Numerical-analytical model of a distributed parameter plant with variable structure

Abstract

The paper is about the problem of implementation of the numerical-analytical model of the diffusion process that flows in a reactor with a variable rate of flow. The author offers an approach to the implementation of the model in simulating software for dynamic systems with lumped parameters based on a change of orthogonal basis in the moment of changing the flow rate.

Full Text

В работе [1] предложена математическая модель процесса изменения концентрации вещества по длине реактора в течение времени. Процесс описывается одномерным параболическим уравнением, учитывающим движение среды. Постановка задачи предполагает, что с начального момента времени до некоторого времени , вещество с известной концентрацией поступает на вход реактора и движется по нему с постоянной скоростью . При этом в реакторе протекают и диффузионные процессы, вызывающие изменение концентрации по длине реактора. Начиная с момента времени , вещество перестаёт поступать на вход реактора, , . Движение среды в реакторе прекращается, и изменение концентрации вещества по длине реактора определятся только процессом диффузии. Предложенная модель позволяет получить аналитическое решение, но не может быть использована для исследования системы автоматического управления концентрацией вещества в реакторе за счёт произвольного изменения скорости поступления вещества. Необходимо отметить, что исследование подобной системы автоматического управления возможно лишь с помощью современных пакетов компьютерного моделирования динамических систем, например Matlab/Simulink [2]. При этом объект управления может быть реализован либо с помощью конечно-элементного моделирования [3], либо путём реализации модели, основанной на аналитическом решении уравнения. Далее предлагается подход, позволяющий реализовать модель объекта в пакете компьютерного моделирования сосредоточенных динамических систем с сохранением особенностей поведения объектов с распределенными параметрами. Уравнение, описывающее изменение концентрации вещества в реакторе имеет вид [1] ; ; , (1) с граничными и начальными условиями ; ; (2) , (3) где − распределение концентрации вещества по длине реактора; − скорость среды в реакторе; − коэффициент диффузии; - концентрация вещества на входе в реактор; - длина реактора. Среда в реакторе принята несжимаемой, поэтому её скорость в каждый момент времени в любой точке реактора одинакова. При постоянной скорости движения среды, , (4) решение задачи (1)-(3) может быть найдено с помощью интегрирования по пространственной координате передаточной функции объекта , описывающегося уравнением (1) и стандартизирующей функции , учитывающей неоднородные граничные (2) и начальные условия (3) [4, 5]. . (5) Передаточная функция объекта может быть представлена в виде бесконечной суммы [1, 6] , (6) где - собственные функции, - собственные числа, - коэффициенты усиления, - постоянные времени, p - оператор Лапласа. Собственные числа краевой задачи (1)-(3) с учётом условия (4) являются бесконечно возрастающей последовательностью корней уравнения [1, 6] . (7) Собственные функции представляют собой ортогональный базис, т.е. (8) коэффициенты и постоянные времени зависят от собственных чисел . Благодаря свойству ортогональности собственных функций, можно перейти к рассмотрению временных мод объекта управления, зная, что каждая из них не зависит от остальных , (9) где , - изображения по Лапласу временных мод выходного и входного сигналов объекта с распределёнными параметрами соответственно. , . (10) Временные моды выходного сигнала используются для расчёта распределения концентрации вещества по длине реактора . (11) В основе современных пакетов компьютерного моделирования сосредоточенных динамических систем лежит алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений. Реализация математической модели объекта управления с распределёнными параметрами в подобном пакете осуществляется следующим образом: 1) ограничивается количество учитываемых слагаемых бесконечного ряда (11) ; 2) реализуется процедура расчёта временных мод входного сигнала , в каждый момент времени согласно уравнению (9). В большинстве практических случаев распределённый входной сигнал может быть представлен в виде произведения двух функций, определяющих фиксированное пространственное распределение, , и изменение его амплитуды во времени, , . (12) При таком фиксированном пространственном распределении входного сигнала процедура вычисления временных мод входного сигнала сводится к вычислению произведений функции и соответствующих коэффициентов (из (11), с учётом (12)): , ; (13) 3) формулируется задача вычисления поведения во времени N временных мод выходного сигнала , согласно (9); 4) для каждой точки , , в которой должно быть рассчитано значение выходного сигнала реализуется расчёт согласно (11). Более компактное представление модели можно получить, если сформулировать задачу моделирования в терминах пространства состояний. Для рассматриваемого случая, чтобы избежать путаницы в обозначениях, модель объекта в пространстве состояний будет записана в виде (14) где - вектор состояния, , - вектор входных воздействий, , - вектор выходных сигналов, . Матрица системы и матрица входа определяются, исходя из выражения (9): , . (15) Матрица выхода определяется, согласно (11), как . (16) Если входное распределённое воздействие представлено в виде (12), то систему (14), с учётом (13) можно представить в виде (17) где . (18) Ненулевые начальные условия расчёта определяются значением вектора состояния и могут быть рассчитаны в любой момент времени аналогично (10): , . (19) Скачкообразное изменение скорости в произвольный момент времени приведёт к изменению значений собственных чисел и всех зависящих от них значений элементов матриц , , . Обозначив новый ортогональный базис решения через , , можно сказать, что распределение концентрации после , будет описываться бесконечным рядом . (20) При этом начальные условия для новой функции распределения определяется «старым» распределением в момент времени : , (21) тогда разложение в ряд по собственным функциям нового базиса начального условия будет выглядеть так: (22) , . И, с учётом ограничений на количество учитываемых в расчёте членов ряда, , . (23) Таким образом, предложенный подход к моделированию объекта с распределёнными параметрами в пакете компьютерного моделирования сосредоточенных динамических систем предполагает, что в каждый момент изменения скорости потока будет производиться пересчёт собственных чисел решения и всех зависящих от них элементов матриц , , . Начальное значение вектора состояния на момент переключения будет определяться с помощью (23).