Полный текст
В 60-е годы прошлого века Ю.Г. Решетняк заложил основы теории отображений с ограниченным искажением, которую можно рассматривать как естественное обобщение теории аналитических функций на евклидовы пространства произвольной размерности (см. [1]). Пусть — область (т.е. открытое связное множество) в евклидовом пространстве . Отображение f класса Соболева называется отображением с ограниченным искажением, если
для п.в. (1)
где — константа, — матрица Якоби, . Ю.Г. Решетняк установил основные топологические свойства этих отображений, доказав, что всякое непостоянное отображение с ограниченным искажением непрерывно открыто и дискретно [1, c. 141–146]. Известно, что всякое гомеоморфное отображение с ограниченным искажением квазиконформно.
В соответствии со следствием 4 работы всякое непрерывное открытое и дискретное отображение f класса Соболева с условием
для п.в. (2)
является отображение с ограниченным искажением, т.е. удовлетворяет также соотношению (1) (здесь — присоединённая матрица к ( )-матрице ), а — постоянная). Мы включаем отображения класса Соболева с условием в двухиндексную шкалу отображений (см. ниже определение 1), зависящую от вещественных параметров Цель работы — показать, что отображения двухиндексной шкалы наследуют многие свойства отображений с ограниченным искажением. Заметим, что без дополнительных условий отображения класса Соболева не обладают многими привычными в квазиконформном анализе свойствами: дифференцируемостью, -свойством Лузина, свойством Лузина и др. Поэтому доказательства основных утверждений работы новые.
Работы [2–5] мотивируют определение следующего класса отображений. Пусть — произвольная измеримая функция, называемая далее весовой.
О п р е д е л е н и е 1. Отображение f: называется отображением с внутренним ограниченным θ-весовым (q, p)-искажением (принадлежит классу n − 1 ≤ q ≤ p < ∞, если:
1) непрерывно, открыто и дискретно;
2) принадлежит классу ;
3) якобиан для п. в. ;
ОСНОВЫ КВАЗИКОНФОРМНОГО АНАЛИЗА ДВУХИНДЕКСНОЙ ШКАЛЫ...
4) отображение имеет конечное коискажение: п.в. на множестве ;
5) функция локального θ-весового -искажения
(3)
принадлежит классу (Ω), где находится из условия ( ∞ при ).
Введём следующее обозначение:
.
Пусть f: — непрерывное отображение, область компактно вложена в Ω (т.е. ограничена и , коротко ) и . Обозначим символом степень отображения в точке относительно . Будем говорить, что сохраняет ориентацию, если для любой области и для любой точки Если множество , то функцией кратности называется отображение Кроме того, введем обозначение
Пусть f: — непрерывное открытое и дискретное отображение. Область называется нормальной, если . Нормальной окрестностью точки называется нормальная область такая, что . Величина не зависит от выбора нормальной окрестности точки (см., например, [1, с. 41–46] и [6, Часть 1]) и называется локальным индексом отображения в точке . Точка называется точкой ветвления отображения , если не является гомеоморфизмом ни в какой окрестности точки . Совокупность всех точек ветвления отображения обозначается символом .
Лемма 1. Предположим, что непрерывное открытое и дискретное отображение f: принадлежит классу . Тогда сохраняет ориентацию.
Для непрерывного открытого и дискретного отображения f: , сохраняющего ориентацию, и нормальной области определим на образе функцию Полецкого gD: полагая
(4)
где число фиксируется ниже. Функция вида (4) введена Е.А. Полецким в работе [8, с. 265] для отображений с ограниченным искажением. Свойства функции Полецкого для отображений класса сформулированы в следующем утверждении. По аналогии c [7, теорема 3.1.8] выделим борелевское множество нулевой -меры, вне которого обладает -свойством Лузина. Пусть Множество можно считать борелевским. Положим далее , .
Т е о р е м а 1. Предположим, что отображение f: принадлежит классу Тогда:
функция , определённая равенством (4), непрерывна и абсолютно непрерывна на п.в. линиях, параллельных координатным осям (принадлежит классу );
п.в. на множестве
если весовая функция локально суммируема, то функция , определённая равенством (4), принадлежит классу Соболева , где при этом
Метод доказательства теоремы 1 можно применить для того, чтобы установить свойства перенесённых функций (5) и (8), определяемых ниже.
О п р е д е л е н и е 2. Пусть — непрерывное открытое и дискретное отображение, сохраняющее ориентацию. Для произвольной гладкой финитной функции носитель которой расположен в компактно вложенной области , определим перенесённую функцию по правилу
(5)
Свойство функции (5) сформулировано в следующем утверждении.
Т е о р е м а 2. Пусть Ω — область в и f: — отображение класса , , а весовая функция локально суммируема. Тогда:
перенесённая функция непрерывна, обладает свойством ACL на области f(Ω); более того, п.в. на множестве здесь множества и такие же, как и в формулировке теоремы );
в случае для компактно вложенной области такой, что , и перенесенной функции заданной формулой (5)), верна оценка
(6)
где , , , ;
в случае верна оценка
(7)
О п р е д е л е н и е 3. Пусть f — непрерывное открытое и дискретное отображение, сохраняющее ориентацию, — произвольное положительное число. Для произвольной гладкой финитной функции определим перенесённую функцию v по правилу
. (8)
Здесь — положительная постоянная, которая фиксируется позже.
Т е о р е м а 3. Пусть Ω — область в и f — отображение класса , , а весовая функция локально суммируема. Тогда перенесённая функция v , , непрерывна, обладает свойством ACL на области f(Ω); более того, v = 0 п.в. на множестве (здесь множества и такие же, как и в формулировке теоремы 1). Для любой области такой, что supp u , верна оценка
где , , .
Здесь и далее символ обозначает норму обобщённого градиента в пространстве Лебега с весом ω.
В пространстве можно определить ёмкость конденсатора.
О п р е д е л е н и е 4. Упорядоченная тройка непустых множеств, где — открытое множество в а и — замкнутые подмножества называется конденсатором в . Величина
где инфимум берётся по всем непрерывным функциям таким, что в некоторой окрестности множества ( ), называется ω-весовой -ёмкостью конденсатора . Если — открытое множество, — компакт в , то конденсатор будем обозначать символом .
С помощью оценки (6) можно получить ёмкостное неравенство типа Полецкого.
С л е д с т в и е 1. Пусть , а весовая функция локально суммируема. Если — конденсатор в Ω, причём Ω — область, а — компакт,
(9)
где и , .
Из теоремы 3 выводим ёмкостное неравенство типа Вяйсяля.
ОСНОВЫ КВАЗИКОНФОРМНОГО АНАЛИЗА ДВУХИНДЕКСНОЙ ШКАЛЫ...
С л е д с т в и е 2. Пусть f — отображение класса , , а весовая функция локально суммируема. Если
— конденсатор в Ω такой, что , — компакт в , то
где , , и .
— конденсатор в Ω такой, что — нормальная область, а — компакт в , то
где , и .
При помощи оценок (7) и (9) можно доказать дифференцируемость отображений класса .
Теорема 4. Отображение класса где , дифференцируемо п.в. в области Ω при условии, что весовая функция локально суммируема в Ω.
Из доказательства теоремы выводим несколько новых свойств.
П р е д л о ж е н и е 1. Пусть f: — отображение класса , , а весовая функция локально суммируема при . Тогда c точностью до множества нулевой меры, т.е. , и отображение имеет конечное искажение.
Т е о р е м а 5. Пусть f: — отображение класса , . Пусть ещё , число находится из условия , а весовая функция . Тогда и отображение f: , где — нормальная область, индуцирует ограниченный оператор f: однородных пространств Соболева по правилу , . Для нормы оператора справедлива оценка .
С л е д с т в и е 3. Пусть f: — отображение класса , . Тогда
обладает свойством Лузина: , если ,
п.в. в Ω;
множество точек ветвления имеет меру нуль.
С л е д с т в и е 4. Всякое отображение f: класса является отображением с ограниченным искажением.
Для отображений класса дифференцируемость, конечность искажения, а также свойства, сформулированные в следствии 3, доказаны в работе [9].
По аналогии с определением 1 можно ввести класс отображений f: с внешним ограниченным -весовым -искажением (принадлежит классу если выполняются условия 1), 2), 3) определения 1, вместо 4) — условие
отображение имеет конечное искажение: п.в. на множестве ;
а вместо (5) — условие
функция локального -весового искажения
принадлежит классу , где находится из условия ( = ∞ при ).
Класс изучался в [5] при условии . Справедлива
Т е о р е м а 6. Если f: принадлежит классу , , то принадлежит также и классу . Более того,
Вывод теоремы 6 состоит в том, что всякое утверждение, доказанное для отображений класса справедливо также и для отображений класса .
Совокупность гомеоморфизмов f: класса , где области Ω и имеют липшицевы границы, можно рассматривать в качестве класса допустимых деформаций в задачах нелинейной теории упругости. Заметим, что класс допустимых деформаций работы [10] содержится в пересечении при некотором а класс деформаций работы [11] совпадает с классом Новый класс допустимых деформаций представляет собой шкалы семейств, зависящих от непрерывного параметра . Эти семейства естественно упорядочены по вложению: класс с большим содержится в классе с меньшим . Такая иерархия позволяет подобрать под данный материал допустимый для него класс деформаций. Доказательство существования экстремальной деформации в классе для вариационной задачи с некоторыми естественными условиями на рост интегранта приведено в работе [12].
Замечание. В работе [13] следствие 1 настоящего сообщения сформулировано и доказано при более сильном предположении: . Однако доказательство утверждения, приведённое в [13], можно модифицировать так, чтобы получить и доказательство следствия 1 (т.е. в предположении ).
Работа подготовлена при частичной поддержке Министерства образования и науки РФ (грант № 1.3087.2017/4.6) и частичной поддержке гранта РФФИ (код проекта № 17–01–00801).