Dynamical model of the horizontal scheme of automatic assembly of cylindrical details

Full Text

Большинство известных способов и устройств, предназначенных для автоматической сборки цилиндрических деталей с гарантированным зазором, реализуют схемы совмещения, в которых втулка закрепляется неподвижно в вертикальном или горизонтальном положении, а подвижной деталью является вал. Наиболее полно исследована вертикальная схема сборки, для которой определены геометрические и кинематические параметры, характеризующие процесс совмещения деталей при первоначальном контакте их поверхностей в трех или двух точках. Недостатком вертикальной схемы сборки является действие на подвижную деталь в точках контакта значительных по величине сил сопротивления, которые могут приводить к повреждению совмещаемых поверхностей или к заклиниванию деталей. Причиной возникновения этих сил являются сила тяжести подвижной детали, препятствующая совмещению, и сборочное усилие, обеспечивающее этот процесс. В данной работе анализируется (рис. 1) способ сборки цилиндрических деталей [1], заключающийся в том, что вал 1 закрепляют в горизонтальном положении, втулку 2 устанавливают на вал сверху так, чтобы она опиралась внутренней поверхностью на три точки поверхности вала, а противоположной стороной на подвижную в вертикальном направлении опору 3. Затем предоставляют втулке возможность под действием силы тяжести опускаться, перемещая опору вниз до момента полного совмещения кромок, после чего горизонтальным толкателем 4 перемещают втулку по поверхности вала до полного совмещения рабочих поверхностей. Целью исследования является создание динамической модели процесса совмещения втулки с горизонтально закрепленным валом, определение на ее основе сил взаимодействия между деталями в точках контакта и оценка их влияния на процесс совмещения. При решении этой задачи обе детали считаются абсолютно твердыми телами правильной геометрической формы, а контакт между их поверхностями - точечным, детали имеют гарантированный зазор δ = D - d, где D - диаметр отверстия втулки, d - диаметр вала. Необходимые для расчетов геометрические параметры, характеризующие относительное расположение деталей, определены в работе [2]. В этом случае (рис. 2) так же, как и при вертикальной схеме сборки, одна точка контакта К деталей располагается в плоскости симметрии деталей между образующей вала и кромкой отверстия втулки, а две другие точки - между кромками обеих деталей симметрично плоскости, проходящей через их оси; середина отрезка, соединяющего симметричные точки контакта, точка В, находится в плоскости симметрии деталей на расстояниях О1В и О2В от центров окружностей О1 и О2 совмещаемых кромок втулки и вала. Так как точки контакта расположены симметрично плоскости, проходящей через оси деталей, а сила тяжести расположена в этой плоскости, то движение втулки, протекающее под действием силы тяжести, является плоскопараллельным с основной плоскостью, совпадающей с плоскостью симметрии. Плоскопараллельное движение втулки описывается совокупностью трех уравнений: уравнения Лагранжа и дифференциальных уравнений движения центра масс, связывающих угол γ с действующими на втулку силами: ; где Т - кинетическая энергия втулки; Qγ - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате; m - масса втулки; уС, zC - координаты ее центра масс; - суммы проекций всех приложенных к втулке сил на оси координат. Кинетическая энергия втулки равна , где - проекции скорости центра масс на оси координат; - момент инерции втулки относительно оси Сх, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости симметрии деталей Для составления дифференциальных уравнений необходимо: 1) выразить координаты центра масс втулки в зависимости от угла γ и получить значения их первых и вторых производных по времени, которые определяют левые части всех трех уравнений; 2) установить направления всех действующих на втулку сил, что необходимо для составления правых частей уравнений. 1. Положение центра масс втулки в процессе сборки определяется относительно неподвижной системы координат О2yz, связанной с центром окружности совмещаемой кромки вала (см. рис. 2), ее координаты равны где Н - высота втулки; h1 = О3О1 и h2 = О3О2 - расстояния между точкой пересечения осей деталей О3 и центрами О1 и О2 совмещаемых кромок: Проекции скорости центра масс на оси координат где - угловая скорость втулки. Проекции ускорения центра масс на оси координат где - угловое ускорение втулки. После подстановки полученных значений левые части дифференциальных уравнений центра масс и уравнения Лагранжа принимают вид ; ; , где ; ; 2. Для определения правых частей уравнений необходим анализ действующих на втулку сил. Движение втулки осуществляется силой тяжести, кроме нее на втулку в каждой точке контакта действуют две силы: нормальная реакция и сила трения. Нормальная реакция NK в точке K направлена перпендикулярно образующей вала, на которую опирается втулка. В симметричных точках контакта втулка опирается своей кромкой на кромку вала, поэтому нормальная реакция в каждой из этих точек должна лежать одновременно в двух плоскостях, одна из которых проходит через ось вала, другая - через ось втулки. Следовательно, каждая из этих сил NB1 и NB2 направлена по линии пересечения этих плоскостей, т. е. проходит через точку О3 пересечения осей обеих деталей. При плоскопараллельном движении втулки нормальные реакции в симметричных точках контакта равны по величине, а их равнодействующая NB (рис. 3) проходит по прямой, соединяющей точку В с точкой О3, и равна , где α - угол между одной из реакций NB1 или NB2 и равнодействующей NB [2]. Значение угла α определяется из треугольника ОВВ1. Равнодействующая нормальных реакций NB образует с вертикальной осью О2z угол ε, значение которого определяется из треугольника О3О2В. Силы трения во всех точках контакта направлены противоположно соответствующим скоростям (рис. 4). Следовательно, сила трения FK в точке К направлена этой образующей вала противоположно скорости VK . Скорости симметричных точек контакта В1 и В2 равны скорости VB точки В (рис. 4), являющейся серединой отрезка, соединяющего эти точки, и расположенной в плоскости симметрии. Направление скорости VB определяется с помощью мгновенного центра скоростей L, положение которого установлено для вертикальной схемы сборки и который находится в точке пересечения перпендикуляра к образующей вала в точке К и перпендикуляра, проведенного в точке А к прямой, являющейся продолжением образующей втулки. Следовательно, силы трения FB1 и FB2 в точках В1 и В2 равны по величине, параллельны и приводятся к равнодействующей, которая приложена в точке В и равна . Таким образом, силы, действующие на втулку, приводятся к плоской системе сил, расположенной в плоскости симметрии деталей (рис. 5), при этом направления реакций в точках контакта деталей в конкретный момент времени определяются положением мгновенного центра скоростей L. Линии действия нормальных реакций NK и NB проходят через эту точку, а силы трения FK и FB перпендикулярны отрезкам, соединяющим точки их приложения с точкой L. На основе проведенного анализа определены проекции действующих сил на оси координат , . Обобщенная сила Qγ равна сумме моментов относительно мгновенного центра L скоростей всех сил, приложенных ко втулке, при этом моменты нормальных реакций NK и NB, равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через мгновенный центр скоростей L. Следовательно, где , - расстояния точек К и В до мгновенного центра скоростей L. После всех преобразований дифференциальные уравнения, описывающие движение втулки в процессе совмещения, принимают вид ; (1) ; (2) . (3) Полученная система уравнений (1), (2) и (3) связывает между собой три неизвестные переменные: угол γ, являющийся функцией времени, и динамические реакции NK и NB, являющиеся функциями угла γ. Совместное решение первых уравнений (1) и (2) определяет значения NK и NB в зависимости от угла γ и его производных , (4) (5) где все коэффициенты АK1, AK2, AК3, AB2, AB3 являются функциями угла γ. Значения NK и NB были подставлены в уравнение (3), которое после преобразований стало уравнением с одной переменной γ(t). (6) Уравнение (6) является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, все его коэффициенты А1, А2, А3 не содержат массу m втулки, следовательно, искомая функция γ(t) зависит только от геометрических параметров совмещаемых деталей. Решение уравнения (6) было выполнено графически в программе Mathcad для деталей с размерами d = 49,9 мм, D = 50 мм, Н = 70 мм. На рис. 6 представлен график зависимости от времени угла γ = γ(t), начало которого соответствует первоначальному контакту деталей в трех точках γ0 = 0.4 рад. Завершение контакта происходит при , что соответствует моменту времени tk = 1,5 с. Рис. 6. График зависимости угла от времени г = г(t) Рис. 7. График зависимости угловой скорости от времени щ = щ(t) Рис. 8. Зависимость реакции NK от угла между осями деталей Рис. 9. Зависимость реакции NB от угла между осями деталей График зависимости угловой скорости от времени ω = ω(t) (рис. 7) представляет собой прямую линию; следовательно, угловая скорость пропорциональная времени, угловое ускорение втулки является постоянной величиной, равной 1/c2, а угловая скорость может быть представлена формулой . Нормальные реакции NK и NB после подстановки полученных значений в уравнения (5) и (6) принимают вид Полные динамические реакции с учетом сил трения после преобразований равны а их отношения к силе тяжести втулки и позволяют оценить меру взаимодействия деталей в точках контакта, зависимости которых от угла γ представлены на рис. 8 и 9. Как следует из графиков (см. рис. 8 и 9), максимальные значения динамических реакций в течение всего процесса совмещения не превышают силу тяжести втулки, в то время как при вертикальном способе сборки реакции, возникающие при минимальных значениях сборочных усилий, на два порядка больше значения сил тяжести подвижной детали [2]. Таким образом, рассматриваемая горизонтальная схема сборки отличается тем, что совмещение деталей осуществляется силой тяжести втулки и не требует дополнительных сборочных усилий, при этом силы взаимодействия в точках контакта не превышают силы тяжести, что исключает заклинивание деталей и повреждение совмещаемых поверхностей. Выводы Рассмотрена схема сборки цилиндрических деталей, при которой втулка под действием силы тяжести перемещается, опираясь на три точки поверхности горизонтально закрепленного вала. Определены кинематические закономерности этого движения, установлены направления динамических реакций, возникающих в точках контакта деталей. Составлена система дифференциальных уравнений, описывающих движение втулки, которая представляет собой динамическую модель процесса совмещения цилиндрических деталей для горизонтальной схемы сборки. Приведены результаты решения дифференциальных уравнений с помощью программы Mathcad для конкретных деталей, которые показали, что динамические реакции не превышают значения силы тяжести втулки, что исключает заклинивание деталей и повреждение их поверхностей в процессе сборки.

About the authors

Lyudmila B Chernyahovskaya

Samara State Technical University

(Ph.D. (Techn.)), Associate Professor 244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Russia

References

Supplementary files