Некоторые свойства ультрафильтров широко понимаемых измеримых пространств

Исследуются ультрафильтры (максимальные фильтры) пространства, измеримая структура которого задаётся семейством множеств, замкнутым относительно конечных пересечений и содержащим пустое и объемлющее множество (единицу пространства). Получены необходимые и достаточные условия максимальности фильтров упомянутого пространства, формулируемые в терминах множеств - элементов двойственного семейства, именуемых квазиокрестностями. Эти условия согласуются с известными в теории пространств Стоуна, но охватывают целый ряд других случаев, касающихся, в частности, оснащения исходного множества топологией (случай открытых ультрафильтров) и семейством замкнутых множеств топологического пространства (т.е. замкнутой топологией в смысле П.С. Александрова). Определяющую роль в этих построениях играет топология на пространстве ультрафильтров, определяемая по аналогии со случаем пространства Стоуна. Рассматривается также оснащение упомянутого пространства топологией, допускающей идейную аналогию с используемой при построении расширения Волмэна. В результате реализуется битопологическое пространство (БТП) со сравнимыми топологиями, одна из которых хаусдорфова, а другая реализует компактное Т1-пространство. Указаны условия, обеспечивающие совпадение топологий и как следствие реализацию (нульмерного) компакта, а также условия, при которых упомянутые топологии различаются, определяя невырожденное БТП. В случае, когда семейство множеств, задающее измеримую структуру, обладает свойством отделимости, установлено, что исходное объемлющее множество допускает погружение в упомянутое БТП в виде всюду плотного подмножества.