Continuum model of elastic properties of isotropic porous materials with empirical functions of porosity

Full Text

Введение Пористые материалы могут быть получены холодным прессованием или путем неполного спекания порошков. На механические, в том числе и упругие, свойства пористых материалов существенное влияние оказывают морфология исходных порошков, размеры и форма пор, технология прессования и спекания и т. д. Провести большое число экспериментов, выполнить подробный анализ влияния всех факторов и получить универсальные зависимости представляется экономически нецелесообразным. В этой связи актуальными остаются теоретические исследования, направленные на упрощение и уменьшение объема экспериментальных исследований. Для теоретической оценки макроскопических упругих свойств пористых материалов применяются различные подходы. В рамках континуальных моделей структурно-неоднородных сред [1-5 и др.] затруднительно учесть морфологию и размеры пор. Асимптотический метод усреднения [6] дает возможность адекватно описать эффективные свойства пористых материалов с любой геометрией пор. При этом «платой за точность» является сложность математического аппарата и проводимых построений, а метод доступен лишь небольшому числу специалистов. Численные методы моделирования позволяют создать трехмерную представительную ячейку, отражающую реальную гетерогенную структуру, и с высокой точностью описать упругие свойства пористого материала. Однако при создании трехмерной структурной модели и ее дискретизации необходимо разрабатывать сложное программное обеспечение или использовать коммерческие программные комплексы, например ANSYS. Причем для моделирования реальной структуры необходимо изготовить экспериментальный образец. В целом теоретические модели полагают идеальную адгезию между спеченными частицами и отсутствие структурных дефектов: микротрещин, примесей и т. д. Поэтому, несмотря на физическую корректность и математическую строгость методов решения краевых задач, теоретические модели не могут учесть все особенности структурного состояния реальных пористых материалов. В этой связи практический интерес представляет вариант использования в континуальной теории феноменологических моделей с эмпирическими параметрами, интегрально учитывающий влияние особенностей микроструктуры на макроскопические свойства пористого материала. Для феноменологической модели первостепенное значение имеет выбор функциональной зависимости, связывающей упругие свойства и пористость материала. При этом можно использовать либо теоретические модели, либо статистически достоверные эмпирические аппроксимации. Цель работы - разработать континуальную модель упругих свойств пористых изотропных материалов с использованием эмпирических функций пористости одномерных феноменологических моделей. Континуальная модель упругих свойств пористых материалов Одномерные феноменологические зависимости упругих модулей М от пористости θ в общем виде записываются следующим образом: M = M0·f(θ, b1, b1,… bn), (1) где М0 - упругий модуль твердой фазы; f(θ, b1, b1,… bn) - функция пористости и эмпирических констант bi. Установим форму представления эмпирических функций пористости в континуальной модели упругих свойств пористых материалов. Континуальные теории упругих свойств рассматривают пористые материалы как двухфазный композит, в котором одна из фаз (поры) имеет нулевые материальные константы. Следуя методике работы [7], сначала получим основные соотношения для расчета модулей упругости двухфазного изотропного композита. Эффективный модуль Юнга Е двухфазного изотропного композита, состоящего также из изотропных компонентов, определится следующим образом [7]: , (2) где Е1, Е2 - модули Юнга фаз; с1, с2 - объемные доли фаз; Kε1, Kε2 - коэффициенты концентрации средних деформаций одноосного растяжения ε11. Коэффициенты концентрации средних деформаций представляют собой отношение средних деформаций растяжения в объеме композита V к средним по объемам фаз Vk деформациям растяжения : . (3) Средние деформации и вычисляются путем осреднения микроскопических деформаций по объемам: ; . (4) Здесь и далее нижний индекс k характеризует различные фазы (k = 1, 2). Каждая фаза в средней деформации композита имеет свою эффективную долю и соответствующий эффективный объем Vαk. Из условия однозначности суммарной деформации в объеме фазы следует, что суммарная средняя деформация растяжения композита в эффективных объемах осреднения фаз Vαk будет равна сумме средних деформация растяжения в объемах фаз Vk: . (5) Из зависимости (5) получим , (6) где - доля эффективного объема осреднения деформаций растяжения k-того компонента. Из сравнения зависимостей (3) и (6) следует, что коэффициенты концентрации Kεk будут равны . (7) После подстановки (7) в (2) получим . (8) Зависимость (8) по структуре соответствует известному соотношению Фойгта. В отличие от модели Фойгта в предлагаемой модели вместо объемных долей фаз используются доли эффективных объемов осреднения. Допустим, что компонент 2 является порой. Тогда модуль Юнга Е2 = 0 и из (8) получим (9) где t - доля эффективного объема осреднения деформаций растяжения твердой фазы с модулем Юнга Е0. Для модуля сдвига μ пористого материала по аналогии с (9) получим , (10) где μ0 - модуль сдвига твердой фазы; s - эффективный объем осреднения деформаций сдвига твердой фазы. Выразим в (9) долю эффективного объема осреднения при растяжении t через долю эффективного объема осреднения при сдвиге s. Для этого воспользуемся зависимостью для макроскопического модуля объемного сжатия K пористого материала [8] (11) и уравнением связи модуля Юнга с модулями сдвига и объемного сжатия: ; . (12) Здесь ν0 - коэффициент Пуассона материала твердой фазы. После преобразований получим: . (13) Эффективный объем осреднения при сдвиге s выражается через эффективный объем осреднения деформаций растяжения t следующим образом: . (14) При известном модуле сдвига по зависимостям (9), (13) определяется модуль Юнга и, наоборот, при известном модуле Юнга по зависимостям (10), (14) рассчитывается модуль сдвига. Эффективные объемы осреднения деформаций находят из решения краевой задачи упругого деформирования представительной ячейки [9]. Так как теоретические модели не в состоянии отразить все особенности физического и структурного состояния, то при определении упругих свойств реальных материалов приходится использовать эмпирические зависимости. Из сопоставления зависимостей (1) и (9), (10) следует, что в предлагаемой континуальной модели эффективные объемы осреднения деформаций формально представляют собой эмпирические функции пористости f(θ, b1, b1,… bn). Феноменологические модели В научной литературе приводятся различные зависимости упругих модулей пористых материалов от пористости θ или относительной плотности ρ = 1 - θ. Будем рассматривать однопараметрические зависимости с одной феноменологической константой b, для определения которой достаточно провести только один эксперимент (см. таблицу). Феноменологические модели модулей упругости Номер модели Расчетные зависимости Эмпирическая константа b Gd2O3 SiO2 1 [10] 1,92 6,44 2 [11] 2,2 7,61 3 [12] 1,67 5,4 4 [13] -1,2 18,8 5 [14] 0,93 2,9 6 [15] 2,0 4,2 7 ; [8] 0,68 3,48 В расчетных зависимостях модели 7 параметр ρ0 представляет собой начальную относительную плотность. Для материалов, получаемых из порошков, ρ0 является относительной насыпной плотностью. При отсутствии информации о насыпной плотности можно принять 0 = 0,26. Более подробно этот вопрос изложен в работе [8]. Функции пористости θ или относительной плотности ρ в феноменологических моделях представляют собой эффективные объемы осреднения деформаций растяжения (модели 1…5) или сдвига (модели 6, 7). Будем рассматривать две группы пористых материалов: металлические и керамические. Экспериментальные зависимости модуля Юнга пористого материала, приведенного к модулю Юнга твердой фазы , показаны на рис. 1. Для пористой керамики из работы [19] представлены данные, соответствующие минимальным (оксид кремния) и максимальным (оксид гадолиния) опытным данным приведенного модуля Юнга пористой керамики. Пунктирными линиями показаны верхняя и нижняя границы экспериментальных значений приведенного модуля Юнга. а б Рис. 1. Экспериментальные зависимости приведенного модуля Юнга от пористости: а - пористые металлы: ● - железо [16]; ○ - никель [15, 17]; Δ - медь [17, 18]; б - пористая керамика: ● - Gd2O3 [19]; ○ - MgO [19]; Δ - SiO2 [19]; ▲ - BN [20] Видно, что зависимости Er(θ) для разных материалов заметно отличаются друг от друга. Особенно сильное качественное и количественное отличие наблюдается для пористой керамики (рис. 1, б). Если для оксида гадолиния Gd2O3 зависимость Er(θ) кремния близка к линейной, то для оксида кремния SiO2 эта зависимость существенно нелинейная. Для пористой керамики также характерна весьма широкая вилка значений модуля упругости при одной и той же пористости. Одним из факторов, оказывающих влияние на сопротивление деформации хрупких керамических тел, является наличие в них плоских микротрещин. При отсутствии напряжений микротрещины закрыты и не идентифицируются как несплошность. При испытаниях образцов на одноосное сжатие раскрываются трещины, плоскость которых параллельна сжимающим напряжениям. При одноосном растяжении раскрываются трещины, плоскость которых перпендикулярна растягивающим напряжениям. В результате происходит неконтролируемое увеличение пористости и искажение результатов эксперимента. Для пористых металлов кривые Er(θ) качественно одинаковы: все они нелинейны и вогнуты вниз (рис. 1, а). Вместе с тем при одинаковой пористости количественное различие существенно. Так, при пористости θ = 0,3 величина Еr изменяется в диапазоне Еr = 0,2…0,4, т. е. в 2 раза. Таким образом, для обеих групп пористых материалов нет единой зависимости приведенного модуля Юнга от пористости. Соответственно не может быть единой теоретической зависимости, достоверно описывающей упругие свойства всех пористых материалов. Аппроксимация результатов эксперимента Будем аппроксимировать зависимости Er(θ) для оксидов гадолиния Gd2O3 и кремния SiO2, которые представляют две качественно противоположные зависимости: линейную (оксид Gd2O3) и существенно нелинейную (оксид SiO2). Эмпирическую константу b определяли методом одномерной оптимизации при минимизации следующего функционала: , (15) где , - расчетное и экспериментальное значения приведенного модуля Юнга. Минимум функционала (15) находили методом спирального координатного спуска. Для идентификации эмпирической константы одномерной феноменологической модели достаточно одной экспериментальной точки. Пористость в экспериментах для обеих групп материалов изменяется в диапазоне θ = 0…0,5. Константу b рассчитывали для среднего значения пористости: θ = 0,24 для оксида гадолиния Gd2O3 и θ = 0,29 для оксида кремния SiO2 при экспериментальных значениях приведенного модуля Юнга Er = 0,59 и Er = 0,11 соответственно [19]. Коэффициенты Пуассона равны [21]: ν0 = 0,226 для оксида Gd2O3 и ν0 = 0,226 для оксида SiO2. Начальную относительную плотность ρ0 при расчете по модели 7 принимали равной ρ0 = 0,26. Расчетные значения константы b для каждой модели приведены в таблице. На рис. 2 представлены результаты аппроксимации зависимости Er(θ) для пористого оксида гадолиния Gd2O3. Здесь и далее номера кривых на рисунках соответствуют номерам феноменологических моделей. Хорошее соответствие результатов расчета и эксперимента наблюдается для модели 3 (рис. 2, а) и моделей 6, 7 (рис. 2, б). а б Рис. 2. Расчетные зависимости приведенного модуля Юнга оксида Gd2O3 от пористости: ● - эксперимент [19] Результаты аппроксимации зависимости Er(θ) для пористого оксида кремния SiO2 приведены на рис. 3. В этом случае хорошо описывают экспериментальные данные модели 1, 2, 3 (рис. 1, а) и модели 6, 7 (рис. 3, б). По совокупности результатов аппроксимации для обоих материалов наиболее точными являются модели 3, 6 и 7. Упругие модули уменьшаются с увеличением пористости. Теоретически модули упругости должны принимать нулевые значения при отсутствии твердой фазы, когда относительная плотность равна нулю ρ = 0. Однако упругие модули порошковых материалов становятся бесконечно малыми уже при насыпной плотности, когда . Пористые спеченные материалы получают путем неполного спекания из порошков, и первоначально они также находились в насыпном состоянии. Среди рассматриваемых моделей только модель 7 через параметр ρ0 учитывает начальное несвязанное состояние пористых порошковых материалов. Если для моделей 1…6 модуль Юнга равен нулю при полном отсутствии твердой фазы (ρ = 0 и θ = 1), то для модели 7 - в состоянии насыпной плотности при . Учет особенностей физического состояния порошков должен повысить точность модели. а б Рис. 3. Расчетные зависимости приведенного модуля Юнга оксида SiO2 от пористости: Δ - эксперимент [19] Рис. 4. Расчетные зависимости приведенного модуля Юнга железа от пористости: ● - эксперимент [16] На рис. 4 приведены результаты расчета приведенного модуля Юнга спеченного железа по моделям 3, 6 и 7. Эмпирическую константу b находили по результатам расчета для экспериментальной точки с θ = 0,22 и Er = 0,47. При расчете по модели 7 начальную относительную плотность принимали равной ρ0 = 0,227 [16]. Коэффициент Пуассона железа равен ν0 = 0,28. Для модели 3 получили b = 2,68; для модели 6 - b = 2,06; для модели 7 - b = 1. При пористости расчеты по всем трем моделям показывают практически одинаковые результаты. С увеличением пористости результаты расчетов по разным моделям начинают отличаться друг от друга, и наиболее точным является расчет по модели 7. При континуальном подходе достаточно по экспериментальным данным установить зависимость от пористости одного из упругих модулей. Зависимости от пористости остальных упругих характеристик могут быть получены расчетным путем. На рис. 5 приведены расчетные зависимости модулей Юнга и сдвига железа и шпинели MgAl2O4 от пористости. Сначала с использованием модели 7 были проведены расчеты по аппроксимации зависимости модуля Юнга от пористости . Для железа аппроксимация зависимости приведенного модуля Юнга Er(θ) была рассмотрена выше. а б Рис. 5. Расчетные зависимости модулей Юнга и сдвига железа (а) и шпинели MgAl2O4 (б) от пористости: Δ, ▲ - эксперимент [16]; ○, ● - эксперимент [22] Расчет модулей Юнга Е и сдвига μ пористого железа выполняли при следующих значениях модулей его твердой фазы: Е0 = 211 ГПа и μ0 = 82 ГПа. Для шпинели по экспериментальной точке с θ = 0,19 и E = 134 ГПа при ρ0 = 0,26 и коэффициенте Пуассона ν0 = 0,24 [22] получили b = 1,3. После определения эмпирической константы для эффективного объема осреднения деформаций растяжения t по зависимостям (9) и (13) был выполнен расчет эффективного объема осреднения деформаций сдвига s и модуля сдвига μ. Получено хорошее соответствие результатов расчета и эксперимента для металлического и керамического материалов. Таким образом, адекватные континуальные модели по известным зависимостям от пористости одного из упругих модулей позволяют получить аналогичные зависимости для других модулей упругости. Заключение Предложена континуальная модель, в которой упругие модули изотропных двухфазных композитов определяются через эффективные объемы осреднения деформаций. Для пористых материалов эффективные объемы осреднения деформаций твердой фазы соответствуют эмпирическим функциям пористости одномерных феноменологических моделей. Анализ результатов аппроксимации показал, что среди рассмотренных феноменологических моделей наиболее точно описывают экспериментальные данные модели 3, 6 и 7. При этом модель 7 учитывает начальное несвязанное состояние насыпной плотности порошков и физически более обоснована, чем модели 3 и 6. Предложенная континуальная модель при известной зависимости одного модуля упругости от пористости позволяет получить аналогичные зависимости для других модулей упругости.

About the authors

Alexander F Fedotov

Samara State Technical University

Email: a.fedotov50@mail.ru
(Dr. Sci. (Techn.)), Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files