О сингулярном спектре конечномерных возмущений (к теории Ароншайна-Донохью-Каца)

Основные результаты теории Ароншайна-Донохью-Каца распространяются на n-мерные (в резольвентном смысле) возмущения Ã = Ã^* оператора A₀ = A₀^* в гильбертовом пространстве H. Применяя технику граничных троек, мы описываем сингулярный непрерывный и точечный спектры расширений A_B симметрического оператора A в терминах функции Вейля M(·) пары {A, A₀} и граничного n-мерного оператора B = B^*. Устанавливается ортогональность сингулярных частей Е^s_Ав и Е^s_Ао спектральных мер Е_Ав и Е_Ао операторов A_B и A₀ при условии, что кратность сингулярного спектра оператора A₀ максимальна. Исследована кратность сингулярного спектра специальных расширений прямых сумм А = А⁽¹⁾ ⊕ А⁽²⁾. В частности, показано, что она не может быть максимальной в отличие от кратности абсолютно непрерывного спектра. Этот результат обобщает теорему Каца о кратности сингулярного спектра оператора Шрёдингера на оси и уточняет её.