1)–(3), λ1 — первое собственное число, ϑ1(x) — соответствующая первая собственная функция задачи (4).

Тогда для любого t0,T справедливо соотношение

dy1dt=cos(λ1βt)I(t), (10)

где I(t)=Ωf(u(x,t),u(x,t))ϑ1(x)dx.

Из леммы 1 при условии нормировки (5) на ϑ1x выводится следующее дифференциальное неравенство первого порядка:

dy1dtωeλ1αρtcos(λ1βt)y11+ρ

для t0,T, благодаря которому доказывается теорема 1.

  1. Схема доказательства теоремы 2.

На отрезке 0,T, где T=πλ1β, введём функцию y2t=i2Ωeλ1ztux,teλ1z¯tu¯x,t  ϑ1xdx.

Лемма 2. Пусть u(x,t) — гладкое решение задачи (1)–(3), λ1 — первое собственное число, ϑ1(x) — соответствующая первое собственная функция задачи (1).

Тогда для t0,T справедливо соотношение

dy2dt=sin(λ1βt)I(t),

где I(t)=Ωf(u,u)ϑ1(x)dx.

Из леммы 2 для y(t)=sgn(β)y2t выводится при условии нормировки (5) на функции ϑ1(x) следующее дифференциальное неравенство первого порядка:

dydtωeλ1αρtsinλ1βty1+ρ

на отрезке [0, T], благодаря которому завершается доказательство теоремы 2.

Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН В.П. Маслову за полезные советы и поддержку.

Sh. M. Nasibov

Institute of Applied Mathematics, Baku State University

Author for correspondence.
Email: nasibov_sharif@hotmail.com

Azerbaijan

  1. Rypdal K., Rasmussen J.J. // Phys. Scr. I. II. 1986. V. 33. P. 481–504.
  2. Захаров В.Е., Шабат A.Б. // ЖЭТФ. 1971. Т. 61. № 1. С. 118–134.
  3. Луговой В.И., Прохоров А.М. // УФН. 1973. Т. 111. № 11. С. 203–247.
  4. Насибов Ш.М. // ДАН. 1985. Т. 285. № 4. С. 807–811.
  5. Насибов Ш.М. // ДАН. 1989. Т. 304. № 2. С. 285–289.
  6. Насибов Ш.М. // ДАН. 1989. Т. 307. № 3. С. 538–542.
  7. Шабат А.Б. В кн.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969. В. 1. С. 180–194.
  8. Кудряшов О.И. // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16. № 4. С. 866–868.
  9. Weinstein M. // Communs Partial and Different. Equats. 1986. V. 11. P. 545–565.
  10. Nawa H. // Communs Pure and Appl. Math. 1999. V. 52. № 2. P. 193–270.
  11. Насибов Ш.М. // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 1087–1091.
  12. Nasibov Sh.M. // J. Appl. Math. 2004. V. 1. P. 23–35.
  13. Ginibre J., Velo G. // Physica D. 1996. V. 95. P. 191–238.
  14. Ginibre J., Velo G. // Communs Math. Phys. 1997. V. 187. P. 45–79.
  15. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., 1981.

Views

Abstract - 129

PDF (Russian) - 78

PlumX


Copyright (c) 2019 Russian Academy of Sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies