Generalized localization for spherical partial sums of multiple Fourier series

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper the generalized localization principle for the spherical partial sums of the multiple Fourier series in the L2-class is proved, that is, if f ∈ L2 (ТN) and f = 0 on an open set Ω ⊂ ТN then it is shown that the spherical partial sums of this function converge to zero almost - ​everywhere on Ω. It has been previously known that the generalized localization is not valid in Lp (TN) when 1 ≤ p < 2. Thus the problem of generalized localization for the spherical partial sums is completely solved in Lp (TN), p ≥ 1: if p ≥ 2 then we have the generalized localization and if p < 2, then the generalized localization fails.

About the authors

R. R. Ashurov

National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek; Institute of Mathematics named after V.I. Romanovskiy of the Academy of Sciences of Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: ashurovr@gmail.com
Uzbekistan, 100174, Tashkent, Students’ Quarter; 100060, Tashkent, Khodjaev str., 29

References

  1. Алимов Ш. А., Ашуров Р. Р., Пулатов А. К. Кратные ряды и интегралы Фурье // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1989. № 42. С. 7-104.
  2. Ильин В. А. Об обобщенной интерпретации принципа локализации для рядов Фурье по фундаментальным системам функций // Сиб. мат. журн. 1968. № 9. С. 1093-1106.
  3. Бастис А. Й. Обобщенный принцип локализации для N кратного интеграла Фурье // ДАН. 1984. Т. 287. № 6. С. 777-778.
  4. Бастис А.Й. Обобщенная локализация рядов Фурье по собственным функциям оператора Лапласа в Lp-классах // Литовский мат. сб. 1991. № 31. С. 387-405.
  5. Carbery A., Soria F. Almost Everywhere Convergence of Fourier Integrals for Functions in Sobolev Spaces, and an L2-Localization Principle // Revista Mat. Iberoamericana. 1988. № 4. P. 319-337.
  6. Carbery A., Rubio de Francia J. L., Vega L. Almost Everywhere Summability of Fourier Integrals // J. London Math. Soc. 1988. № 38. Р. 513-524.
  7. Carbery A., Romera E., Soria F. Radial Weights and Mixed Norm Inequalities for the Disc Multiplier // J. Funct. Anal. 1992. № 109. Р. 52-75.
  8. Carbery A., Soria F. Pointwise Fourier Inversion and Localization in Rn // J. Fourier Analysis and Applications. 1997. № 3. Special Issue. Р. 847-858.
  9. Sjölin P. Regularity and Integrability of Spherical Means // Monatsh. Math. 1983. № 96. Р. 277-291.
  10. Ashurov R. R., Ahmedov A., Ahmad Rodzi b. Mahmud. The Generalized Localization for Multiple Fourier Integrals // J. Math. Anal. and Appl. 2010. № 371. Р. 832-841.
  11. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 337 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Russian academy of sciences