Self-adapting algorithms for elimination of static errors in automatic linear and self-oscilating non-linear systems of the dynamic objects stabilizing

Abstract

The paper is the analysis of self-adapting control algorithms that provide the elimination of static errors in linear systems as well as symmetry of self-oscillations towards the demanded points in non-linear self-oscillating systems with nonsymmetric restrictions to control actions and with permanent perturbances.

Full Text

Качество работы систем автоматического управления в установившемся режиме работы оценивается по величине статической ошибки, равной в линейных системах разности между требуемым (уставкой) и действительным значениями регулируемой величины, а в автоколебательных нелинейных системах – величиной отклонения среднего значения автоколебаний регулируемой координаты от заданного значения. Наличие статических ошибок в автоматических системах обусловлено как свойствами объектов и систем их управления, так и возмущающими сигнальными и параметрическими воздействиями. Проблема выявления, оценки величины статических ошибок и способов их компенсации в теории автоматического управления объектами, математическое описание которых имеет приемлемую для практики достоверность, достаточно хорошо изучена [1, 2]. Однако в условиях существующей идеализации модели объекта или ее априорной неопределенности, которая всегда имеет место в реально работающих системах, использование известных методов устранения статических ошибок оказывается затруднительным. В связи с этим задача поиска простых и практически эффективных законов и алгоритмов компенсации статических ошибок в условиях параметрической и структурной неопределенности характеристик объекта сохраняет свою актуальность. Линейные системы. В линейных системах ошибка системы может быть найдена по выражению [1] , (1) ГДЕ Х0(S) И F(S)– ИЗОБРАЖЕНИЯ ТРЕБУЕМОГО ЗНАЧЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ (УСТАВКИ) И ВОЗМУЩАЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ СООТВЕТСТВЕННО; W(S) – ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ; FK(S) И WK(S) – ВОЗМУЩЕНИЕ И СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ЕМУ ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ; – ИЗОБРАЖЕНИЕ ОШИБКИ; X(S) – ИЗОБРАЖЕНИЕ РЕГУЛИРУЕМОЙ КООРДИНАТЫ. Применительно к выражению (1) передаточные функции разомкнутой системы и по возмущению дают возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее ошибку с входными воздействиями: , (2) ГДЕ – АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. Статическая ошибка в системах стабилизации в соответствии с теоремой о предельном переходе при условии, что и возмущения , будет иметь следующий вид: . (3) ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ ВЫРАЖЕНИЯ (3) ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ СОСТАВЛЯЮЩУЮ ОШИБКИ , ОПРЕДЕЛЯЕМУЮ ЗАДАЮЩИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ , КОТОРАЯ МОЖЕТ БЫТЬ ОТЛИЧНОЙ ОТ НУЛЯ В СИСТЕМАХ СТАБИЛИЗАЦИИ БЕЗ АСТАТИЗМА. В ЭТОМ СЛУЧАЕ W(P) = K ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ОБЩИЙ КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ ПО РАЗОМКНУТОЙ ЦЕПИ И ПЕРВОЕ СЛАГАЕМОЕ В ВЫРАЖЕНИИ (3) МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНО В ВИДЕ . Эта составляющая ошибки может быть уменьшена путем увеличения коэффициента k и сведена к нулю при астатическом регулировании, когда . Вторая составляющая никогда не обращается в нуль, если возмущающее воздействие приложено до интегрирующего звена. СУЩЕСТВУЮТ СПОСОБЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ УСТРАНИТЬ СТАТИЧЕСКУЮ ОШИБКУ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНТЕГРИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ. ДОСТИГАЕТСЯ ЭТО ВВЕДЕНИЕМ НЕЕДИНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМАХ СТАБИЛИЗАЦИИ ЛИБО МАСШТАБИРОВАНИЕМ ВХОДНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ Х0 ИЛИ ВЫХОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Х(T) [2]. Указанные методы компенсации ошибки оказываются, однако, малопригодными для практического использования в условиях неопределенности параметров объекта и среды, а также при действии параметрических и постоянно действующих сигнальных возмущений. Полезное для практики решение проблемы может быть найдено путем применения законов и алгоритмов адаптивного управления. В настоящей статье для устранения статической ошибки без использования интегрирующих звеньев в цепи основного контура управления предлагается и исследуется самонастраивающийся пропорциональный закон управления: , (4) где , (5) k1, k2 – постоянные коэффициенты; k3 – коэффициент усиления регулятора; регулируемая координата. Н а рис. 1 представлена структурная схема системы. Рис. 1. Структурная схема системы Как видно из соотношений (4) и (5), интегрирующее звено, включенное в контур самонастройки, выполняет автоматическое изменение задающего воздействия х0 в функции ошибки и позволяет при соответствующем выборе коэффициентов k2 и k3, обеспечивающих сходимость процессов в системе во всем диапазоне изменения параметров объекта и среды, устранять статические ошибки при действии как задающих, так и возмущающих параметрических и сигнальных воздействий без интегрирующих звеньев в прямой цепи управления. Нелинейные автоколебательные системы. Большой класс нелинейных автоколебательных систем образуют релейные системы управления, обладающие простотой конструкции, алгоритмической и программной реализацией, высоким быстродействием, надежностью и высокой степенью инвариантности к вариациям параметров объекта [3]. Простейший релейный закон управления при симметричном управляющем воздействии имеет вид , (6) где – функция переключения; ; sign – знаковая функция: sign = 1, если аргумент функции больше нуля, и sign = -1, если аргумент функции меньше или равен нулю; В – величина управляющего воздействия. При асимметричном управлении уравнение (4) обычно принимает вид (7) Внешние возмущающие воздействия и асимметричность управления вызывают смещение среднего значения автоколебаний относительно заданного, которое понимается как статическая ошибка. Процедура приближенного расчета величины смещения методом гармонического баланса для заданного объекта с управлением (6) и (7) приведена в работе [1]. Понятно, что в условиях неопределенности параметров объекта и среды устранение смещения автоколебаний должно осуществляться автоматически. Ниже предлагается и исследуется самонастраивающийся алгоритм, решающий эту задачу в автоколебательных системах стабилизации, путем автоматического масштабирования задающего воздействия в функции переключения: , (8) . (9) Здесь все параметры в уравнениях (8) и (9), за исключением хср, имеют тот же смысл, что и в уравнениях (2) и (3), а хср – среднее значение амплитуды автоколебаний, которое в предлагаемом алгоритме определяется следующим образом: , где хмах и хмin – экстремальные значения регулируемой координаты. Алгоритмы управления (2) и (8) были исследованы методом цифрового моделирования в системах управления различными динамическими объектами в условиях действия как сигнальных, так и параметрических возмущений. Рис. 2, полученный методом цифрового моделирования системы с управлением (2) и линейным объектом , иллюстрирует процесс автоматического изменения уставки, приводящий к устранению статической ошибки. Здесь же приведен процесс изменения координаты х при прочих равных условиях, но без масштабирования уставки. Из рисунка видно, что в системе без самонастройки возникает статическая ошибка, устранить которую без интегрирующего звена в прямой цепи управления невозможно. Рис. 3 иллюстрирует процессы в той же системе при постоянно действующем сигнальном возмущении f = 0,1 на входе объекта с релейным управлением (5), приводящем к стабилизации амплитуды автоколебаний и их симметричности относительно уставки. Здесь же приведен процесс изменения координаты х(t) при прочих равных условиях, но без автоматического устранения смещения автоколебаний относительного уставки х0, вызванного асимметричным управлением и возмущающим воздействием. На рис. 3 управление в системе без самонастройки условно не показано. Из рисунка видно, что без самонастройки управления возникает неустранимая статическая ошибка (смещение автоколебаний), равная разности между уставкой и средним значением автоколебаний. Рис. 2. Процессы в самонастраивающейся системе (пунктирные линии) и в системе без самонастройки (сплошные линии) Рис. 3. Процессы в самонастраивающейся автоколебательной системе (пунктирные линии) и в системе без самонастройки (сплошные линии) Выводы. Предложены и исследованы самонастраивающиеся алгоритмы управления в линейных и релейных автоколебательных системах, обеспечивающие в условиях неопределенности параметров объекта и среды устранение статических ошибок путем автоматического масштабирования величины задающего воздействия. Работоспособность и эффективность алгоритмов подтверждена их исследованиями методом цифрового моделирования.