Improvement of properties of digital differentiating devices with the small sampling times

Full Text

В системах управления часто применяют операции дифференцирования. Например, если объект управления представляет собой последовательное соединение двойного апериодического звена с интегрирующим: , (1) где - изображение Лапласа входного воздействия; - изображение выходной координаты; - комплексная переменная; - коэффициент передачи; и - постоянные времени объекта управления, причем для определенности будем считать, что , то одним из способов повышения быстродействия системы является применение пропорционально-дифференциального (ПД) регулятора с передаточной функцией: , (2) где и - коэффициент передачи и постоянная времени ПД-регулятора соответственно. Этот регулятор предназначен для компенсации наибольшей постоянной времени объекта управления, поэтому логично приравнять. Для организации пропорционально-дифференциального закона регулирования необходимо вычислить производную от воздействия на входе регулятора и умножить полученную величину на постоянную времени . Рассмотрим одноконтурную систему, замкнутую с помощью безынерционного датчика обратной связи с коэффициентом передачи с объектом управления вида (1) и с ПД-регулятором (2) (рис. 1). Передаточная функция такой замкнутой системы принимает вид , где - изображение сигнала задания. Рис. 1. Структурная схема одноконтурной системы управления с ПД-регулятором При , , и с переходный процесс в рассматриваемой непрерывной системе будет характеризоваться временем входа в 2%-ю зону с и перерегулированием % (рис. 2). Рис. 2. График переходного процесса в рассматриваемой непрерывной системе Но при цифровой технической реализации на работу системы будут оказывать существенное влияние квантование по времени, уровню и ограничение разрядной сетки устройства (рис. 3). Квантование по времени можно учесть с помощью -преобразования и дискретных передаточных функций. Дискретная передаточная функция объекта управления вида (1) в случае применения экстраполятора нулевого порядка , (3) где ; ; ; ; ; ; - период квантования (дискретизации) по времени. Как правило, при цифровом дифференцировании используются простейшие способы определения производной, например как первой обратной разности [1]. Тогда дискретная передаточная функция ПД-регулятора будет иметь вид , (4) где - изображение (-преобразование) выходного сигнала ПД-регулятора; - изображение рассогласования на входе этого регулятора. Пропорционально-дифференциальный регулятор предназначен для компенсации наибольшего полюса передаточной функции (3), поэтому . (5) С учетом (5) дискретная передаточная функция замкнутой системы будет представлять собой динамическое звено третьего порядка: , (6) где ; ; ; ; ; ; . Она позволяет определить показатели качества регулирования в цифровой системе с учетом квантования по времени и найти зависимость устойчивости от периода дискретизации . Следует отметить, что при периоде дискретизации с переходный процесс, построенный по передаточной функции (6), практически совпадает с графиком, приведенном на рис. 2. Однако формула (4) показывает, что при малых периодах дискретизации коэффициент передачи цифрового ПД-регулятора становится очень большим и может вступить в противоречие с процессом дискретизации по уровню и ограничением сигналов по величине. Структурная схема рассматриваемой цифровой одноконтурной системы (рис. 3) позволяет исследовать влияние этих нелинейностей на показатели качества регулирования. Компьютерное моделирование (рис. 4, кривая 1) позволяет сделать вывод, что процесс квантования по уровню в сочетании с ограничением сигналов по уровню приводит к существенному увеличению перерегулирования ( %) и времени переходного процесса ( с). Рис. 3. Структурная схема одноконтурной системы управления с ПД-регулятором Рис. 4. Графики переходных процессов в рассматриваемой цифровой системе с учетом квантования по уровню и ограничения выходного сигнала регулятора Для улучшения свойств цифрового ПД-регулятора и всей системы в целом предлагается производить вычисление производной по формуле , (7) где и - целые числа, причем - текущий такт вычислений, - число тактов запаздывания, а расчет выходной величины регулятора по выражению . Формула (7) показывает, что при вычислении производной как первой обратной разности осуществляется ее усреднение за тактов. Дискретная передаточная функция ПД-регулятора при этом примет вид , (8) а динамические свойства замкнутой системы будет характеризоваться передаточной функцией: , где ; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; ; . При коэффициенты и должны рассчитываться по формулам: ; . Моделирование рассматриваемой системы (рис. 4, кривая 2) с ПД-регулятором вида (8) и с учетом квантования сигналов по уровню и ограничению по величине показывает, что при значительно улучшаются показатели качества регулирования. Действительно, в этом случае перерегулирование равно 0, а время переходного процесса составляет с. Следует также отметить, что применение предлагаемого подхода к определению производной в дифференцирующих устройствах и ПД-регуляторах сохраняет ту же простоту вычислений, что и при нахождении первой обратной разности. Это позволяет, в частности, проектировать такие цифровые системы, в которых операции умножения заменяются процедурами сдвига, что значительно упрощает техническую реализацию и снижает стоимость управляющего устройства.

About the authors

Alexander V Starikov

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Irina S Belyaeva

Samara State Technical University

Posrtgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

Daria N Jabasova

Samara State Technical University

Posrtgraduate Student 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files