The linear coefficient inverse heat conduction problem based on alternance ortimization method

Full Text

При изучении теплофизических процессов наряду с экспериментальными исследованиями большое значение приобретают методы математического моделирования и идентификации. Так, определение теплофизических свойств материала по информации о температуре внутри тела может быть основано на решении обратных задач теплопроводности, в связи с чем большой практический интерес приобрели коэффициентные обратные задачи теплопроводности (ОЗТ), заключающиеся в определении коэффициентов уравнения переноса теплоты [1, 2]. Общий подход к решению коэффициентных обратных задач состоит в применении численных методов [1]. Применение аналитических методов, как правило, ограничивается решением ОЗТ для геометрически простых тел, что, тем не менее, охватывает широкий круг реальных практических объектов, при этом дает возможности для исследования протекающих процессов. В стандартной постановке линейной внутренней ОЗТ по определению теплофизических характеристик материала рассматривается одномерное уравнение нестационарной теплопроводности (1) описывающее распределение температуры в полуограниченной области изменения пространственной переменой и во времени , зависящее от коэффициента температуропроводности . Уравнение (1) должно удовлетворять соответствующим краевым условиям, имеющим вид (2) Начальное распределение , температура поверхности нагреваемого тела полагаются известными, а определению подлежит значение коэффициента температуропроводности . Считается, что в некоторой фиксированной точке ведется измерение температуры и получены температурные зависимости , на основе которых требуется определить значение , аппроксимирующее его общую зависимость от температуры на всем интервале нагрева некоторой средней величиной . На искомую функцию накладываются ограничения (3) принадлежности заданному множеству допустимых значений . Сформулируем модельную коэффициентную ОЗТ в экстремальной постановке [1]. По заданной температурной зависимости требуется определить значение , минимизирующее невязку между и точным решением краевой задачи (1), (2), соответствующим искомому . Оценивать эту невязку возможно на основе ошибки равномерного приближения результирующего температурного поля к требуемому на заданном временном интервале [3, 4]. В этом случае оптимальная задача формулируется следующим образом. Для объекта (1), (2) необходимо найти подчиненное ограничению (3) значение , обеспечивающее на заданном интервале выполнение условия минимаксного соотношения . (4) Для получения единственно возможной конечномерной постановки задачи искомая величина принимается за управляющее воздействие, подчиненное типовому ограничению , (5) и неизвестное значение рассматривается как единственный параметр искомого управления [5]. В этом случае температурное поле объекта определяется общим решением краевой задачи (1), (2) и, в частном случае , может быть представлено в виде бесконечного ряда [6] . (6) На основе соотношения (6) можно получить следующую постановку задачи. Для объекта управления (6) требуется найти подчиненное ограничению (5) управляющее воздействие , при котором на заданном интервале достигается минимакс . (7) Исходная задача сводится к задаче параметрической оптимизации, или специальной негладкой задаче математического программирования (7) относительно искомого параметра . Решение задачи (7) может быть основано на использовании специальных альтернансных свойств разности . На основании этих свойств [3, 4] для разности на интервале достигаются знакочередующиеся максимальные по абсолютной величине значения в точках , число которых на единицу превышает число искомых параметров. На основании этого свойства составляется замкнутая система двух соотношений для предельных разностей температур в этих точках относительно всех неизвестных, дополненная условиями существования экстремума этой функции в точках, не совпадающих с границами интервала (8) Решение системы уравнений (8) дает среднее значение , аппроксимирующее действительную зависимость реализуемого на интервале процесса нестационарной теплопроводности, соответствующего измеряемой температуре . В качестве примера рассматривалось нелинейное уравнение теплопроводности, которое при постоянных значениях удельной теплоемкости и плотности материала () имеет вид [6] (9) где , (10) - коэффициент теплопроводности с краевыми условиями вида (2). Аналитическое решение нелинейной задачи (9,2,10) при зависимости коэффициентов переноса от температуры вида , (11) используемое для вычисления для значений от 5 до 50 приведено в [6]. Решение соответствующей системы соотношений при численных значениях дает оптимальную по критерию (7) аппроксимацию постоянным значением идентифицируемой функции вида (10). Сравнительные результаты решения задачи представлены на рисунках. Рис. 1. Ошибка приближения температурного поля Рис. 2. Истинное значение коэффициента теплопроводности и его аппроксимация Рассмотренная методика решения задач в экстремальной постановке, основанная на использовании специальных альтернансных свойств погрешности температур , может быть использована для аналитического решения коэффициентных обратных задач теплопроводности.

About the authors

A N Diligenskaya

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

References

Supplementary files