Foundations of quasiconformal analysis of a two-index scale of spatial mappings

Abstract

We define a scale of mappings that depends on two real parameters p and q,  and a weight function θ. In the case of q = p = n, θ ≡ 1, we obtain the well known mappingswith bounded distortion. Mappings of a two-index scale inherit many properties of mappings with bounded distortion. They are used for solving a few problems of global analysis and applied problems.

Full Text

В 60-е годы прошлого века Ю.Г. Решетняк заложил основы теории отображений с ограниченным искажением, которую можно рассматривать как естественное обобщение теории аналитических функций на евклидовы пространства произвольной размерности $n\ge 2$ (см. [1]). Пусть $\Omega \subset {ℝ}^n$ — область (т.е. открытое связное множество) в евклидовом пространстве ${ℝ}^n,$ $n\ge 2$. Отображение f $f:\Omega \to {ℝ}^n$ класса Соболева $W_{n\mathrm{,}\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется отображением с ограниченным искажением, если

${\left|Df\left(x\right)\right|}^n\le KJ\left(x\mathrm{,}f\right)$ для п.в. $x\in \Omega ,$ (1)

где $K\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — константа, $Df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n}$ — матрица Якоби, $J\left(x\mathrm{,}f\right)=\det Df\left(x\right)$. Ю.Г. Решетняк установил основные топологические свойства этих отображений, доказав, что всякое непостоянное отображение с ограниченным искажением непрерывно открыто и дискретно [1, c. 141–146]. Известно, что всякое гомеоморфное отображение с ограниченным искажением квазиконформно.

В соответствии со следствием 4 работы всякое непрерывное открытое и дискретное отображение f $f:\Omega \to {ℝ}^n$ класса Соболева $W_{n-\mathrm{1,}\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с условием

${\left|\text{adj}D\left(fx\right)\right|}^{\frac{n}{n-1}}\le K^{\text{'}}J\left(x\mathrm{,}f\right)$ для п.в. $x\in \Omega$ (2)

является отображение с ограниченным искажением, т.е. удовлетворяет также соотношению (1) (здесь $\text{adj }A$ — присоединённая матрица к ( $n\times n$ )-матрице $A$ ), а $K^{\prime }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — постоянная). Мы включаем отображения класса Соболева $W_{n\mathrm{,}\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с условием $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в двухиндексную шкалу отображений (см. ниже определение 1), зависящую от вещественных параметров $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty .$ Цель работы — показать, что отображения двухиндексной шкалы наследуют многие свойства отображений с ограниченным искажением. Заметим, что без дополнительных условий отображения класса Соболева $W_{n\mathrm{,}\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не обладают многими привычными в квазиконформном анализе свойствами: дифференцируемостью, $\mathcal{N}$ -свойством Лузина, ${\mathcal{N}}^{-1}\text{-}$ свойством Лузина и др. Поэтому доказательства основных утверждений работы новые.

Работы [2–5] мотивируют определение следующего класса отображений. Пусть $\theta \mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — произвольная измеримая функция, называемая далее весовой.

О п р е д е л е н и е 1. Отображение f: $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {ℝ}^n$ называется отображением с внутренним ограниченным θ-весовым (q, p)-искажением (принадлежит классу $\mathcal{I}\mathcal{D}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo>;</mo>}q\mathrm{,}p\mathrm{<mo>;</mo>}\theta \mathrm{,}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}),$ n − 1 ≤ q ≤ p < ∞, если:

1) $f$ непрерывно, открыто и дискретно;

2) $f$ принадлежит классу $W_{n-\mathrm{1,}\text{loc}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

3) якобиан $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ для п. в. $x\in \Omega$;

ОСНОВЫ КВАЗИКОНФОРМНОГО АНАЛИЗА ДВУХИНДЕКСНОЙ ШКАЛЫ...

4) отображение $f$ имеет конечное коискажение: $\text{adj }Df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ п.в. на множестве $Z\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in \Omega \mathrm{<mo>:</mo>}$ $\det Df\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$;

5) функция локального θ-весового $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -искажения

$\begin{array}{c}\Omega \ni x\mapsto {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,}1}\left(x\mathrm{,}f\right)\\ =\left\{\begin{array}{l}\frac{{\theta }^{\frac{n-1}{q}}\overline{)\left(x\right)}Df\overline{)\left(x\right)}}{J(x\mathrm{,}f{)}^{\frac{n-1}{p}}}, \text{если }J(x,f)\ne \text{0},\\ 0 \text{\hspace{0.17em}иначе}\end{array}\right.\end{array}$ (3)

принадлежит классу $L_{\varrho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (Ω), где $\varrho$ находится из условия $\frac{1}{\varrho }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{n-1}{q}-\frac{n-1}{p}$ ( $\varrho \mathrm{<mo>=</mo>}\infty$∞ при $q\mathrm{<mo>=</mo>}p$ ).

Введём следующее обозначение:

${\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,1}}\left(f\Omega \right)$ $\parallel {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,1}}(\cdot \mathrm{,}f)\left|L_{\varrho }\right(\Omega )\parallel$.

Пусть f: $\Omega \to {ℝ}^n$ — непрерывное отображение, область $D$ компактно вложена в Ω (т.е. $D$ ограничена и $\overline{D}\subset \Omega$, коротко $D⋐\Omega$ ) и $y\notin f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Обозначим символом $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}f\mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ степень отображения $f$ в точке $y$ относительно $D$. Будем говорить, что $f$ сохраняет ориентацию, если $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}f\mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ для любой области $D⋐\Omega$ и для любой точки $y\in f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\partial D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Если множество $A\subset \Omega$, то функцией кратности называется отображение ${ℝ}^n\ni y\mapsto N\left(y\mathrm{,}f\mathrm{,}A\right)=\#{\left\{f\right.}^{-1}\left(y\right)\cap A$ Кроме того, введем обозначение $N\left(f\mathrm{,}A\right)\underset{y\in {ℝ}^n}{\sup }N\left(y\mathrm{,}f\mathrm{,}A\right).$

Пусть f: $\Omega \to {ℝ}^n$ — непрерывное открытое и дискретное отображение. Область $D⋐\Omega$ называется нормальной, если $f(\partial D)=\partial f\left(D\right)$. Нормальной окрестностью точки $x\in \Omega$ называется нормальная область $U\subset \Omega$ такая, что $\overline{U}\cap f^{-1}\left(f\right(x\left)\right)=\left\{x\right\}$. Величина $i\left(x\mathrm{,}f\right)=$ $\left(f\right(x), f\mathrm{,}U)$ не зависит от выбора нормальной окрестности $U$ точки $x$ (см., например, [1, с. 41–46] и [6, Часть 1]) и называется локальным индексом отображения $f$ в точке $x$. Точка $x\in \Omega$ называется точкой ветвления отображения $f$, если $f$ не является гомеоморфизмом ни в какой окрестности точки $x$. Совокупность всех точек ветвления отображения $f$ обозначается символом $B_f$.

Лемма 1. Предположим, что непрерывное открытое и дискретное отображение f: $\Omega \to {ℝ}^n$ принадлежит классу $\mathcal{I}\mathcal{D}(\Omega ; q, p; \theta , 1)$. Тогда $f$ сохраняет ориентацию.

Для непрерывного открытого и дискретного отображения f: $\Omega \to {ℝ}^n$, сохраняющего ориентацию, и нормальной области $D⋐\Omega$ определим на образе $V\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функцию Полецкого g_D: $V\to {ℝ}^n,$ полагая

$V\ni y\mapsto g_D\left(y\right)=\Lambda \sum _{x\in f^{-1}\left(y\right)\cap D}i\left(x\mathrm{,}f\right)x\mathrm{,}$ (4)

где число $\Lambda \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ фиксируется ниже. Функция вида (4) введена Е.А. Полецким в работе [8, с. 265] для отображений с ограниченным искажением. Свойства функции Полецкого для отображений класса $\mathcal{ID}(\Omega ; q, p; \theta , 1)$ сформулированы в следующем утверждении. По аналогии c [7, теорема 3.1.8] выделим борелевское множество $\Sigma \subset D$ нулевой ${\mathcal{H}}^n$ -меры, вне которого $f$ обладает $\mathcal{N}$ -свойством Лузина. Пусть $Z=\left\{x\in D\backslash \Sigma :J\left(x\mathrm{,}f\right)=0\right\}$ Множество $Z$ можно считать борелевским. Положим далее $Z^{\text{'}}f\left(\Sigma \right)$, ${\Sigma }^{\text{'}}f\left(Z\right)$.

Т е о р е м а 1. Предположим, что отображение f: $\Omega \to {ℝ}^n$ принадлежит классу $\mathcal{ID}(\Omega ; q, p; \theta , 1)$ Тогда:

$\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функция $g_D$, определённая равенством (4), непрерывна и абсолютно непрерывна на п.в. линиях, параллельных координатным осям (принадлежит классу $\text{ACL(}V)$);

$\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $D{g}_D\left(y\right)$ п.в. на множестве $Z^{\prime }\cup {\Sigma }^{\prime };$

$\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ если весовая функция $\omega \left(x\right){\theta }^{-\frac{n-1}{q-n-}}\left(x\right)$ локально суммируема, то функция $g_D$, определённая равенством (4), принадлежит классу Соболева $W_s^1\left(V\right)$, где $s=\frac{p}{p-(n-1)};$ при этом

$\parallel D{g}_D\left|L_s\right(V)\parallel \le \Lambda N(f\mathrm{,}D{)}^{\frac{s-1}{s}}\parallel {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,1}}(\cdot \mathrm{,}f)\left|L_{\varrho }\right(D)\parallel {\left(\underset{D}{\int }\omega \left(x\right)dx\right)}^{\frac{1}{r}}\mathrm{.}$

Метод доказательства теоремы 1 можно применить для того, чтобы установить свойства перенесённых функций (5) и (8), определяемых ниже.

О п р е д е л е н и е 2. Пусть $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {ℝ}^n$ — непрерывное открытое и дискретное отображение, сохраняющее ориентацию. Для произвольной гладкой финитной функции $u\in C_0^1\left(\Omega \right)$ носитель $\text{supp }u$ которой расположен в компактно вложенной области $D⋐\Omega$, определим перенесённую функцию $wf\left(\Omega \right)\to ℝ$ по правилу

$f\left(\Omega \right)\ni y\mapsto w\left(y\right)=\left\{\begin{array}{l}\underset{x\in f^{-1}\left(y\right)}{\max }u\left(x\right),y\in f\left(\text{supp}u\right),\\ \mathrm{0,}y\notin f\left(\text{supp}u\right).\end{array}\right.$ (5)

Свойство функции (5) сформулировано в следующем утверждении.

Т е о р е м а 2. Пусть Ω — область в ${ℝ}^n$ и f: $\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ; q, p; \theta , 1)$, $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, а весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема. Тогда:

$\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ перенесённая функция $w$ непрерывна, обладает свойством ACL на области f(Ω); более того, $\nabla w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ п.в. на множестве $Z^{\prime }\cup {\Sigma }^{\prime }$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}$ здесь множества $Z^{\prime }$ и ${\Sigma }^{\prime }$ такие же, как и в формулировке теоремы $1$ );

$\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ для компактно вложенной области $D⋐\Omega$ такой, что $\text{supp }u\subset D$, и перенесенной функции $w:f\left(\Omega \right)\to ℝ$ заданной формулой  (5)), верна оценка

$\begin{array}{c}{\left(\underset{f\left(D\right)}{\int }{\left|\nabla w\right|}^s\left(y\right)dy\right)}^{\frac{1}{s}}\le \\ \le \parallel {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,}1}(\cdot \mathrm{,}f)\left|L_{\varrho }\right(D)\parallel {\left(\underset{D}{\int }{\left|\nabla u\right|}^r\left(x\right)\omega \left(x\right)dx\right)}^{\frac{1}{r}}\mathrm{,}\end{array}$(6)

где $s=\frac{p}{p-(n-1)}$, $r=\frac{q}{q-(n-1)}$, $\frac{1}{\varrho }=\frac{1}{s}-\frac{1}{r}$, $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)\in L_{\mathrm{1,}}$; $={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)\in L_{\text{1}\text{, loc}}$

в случае $n-\mathrm{1<mo>=</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ верна оценка

$\begin{array}{c}{\left(\underset{f\left(D\right)}{\int }{\left|\nabla w\right|}^s\left(y\right)dy\right)}^{\frac{1}{s}}\le \\ \le \parallel {\mathcal{K}}_{n-\mathrm{1,}p}^{\theta \mathrm{,}1}(\cdot \mathrm{,}f)\left|L_s\right(D)\parallel \parallel \nabla u|L_{\infty }\left(D\right)\parallel \mathrm{.}\end{array}$ (7)

О п р е д е л е н и е 3. Пусть f $f:\Omega \to {ℝ}^n$ — непрерывное открытое и дискретное отображение, сохраняющее ориентацию, $\Lambda$ — произвольное положительное число. Для произвольной гладкой финитной функции $u\in C_0^1\left(\Omega \right)$ определим перенесённую функцию v $v=f_{*}u:f\left(\Omega \right)\to ℝ$ по правилу

$\begin{array}{c}f\left(\Omega \right)\ni y\mapsto v\left(y\right)\\ =\left\{\begin{array}{l}\Lambda \sum _{x\in f^{-1}\left(y\right)}i\left(x\mathrm{,}f\right)u\left(x\right)y\in f\left(\text{supp }u\right)\\ \mathrm{0,}y\notin f\left(\text{supp }u\right)\end{array}\right.\end{array}$. (8)

Здесь $\Lambda$ — положительная постоянная, которая фиксируется позже.

Т е о р е м а 3. Пусть Ω — область в ${ℝ}^n$ и f $f:\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ; q, p; \theta , 1)$, $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, а весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема. Тогда перенесённая функция v $v=f_{*}u:f\left(\Omega \right)\to ℝ$, $u\in C_0^1\left(\Omega \right)$, непрерывна, обладает свойством ACL на области f(Ω); более того, $\nabla v\mathrm{<mo>=</mo>0}$ v = 0 п.в. на множестве $Z^{\prime }\cup {\Sigma }^{\prime }$ (здесь множества $Z^{\prime }$ и ${\Sigma }^{\prime }$ такие же, как и в формулировке теоремы 1). Для любой области $D⋐\Omega$ такой, что supp u $u\subset D$, верна оценка

$\begin{array}{c}\parallel v\left|L_s^1\right(fD\left)\right)\parallel \le \\ \le \Lambda N(f,D{)}^{\frac{S-1}{S}}\parallel {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,1}}(\cdot \mathrm{,}f\left)\right|L_{\varrho }\left(D\right)\parallel \cdot \parallel u\left|L_r^1\right(D\mathrm{,}\omega )\parallel \mathrm{,}\end{array}$

где $r=\frac{q}{q-(n-1)}$, $s=\frac{p}{p-(n-1)}$, $\frac{1}{\varrho }=\frac{1}{s}-\frac{1}{r}$.

Здесь и далее символ $\parallel u\left|L_r^1\right(D\mathrm{,}\omega )\parallel$ обозначает норму ${\left(\underset{D}{\int }{\left|\nabla u\right|}^r\left(x\right)\omega \left(x\right)dx\right)}^{\frac{1}{r}}$ обобщённого градиента $\nabla u$ в пространстве Лебега с весом ω.

В пространстве $L_p^1\left(D\mathrm{,}\omega \right)$ можно определить ёмкость конденсатора.

О п р е д е л е н и е 4. Упорядоченная тройка $E=(F_0\mathrm{,}{F}_1;D)$ непустых множеств, где $D$ — открытое множество в ${ℝ}^n,$ а $F_1$ и $F_0$ — замкнутые подмножества $\overline{D},$ называется конденсатором в $D\subset {ℝ}^n$. Величина

${}_p^{\omega }\left(E\right)={\text{cap}}_p^{\omega }\text{(}{F}_0\mathrm{,}{F}_1;D)=\inf \underset{D}{\int }{\left|\nabla g\right|}^p(z\left)\omega \right(z)dz\mathrm{,}$

где инфимум берётся по всем непрерывным функциям $g$ $\left(g\in L_p^1\left(D\right)\cap C\left(D\right)\right),$ таким, что $g\ge 1(g\le 0)$ в некоторой окрестности множества $F_1$ ( $F_0$ ), называется ω-весовой $p$ -ёмкостью конденсатора $E=(F_0\mathrm{,}{F}_1;D)$. Если $U$ — открытое множество, $C$ — компакт в $U$, то конденсатор $E=(\partial U\mathrm{,}C;U)$ будем обозначать символом $E=\left(U\mathrm{,}C\right)$.

С помощью оценки (6) можно получить ёмкостное неравенство типа Полецкого.

С л е д с т в и е 1. Пусть $f\in \mathcal{I}\mathcal{D}(\Omega ;q\mathrm{,}p;\theta ,1)$ $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, а весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема. Если $E=\left(A\mathrm{,}C\right)$ — конденсатор в Ω, причём $A⋐\Omega$Ω — область, а $C\subset A$ — компакт,

${\text{(cap}}_{s}f\left(E\right){)}^{1/s}\le \parallel {\mathcal{K}}_{q\mathrm{,}p}^{\theta \mathrm{,1}}(\cdot \mathrm{,}f)\left|L_{\varrho }\right(A\backslash C)\parallel (\cdot {\text{cap}}_r^{\omega }E{)}^{1/r}\mathrm{,}$ (9)

где $s=\frac{p}{p-(n-1)}$ и $r=\frac{q}{q-(n-1)}$, $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$.

Из теоремы 3 выводим ёмкостное неравенство типа Вяйсяля.

ОСНОВЫ КВАЗИКОНФОРМНОГО АНАЛИЗА ДВУХИНДЕКСНОЙ ШКАЛЫ...

С л е д с т в и е 2. Пусть f $f:\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{I}\mathcal{D}(\Omega ;q\mathrm{,}p;\theta ,1)$, $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty$, а весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема. Если

$\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $E=\left(A\mathrm{,}C\right)$ — конденсатор в Ω такой, что $A⋐\Omega$, $C$ — компакт в $A$, то

$\begin{array}{c}\left({\mathrm{cap}}_{s}f\right(E){)}^{1/s}\le \\ \le \frac{\parallel {\displaystyle {{\displaystyle \mathcal{K}}}_{q,p}^{\theta ,1}}{\displaystyle (}{\displaystyle ·}{\displaystyle ,}{\displaystyle f}{\displaystyle )}{\displaystyle |}{\displaystyle {{\displaystyle L}}_{\varrho }}{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle \backslash }{\displaystyle C}{\displaystyle )}{\displaystyle \parallel }{\displaystyle ·}{\displaystyle {{\displaystyle \left(N\right(f,A\left)\right)}}^{(s-1)/s}}}{{\displaystyle M(f,C)}}({\mathrm{cap}}_r^{\omega }E){)}^{1/r},\end{array}$

где $s=\frac{p}{p-(n-1)}$, $r=\frac{q}{q-(n-1)}$, $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ и $M\left(f\mathrm{,}C\right)=\underset{x\in f\left(C\right)}{\inf }\sum _{z\in f^{-1}\left(x\right)\cap C}i\left(z\mathrm{,}f\right)$.

$\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $E=\left(A\mathrm{,}C\right)$ — конденсатор в Ω такой, что $A⋐\Omega$ — нормальная область, а $C$ — компакт в $A$, то

$\left({\mathrm{cap}}_{s}f\right(E){)}^{1/s}\le \frac{\parallel {\displaystyle {{\displaystyle \mathcal{K}}}_{q,p}^{\theta ,1}}{\displaystyle (}{\displaystyle ·}{\displaystyle ,}{\displaystyle f}{\displaystyle )}{\displaystyle |}{\displaystyle {{\displaystyle L}}_{\varrho }}{\displaystyle (}{\displaystyle A}{\displaystyle \backslash }{\displaystyle C}{\displaystyle )}\parallel }{{\displaystyle \left(N\right(f,A{\left)\right)}^{1/s}}}({\mathrm{cap}}_r^{\omega }E){)}^{1/r},⊸$

где $s=\frac{p}{p-(n-1)}$, $r=\frac{q}{q-(n-1)}$ и $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$.

При помощи оценок (7) и (9) можно доказать дифференцируемость отображений класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$.

Теорема 4. Отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$ $p;\theta ,1),$ где $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}n+\frac{1}{n-2}$, дифференцируемо п.в. в области Ω при условии, что весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема в Ω.

Из доказательства теоремы выводим несколько новых свойств.

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть f: $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$, $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}n+\frac{1}{n-2}$ $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}n+\frac{1}{n-2}$, а весовая функция $\omega \left(x\right)={\theta }^{-\frac{n-1}{q-(n-1)}}\left(x\right)$ локально суммируема при $n-\mathrm{1<mo><</mo>}q$. Тогда  $\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in \Omega \mathrm{<mo>:</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$ $B_f\subset Z=\{x\in \Omega :J(x,f)=0\}$ c точностью до множества нулевой меры, т.е. $\mathrm{<mo>|</mo>}{B}_f\backslash Z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>0}$, и отображение $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$ имеет конечное искажение.

Т е о р е м а 5. Пусть f: $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$, $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}n+\frac{1}{n-2},$ $\frac{1}{\rho }=\frac{n-1}{q}-\frac{n-1}{p}$. Пусть ещё $p^{\text{'}}\frac{s}{s-(n-1)}$, число $q^{\prime }$ находится из условия $\frac{n-1}{\rho }=\frac{1}{q^{\text{'}}}-\frac{1}{p^{\text{'}}}$, а весовая функция $\overline{\theta }\left(x\right)={\theta }^{\frac{{(n-1)}^{2}q\text{'}}{q}}\left(x\right)$. Тогда $1\le q^{\prime }\le p^{\prime }\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ и отображение f: $f:D\to f\left(D\right)$, где $D⋐\Omega$ — нормальная область, индуцирует ограниченный оператор f: $f^{*}:L_{p\text{'}}^1\left(f\right(D\left)\right)\cap W_{\infty ,\mathrm{loc}}^1\left(f\right(D\left)\right)\to L_{q\text{'},\sigma }^1\left(D\right)$ $f^{*}:L_{p\text{'}}^1\left(f\right(D\left)\right)\cap W_{\infty ,\mathrm{loc}}^1\left(f\right(D\left)\right)\to L_{q\text{'},\sigma }^1\left(D\right)$ однородных пространств Соболева по правилу $f^{*}\left(g\right)=g\circ f$, $g\in L_{p\text{'}}^1\left(f\right(D\left)\right)\cap W_{\infty ,\mathrm{loc}}^1\left(f\right(D\left)\right)$ $g\in L_{p\text{'}}^1\left(f\right(D\left)\right)\cap W_{\infty ,\mathrm{loc}}^1\left(f\right(D\left)\right)$. Для нормы оператора $f^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ справедлива оценка $\parallel f^{*}\parallel \le N(f,D{)}^{\frac{1}{p\text{'}}}||K_{q\text{'},p\text{'}}^{\theta ,1}(·,f)\left|L_{\frac{\rho }{n-1}}\right(D) ||$.

С л е д с т в и е 3. Пусть f: $\Omega \to {ℝ}^n$ — отображение класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;1,1)$, $n - 1\le q\le p\le n$. Тогда

$\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $f$ обладает ${\mathcal{N}}^{-1}\text{-}$ свойством Лузина: $\left|f^{-1}\right(E\left)\right| =0$, если $\left|E\right| =0$, $E\subset \Omega \text{'};$

$\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $J(x,f) > 0$ п.в. в Ω;

$\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество $B_f$ точек ветвления имеет меру нуль.

С л е д с т в и е 4. Всякое отображение f: $\Omega \to {ℝ}^n$ класса $\mathcal{ID}(\Omega ; n-1, n; 1, 1)$ является отображением с ограниченным искажением.

Для отображений класса $\mathcal{ID}(\Omega ; n-1, n; 1, 1)$ дифференцируемость, конечность искажения, а также свойства, сформулированные в следствии 3, доказаны в работе [9].

По аналогии с определением 1 можно ввести класс отображений f: $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {ℝ}^n$ с внешним ограниченным $\theta$ -весовым $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -искажением (принадлежит классу $\mathcal{OD}(\Omega ;q,p;\theta ,1)),$ $n-1\le q\le p\mathrm{<mo><</mo>}\infty ,$ если выполняются условия 1), 2), 3) определения 1, вместо 4) — условие

$4^{\prime })$ отображение $f$ имеет конечное искажение: $Df\left(x\right) = 0$ п.в. на множестве $Z=\{x\in \Omega :\det Df(x)=0\}$ $Z=\{x\in \Omega :\det Df(x)=0\}$;

а вместо (5) — условие

$5^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функция локального $\theta$ -весового $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{-}$ искажения

$\Omega \ni x\mapsto K_{q,p}^{\theta ,1}(x,f)=\left\{\begin{array}{l}\frac{{\theta }^{\frac{1}{q}}\left(x\right)\left|Df\left(x\right)\right|}{J(x\mathrm{,}f{)}^{\frac{1}{p}}}\mathrm{,}\text{\hspace{0.17em}если}J\text{(}x,f\text{)}\ne \text{0}\text{,}\\ 0\text{\hspace{0.17em}иначе,}\end{array}\right.$

принадлежит классу $L_{\kappa }\left(\Omega \right)$, где $\kappa$ находится из условия $\frac{1}{\kappa }=\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ ( $\kappa$ = ∞ при $q\mathrm{<mo>=</mo>}p$ ).

Класс $\mathcal{OD}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$ изучался в [5] при условии $f\in W_{q,\mathrm{loc}}^1\left(\Omega \right)$. Справедлива

Т е о р е м а 6. Если f: $\Omega \to {\Omega }^{\prime }$ принадлежит классу $\mathcal{OD}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$, $n-1<q\le p<\infty$, то $f$ принадлежит также и классу $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$. Более того,

$\parallel {\mathcal{K}}_{q,p}^{\theta ,1}(·,f)\left|L_{\varrho }\right(\Omega )\parallel \le \parallel K_{q,p}^{\theta ,1}(·,f\left)\right|L_{\kappa }\left(\Omega \right){\parallel }^{n-1}.$

Вывод теоремы 6 состоит в том, что всякое утверждение, доказанное для отображений класса $\mathcal{ID}(\Omega ;q,p;\theta ,1),$ справедливо также и для отображений класса $\mathcal{OD}(\Omega ;q,p;\theta ,1)$.

Совокупность гомеоморфизмов f: $f\mathrm{<mo>:</mo>}\Omega \to {\Omega }^{\prime }$ класса $\mathcal{ID}(\Omega ; q, n; 1, 1)\cap W_n^1\left(\Omega \right)$, где области Ω и ${\Omega }^{\prime }$ имеют липшицевы границы, можно рассматривать в качестве класса допустимых деформаций в задачах нелинейной теории упругости. Заметим, что класс допустимых деформаций работы [10] содержится в пересечении $\mathcal{ID}(\Omega ;q,n;1,1)\cap W_n^1\left(\Omega \right)$ при некотором $q > n - 1,$ а класс деформаций работы [11] совпадает с классом $\mathcal{ID}(\Omega ; n-1, n; 1, 1)\cap W_n^1\left(\Omega \right).$ Новый класс допустимых деформаций представляет собой шкалы семейств, зависящих от непрерывного параметра $q\in [n-1, n)$. Эти семейства естественно упорядочены по вложению: класс с большим $q$ содержится в классе с меньшим $q$. Такая иерархия позволяет подобрать под данный материал допустимый для него класс деформаций. Доказательство существования экстремальной деформации в классе $\mathcal{ID}(\Omega ; q, n; 1, 1)\cap W_n^1\left(\Omega \right)$ для вариационной задачи с некоторыми естественными условиями на рост интегранта приведено в работе [12].

Замечание. В работе [13] следствие 1 настоящего сообщения сформулировано и доказано при более сильном предположении: $A⋐\Omega$. Однако доказательство утверждения, приведённое в [13], можно модифицировать так, чтобы получить и доказательство следствия 1 (т.е. в предположении $A⋐\Omega$ ).

Работа подготовлена при частичной поддержке Министерства образования и науки РФ (грант № 1.3087.2017/4.6) и частичной поддержке гранта РФФИ (код проекта № 17–01–00801).