Analysis of the influence of the discrete period of the zero-order hold of the digital automatic control system on dynamic indicators of control quality

Full Text

В теории автоматического управления для оценки переходного процесса используются как прямые, так и косвенные показатели качества. В статье применяем прямые показатели, которые вычисляются непосредственно из кривой переходного процесса. Анализ проводим по изменениям особо важных показателей качества в зависимости от дискретности экстраполятора: время переходного процесса t_p и величины перерегулирования σ % [1, 2].

Функциональная схема электропривода с экстраполятором нулевого порядка показана на рис. 1 и состоит из цифрового регулятора и аналоговой части.

 

Рис. 1. Функциональная схема цифровой САУ: АЦП – аналогово-цифровой преобразователь; ЦП – центральный процессор; ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь; КА – кодово-аналоговый преобразователь; Эк «0» - экстраполятор нулевого порядка; УПУ – усилительно-преобразовательное устройство; УМ – усилитель мощности; ИЭД – исполнительный электродвигатель; K_os – датчик обратной связи; x_zd(t) – аналоговый сигнал задания; δ(t) – аналоговый сигнал ошибки; δ*(t) – дискретный сигнал; y*(t) – дискретный сигнал; l*(t) – дискретный сигнал; u(t) – аналоговый сигнал; z(t) – аналоговый сигнал на выходе системы; x_os(t) – аналоговый сигнал обратной связи.

 

На вход системы подается аналоговый сигнал задания $x_{zd}\left(t\right)$. Структурная схема строится по принципу систем подчиненного регулирования (СПР) [3, 4]. Непрерывная часть включает силовой преобразователь, питающий исполнительный электродвигатель (ИЭД) и усилительные устройства, обеспечивающие статическую точность системы. Дискретность системы автоматического управления (САУ) определяется регулятором, который включает в себя аналого-цифровой преобразователь (АЦП), преобразующий непрерывный сигнал $\delta \left(t\right)$ в дискретный ${\delta }^{*}\left(t\right)$. Полученный код подается на центральный процессор (ЦП), где выполняется программа регулятора и который имеет определенную дискретность в выборе кода с АЦП и имеющей значение T. В эти же дискретные моменты времени код, полученный в результате вычислений в ЦП, подается в цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), который генерирует сигналы управления для аналоговой части электропривода – усилительно-преобразовательного устройства и усилителя мощности. ЦАП включает в себя кодово-аналоговый преобразователь и экстраполятор нулевого порядка, который удерживает полученный сигнал на период дискретности Т [5, 6]. Эта величина и определяет дискретность САУ. При преобразовании непрерывного сигнала в дискретный с выхода экстраполятора на период T происходит некоторая потеря информации. Этот процесс определен теоремой Котельникова-Шеннона [1, 7], но для ограниченного спектра сигнала.

В практических примерах сигналы, заданные на конечном интервале времени, всегда имеют спектр бесконечной величины, поэтому проявляется эффект алиасинга, который приводит к взаимовлиянию высокочастотных составляющих смещенных спектров сигнала. В этой связи динамические показатели качества цифровых САУ отличаются от получаемых в аналоговых системах. За эталон принимаются показатели качества аналогового прототипа, с ними будем сравнивать аналогичные для дискретной системы.

Рассмотрим изменения динамических показателей качества управления общепромышленного электропривода, построенного по принципу СПР и обеспечивающего технический оптимум системе. Анализ проводится на основании исследования первого внутреннего контура – контура тока с последующим обобщением выводов на другие контуры системы. Схема исследования показана на рис. 2.

 

Рис. 2. Схема модели САУ: а – аналоговая САУ; б – САУ с дискретным звеном Zero-order; в – САУ, представленная в форме Z-преобразования; г – замкнутая САУ в форме Z-преобразования; д – САУ, представленная в форме Z-преобразования с выделенным регулятором тока

 

Исследование проводится методом компьютерного моделирования в среде Matlab [8 – 10]. В этой связи целесообразно отметить, что схема на рис. 2, б, в которой дискретность определяется параметрами экстраполятора нулевого порядка (блок Zero-Order), схема на рис. 2, в, в которой желаемая разомкнутая система представлена в форме Z-преобразования, и схема на рис. 2, г, в которой регулятор и аналоговая часть системы представлены в форме Z-преобразования дают одинаковый отклик системы на единичное скачкообразное входное воздействие.

Для сравнения динамических показателей качества дискретной САУ с аналогичными показателями аналогового прототипа (рис. 2, а) используем схему на рис. 2, б, в которой наиболее просто менять период дискретности экстраполятора нулевого порядка.

Анализ аналитических зависимостей, определяющих динамические показатели качества управления, в общем виде в форме Z-преобразования затруднен. В этой связи дальнейшие исследования проводим с использованием численного способа по структуре, показанной на рис. 3.

 

Рис. 3. Структурная схема цифровой САУ

 

В расчетах принято:

– передаточная функция электродвигателя

$W_{D1}\left(p\right)=\frac{I_D\left(p\right)}{U_D\left(p\right)}=\frac{1}{R_S(T_{E}p+1)}=\frac{1}{\mathrm{0,04}p+1}$,

где R_S = 1 Ом – сопротивление обмотки статора, T_E = 0,04 с – электромагнитная постоянная времени;

– передаточная функция силового преобразователя

$W_{SP}\left(p\right)=\frac{U_D\left(p\right)}{U_Z\left(p\right)}=\frac{K_{SP}}{T_{SP}p+1}=\frac{100}{\mathrm{0,01}p+1}$,

где K_SP =100 , T_SP = 0,01 с – постоянная времени силового преобразователя;

– коэффициент датчика обратной связи по току K_OST = 0,5 В/А.

Исходя из методики расчета регуляторов для СПР, находим передаточную функцию регулятора тока:

$W_{RT}\left(p\right)=\frac{U_{RT}\left(p\right)}{U_{ZO}\left(p\right)}=\frac{R_S(T_{S}p+1)}{2T_{SP}p\cdot K_{SP}\cdot K_{OST}}$.

Таким образом в аналоговом прототипе применен ПИ регулятор. Подставив принятые параметры звеньев, получим:

$W_{RT}\left(p\right)=\mathrm{0,04}+\frac{1}{p}$.

При формировании схемы принят период дискретности экстраполятора нулевого порядка T_0I = 0,00628 с. Это же значение дискретности использовалось при формировании схем в форме Z-преобразования.

Расчет по рис. 2, в желаемой разомкнутой САУ при упомянутых выше параметрах:

$W_{ZHI}\left(р\right)=\frac{1}{2{Т}_{SP}р({Т}_{SP}р+1)}=\frac{1}{2\cdot \mathrm{0,01}р\cdot (\mathrm{0,01}p+1)}=\frac{50}{(\mathrm{0,01}р+1)p}$.

С учетом экстраполятора нулевого порядка:

$Z\left[W_{ZHI}\left(p\right)\right]=K\frac{z-1}{z}\cdot z\left[\frac{W_{ZHI}\left(p\right)}{р}\right]=K\frac{z-1}{z}\left[\frac{T_{0}z}{{(z-1)}^2}-\frac{T_{SP}(1-d)z}{(z-1)(z-d)}\right]$,

численное значение с учетом $d_1=e^{-\frac{T_0}{T_{SP}}}=e^{-\frac{\mathrm{0,00628}}{\mathrm{0,01}}}=e^{-\mathrm{0,628}}=\mathrm{0,53}$:

$Z\left[W_{ZHI}\left(p\right)\right]=50\left[\frac{\mathrm{0,00628}z}{{(z-1)}^2}-\frac{\mathrm{0,01}(1-\mathrm{0,53})z}{(z-1)(z-\mathrm{0,53})}\right]\frac{z-1}{z}$,

отсюда

$Z\left[W_{ZHI}\left(p\right)\right]=\frac{\mathrm{0,079}(z+\mathrm{0,886})}{(z-1)(z-\mathrm{0,53})}$.

Выражение для передаточной функции регулятора тока в форме Z-преобразования определяется согласно методики синтеза систем СПР по зависимости:

$Z\left[W_{ZHI}\left(p\right)\right]=W_{RT}\left(z\right)W_{SP}\left(z\right)W_{D1}\left(z\right)K_{OST}\left(z\right)$,

откуда выразим передаточную функцию регулятора тока

$W_{RT}\left(z\right)=\frac{Z\left[W_{ZHI}\left(p\right)\right]}{W_{SP}\left(z\right)\cdot W_{D1}\left(z\right)\cdot K_{OST}\left(z\right)}$. (1)

В зависимости (1) принято:

$\begin{array}{l}{W}_{SP}\left(z\right)\cdot W_{D1}\left(z\right)\cdot K_{OST}\left(z\right)=Z\left[\frac{K_{SP}\cdot K_{D1}\cdot K_{OST}}{(T_{SP}p+1)(T_{D1}p+1)}\right]=\\ =K\left[\frac{e^{-\frac{T_0}{T_{SP}}}-e^{-\frac{T_0}{T_{D1}}}}{T_{SP}-T_{D1}}\cdot \frac{z}{(z-d_1)(z-d_2)}\right].\end{array}$

С учетом $d_2=e^{-\frac{T_0}{T_E}}=e^{-\frac{\mathrm{0,00628}}{\mathrm{0,04}}}=e^{-\mathrm{0,157}}=\mathrm{0,85}$ и принятых параметров получим:

$Z\left[W_{SP}\left(p\right)\cdot W_{D1}\left(p\right)\cdot K_{OST}\left(p\right)\right]=\frac{540z}{(z-\mathrm{0,53})(z-\mathrm{0,854})}$.

Отсюда регулятор тока определяется зависимостью:

$W_{RT}\left(z\right)=\frac{\mathrm{0,079}(z+\mathrm{0,886})(z-\mathrm{0,53})(z-\mathrm{0,854})}{(z-1)(z-\mathrm{0,53})\cdot 540z}=\frac{\mathrm{0,000146}(z+\mathrm{0,886})(z-\mathrm{0,854})}{(z-1)z}$.

Расчетные значения для моделей при принятых параметрах показали:

• аналоговый прототип σ = 4,43 %; t_p = 0,04 с;
• дискретные модели σ = 10 %; t_p = 0,08 с при T₀₁ = 0,00628 с.

Расчет с использованием Z-преобразования для каждого значения z достаточно трудоемкий, поэтому в дальнейшем будем сравнивать результат схемы рис. 2, а с результатами схемы рис. 2, б при различных значениях T₀.

Оценивать степень приближения перерегулирования σ % и времени переходного процесса t_p будем путем сравнения полосы пропускания аналогового прототипа ω_c с частотой квантования электраполятора нулевого порядка ω₀. Результаты моделирования и полученные значения динамических показателей качества управления сведены в таблицу. Частота полосы пропускания аналоговой САУ выявляется из построения логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) для данных параметров для контура тока показана на рис.6 и составляет ω_cI = 50 с^-1. Частоту квантования экстраполятора ω_0I ставим в несколько раз больше частоты ω_cI посредством коэффициента усиления K. Период дискретности контура тока T_0I вычисляется отношением . Перерегулирование σ % определяет максимальное отклонение управляемой координаты от её установившегося значения [1] и определяется по зависимости

$\sigma \%=\frac{z_{\max }\left(t\right)-z_{уст}\left(t\right)}{z_{уст}\left(t\right)}\cdot 100\%$.

 

Результаты моделирования и полученные значения динамических показателей качества управления

Коэффициент K усиления частоты	Частота квантования экстраполятора ω0I, с-1	Период дискретности экстраполятора T0I, с	Максимальное значение zmax	Установившееся значение zu	Перерегулирование σ %	Время переходного процесса tp, с
3	150	0,042	3,61	2	80	0,335
5	250	0,025	2,81	2	40,5	0,18
10	500	0,01256	2,38	2	19	0,08
15	750	0,00837	2,25	2	12,5	0,08
20	1000	0,00628	2,2	2	10	0,08
25	1250	0,005	2,17	2	8,5	0,074
30	1500	0,0042	2,157	2	7,8	0,077

 

По результатам моделирования в таблице построены графики изменения перерегулирования и времени переходного процесса дискретной системы от частоты квантования экстраполятора нулевого порядка.

Для построения желаемой ЛАЧХ были рассчитаны: $20\lg K_{pI}=20\lg 50=34дБ$;

${\omega }_{1I}=\frac{1}{2T_{SP}}=\frac{1}{\mathrm{0,02}}=50c^{-1}$; $\lg {\omega }_{1I}=\lg 50=\mathrm{1,7}дек$;

${\omega }_{2I}=\frac{1}{T_{SP}}=\frac{1}{\mathrm{0,01}}=100c^{-1}$; $\lg {\omega }_{2I}=\lg 100=2дек$.

Анализ результата моделирования САУ, настроенной на технический оптимум, показывает, что для приближения динамических показателей качества дискретной САУ с экстраполятором нулевого порядка (рис.4, 5) необходимо обеспечить условие определения частоты квантования ω₀ относительно полосы пропускания линейной части системы ω_с соотношением $\frac{{\omega }_0}{{\omega }_c}=20÷25$.

 

Рис. 4. Зависимость величины перерегулирования от частоты квантования экстраполятора

 

Рис. 5. Зависимость времени переходного процесса от частоты квантования экстраполятора

 

Последнее выражение позволяет получить период дискретизации экстраполятора, обеспечивающий требуемую точность воспроизведения сигнала задания [11].

При расчете регуляторов в многоконтурных САУ, например, при наличии контура скорости и контура положения, целесообразно принимать частоту квантования экстраполятора с минимальным периодом. В силу того, что полоса пропускания контура тока выше, чем полосы пропускания контура скорости и контура положения, то период дискретности контура тока еще в большей степени эквивалентно уменьшится в упомянутых выше контурах. Для рассмотренного примера желаемая передаточная функция контура скорости аналоговой части имеет вид

$W_{ZHV}\left(р\right)=\frac{1}{4{Т}_{SP}р(2{Т}_{SP}р+1)}=\frac{25}{(\mathrm{0,02}р+1)p}$;

$20\lg K_{pV}=20\lg 25=28дБ$;

${\omega }_{1V}=\frac{1}{4T_{SP}}=\frac{1}{\mathrm{0,04}}=25c^{-1}$; $\lg {\omega }_{1V}=\lg 25=\mathrm{1,4}дек$,

а для контура положения

$W_{ZHP}\left(р\right)=\frac{1}{8{Т}_{SP}р(4{Т}_{SP}р+1)}=\frac{\mathrm{12,5}}{(\mathrm{0,04}р+1)p}$;

$20\lg K_{pP}=20\lg \mathrm{12,5}=22дБ$;

${\omega }_{1P}=\frac{1}{8T_{SP}}=\frac{1}{\mathrm{0,08}}=\mathrm{12,5}{c}^{-1}$; $\lg {\omega }_{1P}=\lg \mathrm{12,5}=\mathrm{1,1}дек$.

Логарифмические амплитудно-частотные характеристики на рис. 6.

 

Рис. 6. Желаемая ЛАЧХ разомкнутой САУ, настроенной на технический оптимум: 1 – ЛАЧХ контура тока, 2 – ЛАЧХ контура скорости, 3 – ЛАЧХ контура положения.

 

Полоса пропускания контура скорости ${\omega }_{cV}=25c^{-1}$. Требуемое минимальное значение дискретности экстраполятора $T_{0V}=\frac{2\pi }{{\omega }_{0V}}$, где ${\omega }_{0V}=25{\omega }_{cV}=25\cdot 25=625{с}^{-1}$, откуда $T_{0V}=\frac{\mathrm{6,28}}{625}=\mathrm{0,01}c$, а для контура положения ${\omega }_{cP}=\mathrm{12,5}{c}^{-1}$, ${\omega }_{0V}=25\cdot \mathrm{12,5}=\mathrm{312,5}{с}^{-1}$, откуда $T_{0V}=\frac{\mathrm{6,28}}{\mathrm{312,5}}=\mathrm{0,02}c$.

Полученные значения периодов дискретности превышают аналогичные для контура тока (T_0I = 0,005 с, табл.), а, следовательно, устанавливая в них значение T₀ = 0,005 с, существенно приближаем динамические показатели качества управления к аналоговому прототипу. В качестве примера на рис. 7 приведена трехконтурная САУ, включающая выше рассмотренный токовый контур, контур скорости с регулятором скорости К_pv = 50 и передаточной функцией электродвигателя связывающей частоту вращения $\omega \left(p\right)$ с напряжением $U\left(p\right)$ $W_{D2}\left(p\right)=\frac{\omega \left(p\right)}{U\left(p\right)}=\frac{1}{T_{M}p}=\frac{1}{0.4p}=\frac{2.5}{p}$. Здесь T_M – электромеханическая постоянная времени. Контур положения имеет коэффициент K_RP = 12,5 и передаточную функцию редуктора, связывающего частоту вращения $\omega \left(p\right)$ с углом поворота $\phi \left(p\right)$ якоря двигателя $W_R\left(p\right)=\frac{\phi \left(p\right)}{\omega \left(p\right)}=\frac{K_R}{p}=\frac{0.1}{p}$.

 

Рис. 7. Схема модели трехконтурной САУ

 

Переходный процесс для случая, когда все три регулятора имели дискретность экстраполяторов Т₀ = 0.00628 с показан на рис. 8. На рис. 9 показан переходный процесс, когда в контуре тока дискретность экстраполятора Т_0i=0.00628 с, в контуре скорости Т_0V=0.014 с, в контуре положения Т_0P=0.014 с.

 

Рис. 8. Переходный процесс цифровой САУ для значений периодов дискретности контуров тока, скорости и положения T_{0 I} = T_{0 V} = T_{0 P} = 0,00628 с.

 

Рис. 9. Переходный процесс цифровой САУ для значений периодов дискретности контуров тока, скорости и положения T_0I = 0,025 с, T_0V = 0,014 с, T_0P = 0,00628 с.

 

Значение дискретности экстраполятора для каждого контура рассчитывалась из условия $\frac{{\omega }_0}{{\omega }_{с}}=20÷25$. Анализ динамических показателей качества управления [12] показывает на то, что для переходного процесса на рис. 8. значения перерегулирования σ%=5% и время переходного процесса t_pp = 0.13 с.Эти показатели близки к показателям аналогового прототипа.

Динамическим показателям качества управления для переходного процесса показанного на рис. 9. соответствуют σ%=29% и t_pp=0.35 с и повышенная колебательность, что существенно отличается от аналогового прототипа.

Приведенный пример подтверждает выводы полученные в результате анализа влияния дискретности экстраполятора нулевого порядка на динамические показатели качества управления систем автоматического управления

Заключение

Рассмотрен вопрос расчета периода дискретности экстрополятора нулевого порядка в многоконтурной САУ. Доказано, что для обеспечения динамических показателей качества САУ, приближающихся к аналогичным необходимо, чтобы соотношение между частотой квантования экстраполятора ω₀ и частотой полосы пропускания линейной части САУ ω_с находилось в пределах $\frac{{\omega }_0}{{\omega }_c}=20÷25$ в первом контуре. Приведен численный пример и результаты моделирования, подтверждающие сделанный вывод.

About the authors

Vladimir E. Lysov

Samara State Technical University

Email: 67lysov@mail.ru

(Dr. (Techn.)), Professor

Russian Federation, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244

Vasilij A. Polyakov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: 67lysov@mail.ru

Postgraduate Student

Russian Federation, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244

References

Supplementary files