Метрологический анализ методов образцовых сигналов на основе обратных интерполяционных моделей

Полный текст

Сумме с весами , причем Анализ формулы (4) показывает, что в узлах интерполяции () погрешность равна погрешности соответствующего образцового сигнала, т. е. =, а в других точках диапазона измерений равна взвешенной сумме погрешностей образцовых сигналов. Анализ погрешности из-за отличия интерполяционной модели от реальной функции преобразования средства измерений. Из теории интерполирования функций известно [2], что при использовании интерполяционной формулы Лагранжа абсолютная величина погрешности интерполяции для обратной интерполяционной модели не превышает значения , (5) где – абсолютная величина погрешности интерполяции; – порядок интерполяционного полинома; – производная (n+1)-го порядка обратной функции преобразования средства измерений; . (6) Если используется модель 2-го порядка (n=2), то формула (5) принимает вид . Учитывая монотонность реальной функции преобразования средств измерений, можно считать, что при использовании модели второго порядка действительная обратная функция преобразования удовлетворительно описывается степенным полиномом 3-го порядка . Тогда , а . (7) В узлах интерполяции значения выходной величины равны соответственно , следовательно, по формуле (7) погрешность интерполяции в узлах интерполяции равна нулю. Для оценки погрешности интерполяции во всем диапазоне измерений необходимо проанализировать функцию (6). Пусть диапазон изменения измеряемой величины составляет []. Соответствующий диапазон изменения выходной величины []. Предположим, что , тогда . Введем безразмерную выходную величину , которая в диапазоне измерений изменяется в пределах [0;1]. Тогда , а , причем . Выходной величине будет соответствовать нормированное значение . Введем обозначение – диапазон изменения выходной величины. Тогда формулу (7) можно представить в виде . (8) Функция (8) равна нулю при и имеет два экстремума (максимума) при . (9) Подставив формулу (9) в (8), получим верхний предел погрешности интерполяции. На практике обычно принимают . При этом экстремумы функции (8) имеют место при . В обеих точках экстремума погрешность интерполяции не превышает . Значение коэффициента определяется экспериментально путем проведения активного регрессионного эксперимента и построения обратной модели в виде степенного полинома 3-го порядка. Анализ случайной погрешности. Случайная погрешность проявляет себя в случайных отклонениях получаемых значений выходной величины от значений, соответствующих градуировочной характеристике средства измерений. Предположим, что эти отклонения аддитивны, независимы и имеют одинаковую дисперсию . Эти случайные отклонения через функцию (1) трансформируются в случайную погрешность вычисленного результата измерений. Для анализа этой погрешности целесообразно все погрешности привести ко входу средства измерений с помощью формулы , где – погрешность, приведенная ко входу средства измерений; – погрешность на выходе средства измерений; – чувствительность средства измерений в данной точке диапазона измерений. При анализе случайной погрешности можно пренебречь погрешностью нелинейности функции преобразования, т. е. можно считать, что . Тогда дисперсия случайной погрешности, приведенной ко входу средства измерений, равна . Случайную погрешность, приведенную ко входу, можно рассматривать как эквивалентное изменение входной величины в соответствующем измерении. Таким образом, случайные отклонения соответствуют эквивалентным отклонениям входных величин . В соответствии с формулой (1) эти отклонения входных величин приводят к погрешности вычисленного значения измеряемой величины: . Отсюда следует, что дисперсия случайной погрешности вычисленного результата измерений равна . Отношение (10) характеризует степень усиления случайной погрешности в результате применения алгоритма повышения точности. Очевидно, что . Для модели 2-го порядка () формула (10) принимает вид (11) При анализе случайной погрешности для упрощения формулы (11) можно пренебречь нелинейностью функции преобразования средства измерений. Тогда, считая, что ; ; , и введя безразмерную нормированную переменную , получим . (12) Из формулы (12) следует, что в узлах интерполяции () случайная погрешность усиливается в раз. На рисунке приведены зависимости степени усиления случайной погрешности от нормированного значения измеряемой величины при различных положениях значения меры в диапазоне измерений (при различных значениях ). Из графиков видно, что если значение выбирается в пределах , то степень усиления случайной погрешности не превышает во всем диапазоне изменения измеряемой величины. Оценка величины должна быть получена экспериментально. Степень усиления случайной погрешности Таким образом, выполненный метрологический анализ методов образцовых сигналов на основе обратных интерполяционных моделей позволяет оптимизировать значения образцовых воздействий, а также оценить основные составляющие результирующей погрешности измерений.

Об авторах

Виталий Яковлевич Купер

Самарский государственный технический университет

(к.т.н., доцент), доцент кафедры «Информационно-измерительная техника» 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Михаил Геннадьевич Рубцов

ООО «Научно-производственный центр ПАЛС»

Email: mg.rubtsov@mail.ru
(к.т.н.), директор. 443095, г. Самара, ул. Ташкентская, 196

Список литературы

Дополнительные файлы